--- title: "Las potencias" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 56 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias --- # Capítulo 56 — Las potencias Dobla una hoja de papel por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) $10$ veces (¡si puedes!): su grosor se duplica cada vez, y $10$ duplicaciones lo multiplican por $2^{10} = 1024$. Las potencias son la abreviatura de la multiplicación repetida; este capítulo monta la notación y sus reglas, con un papel especial para las potencias de $10$. ## 56.1 Definición **Definición 56.1 (Potencia).** Para un número $a$ y un número entero $n \geq 1$: $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factores}}, $$ que se lee «$a$ elevado a $n$»; $a$ es la *base* y $n$, el *exponente*. Nombres especiales: $a^2$ es «$a$ al cuadrado» y $a^3$, «$a$ al cubo». Por convenio: $$ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **Ejemplo 56.2.** $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$; $10^3 = 1000$; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$; $(-2)^3 = -8$ y $(-2)^4 = +16$ ([Ejemplo 54.5](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#ex-g8-negprod-powers)). Cuidado: $a^n$ *no* es $a \times n$: $2^5 = 32$, no $10$. ![Potencias de 2: cada barra es el doble de la anterior. El crecimiento por multiplicación repetida se dispara mucho más deprisa que el crecimiento por suma repetida.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-powers/fig-73c0637d8084.svg) *Potencias de $2$: cada barra es el doble de la anterior. El crecimiento por multiplicación repetida se dispara mucho más deprisa que el crecimiento por [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) repetida.* ## 56.2 Las reglas de los exponentes **Teorema 56.3 (Reglas de los exponentes).** Para una base $a$ no nula y [exponentes](#def-g8-powers-def) enteros $m$ y $n$: $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **Demostración contando factores.** $a^m \times a^n$ pone en fila $m$ factores $a$ seguidos de $n$ más: $m + n$ en total. $\left(a^m\right)^n$ repite un bloque de $m$ factores $n$ veces: $mn$ factores. $(ab)^n$ contiene $n$ letras $a$ y $n$ letras $b$, que se pueden reagrupar. La regla del [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sale de cancelar $n$ de los $m$ factores; con los convenios $a^0 = 1$ y $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, sigue siendo cierta incluso cuando $n \geq m$. ∎ **Ejemplo 56.4.** $$ 2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 . $$ Una trampa: las reglas se aplican a una *base común* (o a un [exponente](#def-g8-powers-def) común, en la última). Ninguna regla simplifica $2^3 \times 5^2$ — hay que calcular: $8 \times 25 = 200$. ## 56.3 Las potencias de diez **Proposición 56.5 (Potencias de diez).** Para $n \geq 1$: $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$ y $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$. Las reglas de los [exponentes](#def-g8-powers-def) dicen: multiplicar potencias de diez [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) los [exponentes](#def-g8-powers-def). **Ejemplo 56.6.** $10^4 \times 10^3 = 10^7$; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$. Las cantidades grandes y pequeñas se vuelven legibles: $$ \text{mil millones} = 10^9, \qquad \text{una millonésima} = 10^{-6}. $$ Combinadas con decimales: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ y $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (desplaza el [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point), [Proposición 38.7](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#prop-g6-decimals-shift)). El uso sistemático de esta escritura — la *notación científica* — se desarrolla en el [Capítulo 63](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#ch-g9-fractions). **Ejemplo 56.7 (Órdenes de magnitud).** La luz viaja a unos $3 \times 10^8$ m/s; un año tiene unos $3.2 \times 10^7$ segundos. Un año luz es, por tanto, de unos $$ 3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m} $$ — diez millones de miles de millones de metros. Las potencias de diez hacen que los cálculos astronómicos quepan en una línea. **Método 56.8 (Simplificar una expresión con potencias).** 1. agrupa los factores base por base; 2. aplica las reglas de los [exponentes](#def-g8-powers-def) dentro de cada base; 3. calcula las potencias pequeñas que queden, o deja la respuesta como potencia si es grande. **Ejemplo 56.9.** $$ \frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 . $$ ## 56.4 Ejercicios **Ejercicio 56.1 ★.