--- title: "Cálculo literal y ecuaciones" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 57 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones --- # Capítulo 57 — Cálculo literal y ecuaciones El año pasado presentamos las letras y redujimos expresiones sencillas ([Capítulo 48](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/48-expresiones-literales#ch-g7-literal)). Este capítulo añade las dos destrezas que hacen poderosa al álgebra: *desarrollar* [productos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de paréntesis y *resolver ecuaciones* — hallar el número escondido detrás de la letra. ## 57.1 Desarrollar **Teorema 57.1 (Distributividad simple y doble).** Para todos los números: $$ k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . $$ **Demostración.** La primera regla es el [Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones#thm-g7-priorities-distributivity) (con los signos incluidos: $k$ y los términos pueden ser negativos, [Capítulo 54](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#ch-g8-negprod)). Para la segunda, aplica dos veces la primera regla tratando $(c + d)$ como un solo número: $$ (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere $$ ∎ **Ejemplo 57.2.** Cuidado con los signos en cada término: $$ \begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(un menos delante cambia los dos signos)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*} $$ ![La distributividad doble como áreas: el rectángulo (a+b) × (c+d) se parte en cuatro rectángulos menores — uno por cada término del desarrollo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-5157e40e0e48.svg) *La distributividad doble como [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): el rectángulo $(a+b) \times (c+d)$ se parte en cuatro rectángulos menores — uno por cada término del desarrollo.* **Método 57.3 (Desarrollar y reducir).** 1. desarrolla cada [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) escribiendo cada término con su signo; 2. agrupa los términos semejantes ( $x^2$ con $x^2$ , $x$ con $x$ , números con números); 3. comprueba con un valor: sustituye, por ejemplo, $x = 2$ en la expresión original y en el resultado — si coinciden, quedan cazados casi todos los errores. ## 57.2 Resolver ecuaciones **Definición 57.4 (Ecuación).** Una *ecuación* es una igualdad con un número desconocido, que se escribe $x$ (o cualquier letra). *Resolverla* es hallar todos los valores de $x$ que hacen cierta la igualdad — las *soluciones*. **Teorema 57.5 (Reglas de la balanza).** Una [ecuación](#def-g8-equations-def) conserva exactamente las mismas soluciones cuando: 1. se [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) (o se resta) el mismo número a los dos miembros; 2. se multiplican (o se dividen) los dos miembros por un mismo número *no nulo* . **Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎ ![Una ecuación es una balanza en equilibrio: lo que se hace en un platillo hay que hacerlo en el otro, y el equilibrio — la igualdad — se mantiene.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-9e5e0bd97224.svg) *Una [ecuación](#def-g8-equations-def) es una balanza en equilibrio: lo que se hace en un platillo hay que hacerlo en el otro, y el equilibrio — la igualdad — se mantiene.* **Método 57.6 (Resolver una ecuación de primer grado).** 1. desarrolla y reduce cada miembro si hace falta; 2. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) o resta en los dos miembros para reunir los términos en $x$ en un lado y los números solos en el otro; 3. reduce y divide después los dos miembros entre el coeficiente de $x$ ; 4. *comprueba* sustituyendo el valor hallado en la [ecuación](#def-g8-equations-def) original. **Ejemplo 57.7.** Resuelve $7x - 5 = 4x + 16$: $$ \begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(suma $5$ y resta $4x$ en los dos miembros)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(divide los dos miembros entre 3).} \end{align*} $$ Comprobación: primer miembro $7 \times 7 - 5 = 44$; segundo miembro $4 \times 7 + 16 = 44$. La solución es $7$. **Ejemplo 57.8 (Con paréntesis y negativos).** Resuelve $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$: $$ \begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(desarrolla los dos miembros)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(reduce)} \\ 5x &= 15 && \text{(suma $2x + 12$ a los dos miembros)} \\ x &= 3 . \end{align*} $$ Comprobación: $3(3 - 4) = -3$ y $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$. Solución: $3$. **Método 57.9 (Resolver un problema con una ecuación).** 1. elige la incógnita: «sea $x$ …» (la cantidad que se pide o una relacionada más sencilla); 2. traduce la historia a una [ecuación](#def-g8-equations-def) ; 3. resuélvela; 4. interpreta: responde a la pregunta original con una frase, con unidades, y contrasta la respuesta con la historia. **Ejemplo 57.10.