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title: "Multiplicar números relativos"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 54
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos
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# Capítulo 54 — Multiplicar números relativos

El año pasado sumamos y restamos [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) ([Capítulo 46](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#ch-g7-negatives)); queda multiplicarlos y dividirlos. Una pregunta domina el capítulo: ¿por qué «menos por menos» tiene que ser más? Damos una razón, no solo una regla.

## 54.1 Las reglas de los signos

**Teorema 54.1 (Signo de un producto).**

El [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de dos [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) tiene una distancia al [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) igual al [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de las distancias, y su signo lo da:

| $\times$ | $+$ | $-$ |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |

*Signos iguales: [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) positivo. Signos opuestos: [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) negativo.* La misma tabla rige los [cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder).

**Por qué $(-1) \times (-1) = +1$.** Primero, $3 \times (-4)$ significa $(-4) + (-4) + (-4) = -12$: un positivo por un negativo es negativo. Ahora observa el patrón:

$$
3 \times (-4) = -12, \quad
2 \times (-4) = -8, \quad
1 \times (-4) = -4, \quad
0 \times (-4) = 0 .
$$

En cada paso, el primer factor baja $1$ y el resultado *sube* $4$. Continuando el patrón un paso más:

$$
(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .
$$

Cualquier otra elección rompería la regularidad de la aritmética (la distributividad). Así que menos por menos tiene que ser más. ∎

![El argumento del patrón en una imagen: los puntos (k,\ k × (-4)) están alineados, y prolongar la recta más allá de k = 0 obliga a (-1)×(-4) = +4 y (-2)×(-4) = +8.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-negprod/fig-364e71576001.svg)

*El argumento del patrón en una imagen: los puntos $(k,\ k \times (-4))$ están alineados, y prolongar la recta más allá de $k = 0$ obliga a $(-1)\times(-4) = +4$ y $(-2)\times(-4) = +8$.*

**Ejemplo 54.2.**

$$
\begin{align*}
(-7) \times (+6) &= -42 && \text{(signos opuestos)} \\
(-5) \times (-8) &= +40 && \text{(signos iguales)} \\
(+2.5) \times (-4) &= -10 \\
(-36) \div (-9) &= +4 \\
(+15) \div (-2) &= -7.5 .
\end{align*}
$$

## 54.2 Productos de varios factores

**Proposición 54.3 (Signo de un producto largo).**

El signo de un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de varios factores no nulos depende solo del número de factores negativos:

- un número *[par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* de factores negativos da un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) positivo;
- un número *[impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* da un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) negativo.

**Demostración.** Los factores negativos se emparejan y cada pareja aporta un signo positivo ([Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)); un recuento [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) deja un factor negativo sin pareja, que vuelve negativo todo el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def). ∎

**Ejemplo 54.4.**

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$: tres factores negativos ([impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)), así que el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es negativo; distancias: $2 \times 3 \times 5
\times 1 = 30$. Resultado: $-30$. Decide *primero* el signo y después multiplica las distancias — dos tareas fáciles en vez de una propensa a errores.

**Ejemplo 54.5 (Potencias de negativos).**

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$ y $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$: los exponentes [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) dan valores positivos y los [impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) conservan el signo. Cuidado con la notación: $(-3)^2 = 9$ pero $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.

## 54.3 Calcular con las cuatro operaciones

**Método 54.6 (Calcular con seguridad con números relativos).**

1. respeta la jerarquía del [Capítulo 45](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones#ch-g7-priorities) : paréntesis, después $\times$ y $\div$ , y después $+$ y $-$ ;
2. en cada multiplicación o división, halla *primero el signo* y después la distancia;
3. reescribe un paso por línea.

**Ejemplo 54.7.**

$$
\begin{align*}
5 - 3 \times (-4)
&= 5 - (-12) && \text{(primero el producto: signos opuestos)}\\
&= 5 + 12 = 17 .
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\frac{(-6) \times (-10)}{-4}
&= \frac{+60}{-4} && \text{(numerador: signos iguales)}\\
&= -15 && \text{(cociente: signos opuestos).}
\end{align*}
$$

**Ejemplo 54.8 (Sustituir valores negativos).**

Evalúa $E = 3x^2 - 2x$ para $x = -5$, con paréntesis alrededor del valor:

$$
E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5)
= 3 \times 25 - (-10)
= 75 + 10 = 85 .
$$

Los paréntesis de $(-5)^2$ son imprescindibles: sin ellos, el cuadrado se aplicaría solo al $5$.

