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title: "Triángulos y ángulos"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 51
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos
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# Capítulo 51 — Triángulos y ángulos

¿Se puede dibujar un triángulo de lados $10$, $3$ y $2$? ¿Y con ángulos $80^\circ$, $70^\circ$ y $50^\circ$? Este capítulo responde a las dos preguntas con dos de los hechos más útiles de la geometría plana: la desigualdad triangular y la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $180^\circ$ — más el vocabulario de ángulos que llega con las rectas secantes y [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp).

## 51.1 Ángulos alrededor de rectas secantes

**Definición 51.1 (Parejas de ángulos).**

- dos ángulos son *complementarios* cuando sus medidas suman $90^\circ$ , y *suplementarios* cuando suman $180^\circ$ .
- cuando dos rectas se cortan, los ángulos que quedan enfrentados a través del punto de corte son *opuestos por el vértice* ;
- cuando una recta corta a otras dos, los ángulos situados en la misma posición en cada corte son *ángulos correspondientes* ; los ángulos situados entre las dos rectas y a lados opuestos de la secante son *ángulos alternos* .

**Teorema 51.2 (Igualdades de ángulos).**

1. los [ángulos opuestos por el vértice](#def-g7-triangles-pairs) son iguales;
2. si dos rectas son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) , los ángulos correspondientes son iguales y los [ángulos alternos](#def-g7-triangles-pairs) son iguales. Recíprocamente, unos ángulos correspondientes (o alternos) iguales obligan a que las rectas sean [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) .

**Demostración de 1.** Los dos ángulos $\widehat{1}$ y $\widehat{2}$ situados a un lado de una recta forman un ángulo llano: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$. El ángulo $\widehat 3$, opuesto por el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) a $\widehat 1$, cumple también $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (por la misma razón). Así que $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$. El punto 2 se admite a este nivel. ∎

![A la izquierda: ángulos opuestos por el vértice 1 = 3 (los dos son suplementarios de 2). A la derecha: rectas paralelas cortadas por una tercera recta — los ángulos correspondientes a y b son iguales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-3b89e20a134d.svg)

*A la izquierda: [ángulos opuestos por el vértice](#def-g7-triangles-pairs) $\widehat 1 = \widehat 3$ (los dos son suplementarios de $\widehat 2$). A la derecha: [rectas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) cortadas por una tercera recta — los ángulos correspondientes $\widehat a$ y $\widehat b$ son iguales.*

## 51.2 La suma de los ángulos de un triángulo

**Teorema 51.3 (Suma de los ángulos).**

En todo triángulo, los tres ángulos suman $180^\circ$.

**Demostración.** Sea $ABC$ un triángulo. Traza la recta que pasa por $A$ paralela a $(BC)$. En el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $A$ se alinean tres ángulos sobre esa paralela y forman un ángulo llano, $180^\circ$: el del medio es $\widehat{A}$ y los dos exteriores son [ángulos alternos](#def-g7-triangles-pairs) con $\widehat B$ y $\widehat C$ (¡[rectas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp)!), así que valen $\widehat B$ y $\widehat C$. Por tanto, $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$. ∎

![La demostración en una imagen: a lo largo de la paralela a (BC) por A, los ángulos B, A y C (ángulos alternos en colores iguales) llenan un ángulo llano.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-f3ecc75ad45a.svg)

*La demostración en una imagen: a lo largo de la paralela a $(BC)$ por $A$, los ángulos $\widehat B$, $\widehat A$ y $\widehat C$ ([ángulos alternos](#def-g7-triangles-pairs) en colores iguales) llenan un ángulo llano.*

**Ejemplo 51.4.**

Dos ángulos de un triángulo miden $67^\circ$ y $58^\circ$. El tercero mide

$$
180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .
$$

Casos especiales que conviene memorizar: cada ángulo de un [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) mide $180 \div 3 = 60^\circ$; en un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) los dos ángulos agudos son complementarios (suman $180 - 90 = 90^\circ$); los ángulos de la base de un [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) son iguales, así que cada uno vale $\frac{180 - \text{ángulo desigual}}{2}$.

**Ejemplo 51.5 (No hay triángulos con dos ángulos rectos).**

Un triángulo con dos ángulos de $90^\circ$ ya gastaría $180^\circ$ y dejaría $0^\circ$ para el tercero — imposible. La [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los ángulos prohíbe muchos triángulos de golpe.