** Lucas tiene $4$ años más que su hermana; entre los dos suman $26$ años. Sea $x$ la edad de la hermana; entonces Lucas tiene $x + 4$ y $$ x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 . $$ La hermana tiene $11$ y Lucas, $15$. Comprobación: $11 + 15 = 26$ y $15 - 11 = 4$. ## 57.3 Orden y desigualdades **Proposición 57.11 (Operaciones y orden).** Sumar el mismo número a los dos miembros de una desigualdad la conserva; multiplicar los dos miembros por un número *positivo* la conserva; multiplicar por un número *negativo* la *invierte*: $$ 2 < 5 \ \text{ pero }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 . $$ **Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎ **Ejemplo 57.12.** Resuelve $5 - 2x \leq 11$: resta $5$ en los dos miembros, $-2x \leq 6$; divide entre $-2$ *e invierte*: $x \geq -3$. Todos los números mayores o iguales que $-3$ son soluciones — una [ecuación](#def-g8-equations-def) suele tener una solución y una inecuación tiene toda una semirrecta de ellas. ## 57.4 Ejercicios **Ejercicio 57.1 ★.** Desarrolla y reduce: $$ 5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5). $$ **Solución de Ejercicio 57.1.** $5(2x + 3) = 10x + 15$. $-3(4x - 1) = -12x + 3$. $2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$. **Ejercicio 57.2 ★.** Desarrolla y reduce: $$ (x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6). $$ **Solución de Ejercicio 57.2.** $(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$. $(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$. $(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$. **Ejercicio 57.3 ★.** ¿Es $x = 3$ solución de $4x - 5 = 7$? ¿Y de $2x + 1 = x + 4$? ¿Y de $x^2 = 6x - 9$? (Sustituye y compara los dos miembros.) **Solución de Ejercicio 57.3.** $4 \times 3 - 5 = 7$: sí. $2 \times 3 + 1 = 7$ y $3 + 4 = 7$: sí. $3^2 = 9$ y $6 \times 3 - 9 = 9$: sí — $x = 3$ resuelve las tres. **Ejercicio 57.4 ★.** Resuelve, con comprobación: $$ x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 . $$ **Solución de Ejercicio 57.4.** $x + 9 = 4$: $x = -5$ (comprobación: $-5 + 9 = 4$). $5x = -35$: $x = -7$. $\frac x3 = 8$: $x = 24$. $2x - 7 = 13$: $2x = 20$, $x = 10$ (comprobación: $20 - 7 = 13$). **Ejercicio 57.5 ★.** Resuelve: $$ 6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 . $$ **Solución de Ejercicio 57.5.** $6x + 5 = 2x + 25$: $4x = 20$, luego $x = 5$. $9 - 4x = x - 11$: $20 = 5x$, luego $x = 4$. $3(x + 2) = 2x + 11$: $3x + 6 = 2x + 11$, luego $x = 5$. **Ejercicio 57.6 ★.** Resuelve $4(2x - 3) = 5(x + 6)$ desarrollando primero, y comprueba tu solución. **Solución de Ejercicio 57.6.** $8x - 12 = 5x + 30$, luego $3x = 42$ y $x = 14$. Comprobación: $4(28 - 3) = 100$ y $5(14 + 6) = 100$. **Ejercicio 57.7 ★.** Traduce y resuelve: «el triple de un número, disminuido en $8$, es igual a $19$»; «el doble de un número aumentado en $5$ es igual al número aumentado en $12$». **Solución de Ejercicio 57.7.** “$3x - 8 = 19$”: $3x = 27$, $x = 9$. “$2x + 5 = x + 12$”: $x = 7$. **Ejercicio 57.8 ★★.** El largo de un rectángulo es $5$ cm mayor que su ancho, y su [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) es $58$ cm. Sea $x$ el ancho: escribe una [ecuación](#def-g8-equations-def), resuélvela y da las dos dimensiones. **Solución de Ejercicio 57.8.** Ancho $x$, largo $x + 5$; [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$, luego $4x = 48$ y $x = 12$: ancho $12$ cm, largo $17$ cm (comprobación: $2 \times (12 + 17) = 58$). **Ejercicio 57.9 ★★.** Tres números enteros consecutivos suman $141$. Llama $n$ al del medio y halla los tres. **Solución de Ejercicio 57.9.** Los números son $n - 1$, $n$, $n + 1$, de [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $3n = 141$, luego $n = 47$: los números son $46$, $47$, $48$. **Ejercicio 57.10 ★★.** Resuelve las inecuaciones y describe las soluciones: $$ 3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 . $$ **Solución de Ejercicio 57.10.** $3x + 4 > 19$: $3x > 15$, luego $x > 5$. $7 - 2x \geq 1$: $-2x \geq -6$; al dividir entre $-2$ se invierte: $x \leq 3$. $5(x-1) < 2x + 7$: $5x - 5 < 2x + 7$, luego $3x < 12$ y $x < 4$. **Ejercicio 57.11 ★★.** Mía tiene $140$ euros ahorrados y añade $15$ euros al mes; Tomás tiene $200$ euros y añade $10$ euros al mes. ¿Al cabo de cuántos meses tendrá Mía estrictamente más que Tomás? (Plantea una inecuación.) **Solución de Ejercicio 57.11.** Al cabo de $n$ meses, Mía tiene $140 + 15n$ y Tomás $200 + 10n$. Mía va por delante cuando $$ 140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 : $$ a partir del mes $13$. **Ejercicio 57.12 ★★★.** Resuelve la [ecuación](#def-g8-equations-def) $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$. (Multiplica los dos miembros por $20$, el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común, y procede después como siempre; comprueba tu solución en la [ecuación](#def-g8-equations-def) original.) **Solución de Ejercicio 57.12.** Multiplica los dos miembros por $20$: $$ 5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}. $$ Comprobación: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$, y $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$. Iguales: la solución es $\frac{19}{3}$. ## 57.5 Problema: Las identidades notables y la escalera de los números impares **Problema 57.1.