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title: "El teorema de Pitágoras"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 58
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras
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# Capítulo 58 — El teorema de Pitágoras

El teorema más famoso de todas las matemáticas relaciona los tres lados de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles). Con él se vuelven calculables longitudes que ninguna regla podría medir directamente: diagonales, distancias, alturas. Es también nuestro primer gran encuentro con la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) entre un teorema y su recíproco.

## 58.1 El teorema

**Teorema 58.1 (Pitágoras).**

Si un triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$, entonces

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 :
$$

el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle)) es igual a la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los cuadrados de los otros dos lados.

**Idea de la demostración.** Cuatro copias del triángulo, colocadas dentro de un cuadrado grande de lado $AB + AC$, dejan sin cubrir un cuadrado inclinado construido sobre la hipotenusa: comparar [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) da la igualdad. El cálculo detallado se propone como el [Ejercicio 58.11](#exo-g8-pythagoras-11); el teorema sale también del [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) escalar, que se estudia en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior. ∎

![El teorema como afirmación sobre áreas: el cuadrado construido sobre la hipotenusa (25) tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos (16 + 9). Aquí los lados son 3, 4 y 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-pythagoras/fig-1633da61d8e5.svg)

*El teorema como afirmación sobre [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): el cuadrado construido sobre la hipotenusa ($25$) tiene exactamente la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) que los otros dos cuadrados juntos ($16 + 9$). Aquí los lados son $3$, $4$ y $5$.*

**Método 58.2 (Calcular una longitud).**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) del que se conocen dos lados:

1. identifica la hipotenusa (opuesta al [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) — siempre el lado más largo);
2. escribe la igualdad del [Teorema 58.1](#thm-g8-pythagoras-direct) con los valores conocidos;
3. despeja el cuadrado que falta: *[suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def)* los cuadrados si la hipotenusa es la incógnita y *resta* si lo es un cateto;
4. extrae la raíz cuadrada, exacta o con calculadora, y comprueba que la hipotenusa ha salido la más larga.

**Ejemplo 58.3 (Hallar la hipotenusa).**

Un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene catetos $6$ y $8$. Hipotenusa $c$:

$$
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,
\qquad
c = \sqrt{100} = 10 .
$$

(El número $\sqrt{100}$, la *raíz cuadrada* de $100$, es el número positivo cuyo cuadrado es $100$; las raíces cuadradas tienen un capítulo entero en el [Capítulo 65](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/65-raices-cuadradas#ch-g9-sqrt).)

**Ejemplo 58.4 (Hallar un cateto).**

Una escalera de $5$ m se apoya en una pared, con el pie a $1.4$ m de ella. Altura alcanzada $h$: la escalera es la hipotenusa, así que

$$
h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04,
\qquad
h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.
$$

Resta, no sumes: aquí la incógnita es un *cateto*.

## 58.2 El recíproco

**Teorema 58.5 (Recíproco de Pitágoras).**

Si, en un triángulo $ABC$, los lados cumplen $BC^2 = AB^2 + AC^2$, entonces el triángulo es rectángulo en $A$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Método 58.6 (Comprobar un ángulo recto).**

Dados los tres lados de un triángulo:

1. calcula por separado el cuadrado del lado mayor y la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los cuadrados de los otros dos;
2. si los dos resultados son iguales, el triángulo es rectángulo (recíproco), en el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuesto al lado mayor;
3. si difieren, no es rectángulo — porque el teorema de Pitágoras obligaría a la igualdad.

**Ejemplo 58.7.**

Lados $5$, $12$, $13$: el cuadrado del lado mayor, $13^2 = 169$; la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los otros cuadrados, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Iguales: rectángulo (en el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuesto al lado $13$).

Lados $6$, $7$, $9$: $9^2 = 81$ pero $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$: no es un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) (es «casi» uno — deciden los números, no el ojo).

**Observación 58.8 (Teorema frente a recíproco).**

El teorema y su recíproco dicen cosas distintas: el teorema *usa* un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) para calcular longitudes; el recíproco usa longitudes para *demostrar* un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle). Los constructores han usado el recíproco durante milenios: una cuerda con nudos a $3$, $4$ y $5$ unidades tensada da un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) perfecto.

