---
title: "Simetría central y paralelogramos"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 52
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos
---

# Capítulo 52 — Simetría central y paralelogramos

Gira una figura media vuelta alrededor de un punto: esto es la *[simetría central](#def-g7-central-def)*, la segunda transformación del libro después de las reflexiones del [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#ch-g6-symmetry). Su figura estrella es el [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) — el [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) [simétrico](#def-g7-central-def) respecto del punto de corte de sus propias diagonales.

## 52.1 La simetría central

**Definición 52.1 (Simétrico respecto de un punto).**

El *simétrico* de un punto $M$ respecto de un punto $O$ es el punto $M'$ tal que $O$ es el *punto medio* de $[MM']$. La figura simétrica es en lo que se convierte la original tras un medio giro ($180^\circ$) alrededor de $O$.

![Simetría respecto de O: cada punto y su imagen están alineados con O, a distancias iguales a los dos lados (trazos iguales).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-3a5d10b2de5e.svg)

*Simetría respecto de $O$: cada punto y su imagen están alineados con $O$, a distancias iguales a los dos lados (trazos iguales).*

**Método 52.2 (Construir el simétrico de un punto).**

Para construir el [simétrico](#def-g7-central-def) $M'$ de $M$ respecto de $O$:

1. traza la recta $(MO)$ y prolóngala más allá de $O$ ;
2. mide $MO$ (con regla o compás);
3. coloca $M'$ sobre la prolongación con $OM' = OM$ .

En papel cuadriculado: cuenta los pasos horizontales y verticales de $M$ a $O$ y repite los *mismos* pasos desde $O$ para llegar a $M'$.

**Ejemplo 52.3 (En la cuadrícula).**

Si $M$ está $3$ casillas a la izquierda y $1$ casilla por encima de $O$, su [simétrico](#def-g7-central-def) $M'$ está $3$ casillas a la *derecha* y $1$ casilla *por debajo* de $O$: la [simetría central](#def-g7-central-def) invierte las dos direcciones a la vez (una reflexión invierte solo una).

**Proposición 52.4 (Qué conserva un medio giro).**

La [simetría central](#def-g7-central-def) conserva longitudes, ángulos, [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) y [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area); la imagen de una recta es una recta *paralela*, la imagen de un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) es un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) paralelo de la misma longitud y la imagen de una circunferencia es una circunferencia del mismo [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) (con centro en el [simétrico](#def-g7-central-def) del centro).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 52.5.**

Compárala con las reflexiones ([Proposición 42.4](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#prop-g6-symmetry-preserved)): las dos conservan longitudes y ángulos; pero la reflexión da la vuelta a las figuras (una «b» se convierte en una «d»), mientras que el medio giro las deja legibles — del revés (una «b» se convierte en una «q»). Y, a [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de una reflexión, un medio giro envía toda recta a una recta paralela a ella.

**Definición 52.6 (Centro de simetría).**

Un punto $O$ es un *centro de simetría* de una figura cuando el medio giro alrededor de $O$ envía la figura exactamente sobre sí misma. Por ejemplo, las letras S, N y Z tienen centro de simetría; una circunferencia tiene uno (su centro); un triángulo no tiene ninguno.

## 52.2 Los paralelogramos

**Definición 52.7 (Paralelogramo).**

Un *paralelogramo* es un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) cuyas diagonales se cortan en su punto medio común. Ese punto de corte es entonces un [centro de simetría](#def-g7-central-center) de la figura: cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) es la imagen por el medio giro del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuesto.

**Teorema 52.8 (Propiedades de un paralelogramo).**

En un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ de centro $O$:

1. los lados opuestos son paralelos: $(AB) \parallel (CD)$ y $(BC) \parallel (AD)$ ;
2. los lados opuestos tienen la misma longitud: $AB = CD$ y $BC = AD$ ;
3. los ángulos opuestos son iguales: $\widehat A = \widehat C$ y $\widehat B = \widehat D$ .