## 51.3 La desigualdad triangular

**Teorema 51.6 (Desigualdad triangular).**

En todo triángulo, cada lado es más corto que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los otros dos: para un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$,

$$
a < b + c .
$$

Recíprocamente, tres longitudes cuya *mayor* sea menor que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de las otras dos siempre forman un triángulo. Si la mayor *es igual* a la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de las otras, el «triángulo» queda plano: los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) están alineados.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 51.7.**

¿Pueden los lados ser $10$, $3$ y $2$? Comprueba el mayor: ¿es $10 < 3 + 2 = 5$? No — ese triángulo no existe. El compás muestra por qué: los arcos de [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ y $2$ trazados desde los dos extremos de un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de longitud $10$ no se encuentran nunca.

¿Lados $7$, $5$ y $4$? El mayor: $7 < 5 + 4 = 9$: sí, el triángulo existe (basta con comprobar el lado mayor).

![Intento de construir un triángulo de lados 10, 3 y 2: los dos arcos de compás se quedan irremediablemente lejos, porque 3 + 2 < 10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-d95891c88da6.svg)

*Intento de construir un triángulo de lados $10$, $3$ y $2$: los dos arcos de compás se quedan irremediablemente lejos, porque $3 + 2 < 10$.*

**Método 51.8 (Existencia y construcción de un triángulo).**

Dadas tres longitudes:

1. compara la mayor con la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de las otras dos; si no es estrictamente menor, para: no hay triángulo;
2. si lo es, construye como en el [Método 41.2](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#met-g6-shapes-construct) ( [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) base y dos arcos de compás);
3. después de cualquier construcción a partir de ángulos, comprueba mentalmente que los ángulos dados suman menos de $180^\circ$ — y que el tercer ángulo completa exactamente $180^\circ$ .

## 51.4 Ejercicios

**Ejercicio 51.1 ★.**

Da el complementario (a $90^\circ$) y el suplementario (a $180^\circ$) de: $30^\circ$; $45^\circ$; $72^\circ$.

**Solución de Ejercicio 51.1.**

Complementarios: $60^\circ$; $45^\circ$; $18^\circ$. Suplementarios: $150^\circ$; $135^\circ$; $108^\circ$.

**Ejercicio 51.2 ★.**

Dos rectas se cortan; uno de los cuatro ángulos mide $35^\circ$. Da las medidas de los otros tres, con una razón para cada uno.

**Solución de Ejercicio 51.2.**

El ángulo opuesto por el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) mide también $35^\circ$ ([Teorema 51.2](#thm-g7-triangles-equalities)); los dos ángulos restantes son suplementarios suyos: $180 - 35 = 145^\circ$ cada uno.

**Ejercicio 51.3 ★.**

Calcula el tercer ángulo de un triángulo cuyos dos primeros ángulos miden: (a) $40^\circ$ y $60^\circ$; (b) $90^\circ$ y $28^\circ$; (c) $75^\circ$ y $75^\circ$.

**Solución de Ejercicio 51.3.**

(a) $180 - 100 = 80^\circ$. (b) $180 - 118 = 62^\circ$. (c) $180 - 150 = 30^\circ$.

**Ejercicio 51.4 ★.**

Un [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene el ángulo desigual igual a $40^\circ$. Calcula sus dos ángulos de la base. Otro [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene un ángulo de la base de $70^\circ$: calcula su ángulo desigual.

**Solución de Ejercicio 51.4.**

Ángulo desigual $40^\circ$: los ángulos de la base se reparten $180 - 40 = 140^\circ$ por igual: $70^\circ$ cada uno.

Ángulo de la base $70^\circ$: los dos son iguales, así que el ángulo desigual es $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$.

**Ejercicio 51.5 ★.**

¿Cuáles de estos tríos pueden ser los lados de un triángulo? Justifícalo con la desigualdad triangular (¡el lado mayor!):

$$
(6,\ 8,\ 12); \qquad
(5,\ 5,\ 11); \qquad
(4,\ 9,\ 13); \qquad
(7,\ 7,\ 7).
$$

**Solución de Ejercicio 51.5.**

$(6, 8, 12)$: $12 < 6 + 8 = 14$: el triángulo existe.

