---
title: "Áreas y volúmenes"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 53
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes
---

# Capítulo 53 — Áreas y volúmenes

El año pasado medimos rectángulos, [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) y [ortoedros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ([Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#ch-g6-measure)). Con unas tijeras — cortar un trozo aquí, pegarlo allá — las mismas ideas dan ahora las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de los [paralelogramos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram), de *todos* los triángulos y del disco, y los volúmenes de los [prismas](#def-g7-areas-prism) y los [cilindros](#def-g7-areas-prism).

## 53.1 Área de un paralelogramo

**Teorema 53.1 (Paralelogramo).**

Un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) con un lado de longitud $b$ (su *base*) y distancia $h$ entre ese lado y el opuesto (su *altura*) tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area)

$$
A = b \times h .
$$

**Demostración con tijeras.** Corta el [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) que sobresale por un lado y pégalo en el otro: el [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) se convierte en un rectángulo $b \times h$ con la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area). ∎

![La demostración con tijeras: deslizar el triángulo rojo del extremo izquierdo al derecho convierte el paralelogramo en un rectángulo — la misma área, b × h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-ff97504b430f.svg)

*La demostración con tijeras: deslizar el triángulo rojo del extremo izquierdo al derecho convierte el [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) en un rectángulo — la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area), $b \times h$.*

**Observación 53.2.**

¡La altura es la distancia *perpendicular* entre las dos bases, no la longitud del lado inclinado! Un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) muy inclinado puede tener lados largos y un [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) pequeña.

## 53.2 Área de un triángulo

**Teorema 53.3 (Triángulo).**

Un triángulo de base $b$ y altura correspondiente $h$ (la distancia perpendicular del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuesto a la recta de la base) tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area)

$$
A = \frac{b \times h}{2} .
$$

**Demostración.** Dos copias del triángulo, una girada media vuelta alrededor del punto medio de un lado, encajan en un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de base $b$ y altura $h$ (esa es la [simetría central](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-def) en acción, [Proposición 52.4](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#prop-g7-central-preserved)). El triángulo es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): $\frac{bh}{2}$. ∎

![Un triángulo y su copia girada media vuelta (discontinua) forman un paralelogramo: el área del triángulo es b× h/2. Cualquiera de los tres lados puede hacer de base — con su propia altura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-c7863134f268.svg)

*Un triángulo y su copia girada media vuelta (discontinua) forman un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram): el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del triángulo es $\frac{b\times h}{2}$. Cualquiera de los tres lados puede hacer de base — con *su propia* altura.*

**Ejemplo 53.4.**

Un triángulo tiene una base de $9$ cm y la altura correspondiente mide $4$ cm:

$$
A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .
$$

Para un triángulo *rectángulo*, los dos catetos son una base y su altura: recuperamos la fórmula de la [Proposición 43.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#prop-g6-measure-formulas).

## 53.3 Área de un disco

**Teorema 53.5 (Disco).**

Un disco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$ tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area)

$$
A = \pi r^2 .
$$

**Idea de la demostración.** Corta el disco en muchos sectores finos e iguales y colócalos alternando arriba y abajo: casi forman un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de altura $r$ cuya base es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la longitud de la circunferencia, $\pi r$ ([Proposición 43.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#prop-g6-measure-circle)). Su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) es próxima a $\pi r \times r = \pi r^2$, y la aproximación se vuelve perfecta a medida que los sectores adelgazan. Una demostración completa necesita el cálculo integral, del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior. ∎

![Cortar el disco en sectores y desenrollarlos: casi un paralelogramo de base π r (la mitad del borde) y altura r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-1cb0774f961c.svg)

*Cortar el disco en sectores y desenrollarlos: casi un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de base $\pi r$ (la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del borde) y altura $r$.*

**Ejemplo 53.6.**

El tablero de una mesa redonda tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $60$ cm. Su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) es $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm$^2$, algo más de $1.1$ m$^2$. Fíjate en la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference): el *[perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter)* $2\pi r$ usa $r$ y el *[área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area)* $\pi r^2$ usa $r^2$.