**Demostración.** El medio giro alrededor de $O$ envía $A$ a $C$ y $B$ a $D$ (por definición: $O$ es el punto medio de las dos diagonales). Así que envía el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ al [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[CD]$; por la [Proposición 52.4](#prop-g7-central-preserved), la imagen es paralela a $[AB]$ y de la misma longitud: puntos 1 y 2. También envía el ángulo en $A$ al ángulo en $C$, y los ángulos se conservan: punto 3. ∎

![Un paralelogramo y su centro O: las diagonales (en rojo) se cortan en sus puntos medios y los lados opuestos son paralelos e iguales (trazos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-f7a6741d6cd6.svg)

*Un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) y su centro $O$: las diagonales (en rojo) se cortan en sus puntos medios y los lados opuestos son paralelos e iguales (trazos).*

**Teorema 52.9 (Reconocer un paralelogramo).**

Un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (sin lados que se crucen) es un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) en cuanto se cumple *una* de estas condiciones:

1. sus diagonales tienen el mismo punto medio (la definición);
2. sus lados opuestos son paralelos dos a dos;
3. dos lados opuestos son paralelos *y* de la misma longitud.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 52.10.**

$ABCD$ cumple $(AB) \parallel (CD)$ y $AB = CD = 5$ cm. Se aplica el criterio 3: $ABCD$ es un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) — así que, sin ninguna medición más, sabemos también que $AD = BC$, que $(AD) \parallel (BC)$ y que sus diagonales se cortan en su punto medio.

**Observación 52.11 (Paralelogramos especiales).**

El rectángulo, el [rombo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals) y el cuadrado del [Capítulo 41](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#ch-g6-shapes) son exactamente los [paralelogramos](#def-g7-central-parallelogram) con una propiedad de más: diagonales iguales (rectángulo), diagonales [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) ([rombo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals)) o las dos cosas (cuadrado). El argumento de los ángulos prometido en el [Ejemplo 41.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#ex-g6-shapes-recognize) ya funciona: en un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram), los ángulos consecutivos son suplementarios ([ángulos alternos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#def-g7-triangles-pairs) o correspondientes con las [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp), [Teorema 51.2](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#thm-g7-triangles-equalities)), así que un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) obliga a los cuatro.

## 52.3 Ejercicios

**Ejercicio 52.1 ★.**

En papel cuadriculado, sitúa $O$ y después $M$ cuatro casillas a la derecha de $O$ y una casilla más arriba. Construye el [simétrico](#def-g7-central-def) $M'$ de $M$ respecto de $O$ y el [simétrico](#def-g7-central-def) de $M$ respecto de la *línea vertical de la cuadrícula* que pasa por $O$. Compara las dos imágenes.

**Solución de Ejercicio 52.1.**

Imagen por el medio giro: $M'$ está cuatro casillas a la *izquierda* de $O$ y una casilla *más abajo* (las dos direcciones invertidas). Imagen por reflexión respecto de la línea vertical: cuatro casillas a la izquierda, pero todavía una casilla *más arriba*. Las dos imágenes son distintas: son imágenes especulares verticales una de la otra.

**Ejercicio 52.2 ★.**

Dibuja un triángulo $ABC$ y un punto $O$ fuera de él. Construye su imagen $A'B'C'$ por el medio giro alrededor de $O$. ¿Qué puedes decir de las longitudes $A'B'$ y $AB$? ¿Y de las rectas $(A'B')$ y $(AB)$?

**Solución de Ejercicio 52.2.**

$A'B' = AB$ (los medios giros conservan longitudes) y $(A'B') \parallel (AB)$ (la imagen de una recta es una recta paralela, [Proposición 52.4](#prop-g7-central-preserved)).

**Ejercicio 52.3 ★.**

¿Qué cifras, escritas como en la pantalla de una calculadora (del $0$ al $9$), tienen [centro de simetría](#def-g7-central-center)? ¿Y qué letras mayúsculas de entre H, A, N, S, T, Z y O?

**Solución de Ejercicio 52.3.**

Cifras de calculadora con [centro de simetría](#def-g7-central-center): $0$, $2$, $5$ y $8$ (y el $1$ si se dibuja como una barra simple). Letras: H, N, S, Z y O tienen uno; A y T no (tienen eje en su lugar).