## 54.4 Ejercicios

**Ejercicio 54.1 ★.**

Calcula:

$$
(-8) \times (+7), \qquad
(-9) \times (-6), \qquad
(+12) \times (-0.5), \qquad
(-1) \times (-1) \times (-1).
$$

**Solución de Ejercicio 54.1.**

$(-8) \times (+7) = -56$; $(-9) \times (-6) = +54$; $(+12) \times (-0.5) = -6$; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (tres factores negativos: [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Ejercicio 54.2 ★.**

Calcula:

$$
(-63) \div (+9), \qquad
(-8) \div (-16), \qquad
\frac{45}{-5}, \qquad
\frac{-7.2}{-8} .
$$

**Solución de Ejercicio 54.2.**

$(-63) \div (+9) = -7$; $(-8) \div (-16) = +0.5$; $\dfrac{45}{-5} = -9$; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$.

**Ejercicio 54.3 ★.**

Da solamente el *signo* de cada [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def), sin calcularlo:

$$
(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad
(-1)^{10}; \qquad
(-2)^{7}; \qquad
(-4) \times 0 \times (-6).
$$

**Solución de Ejercicio 54.3.**

Tres factores negativos: *negativo*. $(-1)^{10}$: diez factores negativos, [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *positivo* (vale $1$). $(-2)^7$: siete factores, [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *negativo*. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$: ni positivo ni negativo.

**Ejercicio 54.4 ★.**

Calcula:

$$
(-2)^4, \qquad
-2^4, \qquad
(-3)^3, \qquad
(-1)^{2026} .
$$

**Solución de Ejercicio 54.4.**

$(-2)^4 = +16$; $-2^4 = -16$ (el menos no se eleva al cuadrado); $(-3)^3 = -27$; $(-1)^{2026} = +1$ (exponente [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Ejercicio 54.5 ★.**

Calcula paso a paso, respetando la jerarquía:

$$
7 + 2 \times (-6), \qquad
(-4) \times (5 - 9), \qquad
18 \div (-3) - (-2) .
$$

**Solución de Ejercicio 54.5.**

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$.

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$.

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$.

**Ejercicio 54.6 ★.**

Calcula:

$$
\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad
\frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .
$$

**Solución de Ejercicio 54.6.**

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$.

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$.

**Ejercicio 54.7 ★.**

Evalúa para $x = -3$:

$$
5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .
$$

**Solución de Ejercicio 54.7.**

Para $x = -3$: $5x = -15$; $x^2 = (-3)^2 = 9$; $-x^2 = -9$; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$.

**Ejercicio 54.8 ★★.**

Completa cada igualdad:

$$
(-6) \times \;?\; = 42, \qquad
\;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad
(-5) \times \;?\; = -1 .
$$

**Solución de Ejercicio 54.8.**

$(-6) \times (-7) = 42$; $10 \div (-4) = -2.5$; $(-5) \times \frac15 = -1$, así que el número que falta es $+\frac15 = 0.2$.

**Ejercicio 54.9 ★★.**

¿Verdadero o falso? Justifícalo o da un contraejemplo.

1. el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de dos [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) es siempre al menos tan grande como su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) ;
2. el cuadrado de un [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) nunca es negativo;
3. si un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de tres factores es positivo, los tres factores son positivos.

**Solución de Ejercicio 54.9.**

*1. Falso*: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ es menor que $0.5 + 0.5 = 1$ (o bien: $2 \times 3 = 6 > 5$, pero la afirmación tendría que valer siempre).

*2. Verdadero*: un cuadrado es un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de dos números del mismo signo y, por tanto, positivo o [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero).

*3. Falso*: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ es positivo con dos factores negativos.

**Ejercicio 54.10 ★★.**

Cada respuesta incorrecta de un concurso cuenta $-3$ puntos y cada acierto, $+5$. Zoe respondió a $20$ preguntas y sacó $36$ puntos. ¿Cuántas respuestas fueron correctas? (Prueba valores o plantea el cálculo $5r - 3(20 - r) = 36$.)

**Solución de Ejercicio 54.10.**

Sea $r$ el número de aciertos; entonces $20 - r$ son fallos, y

$$
5r - 3(20 - r) = 36
\ \Longrightarrow\
5r - 60 + 3r = 36
\ \Longrightarrow\
8r = 96
\ \Longrightarrow\
r = 12 .
$$

Doce aciertos (y ocho fallos: comprobación, $60 - 24 = 36$).

**Ejercicio 54.11 ★★★.**

Usando la distributividad (como en la demostración del [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)), desarrolla y justifica cada paso de

$$
0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),
$$

y concluye que $(-1) \times (-1)$ tiene que valer $+1$.