** Problema de fin de semana — $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ y la suma $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ Tres desarrollos aparecen tan a menudo que el álgebra se los sabe de memoria: se llaman *identidades notables*. Este problema las deduce de la distributividad doble ([Teorema 57.1](#thm-g8-equations-expand)), las convierte en un superpoder de cálculo mental, las usa para demostrar un hecho precioso sobre los [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y termina resolviendo ecuaciones de un tipo nuevo: ecuaciones con un cuadrado. **Parte I — Las tres identidades.** 1. desarrolla $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ y reduce, para demostrar $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$$ 2. demuestra igualmente las dos compañeras: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$$ 3. dibuja un cuadrado de lado $a + b$ , parte cada lado en $a$ y $b$ , y corta el cuadrado en cuatro piezas. ¿Qué parte de la primera identidad representa cada trozo del dibujo? 4. cálculo mental: usa las identidades para calcular, sin plantear ninguna multiplicación, $$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$$ 5. una trampa clásica: Zoe escribe « $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ». Prueba su fórmula con $a = 3$ y $b = 4$ , y explica en el dibujo de la pregunta 3 exactamente qué trozos olvida su fórmula. **Parte II — La escalera de los [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd).** 6. calcula $1$ , después $1 + 3$ , después $1 + 3 + 5$ , después $1 + 3 + 5 + 7$ y después $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . ¿Qué observas en los resultados? 7. explica por qué el $n$ -ésimo [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es $2n - 1$ (comprueba: $n = 1, 2, 3$ dan $1, 3, 5$ ); 8. usa una identidad de la Parte I para desarrollar y reducir $(n + 1)^2 - n^2$ . ¿Qué tiene que ver el resultado con la pregunta 7? 9. la pregunta 8 dice: para pasar de un cuadrado de lado $n$ a un cuadrado de lado $n + 1$ se añaden exactamente el siguiente [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de casillas unidad — una franja en forma de L a lo largo de dos lados y la esquina. Partiendo de $1 = 1^2$ y haciendo crecer el cuadrado capa a capa, explica por qué $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$$ la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los $n$ primeros [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es el $n$-ésimo cuadrado; 10. deduce, sin sumarlos uno a uno: el valor de $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ; y cuántos [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , empezando por $1$ , suman exactamente $400$ . **Parte III — Ecuaciones con un cuadrado.** 11. reconoce una identidad notable en $x^2 + 6x + 9$ y resuelve la [ecuación](#def-g8-equations-def) $x^2 + 6x + 9 = 0$ ; 12. explica, usando la regla del signo y la distancia del [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#thm-g8-negprod-rules) , por qué un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de dos números puede ser [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) *solo si* uno de los dos factores es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) . Úsalo para resolver $(x - 2)(x + 5) = 0$ ; 13. resuelve $x^2 = 49$ pasando todo a un miembro y factorizando $x^2 - 49$ con la tercera identidad. ¿Cuántas soluciones tiene esta [ecuación](#def-g8-equations-def) y en qué se [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) eso de todas las ecuaciones resueltas hasta ahora en este capítulo? 14. en el [Ejercicio 57.3](#exo-g8-equations-3) comprobaste que $x = 3$ es solución de $x^2 = 6x - 9$ . Demuestra que es la *única* : pasa todo a un miembro, reconoce una identidad y concluye; 15. final: calcula $2026^2 - 2025^2$ de cabeza y explica con una identidad por qué la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de dos cuadrados consecutivos es siempre la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los dos números — que es otra vez la pregunta 8. **Solución de Problema 57.1.** **1.** Doble distributividad ([Teorema 57.1](#thm-g8-equations-expand)) con $c = a$, $d = b$: $$ (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 , $$ porque $ab$ y $ba$ son el mismo [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def). **2.** La misma expansión, con cuidado con los signos: $$ (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 , $$ $$ (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 : $$ esta vez los términos cruzados $-ab$ y $+ba$ se cancelan en lugar de duplicarse. **3.