**Ejercicio 52.4 ★.**

$KLMN$ es un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) de centro $O$ con $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm y $\widehat K = 115^\circ$. Da, con razones: $MN$, $NK$, $\widehat M$ y el punto medio de $[LN]$.

**Solución de Ejercicio 52.4.**

Lados opuestos iguales: $MN = KL = 7$ cm y $NK = LM = 4$ cm. Ángulos opuestos iguales: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$. Las diagonales se cortan en su punto medio común, y ese punto es $O$: el punto medio de $[LN]$ es $O$.

**Ejercicio 52.5 ★.**

Construye un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ a partir de sus diagonales: $AC = 8$ cm y $BD = 5$ cm, que se cortan en sus puntos medios formando un ángulo de $60^\circ$ entre ellas. (¡Traza primero las diagonales!)

**Solución de Ejercicio 52.5.**

Traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AC]$ de $8$ cm, marca su punto medio $O$, traza por $O$ una recta que forme $60^\circ$ con $(AC)$ y sitúa $B$ y $D$ sobre ella a $2.5$ cm de $O$, uno a cada lado. Une $A$, $B$, $C$ y $D$: las diagonales se cortan en sus puntos medios, así que $ABCD$ es un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) por definición.

**Ejercicio 52.6 ★.**

En un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram), un ángulo mide $115^\circ$. Usando la observación sobre los ángulos consecutivos suplementarios, da los otros tres ángulos.

**Solución de Ejercicio 52.6.**

Los ángulos consecutivos son suplementarios: junto a $115^\circ$ está $180 - 115 = 65^\circ$. Los ángulos opuestos son iguales, así que los cuatro ángulos son $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$ y $65^\circ$ ([suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $360^\circ$).

**Ejercicio 52.7 ★★.**

Sitúa $A(1, 1)$, $B(4, 2)$ y el punto $O(2.5, 2.5)$. Calcula las coordenadas de las imágenes $A'$ y $B'$ por el medio giro alrededor de $O$ (usa el recuento en la cuadrícula del [Ejemplo 52.3](#ex-g7-central-grid)).

**Solución de Ejercicio 52.7.**

De $A(1,1)$ a $O(2.5, 2.5)$: $1.5$ a la derecha y $1.5$ arriba; siguiendo igual: $A'(4, 4)$. De $B(4,2)$ a $O$: $1.5$ a la izquierda y $0.5$ arriba; siguiendo: $B'(1, 3)$.

**Ejercicio 52.8 ★★.**

$ABCD$ es un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) en el que $AB = CD$. ¿Basta eso para que sea un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)? Si no, dibuja un contraejemplo (un trapecio [isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) ayuda) y di qué hay que añadir a la hipótesis.

**Solución de Ejercicio 52.8.**

No. Un trapecio [isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene sus dos lados inclinados iguales sin ser un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) (los dos lados paralelos tienen longitudes distintas). Lo que basta es el criterio 3 del [Teorema 52.9](#thm-g7-central-recognize): dos lados opuestos iguales *y paralelos*.

**Ejercicio 52.9 ★★.**

Sea $ABC$ un triángulo y $O$ el punto medio de $[BC]$. Construye el [simétrico](#def-g7-central-def) $A'$ de $A$ respecto de $O$. Demuestra que $ABA'C$ es un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram). (¿Qué criterio del [Teorema 52.9](#thm-g7-central-recognize) sale gratis aquí?)

**Solución de Ejercicio 52.9.**

$O$ es el punto medio de $[BC]$ por elección y es el punto medio de $[AA']$ por construcción del [simétrico](#def-g7-central-def). El [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $ABA'C$ tiene diagonales $[AA']$ y $[BC]$ que comparten el punto medio $O$: el criterio 1 (la definición) lo convierte en [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) sin coste alguno.

**Ejercicio 52.10 ★★.**

¿Verdadero o falso? Justifícalo: «un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) cuyos ángulos opuestos son iguales dos a dos es un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)»; «un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) con diagonales [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) es un [rombo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals)»; «un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) con un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) es un rectángulo».