**Ejemplo 58.9 (Diagonal de un cuadrado).**

La diagonal de un cuadrado de lado $1$ es la hipotenusa de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $1$ y $1$:

$$
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,
$$

así que $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — un número que no es una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def), como demostrará el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior. Para un cuadrado de lado $c$, la diagonal es $c\sqrt2$.

## 58.3 Ejercicios

**Ejercicio 58.1 ★.**

En cada [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), calcula la hipotenusa: catetos $9$ y $12$; catetos $5$ y $12$; catetos $8$ y $15$.

**Solución de Ejercicio 58.1.**

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

**Ejercicio 58.2 ★.**

Un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene hipotenusa $25$ y un cateto $7$. Calcula el otro cateto.

**Solución de Ejercicio 58.2.**

Cateto$^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$, luego el cateto mide $\sqrt{576} = 24$.

**Ejercicio 58.3 ★.**

Calcula la diagonal de un rectángulo de lados $12$ cm y $9$ cm; y la diagonal de un cuadrado de lado $5$ cm (valor exacto con una raíz cuadrada y después redondeado al mm).

**Solución de Ejercicio 58.3.**

Rectángulo: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Cuadrado: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm ([Ejemplo 58.9](#ex-g8-pythagoras-diagonal)).

**Ejercicio 58.4 ★.**

¿Qué triángulos son rectángulos? Justifícalo con el [Método 58.6](#met-g8-pythagoras-test):

$$
(20,\ 21,\ 29); \qquad
(7,\ 8,\ 11); \qquad
(1.5,\ 2,\ 2.5).
$$

**Solución de Ejercicio 58.4.**

$(20, 21, 29)$: $29^2 = 841$ y $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$: rectángulo.

$(7, 8, 11)$: $121 \neq 49 + 64 = 113$: no rectángulo.

$(1.5, 2, 2.5)$: $6.25 = 2.25 + 4$: rectángulo (es la $(3,4,5)$ dividida entre dos).

**Ejercicio 58.5 ★.**

Una cancela se refuerza con una tabla en diagonal. La cancela mide $3$ m de ancho y $1.6$ m de alto: ¿cuánto mide la tabla?

**Solución de Ejercicio 58.5.**

Tabla $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

**Ejercicio 58.6 ★.**

Un [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene dos lados de $10$ cm y una base de $12$ cm. Su altura lo parte en dos [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles): calcula esa altura y después el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del triángulo.

**Solución de Ejercicio 58.6.**

La altura cae en el punto medio de la base ([triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles)), así que cada [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del triángulo tiene hipotenusa $10$ y un cateto $6$: $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. [Área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm$^2$.

**Ejercicio 58.7 ★★.**

Una pantalla de televisión es un rectángulo $16{:}9$ que mide $88.5$ cm por $49.8$ cm. Las pantallas se venden por la diagonal, en pulgadas ($1$ pulgada $= 2.54$ cm). Calcula la diagonal en cm y después en pulgadas (redondea a la pulgada más próxima).

**Solución de Ejercicio 58.7.**

Diagonal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04}
= \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. En pulgadas: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ pulgadas.

**Ejercicio 58.8 ★★.**

Un barco navega $24$ km hacia el este y después $10$ km hacia el norte. ¿A qué distancia está de su punto de partida (en línea recta)? Dibuja antes la situación.

**Solución de Ejercicio 58.8.**

Los dos catetos miden $24$ km y $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

**Ejercicio 58.9 ★★.**

Una escalera de $2.5$ m tiene que llegar al alféizar de una ventana situado a $2.4$ m del suelo. ¿A qué distancia de la pared hay que colocar su pie? ¿Es la respuesta compatible con el consejo de seguridad (el pie a aproximadamente un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la longitud de la escalera de la pared)?

**Solución de Ejercicio 58.9.**

Distancia del pie: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} =
\sqrt{0.49} = 0.7$ m. Un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la escalera son $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: los $0.7$ m hallados están cerca de la colocación recomendada — aceptable.

**Ejercicio 58.10 ★★.**

En una cuadrícula de coordenadas, sitúa $A(1, 2)$ y $B(5, 5)$, y dibuja el [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos paralelos a los ejes cuya hipotenusa sea $[AB]$. Calcula $AB$. (Esta construcción, para dos puntos cualesquiera, se convierte en la fórmula de la distancia de la geometría analítica, en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.)