** El cuadrado de lado $a + b$ se recorta en cuatro piezas: un cuadrado $a \times a$ (el $a^2$), un cuadrado $b \times b$ (el $b^2$) y *dos* rectángulos $a \times b$ (juntos, el $2ab$). La identidad $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dice justamente que las cuatro [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) llenan el cuadrado grande — es el dibujo de la doble distributividad con los dos lados partidos igual. **4.** Con las identidades: $$ \begin{align*} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\ 99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\ 49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 . \end{align*} $$ **5.** Para $a = 3$, $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$, pero $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. La fórmula de Zoe olvida los dos rectángulos $a \times b$ del dibujo — faltan los $2ab = 24$, y en efecto $25 + 24 = 49$. **6.** $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Los resultados son los cuadrados perfectos $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$. **7.** Los [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) empiezan en $1$ y avanzan de $2$ en $2$: al $n$-ésimo se llega tras $n - 1$ saltos de $2$ desde $1$, así que vale $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Comprobación: $n = 1, 2, 3$ dan $1, 3, 5$. **8.** Por la primera identidad, $$ (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 : $$ la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) entre dos cuadrados consecutivos es exactamente el [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $(n+1)$-ésimo (pregunta 7 con $n + 1$ en lugar de $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$). **9.** Construye los cuadrados uno tras otro. Empieza con una sola casilla: $1 = 1^2$. Para pasar del cuadrado de lado $1$ al cuadrado de lado $2$, añade $2 \times 1 + 1 = 3$ casillas (pregunta 8): $1 + 3 = 2^2$. Para pasar al lado $3$, añade $2 \times 2 + 1 = 5$ casillas: $1 + 3 + 5 = 3^2$. Cada nuevo [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es exactamente la capa en forma de L que completa el cuadrado siguiente, así que al añadir los $n$ primeros [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) el cuadrado de lado $n$ queda completo: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$. **10.** Los [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de $1$ a $99$ son los $50$ primeros ($2n - 1 = 99$ da $n = 50$), luego $$ 1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 . $$ Y $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ exige $n = 20$: los *veinte* primeros [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ($1$ hasta $39$) suman $400$. **11.** $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: la primera identidad con $a = x$, $b = 3$. Así que la [ecuación](#def-g8-equations-def) se lee $(x + 3)^2 = 0$. Un cuadrado es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) solo cuando el número mismo es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) ([Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#thm-g8-negprod-rules): un número no nulo tiene distancia no nula, luego su cuadrado también tiene distancia no nula). Por tanto $x + 3 = 0$: la única solución es $x = -3$. **12.** Por el [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#thm-g8-negprod-rules), la distancia de un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de las distancias. Si los dos factores son no nulos, las dos distancias son no nulas, luego la distancia del [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es no nula: el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) no puede ser $0$. Un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) obliga, pues, a que al menos un factor sea [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero). Para $(x - 2)(x + 5) = 0$: o bien $x - 2 = 0$, o bien $x + 5 = 0$, lo que da las dos soluciones $x = 2$ y $x = -5$. **13.** $x^2 = 49$ se convierte en $x^2 - 49 = 0$, y la tercera identidad lo factoriza: $$ x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 . $$ Por la pregunta 12, $x = 7$ o $x = -7$: *dos* soluciones. Todas las ecuaciones resueltas hasta aquí en este capítulo eran de primer grado y tenían exactamente una solución; un cuadrado en la [ecuación](#def-g8-equations-def) puede dar dos. **14.** Pasa todo al miembro de la izquierda: $x^2 - 6x + 9 = 0$, y reconoce la segunda identidad: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. Así que la [ecuación](#def-g8-equations-def) es $(x - 3)^2 = 0$, que obliga a $x - 3 = 0$ (como en la pregunta 11): $x = 3$ es la única solución — la comprobación del [Ejercicio 57.3](#exo-g8-equations-3) la había encontrado, y la factorización demuestra que no hay ninguna otra. **15.** Por la tercera identidad, $$ 2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025) = 1 \times 4051 = 4\,051 . $$ En general $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de dos cuadrados consecutivos es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los dos números — el mismo $2n + 1$ de la pregunta 8, obtenido ahora a partir de la tercera identidad en lugar de la primera.