**Solución de Ejercicio 52.10.**

«Ángulos opuestos iguales $\Rightarrow$ [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)»: *verdadero* (es otro criterio de reconocimiento; con la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de ángulos $360^\circ$, unas parejas opuestas iguales obligan a que los ángulos consecutivos sean suplementarios y, por tanto, a lados paralelos por el [Teorema 51.2](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#thm-g7-triangles-equalities)).

«Diagonales [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) $\Rightarrow$ [rombo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals)»: *verdadero* en un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) (las diagonales ya se cortan en sus puntos medios).

«Un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) $\Rightarrow$ rectángulo»: *verdadero* — los ángulos consecutivos son suplementarios, así que los cuatro salen rectos.

**Ejercicio 52.11 ★★★.**

Sea $ABCD$ un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) cualquiera y sean $I$, $J$, $K$ y $L$ los puntos medios de sus lados $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ y $[DA]$. Dibuja varios ejemplos. ¿Qué parece ser siempre $IJKL$? (La demostración, con el teorema del punto medio, llega en el [Capítulo 59](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#ch-g8-midpoints) — y otra vez con vectores, en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.)

**Solución de Ejercicio 52.11.**

Sea cual sea el [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) — incluso uno muy irregular —, los puntos medios $I$, $J$, $K$ y $L$ forman siempre un *[paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram)*. La demostración con el teorema del punto medio está en el [Capítulo 59](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#ch-g8-midpoints) ([Ejercicio 59.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#exo-g8-midpoints-9)).

## 52.4 Problema: La tarta, la mediana y el imposible segundo centro

**Problema 52.1.**

Problema de fin de semana — el medio giro en acción: cortes justos de tarta, una cota para las medianas y por qué ninguna figura puede tener dos centros de simetría

El medio giro parece la más sencilla de las transformaciones — y, sin embargo, corta tartas en [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) demostrablemente justas, mide las medianas de un triángulo y esconde una perlita de matemática pura: una figura acotada puede tener un [centro de simetría](#def-g7-central-center), pero *nunca dos*. La demostración usa un descubrimiento que harás en la Parte I: dos medios giros, hechos uno detrás de otro, equivalen a un desplazamiento.

**Parte I — Gimnasia de medios giros.**

1. en papel cuadriculado, toma el origen $O(0, 0)$ como centro. Con el recuento en la cuadrícula del [Ejemplo 52.3](#ex-g7-central-grid) , da las imágenes de $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ y $P(0, -5)$ por el medio giro alrededor de $O$ . ¿Cuál es la regla general para $(x, y)$ ?
2. ahora el centro es $C(2, 1)$ . Calcula la imagen de $M(5, 3)$ y comprueba la receta general: cada coordenada de la imagen es *el doble de la del centro menos la del punto* ;
3. las cartas de la baraja se diseñan para leerse igual del revés — una [simetría central](#def-g7-central-def) , para que ningún jugador vea la carta «al revés». Explica por qué, en una carta con un número *[impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* de figuras, una de ellas tiene que estar exactamente en el centro de la carta;
4. dos medios giros seguidos: toma los centros $O_1(2, 0)$ y $O_2(5, 0)$ . Manda el punto $A(1, 1)$ por el medio giro alrededor de $O_1$ y manda después la imagen por el medio giro alrededor de $O_2$ . Compara la salida y la llegada. Repítelo con $B(0, 3)$ . ¿A qué transformación única y sencilla equivalen los dos medios giros?
5. mide el desplazamiento de la pregunta 4 frente a la distancia $O_1 O_2$ y enuncia el descubrimiento. (Compáralo con los dos espejos paralelos del [Problema 42.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1) : el mismo fenómeno con actores nuevos.)