** Calcula: $$ 2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 . $$ **Solución de Ejercicio 56.1.** $2^6 = 64$; $3^3 = 27$; $10^5 = 100\,000$; $1^{100} = 1$; $0.1^2 = 0.01$; $6^0 = 1$. **Ejercicio 56.2 ★.** Calcula: $$ (-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 . $$ **Solución de Ejercicio 56.2.** $(-3)^2 = 9$; $-3^2 = -9$; $(-1)^{15} = -1$; $(-5)^3 = -125$; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$. **Ejercicio 56.3 ★.** Escribe como una sola potencia: $$ 7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 . $$ **Solución de Ejercicio 56.3.** $7^4 \times 7^5 = 7^9$; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (mismo [exponente](#def-g8-powers-def): se multiplican las bases). **Ejercicio 56.4 ★.** Escribe como [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-places): $10^{-2}$; $4 \times 10^3$; $2.5 \times 10^{-4}$; $10^0$. **Solución de Ejercicio 56.4.** $10^{-2} = 0.01$; $4 \times 10^3 = 4000$; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$; $10^0 = 1$. **Ejercicio 56.5 ★.** Escribe con una potencia de diez: cien mil; una décima; diez mil millones; $0.000\,001$. **Solución de Ejercicio 56.5.** $10^5$; $10^{-1}$; $10^{10}$; $10^{-6}$. **Ejercicio 56.6 ★.** Simplifica y calcula después: $$ \frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} . $$ **Solución de Ejercicio 56.6.** $\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$. $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$. $\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$. **Ejercicio 56.7 ★.** ¿Verdadero o falso? Corrige las falsas. $$ 2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 . $$ **Solución de Ejercicio 56.7.** $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$: *falso* — los [exponentes](#def-g8-powers-def) se suman: $2^7$. $5^2 + 5^3 = 5^5$: *falso* — no hay regla para las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def): $25 + 125 = 150$, mientras que $5^5 = 3125$. $(3^2)^4 = 3^8$: *verdadero*. $10^3 \times 10^3 = 100^3$: *verdadero* — los dos valen $10^6$ (izquierda: $10^{3+3}$; derecha: $(10^2)^3$). **Ejercicio 56.8 ★★.** Un rumor se propaga: el día 1 lo conocen tres personas; cada día, cada persona que lo conoce se lo cuenta a tres personas nuevas. Escribe con una potencia el número de personas *nuevas* informadas el día $4$ y calcula cuántas personas conocen el rumor al final del día 4 (incluidas las tres iniciales). **Solución de Ejercicio 56.8.** Personas nuevas el día $4$: cada una de las $3^3 = 27$ personas informadas el día 3 se lo cuenta a otras tres: $3^4 = 81$. Lo conocen al final del día 4: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ personas. **Ejercicio 56.9 ★★.** Una hoja de papel tiene $0.1$ mm de grosor, es decir, $10^{-4}$ m. Doblarla duplica su grosor cada vez. 1. expresa el grosor tras $10$ dobleces como un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) y calcúlalo en centímetros ( $2^{10} = 1024$ ); 2. tras $42$ dobleces el grosor sería $2^{42} \times 10^{-4}$ m, con $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . Muestra que eso supera la distancia Tierra–Luna, de unos $3.8 \times 10^8$ m. **Solución de Ejercicio 56.9.** *1.* Grosor: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm. *2.* $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, mayor que $3.8 \times 10^8$ m: tras $42$ dobleces (¡teóricos!), el fajo de papel pasaría de la Luna. **Ejercicio 56.10 ★★.** Ordena de menor a mayor, sin calculadora: $$ 2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 . $$ (Calcula cada uno; $2^{10}$ y $10^3$ son vecinos famosos.) **Solución de Ejercicio 56.10.** $2^{10} = 1024$; $10^3 = 1000$; $3^6 = 729$; $5^4 = 625$. Orden: $$ 5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} . $$ **Ejercicio 56.11 ★★★.** ¿Cuál es mayor, $2^{100}$ o $10^{30}$? Usa $2^{10} = 1024 > 10^3$ para comparar $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ con $\left(10^3\right)^{10}$. **Solución de Ejercicio 56.11.** $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ y $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$. Como $1024 > 1000$, multiplicar diez copias de cada uno conserva la desigualdad: $2^{100} > 10^{30}$. ## 56.5 Problema: El tablero de ajedrez y las potencias de dos **Problema 56.1.