## 53.4 Prismas y cilindros

**Definición 53.7 (Prisma, cilindro).**

Un *prisma* es un cuerpo con dos [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) poligonales iguales y [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) (las *bases*) unidas por rectángulos; un *cilindro* es lo mismo con discos como bases. La *altura* es la distancia entre las dos bases.

**Teorema 53.8 (Volúmenes).**

Para un [prisma](#def-g7-areas-prism) o un [cilindro](#def-g7-areas-prism) de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $B$ y altura $h$:

$$
V = B \times h .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 53.9.**

Una tienda de campaña es un [prisma](#def-g7-areas-prism) tumbado: sus bases son triángulos de base $2$ m y altura $1.5$ m, y la tienda mide $3$ m de largo.

1. [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ ;
2. [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) : $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Una lata de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm y altura $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm$^3$, aproximadamente medio litro.

## 53.5 Ejercicios

**Ejercicio 53.1 ★.**

Calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) de base $8$ cm y altura $5$ cm; y la de otro de base $6.5$ m y altura $4$ m.

**Solución de Ejercicio 53.1.**

$8 \times 5 = 40$ cm$^2$; $6.5 \times 4 = 26$ m$^2$.

**Ejercicio 53.2 ★.**

Un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) tiene lados de $10$ cm y $6$ cm, y la altura relativa a la base de $10$ cm mide $4$ cm. Calcula su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area). ¿Por qué la respuesta no es $60$ cm$^2$?

**Solución de Ejercicio 53.2.**

$A = 10 \times 4 = 40$ cm$^2$. La respuesta no es $10 \times 6 = 60$ porque el lado de $6$ cm está inclinado: la fórmula usa la *altura* (la distancia perpendicular), que es $4$ cm.

**Ejercicio 53.3 ★.**

Calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de un triángulo de base $12$ cm y altura $7$ cm; la de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $9$ y $6$; y la de un triángulo de base $5.5$ m y altura $2$ m.

**Solución de Ejercicio 53.3.**

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm$^2$; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m$^2$.

**Ejercicio 53.4 ★.**

Calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de un disco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm y después la de un semidisco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm (valores exactos con $\pi$ y después redondeados a la unidad).

**Solución de Ejercicio 53.4.**

Disco: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm$^2$. Semidisco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $10$: $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm$^2$.

**Ejercicio 53.5 ★.**

Calcula el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) *y* el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de un disco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. ¿Cuál de las dos respuestas va en cm y cuál en cm$^2$?

**Solución de Ejercicio 53.5.**

[Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter): $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (una longitud, en cm). [Área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm$^2$ (una superficie, en cm$^2$).

**Ejercicio 53.6 ★.**

Calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de un [prisma](#def-g7-areas-prism) de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $24$ cm$^2$ y altura $10$ cm; y el de un [cilindro](#def-g7-areas-prism) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm y altura $8$ cm (exacto y después redondeado).

**Solución de Ejercicio 53.6.**

[Prisma](#def-g7-areas-prism): $24 \times 10 = 240$ cm$^3$. [Cilindro](#def-g7-areas-prism): $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm$^3$.

**Ejercicio 53.7 ★.**

Un triángulo tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $28$ cm$^2$ y base $8$ cm. Halla la altura correspondiente, escribiendo antes la ecuación.

**Solución de Ejercicio 53.7.**

$\frac{8 \times h}{2} = 28$, así que $4h = 28$ y $h = 7$ cm.

**Ejercicio 53.8 ★★.**

Dibuja un triángulo cualquiera y mide con cuidado las tres parejas base–altura. Calcula $\frac{b \times h}{2}$ para cada pareja: los tres resultados deberían coincidir (salvo error de medida). ¿Por qué?

**Solución de Ejercicio 53.8.**

Los tres [productos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) coinciden porque cada uno calcula la *misma* magnitud: el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del triángulo. Esto da una comprobación práctica de las construcciones y una manera de calcular una altura a partir de otra pareja base–altura (se usa en el [Ejercicio 53.12](#exo-g7-areas-12)).