**Parte II — Tartas y medianas.**

6. sea $O$ el centro de un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) . Explica por qué toda recta que pase por $O$ corta al borde en dos puntos [simétricos](#def-g7-central-def) respecto de $O$ , y por qué la recta corta el [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) en dos trozos que son copias exactas por medio giro uno del otro — y, por tanto, de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales;
7. el teorema del pastelero: una tarta rectangular se reparte con perfecta justicia con *cualquier* corte recto que pase por su centro. Aún mejor: una tarta rectangular tiene un agujero rectangular (de cualquier tamaño, en cualquier posición e incluso inclinado). Describe el único corte recto que da dos partes con la misma cantidad de tarta — y justifícalo con la pregunta 6;
8. tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de un [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ son $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ y $C(8, 5)$ . Calcula las coordenadas de $D$ y las del centro $O$ ;
9. el [Ejercicio 52.9](#exo-g7-central-9) construyó, a partir de un triángulo $ABC$ y del punto medio $O$ de $[BC]$, el [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$, donde $A'$ es el [simétrico](#def-g7-central-def) de $A$ respecto de $O$. Úsalo, junto con la desigualdad triangular ([Teorema 51.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#thm-g7-triangles-inequality)) en el triángulo $ABA'$, para demostrar la *cota de la mediana*: la mediana $[AO]$ cumple $$AO < \frac{AB + AC}{2} .$$ (Observa que $AA' = 2\,AO$ y $BA' = AC$.)
10. en un triángulo con $AB = 5$ cm y $AC = 7$ cm, ¿entre qué dos valores tiene que estar la longitud de la mediana desde $A$ ? (Usa los dos sentidos de la desigualdad triangular en $ABA'$ .)

**Parte III — ¿Cuántos centros puede tener una figura?**

11. para cada figura, di si tiene [centro de simetría](#def-g7-central-center) y dónde: un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) ; una recta entera; un [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) ; un cuadrado; una circunferencia; las letras S y Z;
12. demuestra tu respuesta para el [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) : un medio giro que enviara el triángulo sobre sí mismo emparejaría los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) — pero tres es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , así que algún [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) iría a parar a sí mismo. ¿A qué obligaría eso a ese [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y por qué es imposible?
13. generaliza la pregunta 12: explica por qué *ningún* [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) con un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) tiene [centro de simetría](#def-g7-central-center) ;
14. la perla: supón que una figura tuviera *dos* [centros de simetría](#def-g7-central-center) distintos $O_1$ y $O_2$ . Haz los dos medios giros uno detrás de otro y usa el descubrimiento de la pregunta 5: ¿qué movimiento tendría que enviar la figura exactamente sobre sí misma? Explica por qué una figura que cabe en una hoja de papel no puede sobrevivir a eso y concluye;
15. la conclusión de la pregunta 14 deja un resquicio: las figuras *no acotadas* . Verifica en un friso infinito — por ejemplo, una fila interminable de huellas, izquierda, derecha, izquierda, derecha … — que tiene (al menos) dos [centros de simetría](#def-g7-central-center) distintos e identifica la traslación que predecía la pregunta 14.

**Solución de Problema 52.1.**

**1.** $M(3, 1) \to (-3, -1)$; $N(-2, 4) \to (2, -4)$; $P(0, -5) \to (0, 5)$. Regla: el medio giro alrededor del origen envía $(x, y)$ a $(-x, -y)$ — las dos coordenadas cambian de signo.

**2.** Desde $M(5, 3)$: tres casillas a la derecha de $C$ pasan a ser tres a la izquierda, y dos arriba pasan a ser dos abajo: imagen $(-1, -1)$. Comprobación de la receta: el doble del centro menos el punto, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$.

**3.** El medio giro alrededor del centro de la carta intercambia las figuras por parejas. Con un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de figuras, una se queda sin pareja: tiene que ser su propia imagen, y el único punto que es su propia imagen es el centro. De ahí que la figura del medio del 3, del 5, del 7 … esté justo en el centro (mira una carta de verdad: lo está).

**4.** Alrededor de $O_1(2,0)$: $A(1,1) \to (3,-1)$; alrededor de $O_2(5,0)$: $(3,-1) \to (7,1)$. Salida $A(1,1)$, llegada $(7,1)$: desplazado $6$ a la derecha, sin voltear. Lo mismo para $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$: desplazado $6$ a la derecha. Los dos medios giros equivalen a una *traslación*.