$(5, 5, 11)$: $11 > 5 + 5 = 10$: imposible.

$(4, 9, 13)$: $13 = 4 + 9$: «triángulo» plano — los puntos están alineados, no hay triángulo de verdad.

$(7, 7, 7)$: $7 < 14$: [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles).

**Ejercicio 51.6 ★.**

Un triángulo tiene ángulos $x$, $2x$ y $3x$. Halla $x$ y los tres ángulos. ¿Qué clase de triángulo es?

**Solución de Ejercicio 51.6.**

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$, así que $x = 30^\circ$: los ángulos son $30^\circ$, $60^\circ$ y $90^\circ$ — un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles).

**Ejercicio 51.7 ★.**

Construye un triángulo $ABC$ con $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ y $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (transportador en $B$ y en $C$). Antes de construir, predice la medida de $\widehat{BAC}$ y compruébala después en tu figura.

**Solución de Ejercicio 51.7.**

Predicción: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$; el transportador lo confirma en la figura terminada.

**Ejercicio 51.8 ★★.**

Dos [rectas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) son cortadas por una tercera recta, que forma un ángulo de $54^\circ$ en el primer corte (entre la secante y una de las [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp)). Dibuja la situación y da las medidas de los ocho ángulos que se forman.

**Solución de Ejercicio 51.8.**

En el primer corte, los cuatro ángulos son $54^\circ$, $126^\circ$, $54^\circ$ y $126^\circ$ (parejas opuestas por el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y suplementos). La recta paralela reproduce las mismas cuatro medidas en el segundo corte (ángulos correspondientes): ocho ángulos en total, cuatro de $54^\circ$ y cuatro de $126^\circ$.

**Ejercicio 51.9 ★★.**

Dos lados de un triángulo miden $8$ cm y $3$ cm. ¿Entre qué dos valores tiene que estar el tercer lado? Da una longitud entera que valga y otra que no.

**Solución de Ejercicio 51.9.**

Sea $c$ el tercer lado. La desigualdad triangular exige $c < 8 + 3 = 11$ y también $8 < c + 3$, es decir, $c > 5$. Así que $5 < c < 11$: la longitud $7$ cm vale; la longitud $12$ cm (o $4$ cm) no.

**Ejercicio 51.10 ★★.**

En un triángulo $ABC$, $\widehat A = 2\widehat B$ y $\widehat C = 90^\circ$. Calcula $\widehat A$ y $\widehat B$.

**Solución de Ejercicio 51.10.**

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ y $\widehat A = 2\widehat B$, así que $3\widehat B = 90^\circ$: $\widehat B = 30^\circ$ y $\widehat A = 60^\circ$.

**Ejercicio 51.11 ★★★.**

Los ángulos de un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ cualquiera se pueden estudiar cortándolo por una diagonal en dos triángulos. Úsalo para demostrar que los cuatro ángulos de todo [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) suman $360^\circ$ y deduce la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los ángulos de un [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (cinco lados).

**Solución de Ejercicio 51.11.**

La diagonal $[AC]$ parte $ABCD$ en los triángulos $ABC$ y $ACD$. Los cuatro ángulos del [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) son exactamente los seis ángulos de los dos triángulos, reagrupados (los ángulos en $A$ y en $C$ quedan cada uno partido en dos). Total: $180 + 180 = 360^\circ$. Un [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) se parte desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) en tres triángulos: $3 \times 180 = 540^\circ$.

## 51.5 Problema: Dar la vuelta a la manzana

**Problema 51.1.**

Problema de fin de semana — los ángulos de un polígono cualquiera: $(n-2) \times 180^\circ$ por dentro, siempre $360^\circ$ de giro por fuera, y por qué solo tres figuras regulares embaldosan un suelo

El [Ejercicio 51.11](#exo-g7-triangles-11) cortó un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) en dos triángulos y obtuvo $360^\circ$. Este problema lleva la idea a [polígonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de cualquier número de lados, descubre después una segunda demostración completamente distinta — *caminando* alrededor de la figura y sumando los giros — y termina en el suelo de tu [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de baño: entre todos los [polígonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares, exactamente tres pueden embaldosar el plano sin huecos ni solapamientos, y las abejas ya han elegido el suyo.