**Solución de Ejercicio 58.10.**

Los catetos miden $5 - 1 = 4$ (horizontal) y $5 - 2 = 3$ (vertical), luego

$$
AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .
$$

**Ejercicio 58.11 ★★★.**

Cuatro copias de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado $a + b$, dejando sin cubrir un cuadrado inclinado de lado $c$ en el centro.

1. expresa el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del cuadrado grande de dos maneras: directamente y como (cuatro triángulos) $+$ (cuadrado inclinado);
2. desarrolla $(a + b)^2$ (véase el [Teorema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#thm-g8-equations-expand) ) y deduce $c^2 = a^2 + b^2$ : acabas de demostrar el teorema de Pitágoras.

**Solución de Ejercicio 58.11.**

*1.* Directamente: $(a + b)^2$. Por piezas: cuatro triángulos de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $\frac{ab}{2}$ cada uno, más el cuadrado inclinado $c^2$:

$$
(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .
$$

*2.* Desarrollando el miembro de la izquierda: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Luego

$$
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\quad\Longrightarrow\quad
a^2 + b^2 = c^2 . \qed
$$

## 58.4 Problema: Las ternas pitagóricas

**Problema 58.1.**

Problema de fin de semana — triángulos rectángulos de lados enteros y la identidad $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ que las genera todas

Una *terna pitagórica* es una terna de números enteros $(a, b, c)$ con

$$
a^2 + b^2 = c^2 ,
$$

como la $(3, 4, 5)$ de los constructores. Una tablilla de arcilla babilónica catalogaba ternas enormes — entre ellas, $(4601,\ 4800,\ 6649)$ — más de mil años antes de Pitágoras. Este problema caza ternas y después construye la máquina que las produce: una identidad algebraica sacada directamente del [Capítulo 57](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#ch-g8-equations) y puesta al servicio de la geometría.

**Parte I — A la caza de ternas.**

1. comprueba que $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ y $(20, 21, 29)$ son [ternas pitagóricas](#pb-g8-pythagoras-1) . ¿Qué dice el [Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) sobre los triángulos con esas longitudes de lados?
2. explica por qué una cuerda tensa con doce [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) iguales, dispuesta como un triángulo de lados de $3$ , $4$ y $5$ [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) , da a los constructores un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) perfecto;
3. demuestra que, si $(a, b, c)$ es una [terna pitagórica](#pb-g8-pythagoras-1) , también lo es $(ka, kb, kc)$ para todo número entero $k \geq 1$ . Deduce tres ternas nuevas a partir de $(3, 4, 5)$ ;
4. los [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$ son las ternas $(3k, 4k, 5k)$ . Demuestra que $(5, 12, 13)$ *no* es una de ellas;
5. explica por qué las preguntas 3 y 4 juntas demuestran que escalar $(3, 4, 5)$ nunca puede producir todas las [ternas pitagóricas](#pb-g8-pythagoras-1) : hace falta otra máquina.

**Parte II — La máquina.** Toma dos números enteros $m > n \geq 1$ y forma los tres números

$$
a = m^2 - n^2,
\qquad
b = 2mn,
\qquad
c = m^2 + n^2 .
$$

6. usando las identidades notables del [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1) (escribe $A = m^2$ y $B = n^2$), desarrolla $a^2$ y $b^2$, y demuestra que $$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2  = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$$ la máquina produce siempre una [terna pitagórica](#pb-g8-pythagoras-1);
7. aplica la máquina a $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ y $(4, 3)$ , y presenta las cinco ternas en una tabla;
8. una terna de tu tabla es una copia escalada de otra más pequeña. ¿Cuál y de cuál?
9. halla $(m, n)$ para los que la máquina produce la terna $(20, 21, 29)$ de la pregunta 1 (con los catetos en cualquier orden);
10. halla $m$ y $n$ con $m^2 + n^2 = 100$ y deduce una [terna pitagórica](#pb-g8-pythagoras-1) cuya hipotenusa sea $100$ .