**Ejercicio 53.9 ★★.**

Un jardín con forma de trapecio se puede partir, con una diagonal, en dos triángulos que comparten la misma altura $h = 20$ m, con bases de $30$ m y $18$ m. Calcula su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) total. ¿Sabrías adivinar una fórmula general para el trapecio?

**Solución de Ejercicio 53.9.**

Los dos triángulos tienen [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m$^2$ y $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m$^2$: en total, $480$ m$^2$. Fórmula general sugerida: para lados paralelos $a$ y $b$ a distancia $h$,

$$
A = \frac{(a + b) \times h}{2}
$$

— la fórmula del trapecio (aquí, $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$).

**Ejercicio 53.10 ★★.**

Un jarrón cilíndrico de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm contiene agua hasta una altura de $15$ cm. Toda el agua se vierte en un [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) vacío de base $18$ cm $\times$ $12$ cm. ¿Qué altura de agua se alcanza en el [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def)? (El mismo [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume), distinta base.)

**Solución de Ejercicio 53.10.**

[Volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de agua: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm$^3$. Base del [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): $18 \times 12 = 216$ cm$^2$. Altura alcanzada: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

**Ejercicio 53.11 ★★.**

Una pizza de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $30$ cm cuesta $9$ euros; otra de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $40$ cm cuesta $14$ euros. Calcula las dos [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) y el precio por cada $100$ cm$^2$. ¿Qué pizza sale mejor de precio?

**Solución de Ejercicio 53.11.**

[Radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $15$ y $20$ cm. [Áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): $225\pi \approx 707$ cm$^2$ y $400\pi \approx 1257$ cm$^2$. Precio por cada $100$ cm$^2$: $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euros y $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euros. La pizza grande sale mejor de precio — las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) crecen con el *cuadrado* del [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle).

**Ejercicio 53.12 ★★★.**

Los dos catetos de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) miden $6$ cm y $8$ cm, y su hipotenusa mide $10$ cm. Calcula su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) con los catetos y usa después ese [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) para hallar la altura relativa a la *hipotenusa*.

**Solución de Ejercicio 53.12.**

Con los catetos: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm$^2$. Con la hipotenusa como base: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$, así que $h = 4.8$ cm.

## 53.6 Problema: El cuadrado que se esfuma

**Problema 53.1.**

Problema de fin de semana — una «demostración» famosa de que $64 = 65$, desenmascarada con áreas y pendientes, con pizzas y coronas de postre

Un mago corta un cuadrado de $8 \times 8$ en cuatro piezas, las desliza y las vuelve a montar formando un rectángulo de $5 \times 13$. El público cuenta: $8 \times 8 = 64$, pero $5 \times 13 = 65$ — ¡ha aparecido un cuadradito de la nada! Las fórmulas de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de este capítulo son exactamente las herramientas que pillan el truco. Después el problema pone a trabajar el razonamiento honesto con [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): en trapecios, en pilas inclinadas, en la economía de las pizzas — y, por último, vuelve al mago para una segunda función aún más extraña.

**Parte I — El truco, ejecutado y desenmascarado.** Las cuatro piezas del cuadrado de $8 \times 8$ son: dos [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $8$ y $3$, y dos trapecios rectángulos de lados paralelos $5$ y $3$ y altura $5$.

1. calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del cuadrado original y el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del rectángulo que se afirma. Enuncia el escándalo en una línea;
2. calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de cada una de las cuatro piezas ( [Teorema 53.3](#thm-g7-areas-triangle) ; para los trapecios, córtalos o usa el [Ejercicio 53.9](#exo-g7-areas-9) );
3. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) las cuatro [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) . ¿Cuál de las dos figuras — el cuadrado o el rectángulo — pueden llenar realmente las piezas?
4. en la disposición rectangular, la hipotenusa de un triángulo (que sube $3$ en $8$ ) debería continuar el borde inclinado de un trapecio (que sube $2$ en $5$ ) formando una sola «diagonal» recta. Comprueba la alineación: ¿son $3$ en $8$ y $2$ en $5$ la misma inclinación ( [Teorema 49.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/49-la-proporcionalidad#thm-g7-prop-cross) )?
5. explica dónde se esconde el sexagésimo quinto cuadradito: qué forma tiene el hueco a lo largo de la falsa diagonal, cuál es su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) exacta y por qué se le escapa al ojo. (¿Qué anchura media tiene una astilla de esa [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) estirada a lo largo de la diagonal del rectángulo, que mide unas $13$ unidades?)