** Problema de fin de semana — la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) geométrica $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$, de una leyenda famosa a los números binarios La leyenda: como recompensa por inventar el ajedrez, el sabio Sissa pidió a su rey un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera — duplicando de casilla en casilla, hasta la sexagésima cuarta. El rey se rio de tanta modestia. Este problema calcula lo que prometió el rey usando las reglas de los [exponentes](#def-g8-powers-def) del [Teorema 56.3](#thm-g8-powers-rules), y termina donde lleva en secreto la historia: los números binarios que hay dentro de todo ordenador. **Parte I — El truco de la duplicación.** Para $n \geq 1$, sea $S_n$ el número total de granos de las primeras $n$ casillas. 1. expresa el número de granos de la casilla $k$ como potencia de $2$ . ¿Qué potencia hay en la casilla $64$ ? 2. calcula $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ y $S_5$ , y compara cada uno con una potencia de $2$ cercana. Conjetura una fórmula para $S_n$ . 3. el *truco de la duplicación*: escribe las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $S_n$ y $2 \times S_n$ una debajo de la otra, resta y demuestra tu conjetura: $$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$$ 4. ¿cuántos granos prometió el rey en total? Expresa la respuesta con una potencia de $2$ y completa la observación clásica: «el tablero entero contiene un grano menos que una sola casilla sexagésima quinta»; 5. muestra que la segunda [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del tablero (casillas $33$ a $64$ ) contiene *exactamente* $2^{32}$ veces más granos que la primera [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) . **Parte II — ¿Cómo de grande es $2^{64}$?** La comparación $2^{10} = 1024 > 10^3$ del [Ejercicio 56.11](#exo-g8-powers-11) es la clave de todas las estimaciones de abajo. 6. muestra que $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ . 7. un grano de trigo pesa unos $0.05$ g, es decir, $5 \times 10^{-2}$ g. Muestra que el trigo prometido pesa más de $8 \times 10^{17}$ g y convierte eso en toneladas ( $1$ tonelada $= 10^6$ g); 8. el mundo entero cosecha actualmente unos $8 \times 10^8$ toneladas de trigo al año. ¿Cuántos años de cosecha mundial prometió el rey, como mínimo? 9. halla el menor número entero $n$ tal que $2^n > 10^6$ — es decir, cuántas duplicaciones hacen falta para pasar de un millón. (Calcula $2^{19}$ y $2^{20}$ exactamente, usando $2^{10} = 1024$ .) 10. un tramposo te ofrece un sueldo mensual: $1$ céntimo el día $1$ y, cada día, el doble de la paga del día anterior. ¿Qué día supera por primera vez la paga *diaria* sola el millón de euros ( $10^8$ céntimos)? (Calcula $2^{26}$ y $2^{27}$ exactamente.) **Parte III — Pesas binarias.** Una comerciante tiene cinco pesas: $1$, $2$, $4$, $8$ y $16$ gramos, una de cada. Coloca algunas de ellas en un platillo de la balanza para pesar mercancías en el otro. 11. ¿qué pesas coloca para pesar $21$ g? ¿Y para pesar $27$ g? 12. explica por qué cualquier objetivo de $16$ g o más *tiene* que usar la pesa de $16$ g, y por qué cualquier objetivo de $15$ g o menos *no* debe usarla. (La pregunta 3 te dice hasta dónde llegan como mucho las pesas $1, 2, 4, 8$ .) Explica por qué el mismo razonamiento se repite con la pesa siguiente en tamaño, en cada etapa; 13. deduce que todo objetivo entero de $1$ a $31$ g se puede pesar, y *de una sola manera* : cada número entre $1$ y $31$ es [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de potencias de $2$ distintas de una única forma; 14. la comerciante compra una sexta pesa, de $32$ g. ¿Hasta qué objetivo puede pesar ahora? Escribe $45$ g como [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de potencias de $2$ distintas; 15. en un ordenador, un número «de 64 bits» se guarda en $64$ casillas, cada una con un $0$ o un $1$ — la casilla $k$ aporta $2^{k-1}$ cuando lleva un $1$ , como los granos de la leyenda. Usando la Parte I, explica por qué los números enteros que puede guardar una máquina así van exactamente de $0$ a $2^{64} - 1$ . **Solución de Problema 56.1.** **1.** Los granos se duplican de casilla en casilla empezando en $1 = 2^0$: la casilla $k$ tiene $2^{k-1}$ granos ([Definición 56.1](#def-g8-powers-def)). La casilla $64$ tiene $2^{63}$. **2.** $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 2 = 3$, $S_3 = 3 + 4 = 7$, $S_4 = 7 + 8 = 15$, $S_5 = 15 + 16 = 31$: siempre uno menos que la potencia de $2$ siguiente ($2$, $4$, $8$, $16$, $32$). Conjetura: $S_n = 2^n - 1$. **3.** Duplicar todos los términos de $S_n$ sube cada potencia en uno ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$): $$ \begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*} $$ Restando la primera línea de la segunda, todos los términos de $2$ a $2^{n-1}$ aparecen en las dos y se cancelan: $$ 2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{es decir}\qquad S_n = 2^n - 1 . $$ **4.