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title: "Fracciones: las cuatro operaciones"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 55
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/55-fracciones-las-cuatro-operaciones
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# Capítulo 55 — Fracciones: las cuatro operaciones

Este capítulo completa la aritmética de las fracciones: la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) y la resta con *cualesquiera* [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def), la multiplicación y — la recién llegada — la división, que resulta ser una multiplicación disfrazada. Los signos del [Capítulo 54](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#ch-g8-negprod) vienen de acompañantes.

## 55.1 Sumar con denominadores cualesquiera

**Método 55.1 (Denominador común).**

Para sumar o restar $\frac ab$ y $\frac cd$:

1. busca un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) común de $b$ y $d$ (el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) $b \times d$ vale siempre; uno más pequeño ahorra trabajo);
2. reescribe las dos fracciones con ese [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) ;
3. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) o resta los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y simplifica.

**Ejemplo 55.2.**

Calcula $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$. Un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) común de $6$ y $4$ es $12$:

$$
\frac{5}{6} = \frac{10}{12},
\qquad
\frac{3}{4} = \frac{9}{12},
\qquad
\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.
$$

Con signos: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} -
\dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$.

## 55.2 Multiplicar fracciones

**Teorema 55.3 (Producto de fracciones).**

$$
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .
$$

**Por qué, con un dibujo.** Toma $\frac34$ de $\frac25$ de un cuadrado: corta el cuadrado en $5$ franjas verticales y quédate con $2$; corta en horizontal en $4$ y quédate con $3$ filas de lo que quedaba. La parte conservada es una rejilla de $3 \times 2$ casillas pequeñas de $4 \times 5$: la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) $\frac{6}{20}$. ∎

![3/4 × 2/5: la región doblemente sombreada tiene 3 × 2 = 6 casillas de 4 × 5 = 20, es decir, 6/20 = 3/10 — numeradores multiplicados y denominadores multiplicados.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-fractions/fig-0732cfe03f7e.svg)

*$\frac34 \times \frac25$: la región doblemente sombreada tiene $3 \times 2 = 6$ casillas de $4 \times 5 = 20$, es decir, $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) multiplicados y [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) multiplicados.*

**Ejemplo 55.4.**

Simplifica *antes* de multiplicar, tachando factores comunes:

$$
\frac{7}{12} \times \frac{9}{14}
= \frac{7 \times 9}{12 \times 14}
= \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7}
= \frac{3}{8}
$$

(el factor $7$ y un factor $3$ se cancelan entre arriba y abajo). Con signos, se aplican primero las reglas del [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#thm-g8-negprod-rules): $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) =
+\frac{10}{12} = \frac56$.

## 55.3 Dividir fracciones

**Definición 55.5 (Inverso).**

El *inverso* de un número $x$ no nulo es el número que, multiplicado por $x$, da $1$. El inverso de $\frac ab$ es $\frac ba$, ya que $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$; el inverso de un entero $n$ es $\frac1n$.

**Teorema 55.6 (Dividir es multiplicar por el inverso).**

Para $c \neq 0$:

$$
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .
$$

**Demostración.** Por definición, el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $q$ de $\frac ab$ entre $\frac cd$ es el número tal que $q \times \frac cd = \frac ab$. Comprobemos el candidato $q = \frac ab \times \frac dc$:

$$
\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd
= \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right)
= \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere
$$

∎

**Ejemplo 55.7.**

$$
\frac{3}{5} \div \frac{7}{10}
= \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}
= \frac{3 \times 10}{5 \times 7}
= \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.
$$

Una comprobación de sentido común: dividir entre $\frac{7}{10}$, un número menor que $1$, tiene que dar un resultado *mayor* que $\frac35$ — y $\frac67 > \frac35$, en efecto ($\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$).

**Ejemplo 55.8 (Barras de fracción dentro de barras de fracción).**

Un «piso doble» no es más que una división escrita en vertical:

$$
\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ }
= \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}
= \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}
= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.
$$

Localiza primero la barra *principal* (la más larga) y aplica después el [Teorema 55.6](#thm-g8-fractions-div).

**Método 55.9 (Cálculos mixtos).**

En una expresión que mezcla fracciones y las cuatro operaciones:

1. aplica la jerarquía habitual ( [Capítulo 45](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones#ch-g7-priorities) );
2. convierte cada división en una multiplicación por el [inverso](#def-g8-fractions-inverse) ;
3. decide primero los signos ( [Método 54.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#met-g8-negprod-compute) ) y después multiplica o busca [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) comunes;
4. simplifica en cuanto puedas.