**Parte II — Razonar honradamente con [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area).**

6. traza dos [rectas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) separadas $4$ cm, una base de $6$ cm sobre una de ellas y tres triángulos distintos sobre esa base con los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) en puntos diversos de la otra recta. Calcula las tres [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) . ¿Por qué son todas iguales, deslice el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) donde deslice a lo largo de su recta?
7. demuestra la fórmula del trapecio en general: un trapecio de lados paralelos $B$ y $b$ y altura $h$, cortado por una diagonal, da dos triángulos de la misma altura $h$. Concluye: $$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$$
8. aplícala a un trapecio con $B = 9$ cm, $b = 5$ cm y $h = 4$ cm.
9. los carpinteros usan la misma fórmula disfrazada: [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $=$ (media de los dos lados paralelos) $\times$ altura. Explica por qué es la misma regla y recalcula la pregunta 8 de esa manera;
10. inclina un montón bien apilado de cartas hasta dejarlo torcido. Explica por qué el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) no ha cambiado y qué dice esto sobre la altura en la fórmula del [prisma](#def-g7-areas-prism) $V = B \times h$ ( [Teorema 53.8](#thm-g7-areas-volume) ): ¿qué altura hay que tomar en una pila torcida, la longitud inclinada o la vertical? (Compara con el [Ejercicio 53.2](#exo-g7-areas-2) , una dimensión más arriba.)

**Parte III — Coronas, pizzas y el regreso del mago.**

11. un estanque circular de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ m está en el centro de un césped circular de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ m. Calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la corona de césped (exacta con $\pi$ y después redondeada al m $^2$ ).
12. halla el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) del único disco cuya [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) sea exactamente igual al [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de esa corona. (Los tres [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) que ya tienes forman un trío famoso, cuya historia se cuenta en el [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras) .)
13. ¿qué es más pizza: una pizza de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $40$ cm o dos pizzas de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $28$ cm? Calcula y compara;
14. para *duplicar* el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de una pizza, ¿por qué factor aproximado tiene que crecer su [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) ? Comprueba el candidato $1.4$ (recuerda que las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) siguen el *cuadrado* del factor de ampliación, [Problema 44.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/44-proporcionalidad-y-datos#pb-g6-propdata-1) ) y di dónde hace su entrada oficial el factor exacto — el número cuyo cuadrado es $2$ ( [Ejemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) ).
15. el mago vuelve: corta un cuadrado de $13 \times 13$ con los números $5$ , $8$ y $13$ haciendo los papeles que antes hacían $3$ , $5$ y $8$ , y monta un rectángulo de $8 \times 21$ . Calcula las dos [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) : ¿qué se esfuma esta vez? Los números $3, 5, 8, 13, 21$ son términos consecutivos de la sucesión del [Problema 47.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/47-fracciones-comparar-y-sumar#pb-g7-fractions-1) — enuncia el patrón de las ganancias y pérdidas del mago, y la moraleja: ¿por qué las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) no mienten nunca?

**Solución de Problema 53.1.**

**1.** Cuadrado: $8 \times 8 = 64$. Rectángulo: $5 \times 13 = 65$. Las mismas cuatro piezas parecen cubrir $64$ unidades cuadradas en una figura y $65$ en la otra: se ha creado una unidad de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la nada — supuestamente.

**2.** Cada triángulo: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$. Cada trapecio: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$.