**5.** El desplazamiento es $6$ y $O_1 O_2 = 3$: la traslación cubre *el doble* de la distancia entre los centros (en la dirección de $O_1$ a $O_2$) — igual que dos espejos paralelos trasladaban el doble de su separación en el [Problema 42.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1).

**6.** El medio giro alrededor de $O$ envía el [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) sobre sí mismo (eso es lo que significa «[centro de simetría](#def-g7-central-center)» para él, [Teorema 52.8](#thm-g7-central-properties)). Una recta que pase por $O$ también se envía sobre sí misma, así que los dos puntos donde corta al borde se intercambian: son [simétricos](#def-g7-central-def) respecto de $O$. Los dos trozos del [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) a cada lado de la recta también se intercambian, así que son copias exactas ([Proposición 52.4](#prop-g7-central-preserved)) — de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales.

**7.** Corta por la recta que pasa por los *dos centros*: el centro del rectángulo de la tarta y el centro del agujero. Por la pregunta 6 aplicada al rectángulo de la tarta, el corte parte la tarta por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half); aplicada al rectángulo del agujero (la recta pasa también por su centro), parte el agujero por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). Cada parte recibe la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la tarta menos la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del agujero: perfectamente justo.

**8.** $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (las diagonales comparten su punto medio, así que $D$ es la imagen por el medio giro de $B$ respecto del centro). Centro: el punto medio de $[AC]$, $O(4,\ 2.5)$.

**9.** En el [paralelogramo](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$, los lados opuestos son iguales: $BA' = AC$. La desigualdad triangular en $ABA'$ da $AA' < AB + BA' = AB + AC$. Como $O$ es el punto medio de $[AA']$, $AA' = 2\,AO$, así que $2\,AO < AB + AC$, es decir, $AO < \frac{AB + AC}{2}$.

**10.** Cota superior: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Cota inferior: en $ABA'$, $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$, así que $AO > 1$ cm. La mediana desde $A$ está estrictamente entre $1$ y $6$ cm.

**11.** [Segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects): sí, su punto medio. Recta: sí — cada uno de sus puntos es un centro. [Triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles): ninguno. Cuadrado: sí, el corte de las diagonales. Circunferencia: sí, su centro. S y Z: sí, su punto central (pon la página del revés: se leen igual).

**12.** El medio giro emparejaría los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) entre sí; como tres es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $A$ sería su propia imagen, lo que obligaría a $A$ a ser el centro del medio giro. Los otros dos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $B$ y $C$ serían entonces [simétricos](#def-g7-central-def) respecto de $A$ — así que $A$ sería el punto medio de $[BC]$ y los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) estarían alineados. Un triángulo no tiene tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) alineados: contradicción. No existe ese centro.

**13.** El mismo argumento de paridad: un medio giro que conserve el [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) empareja sus [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def); un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) obliga a que haya un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) fijo, que tendría que ser el centro y el punto medio del [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) que une otros dos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) — tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) alineados, imposible en un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) … así que ningún [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) con un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) tiene [centro de simetría](#def-g7-central-center).

**14.** Hacer el medio giro alrededor de $O_1$ y después alrededor de $O_2$ envía la figura sobre sí misma las dos veces — así que su composición también. Por la pregunta 5, esa composición es una traslación del doble de la distancia $O_1 O_2$, que no es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) porque los centros son distintos. Una figura que cabe en una hoja no puede ser igual a sí misma desplazada una cantidad fija no nula (deslízala las veces suficientes y se sale de la hoja). Así que una figura acotada tiene como mucho un [centro de simetría](#def-g7-central-center).

**15.** En la banda interminable, un medio giro alrededor del punto situado a [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de camino entre una huella izquierda y la derecha siguiente envía el patrón sobre sí mismo; el punto un paso completo más allá también: dos centros distintos. Componer los dos medios giros da la traslación del doble del medio paso — exactamente el desplazamiento de un paso que, visiblemente, envía el friso infinito sobre sí mismo, como predice la pregunta 14. Los patrones no acotados viven según otras reglas: esa es la matemática del papel pintado.