**Solución de Ejercicio 54.11.**

[Cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) por cualquier cosa es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero), así que $(-1) \times 0 = 0$. Escribiendo $0 = 1 + (-1)$ y distribuyendo:

$$
0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
= -1 + (-1) \times (-1).
$$

El número $(-1) \times (-1)$ sumado a $-1$ da $0$: tiene que ser el opuesto de $-1$, es decir, $+1$. La distributividad no deja otra opción.

## 54.5 Problema: Por qué menos por menos es más

**Problema 54.1.**

Problema de fin de semana — las reglas de los signos deducidas de la distributividad y la suma alternada $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

La demostración del [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules) continuaba un patrón y afirmaba que «cualquier otra elección rompería la distributividad». Este problema hace exacta esa afirmación: partiendo solo de la distributividad ([Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones#thm-g7-priorities-distributivity)), *demostrarás* las reglas de los signos — sin dibujos ni patrones, como lo hace el álgebra — y después las pondrás a trabajar con las potencias de $-1$ y con una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) famosa de signos alternados. En todo momento, $a$ y $b$ son [números relativos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def); damos por sabidas las reglas de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) del [Capítulo 46](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#ch-g7-negatives), que $1 \times a = a$ y que un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) se puede calcular en cualquier orden (así que la distributividad se aplica por los dos lados de un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def)).

**Parte I — Las reglas de los signos son teoremas.**

1. demuestra que $0 \times a = 0$ para todo [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) $a$ . (Escribe $0 = 0 + 0$ , desarrolla $(0 + 0) \times a$ y pregúntate qué número, sumado a $0 \times a$ , devuelve $0 \times a$ .)
2. desarrolla $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ para mostrar que $(-1) \times a + a = 0$, y concluye que $$(-1) \times a = -a :$$ multiplicar por $-1$ da el opuesto. Compáralo con el [Ejercicio 54.11](#exo-g8-negprod-11), que es el caso $a = -1$;
3. deduce que $(-a) \times b = -(a \times b)$ : un signo menos sale intacto de un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) ;
4. deduce que $(-a) \times (-b) = a \times b$ : dos signos menos se cancelan;
5. todo [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) es su distancia al [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) con un signo delante: $a = +d$ o $a = -d$ . Explica cómo las preguntas 3 y 4 demuestran los cuatro casos de la tabla de signos del [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules) , distancias incluidas.

**Parte II — Las potencias de $-1$.**

6. calcula $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ y $(-1)^5$ , y da después, justificándolo con la [Proposición 54.3](#prop-g8-negprod-many) , el valor de $(-1)^n$ para todo número entero $n \geq 1$ ;
7. da (sin calcular ninguna distancia) el signo de $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$ y escribe la distancia de ese [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) como un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de números enteros, sin desarrollarlo;
8. demuestra que $(-a)^2 = a^2$ y que $(-a)^3 = -a^3$ . ¿Para qué exponentes sobrevive el signo menos?
9. usa las reglas de los signos para mostrar que el cuadrado de un [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) nunca es negativo, y deduce que ningún [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) $x$ cumple $x^2 = -4$ ;
10. Zoe afirma: « $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ y, más en general, dos potencias consecutivas de $-1$ siempre se cancelan». ¿Tiene razón? Justifícalo.

**Parte III — La [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) alternada.** Con las reglas de los signos aseguradas, podemos calcular [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) que mezclan los dos signos. Para un número entero $n \geq 1$, sea

$$
A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots
$$

la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los números enteros de $1$ a $n$ con signos alternados: el último término es $+n$ si $n$ es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y $-n$ si $n$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Así, $A_1 = 1$ y $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. calcula $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ y $A_7$ . ¿Qué conjeturas?
12. supón que $n$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Agrupa los términos de dos en dos, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , cuenta las parejas y demuestra que $A_n = -\frac{n}{2}$ .
13. supón que $n$ es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Explica por qué $A_n = A_{n-1} + n$ y deduce de la pregunta anterior que $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
14. calcula $A_{100}$ , $A_{101}$ y $A_{2026}$ ;
15. Alma calculó $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ y le sorprendió obtener exactamente $101$ . ¿Debería haberle sorprendido? Explícalo en una frase y di el valor de $A_{2027} - A_{2026}$ sin ningún cálculo más.

**Solución de Problema 54.1.**

**1.** Como $0 = 0 + 0$, la distributividad ([Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones#thm-g7-priorities-distributivity)) da

$$
0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .
$$

Así que sumar $0 \times a$ a sí mismo no cambia nada — y el único número que se puede sumar sin cambiar nada es $0$. (Directamente: resta $0 \times a$ en los dos miembros.) Luego $0 \times a = 0$.