**3.** $12 + 12 + 20 + 20 = 64$: las piezas suman $64$, así que pueden llenar exactamente el cuadrado — y *no* pueden llenar el rectángulo de $65$ unidades. El dibujo del rectángulo tiene que contener un hueco.

**4.** La misma inclinación significaría que $3$ en $8$ es proporcional a $2$ en $5$; [productos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) cruzados: $3 \times 5 = 15$ y $2 \times 8 = 16$. No son iguales: la hipotenusa y el borde inclinado *no* se alinean. La «diagonal» del rectángulo es mentira — dos pendientes ligeramente distintas que se juntan en un ángulo muy abierto.

**5.** A lo largo de la falsa diagonal, las cuatro piezas dejan un hueco larguísimo y finísimo — una astilla con forma de [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) muy achatado — cuya [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) es exactamente la unidad cuadrada que falta, $65 - 64 = 1$. Estirada a lo largo de una diagonal de unas $13$ unidades, su anchura media es de unas $1 \div 13 \approx 0.08$ unidades: en un dibujo real, más fina que el trazo de lápiz que la esconde.

**6.** Cada triángulo tiene base $6$ cm y altura $4$ cm — la distancia entre las [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp), esté donde esté el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) —, así que cada [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) es $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm$^2$ ([Teorema 53.3](#thm-g7-areas-triangle)). Deslizar el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) a lo largo de la paralela cambia la forma, nunca la base ni la altura: [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales para siempre.

**7.** La diagonal corta el trapecio en un triángulo de base $B$ y otro de base $b$, los dos de altura $h$ (la distancia entre los lados paralelos):

$$
A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2}
= \frac{(B + b) \times h}{2} .
$$

**8.** $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} =
28$ cm$^2$.

**9.** La media de los lados paralelos es $\frac{B + b}{2}$, así que (media) $\times h =
\frac{(B+b) \times h}{2}$: la misma fórmula, factorizada de otro modo. Comprobación: media $= \frac{9+5}{2} = 7$, y $7 \times 4 = 28$ cm$^2$.

**10.** La pila torcida contiene exactamente las mismas cartas — las mismas capas, cada una de la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) —, así que el mismo [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume). En $V = B \times h$, la altura hay que medirla *perpendicularmente* a la base (la altura vertical de la pila), no a lo largo de la inclinación: exactamente igual que el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) quiere la altura perpendicular y no el lado inclinado ([Ejercicio 53.2](#exo-g7-areas-2)), una dimensión más arriba.

**11.** Corona $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi -
9\pi = 16\pi \approx 50$ m$^2$ ([Teorema 53.5](#thm-g7-areas-disk)).

**12.** Un disco de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $16\pi$ tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$, ya que $\pi \times 4^2 = 16\pi$. Los [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$, $4$ y $5$: el trío más famoso de las matemáticas, protagonista del [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras).

**13.** Una pizza de $40$ cm: [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $20$ y [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm$^2$. Dos pizzas de $28$ cm: [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $14$ y, juntas, $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm$^2$. La pizza grande sola es *más* pizza que las dos medianas.

**14.** Multiplicar el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) por $1.4$ multiplica el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) por $1.4^2 = 1.96$ — casi el doble. El factor exacto es el número cuyo cuadrado es $2$, unos $1.414$: el número de la diagonal del [Ejemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal). (Regla práctica: una [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) más de anchura es casi el doble de pizza.)

**15.** $13 \times 13 = 169$, pero $8 \times 21 = 168$: esta vez *desaparece* una unidad cuadrada — las piezas se solapan en una astilla fina en vez de dejar un hueco. Con términos consecutivos $3, 5, 8, 13, 21$ de la sucesión de Hemachandra–Fibonacci, los [productos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) van alternando entre uno más y uno menos que el cuadrado ($5 \times 13 = 65 =
8^2 + 1$, y después $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$): el mago «gana» y «pierde» alternativamente una unidad. Las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) no mienten nunca: unas piezas que suman $64$ cubren $64$, las deslices como las deslices — toda unidad que falte o sobre se esconde en una astilla, esperando a que una comprobación de pendientes la delate.