**Ejemplo 55.10.**

$$
\begin{align*}
\frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}
&= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4}
&& \text{(¡primero el producto!)} \\
&= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32
= \frac{4}{2} = 2 .
\end{align*}
$$

## 55.4 Ejercicios

**Ejercicio 55.1 ★.**

Calcula y simplifica:

$$
\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad
\frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad
\frac{7}{10} + \frac{8}{15} .
$$

**Solución de Ejercicio 55.1.**

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} =
\dfrac{23}{20}$.

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} =
\dfrac{11}{24}$.

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} =
\dfrac{37}{30}$.

**Ejercicio 55.2 ★.**

Calcula (primero los signos):

$$
-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad
\frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad
-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .
$$

**Solución de Ejercicio 55.2.**

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} =
-\dfrac{1}{14}$.

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} =
-\dfrac{13}{12}$.

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} =
-\dfrac{11}{10}$.

**Ejercicio 55.3 ★.**

Calcula, simplificando antes de multiplicar:

$$
\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad
\frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad
\left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .
$$

**Solución de Ejercicio 55.3.**

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15}
= \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (simplificando por $5$ y por $4$).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3}
= \dfrac{3}{2}$ (simplificando por $7$ y por $3$).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45}
= -\dfrac43$ (signos opuestos: negativo).

**Ejercicio 55.4 ★.**

Da el [inverso](#def-g8-fractions-inverse) de: $\dfrac{3}{7}$; $5$; $\dfrac{1}{4}$; $-\dfrac{2}{9}$.

**Solución de Ejercicio 55.4.**

[Inversos](#def-g8-fractions-inverse): $\dfrac73$; $\dfrac15$; $4$; $-\dfrac92$ (el [inverso](#def-g8-fractions-inverse) conserva el signo).

**Ejercicio 55.5 ★.**

Calcula:

$$
\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad
\frac{7}{5} \div 14, \qquad
6 \div \frac{3}{4} .
$$

**Solución de Ejercicio 55.5.**

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18}
= \dfrac23$.

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70}
= \dfrac{1}{10}$.

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$.

**Ejercicio 55.6 ★.**

Calcula los pisos dobles:

$$
\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ },
\qquad
\frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ },
\qquad
\frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .
$$

**Solución de Ejercicio 55.6.**

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} =
\dfrac23$.

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} =
\dfrac{1}{12}$.

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$.

**Ejercicio 55.7 ★.**

Calcula respetando la jerarquía:

$$
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5},
\qquad
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .
$$

**Solución de Ejercicio 55.7.**

Primero el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def): $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10}
= \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$.

Primero los paréntesis: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45
= \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$.

**Ejercicio 55.8 ★★.**

Un depósito está lleno hasta $\frac{2}{5}$. Se añade $\frac{1}{3}$ *de la [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units) del depósito*. ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) del depósito está llena ahora? ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) sigue vacía?

**Solución de Ejercicio 55.8.**

Lleno: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} =
\dfrac{11}{15}$ del depósito. Vacío: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.

**Ejercicio 55.9 ★★.**

Tres [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de los alumnos de una clase aprobaron un examen; de ellos, dos tercios sacaron más de $14$ sobre $20$. ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) de la clase sacó más de $14$? Si eso son $12$ alumnos, ¿cuántos alumnos tiene la clase?

**Solución de Ejercicio 55.9.**

[Fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) con más de $14$: $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ de la clase. Si eso son $12$ alumnos, la clase tiene $24$ alumnos.

**Ejercicio 55.10 ★★.**

Una cuerda de $\frac{15}{2}$ m se tiene que cortar en trozos de $\frac{3}{4}$ m cada uno. ¿Cuántos trozos salen? (Una división de fracciones — comprueba que la respuesta es un número entero.)

**Solución de Ejercicio 55.10.**

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43
= \dfrac{60}{6} = 10$ trozos — un número entero, sin desperdiciar cuerda.

**Ejercicio 55.11 ★★.**

Calcula

$$
E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9},
\qquad
F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .
$$

**Solución de Ejercicio 55.11.**

$E$: primero la división: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10}
= \dfrac{45}{60} = \dfrac34$; después, $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} =
-\dfrac{1}{12}$.

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times
\dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (el cuadrado es positivo).

**Ejercicio 55.12 ★★★.**

Simplifica la expresión

$$
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}
$$

(empieza por la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) más interior y ve hacia fuera, una barra cada vez).