** El total es $S_{64} = 2^{64} - 1$ granos. Una casilla sexagésima quinta tendría $2^{64}$ granos: el tablero entero lleva exactamente un grano menos que esa sola casilla. **5.** La primera [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) tiene $S_{32} = 2^{32} - 1$ granos. El tablero entero tiene $2^{64} - 1$, así que la segunda [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) tiene $$ \left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right) $$ (saca factor común $2^{32}$, usando $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$, [Teorema 56.3](#thm-g8-powers-rules)): exactamente $2^{32}$ veces la primera [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). **6.** Por las reglas de los [exponentes](#def-g8-powers-def), $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$. Since $2^{10} = 1024 > 10^3$, $$ 2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} . $$ **7.** Más de $1.6 \times 10^{19}$ granos a $5 \times 10^{-2}$ g cada uno: $$ 1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} . $$ Dividiendo entre $10^6$ g por tonelada: más de $8 \times 10^{11}$ toneladas — ochocientos mil millones de toneladas. **8.** $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$: el rey prometió al menos *mil años* de la cosecha mundial entera de hoy. (Cuenta la leyenda que sus consejeros se lo dijeron.) **9.** $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$, while $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$. Así que el menor [exponente](#def-g8-powers-def) es $n = 20$: veinte duplicaciones pasan del millón. **10.** La paga del día $n$ es $2^{n-1}$ céntimos (día 1: $2^0 = 1$). Ahora bien, $$ 2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8, $$ $$ 2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 . $$ Así que la paga diaria supera por primera vez $10^8$ céntimos cuando $n - 1 = 27$: el día $28$. **11.** $21 = 16 + 4 + 1$: pesas de $16$, $4$ y $1$ g. $27 = 16 + 8 + 2 + 1$: pesas de $16$, $8$, $2$ y $1$ g. **12.** Por la pregunta 3, las pesas $1, 2, 4, 8$ juntas pesan $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g. Así que, sin la pesa de $16$ g, la comerciante no puede pasar de $15$ g: cualquier objetivo de $16$ g o más tiene que usarla. Y un objetivo de $15$ g o menos no debe usarla, ya que la pesa de $16$ g sola ya supera el objetivo. La elección de la pesa mayor está, por tanto, *forzada*. Lo que queda es un objetivo de como mucho $15$ g que hay que formar con $1, 2, 4, 8$ — y el mismo argumento se repite: el $8$ está forzado (se usa si el objetivo restante es $\geq 8$ y no se usa si no, porque $1 + 2 + 4 = 7$), después el $4$ (porque $1 + 2 = 3$), después el $2$ y después el $1$. **13.** Siguiendo las elecciones forzadas, el objetivo que queda después de cada etapa es como mucho el total de las pesas restantes, así que el proceso termina con [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$: se alcanzan todos los objetivos de $1$ a $31$. Y, como todas las elecciones del camino estaban forzadas, ninguna otra selección de pesas puede alcanzar el mismo objetivo: la escritura de cada número de $1$ a $31$ como [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de potencias de $2$ distintas existe y es *única*. **14.** Las seis pesas suman $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g, y el mismo argumento de elección forzada cubre todos los objetivos de $1$ a $63$ g. Para $45$: el objetivo es $\geq 32$, así que usa $32$; quedan $13 < 16$, así que salta el $16$; usa $8$ (quedan $5$), usa $4$ (queda $1$), salta el $2$ y usa $1$: $$ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 . $$ **15.** Elegir un $0$ o un $1$ en cada una de las $64$ casillas equivale a elegir qué potencias $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ se incluyen en una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) — exactamente la pesada de la comerciante con $64$ pesas. El número almacenable menor es $0$ (todas las casillas a $0$); el mayor es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de *todas* las potencias, que es el total del rey: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (Parte I). Por el argumento de la elección forzada, todo número entero intermedio se alcanza exactamente una vez: una máquina de $64$ bits guarda precisamente los números enteros de $0$ a $2^{64} - 1$.