**2.** Desarrollando y usando después $1 + (-1) = 0$ y la pregunta 1:

$$
a + (-1) \times a
= 1 \times a + (-1) \times a
= \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a
= 0 \times a = 0 .
$$

Así que $(-1) \times a$ es el número que, sumado a $a$, da $0$: es exactamente el opuesto de $a$, y $(-1) \times a = -a$. El [Ejercicio 54.11](#exo-g8-negprod-11) es el caso particular $a = -1$: allí, $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$.

**3.** Escribe $-a = (-1) \times a$ (pregunta 2) y reagrupa los factores:

$$
(-a) \times b
= \bigl((-1) \times a\bigr) \times b
= (-1) \times (a \times b)
= -(a \times b) .
$$

**4.** Aplica dos veces la pregunta 3 (una por cada factor):

$$
(-a) \times (-b)
= -\bigl(a \times (-b)\bigr)
= -\bigl(-(a \times b)\bigr)
= a \times b ,
$$

ya que el opuesto del opuesto de un número es el propio número.

**5.** Escribe $a = +d$ o $a = -d$ y $b = +e$ o $b = -e$, donde $d$ y $e$ son las distancias al [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero). Los cuatro casos:

$$
(+d) \times (+e) = de, \quad
(+d) \times (-e) = -de, \quad
(-d) \times (+e) = -de, \quad
(-d) \times (-e) = +de,
$$

los dos del medio por la pregunta 3 y el último por la pregunta 4. En todos los casos, la distancia del resultado es $d \times e$, el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de las distancias, y el signo es el que anuncia la tabla del [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules): signos iguales, positivo; signos opuestos, negativo.

**6.** $(-1)^2 = +1$, $(-1)^3 = -1$, $(-1)^4 = +1$, $(-1)^5 = -1$. En general, $(-1)^n$ es un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de $n$ factores negativos, cada uno de distancia $1$: por la [Proposición 54.3](#prop-g8-negprod-many) vale $+1$ cuando $n$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y $-1$ cuando $n$ es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**7.** Hay diez factores negativos — un [número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) —, así que el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es *positivo* ([Proposición 54.3](#prop-g8-negprod-many)). Su distancia es $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$.

**8.** Por la pregunta 4, $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a =
a^2$. Y después, por la pregunta 3,

$$
(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a)
= -a^3 .
$$

El signo menos desaparece con los exponentes [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y sobrevive con los [impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), de acuerdo con el [Ejemplo 54.5](#ex-g8-negprod-powers).

**9.** Si $a = 0$, entonces $a^2 = 0$. Si no, $a$ y $a$ tienen el *mismo* signo, así que $a^2 = a \times a$ es positivo ([Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)). Un cuadrado no es, pues, nunca negativo; como $-4$ es negativo, ningún [número relativo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos#def-g7-negatives-def) $x$ cumple $x^2 = -4$.

**10.** Zoe tiene razón. Los exponentes $2026$ y $2027$ tienen paridades opuestas, así que $(-1)^{2026} = +1$ y $(-1)^{2027} = -1$, que suman $0$. En general, de dos exponentes consecutivos uno es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y el otro [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), así que las dos potencias son $+1$ y $-1$ en algún orden: números opuestos, cuya [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es siempre $0$.

**11.** $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$, después $A_4 = A_3 - 4 = -2$, $A_5 = A_4 + 5 = 3$, $A_6 = A_5 - 6 = -3$, $A_7 = A_6 + 7 = 4$. Conjetura: $A_n = -\frac{n}{2}$ para $n$ [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y $A_n = \frac{n+1}{2}$ para $n$ [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**12.** Para $n$ [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), los términos se emparejan por completo:

$$
A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),
$$

y cada pareja vale $-1$. Hay $\frac{n}{2}$ parejas (dos términos por pareja y $n$ términos en total), así que $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$.

**13.** Para $n$ [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $A_n$ es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $A_{n-1}$ de los $n - 1$ primeros términos más el último, que es $+n$ porque $n$ es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Como $n - 1$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), la pregunta 12 da

$$
A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n
= \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .
$$

**14.** $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$, $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$, $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$.

**15.** Ninguna sorpresa: pasar de $A_{100}$ a $A_{101}$ añade exactamente un término, $+101$, así que la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) tenía que ser $101$. Por la misma razón, $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — sin calcular $A_{2027}$ en absoluto.