**Solución de Ejercicio 55.12.**

De dentro hacia fuera: $1 + 1 = 2$; después $1 + \dfrac12 = \dfrac32$; después,

$$
1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .
$$

## 55.5 Problema: Las fracciones egipcias

**Problema 55.1.**

Problema de fin de semana — toda fracción es una suma de fracciones unitarias distintas

Una *[fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria* es una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) de [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $1$. Los escribas del antiguo Egipto — el papiro Rhind se copió hacia el $1550$ a. C. — escribían toda [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) como [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de fracciones unitarias *distintas*: nunca $\frac27 = \frac17 + \frac17$, sino $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$. Una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) así se llama una *escritura egipcia* de la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def). Este problema convierte las técnicas de [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) y comparación de este capítulo ([Método 55.1](#met-g8-fractions-add)) en un método — publicado por Fibonacci en $1202$ — que produce una escritura egipcia de cualquier [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) entre $0$ y $1$, y termina con un célebre problema de herencia.

**Parte I — Fracciones unitarias y la identidad de partición.**

1. calcula $\frac12 + \frac13$ y $\frac12 + \frac14$ , y deduce escrituras egipcias de $\frac56$ y $\frac34$ ;
2. verifica la entrada de los escribas para $\frac27$ : muestra que $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
3. comprueba que $\frac13 + \frac16 = \frac12$ y que $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$. Demuestra después la *identidad de partición*: para todo número entero $n \geq 1$, $$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$$
4. deduce una escritura egipcia del propio $1$ , como [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de tres fracciones unitarias distintas;
5. parte el último término de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ para obtener una *segunda* escritura egipcia de $\frac56$ , con tres fracciones unitarias. Explica por qué ninguna [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) tiene una escritura egipcia única.

**Parte II — El método voraz de Fibonacci.** El método es: resta la *mayor* [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria que quepa y repite con lo que quede.

6. usando [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) comunes, muestra que $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . ¿Por qué demuestra esto que $\frac14$ es la mayor [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria menor que $\frac27$ ?
7. calcula $\frac27 - \frac14$ . ¿Qué escritura de $\frac27$ produce el método voraz?
8. toma ahora $\frac57$ . Muestra que la mayor [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria menor que $\frac57$ es $\frac12$ , y calcula $\frac57 - \frac12$ .
9. muestra que la mayor [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria menor que $\frac{3}{14}$ es $\frac15$ (compara $\frac{3}{14}$ con $\frac14$ y con $\frac15$), calcula $\frac{3}{14} - \frac15$ y concluye: $$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$$ Verifica esta escritura directamente con el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $70$.
10. aplica el método voraz a $\frac45$ , comprobando en cada paso que tu [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria es la mayor que cabe, y verifica la escritura final.

**Parte III — Por qué el método siempre se para y el decimoctavo camello.**

11. en las preguntas 7–10 el método se aplicó a $\frac27$ , $\frac57$ y $\frac45$ . Para cada una, enumera los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) de los [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sucesivos (antes de simplificar). ¿Qué observas?
12. para una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ y un número entero $n$, demuestra que $$\frac{a}{b} - \frac{1}{n}  = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$$
13. supón que el método voraz resta $\frac1n$ de $\frac ab$: entonces $\frac1n$ cabe pero $\frac{1}{n-1}$ ya es demasiado grande, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$. Poniendo los dos sobre el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $b \times (n - 1)$, deduce que $b > a \times n - a$ y, por tanto, que el nuevo [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) cumple $$a \times n - b < a .$$ Explica por qué esto demuestra que el método siempre se para.
14. un cuento antiguo: un padre muere dejando $17$ camellos y lega $\frac12$ del rebaño a su hijo mayor, $\frac13$ al segundo y $\frac19$ al tercero — y ninguna de las partes es un número entero de camellos. Un vecino presta a la familia un decimoctavo camello; los hijos se llevan $9$ , $6$ y $2$ camellos y el camello prestado se devuelve. Calcula $\frac12 + \frac13 + \frac19$ y explica el truco: ¿por qué se pudo repartir el rebaño en camellos enteros y por qué ningún hijo recibió menos de lo que prometía el testamento?
15. repara el testamento: propón tres fracciones unitarias *distintas* que sumen exactamente $1$ y da el menor rebaño para el que las tres partes sean un número entero de camellos.

**Solución de Problema 55.1.**

**1.** $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ y $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. Así que $\frac56 = \frac12 + \frac13$ y $\frac34 = \frac12 + \frac14$ son escrituras egipcias (con fracciones unitarias distintas en cada una).