**Parte I — Los ángulos de dentro.**

1. desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de un [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (seis lados), traza todas las diagonales que salen de ese [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) . ¿En cuántos triángulos queda cortado el [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) y cuál es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de *todos* sus ángulos interiores ( [Teorema 51.3](#thm-g7-triangles-sum) )?
2. generaliza: desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de $n$ lados, ¿cuántos triángulos produce el abanico de diagonales? Deduce la fórmula de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los ángulos interiores y compruébala para $n = 3$ , $4$ , $5$ y $6$ ;
3. calcula la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los ángulos interiores de un decágono ( $10$ lados) y de un dodecágono ( $12$ lados);
4. en un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) *regular* todos los ángulos interiores son iguales. Calcula el ángulo interior del [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) , del cuadrado, del [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) , el [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) y el [octógono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares;
5. explica, sin ninguna fórmula, por qué la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los ángulos crece exactamente $180^\circ$ cada vez que el [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) gana un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) .

**Parte II — El paseo alrededor de la manzana.** Camina por el borde de una manzana poligonal, siempre hacia delante. En cada esquina *giras* un cierto ángulo — el *ángulo exterior* de esa esquina; los giros siguen hasta que vuelves al punto de partida mirando en la dirección de partida.

6. en una esquina cuyo ángulo interior es $\widehat A$ , ¿cuánto giras? (El ángulo interior y el exterior son suplementarios.) Calcula los tres giros de un triángulo de ángulos $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
7. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) los tres giros de la pregunta 6. ¿Qué hecho sobre la vuelta completa observas?
8. explica por qué los giros de un paseo completo alrededor de *cualquier* [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) — de tres lados o de treinta — suman siempre exactamente $360^\circ$ . (¿Qué ha hecho tu nariz, sumando todos los giros, cuando vuelves al principio?)
9. deduce por segunda vez la fórmula de los ángulos interiores: en cada una de las $n$ esquinas, interior $+$ giro $= 180^\circ$ ; [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) sobre todas las esquinas y usa la pregunta 8;
10. en un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular todos los giros son iguales, así que cada ángulo exterior es $\frac{360^\circ}{n}$ . Úsalo para responder al instante: ¿qué [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular tiene ángulos interiores de $150^\circ$ ? ¿Y por qué *ningún* [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular tiene ángulos interiores de $155^\circ$ ?

**Parte III — Embaldosar el suelo.** Alrededor de cada punto de un suelo embaldosado, las esquinas de las baldosas que se juntan deben sumar exactamente $360^\circ$ — sin huecos ni solapamientos ([Problema 40.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#pb-g6-lines-1)).

11. para el [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) , el cuadrado y el [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular: ¿cuántas copias se juntan en un punto de esquina del embaldosado? Verifica los $360^\circ$ en cada caso;
12. demuestra que los [pentágonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares no pueden embaldosar el suelo: ¿cuánto suman tres esquinas y cuánto sumarían cuatro?
13. demuestra que ningún [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular de *más* de seis lados puede embaldosar: en cada esquina tienen que juntarse al menos tres baldosas (cada ángulo es menor que $180^\circ$ ), y ¿qué pasa con tres esquinas de $135^\circ$ o más? Concluye con la lista completa de las figuras regulares que embaldosan;
14. los suelos de los [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de baño mezclan a menudo [octógonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares con cuadrados pequeños. Verifica que esta esquina funciona: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Otro clásico mezcla un cuadrado, un [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular y un dodecágono regular en cada esquina: verifícalo también (el ángulo interior del dodecágono sale del método de la pregunta 10);
15. la elección de las abejas: las celdas del panal son [hexágonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares. Verifica sus esquinas ( $3$ ángulos) y explica en una frase — con la ayuda del descubrimiento de Dido ( [Problema 43.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#pb-g6-measure-1) ) — por qué, de las tres baldosas regulares posibles, el [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) es la más barata en cera para la miel que guarda.

**Solución de Problema 51.1.**

**1.** Las diagonales desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de un [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) lo cortan en $4$ triángulos, así que los ángulos interiores suman $4 \times 180 = 720^\circ$.