**2.** Con el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $28$:

$$
\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28}
= \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .
$$

**3.** $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 =
\frac12$, and $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} +
\frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$. En general, el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común de $\frac{1}{n+1}$ y $\frac{1}{n(n+1)}$ es $n(n+1)$:

$$
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n+1}{n(n+1)}
= \frac{1}{n} .
$$

**4.** Parte de $1 = \frac12 + \frac12$ y parte la segunda [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) con la pregunta 3:

$$
1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,
$$

tres fracciones unitarias distintas.

**5.** Partiendo el $\frac13$ de $\frac56 = \frac12 +
\frac13$ se obtiene

$$
\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .
$$

Ninguna escritura egipcia es única: la identidad de partición puede sustituir siempre la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria de [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) mayor por dos fracciones unitarias nuevas y aún más pequeñas — así que de cualquier escritura se fabrica otra.

**6.** Con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $21$: $\frac27 = \frac{6}{21} <
\frac{7}{21} = \frac13$. Con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac14 =
\frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. Las fracciones unitarias menguan a medida que crecen sus [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def), $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 >
\dots$; como $\frac13$ (y todo lo que está por encima) es demasiado grande y $\frac14$ cabe, $\frac14$ es la mayor [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria menor que $\frac27$.

**7.** $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} =
\frac{1}{28}$: el método voraz produce $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$, exactamente la entrada de los escribas de la pregunta 2.

**8.** Con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $14$: $\frac12 = \frac{7}{14} <
\frac{10}{14} = \frac57$, mientras que la única [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria mayor, $1$, supera $\frac57$. Así que $\frac12$ es la mayor que cabe, y

$$
\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .
$$

**9.** Con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} <
\frac{7}{28} = \frac14$, así que $\frac14$ es demasiado grande. Con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $70$: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} =
\frac{3}{14}$, así que $\frac15$ cabe: es la mayor [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria menor que $\frac{3}{14}$. Entonces,

$$
\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70}
= \frac{1}{70},
\qquad\text{de donde}\qquad
\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .
$$

Comprobación: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} =
\frac{50}{70} = \frac57$.

**10.** Primer paso: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} =
\frac45$ y $1 > \frac45$, así que resta $\frac12$: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. Segundo paso: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} =
\frac{3}{10}$ es demasiado grande, y $\frac14 = \frac{5}{20} <
\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ cabe, así que resta $\frac14$: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} =
\frac{1}{20}$. Conclusión:

$$
\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20},
\qquad
\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}
= \frac45 . \checkmark
$$

**11.** Los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) de los [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sucesivos son: para $\frac27$: $2$ y después $1$; para $\frac57$: $5$, después $3$ y después $1$; para $\frac45$: $4$, después $3$ y después $1$. Cada lista es *estrictamente decreciente*.

**12.** El [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común de $\frac ab$ y $\frac1n$ es $b \times n$:

$$
\frac{a}{b} - \frac{1}{n}
= \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n}
= \frac{a \times n - b}{b \times n} .
$$

**13.** Sobre el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $b \times (n-1)$, la desigualdad $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ compara los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $b$ y $a \times (n - 1)$:

$$
b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,
$$

y sumar $a - b$ a los dos miembros da $a > a \times n - b$. Así que, después de cada paso voraz, el [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) del [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) (pregunta 12) es un número entero estrictamente menor que el anterior. Los números enteros no pueden decrecer estrictamente para siempre: al cabo de como mucho $a$ pasos, el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) tiene [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $1$ — una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) unitaria — o es $0$, y el método se para.

**14.** Con el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $18$:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac19
= \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}
= \frac{17}{18} ,
$$

que es *menor que* $1$: el testamento se olvidó $\frac{1}{18}$ del rebaño. Ese hueco es todo el truco. De $18$ camellos, las partes $\frac12$, $\frac13$ y $\frac19$ son los números enteros $9$, $6$ y $2$, que suman $9 + 6 + 2 = 17$: exactamente el rebaño, y el decimoctavo camello se vuelve a casa. Y nadie puede quejarse: el testamento prometía, de $17$ camellos, $\frac{17}{2} = 8.5$, luego $\frac{17}{3} \approx 5.67$ y luego $\frac{17}{9} \approx 1.89$ camellos, y cada hijo recibió estrictamente más ($9$, $6$ y $2$). El $\frac{1}{18}$ olvidado es lo que el camello del vecino llenó temporalmente.

**15.** La pregunta 4 proporciona el testamento reparado:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .
$$

Las partes son números enteros cuando el tamaño del rebaño es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $2$, entre $3$ y entre $6$ — es decir, [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $6$. El rebaño más pequeño así es de $6$ camellos: partes $3$, $2$ y $1$, y no sobra nada.