**2.** Desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) salen diagonales hacia todos los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) salvo él mismo y sus dos vecinos: $n - 3$ diagonales, que cortan el [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) en $n - 2$ triángulos. Cada ángulo interior del [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) queda repartido entre los triángulos, así que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es

$$
(n - 2) \times 180^\circ .
$$

Comprobación: $n = 3$: $180^\circ$; $n = 4$: $360^\circ$ ([Ejercicio 51.11](#exo-g7-triangles-11)); $n = 5$: $540^\circ$; $n = 6$: $720^\circ$.

**3.** Decágono: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$. Dodecágono: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$.

**4.** Dividiendo entre $n$: triángulo, $60^\circ$; cuadrado, $90^\circ$; [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon), $\frac{540}{5} = 108^\circ$; [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon), $\frac{720}{6} = 120^\circ$; [octógono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon), $\frac{1080}{8} =
135^\circ$.

**5.** Añadir un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) añade un triángulo más al abanico: el [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) nuevo necesita $n - 1$ triángulos donde el antiguo necesitaba $n - 2$. Un triángulo de más, $180^\circ$ de más.

**6.** El caminante gira el suplemento: $180^\circ - \widehat A$. Para el triángulo $40$–$60$–$80$, los giros son $140^\circ$, $120^\circ$ y $100^\circ$.

**7.** $140 + 120 + 100 = 360^\circ$: una vuelta completa.

**8.** A lo largo de todo el paseo, tu nariz empieza y termina apuntando en la misma dirección, después de haber barrido exactamente una vuelta: todos los giros hechos en las esquinas suman una revolución completa, $360^\circ$ — sea cual sea el número de esquinas y la forma de la manzana. (El hecho es maravillosamente independiente de $n$.)

**9.** En cada esquina, interior $+$ giro $= 180^\circ$. Sumando sobre las $n$ esquinas:

$$
\text{(suma de los interiores)} + 360^\circ = 180^\circ \times n,
\qquad\text{luego}\qquad
\text{suma de los interiores} = (n - 2) \times 180^\circ
$$

— la fórmula de la pregunta 2, demostrada de nuevo caminando.

**10.** Interior $150^\circ$ significa que cada giro es de $30^\circ$, y $n = \frac{360}{30} = 12$: el dodecágono regular. Un interior de $155^\circ$ significaría giros de $25^\circ$, y $\frac{360}{25} = 14.4$ no es un número entero de esquinas: no existe ese [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular.

**11.** Triángulo ($60^\circ$): se juntan $6$, $6 \times 60 = 360$. Cuadrado ($90^\circ$): se juntan $4$. [Hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) ($120^\circ$): se juntan $3$, $3 \times 120 = 360$. Los tres cierran perfectamente.

**12.** Tres esquinas de [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $3 \times 108 = 324^\circ$ — queda un hueco de $36^\circ$. Cuatro esquinas: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — se solapan. Ninguna de las dos funciona: los [pentágonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regulares no pueden embaldosar el plano.

**13.** En una esquina del embaldosado se juntan al menos $3$ baldosas. Un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular de más de seis lados tiene ángulos interiores *mayores* que $120^\circ$ (pregunta 4 y el crecimiento del ángulo con $n$), así que tres esquinas superan $3 \times 120 = 360^\circ$: solapamiento, imposible. Con seis lados exactos, $3 \times 120 = 360$ funciona; por debajo de seis, las preguntas 11 y 12 resuelven los casos. La lista completa de figuras regulares que embaldosan: triángulo, cuadrado y [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon).

**14.** [Octógonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) y cuadrados: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$: la esquina cierra — el clásico dibujo de las aceras. Cuadrado, [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) y dodecágono: el giro del dodecágono es $\frac{360}{12} = 30^\circ$, así que su ángulo interior es $150^\circ$, y $90 + 120 + 150 = 360^\circ$: también funciona.

**15.** Esquinas del panal: $3 \times 120 = 360^\circ$, perfecto. Entre las baldosas de triángulo, cuadrado y [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de igual [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area), el [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tiene el borde más corto — es el más parecido de los tres al círculo de Dido ([Problema 43.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#pb-g6-measure-1)) —, así que las celdas hexagonales encierran la misma miel con la menor cera: las abejas embaldosan como geómetras.