**Parte III — Familias y un final de paridad.**

11. aplica la máquina con $m = n + 1$ . Demuestra que el cateto [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es $2n + 1$ , el cateto [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es $2n^2 + 2n$ y la hipotenusa, $2n^2 + 2n + 1$ — así que la hipotenusa y el cateto [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) se diferencian en exactamente $1$ . Escribe las ternas para $n = 1, 2, 3, 4$ ;
12. deduce que *todo* [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3, 5, 7, 9, \dots$ es lado de algún [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lados enteros, y da una terna que contenga $11$ ;
13. los [números pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) también valen: aplica la máquina con $n = 1$ y produce una terna que contenga $14$ . Obtén después la misma terna por segunda vez, escalando una de tu tabla de la pregunta 7;
14. demuestra que el cuadrado de un [número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y que el cuadrado de un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . (Escribe el número como $2k$ o $2k + 1$ y usa una identidad.)
15. concluye el final de paridad: no hay ninguna [terna pitagórica](#pb-g8-pythagoras-1) con los tres [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — en todo [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lados enteros, al menos un lado es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) .

**Solución de Problema 58.1.**

**1.** $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. Las tres son ternas y, por el [Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse), un triángulo con estas longitudes de lado es rectángulo, con el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) frente al lado más largo.

**2.** La cuerda forma un triángulo de lados $3$, $4$, $5$ (en [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects)), y $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$: por el recíproco ([Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse)), el ángulo entre los lados de $3$ y $4$ [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) es exactamente recto — no hace falta transportador, solo nudos.

**3.** Si $a^2 + b^2 = c^2$, entonces

$$
(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2
= k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .
$$

A partir de $(3, 4, 5)$: por ejemplo $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ y $(30, 40, 50)$.

**4.** Un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) $(3k, 4k, 5k)$ que tuviera $5$ como número más pequeño necesitaría $3k = 5$, y ningún número entero $k$ cumple eso ($k = 1$ da $3$, $k = 2$ da $6$). Así que $(5, 12, 13)$ no es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$.

**5.** La pregunta 3 muestra que agrandar solo produce las ternas $(3k, 4k, 5k)$; la pregunta 4 exhibe una terna auténtica que no es de esa forma. Así que la familia de todas las [ternas pitagóricas](#pb-g8-pythagoras-1) es estrictamente mayor que la de los [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$: producirlas exige algo nuevo.

**6.** Escribe $A = m^2$ y $B = n^2$. Por las identidades notables ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1)):

$$
a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
\qquad
b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .
$$

Sumando:

$$
a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB
= A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
= \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .
$$

**7.**

| $(m, n)$ | $m^2 - n^2$ | $2mn$ | $m^2 + n^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $(2, 1)$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $(3, 1)$ | $8$ | $6$ | $10$ |
| $(3, 2)$ | $5$ | $12$ | $13$ |
| $(4, 1)$ | $15$ | $8$ | $17$ |
| $(4, 3)$ | $7$ | $24$ | $25$ |

**8.** $(8, 6, 10)$ es el doble de $(4, 3, 5)$ — es decir, de la $(3, 4, 5)$ de los constructores. La máquina a veces redescubre disfrazada una terna ya conocida.

**9.** Hace falta $m^2 - n^2 = 21$ y $2mn = 20$, luego $mn = 10$: probando $m = 5$, $n = 2$ sale $25 - 4 = 21$ y $2 \times 10 = 20$, con hipotenusa $25 + 4 = 29$. La máquina devuelve $(21, 20, 29)$ para $(m, n) = (5, 2)$.

**10.** $m = 8$, $n = 6$ da $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$. La terna es

$$
\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),
$$

y, en efecto, $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$.

**11.** Con $m = n + 1$:

$$
m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
$$

([diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de cuadrados consecutivos, [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1)); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$; y $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$. La hipotenusa supera al cateto [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) exactamente en $1$. Para $n = 1, 2, 3, 4$:

$$
(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad
(9, 40, 41) .
$$

**12.** Todo [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de al menos $3$ es $2n + 1$ para algún $n \geq 1$, y la pregunta 11 da una terna cuyo cateto [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es exactamente $2n + 1$. Para $11 = 2 \times 5 + 1$, toma $n = 5$:

$$
(11,\ 60,\ 61),
\qquad
11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .
$$

**13.** Con $n = 1$ la máquina da $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$, cuyo cateto [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $2m$ puede ser cualquier [número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) a partir de $4$. Para $14 = 2 \times 7$, toma $m = 7$: la terna $(48, 14, 50)$. La misma terna aparece al duplicar $(7, 24, 25)$ de la tabla de la pregunta 7: $(14, 48, 50)$ — los mismos tres números.

**14.** Un [número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es $2k$, y $(2k)^2 = 4k^2$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $4$, [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)). Un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es $2k + 1$, y la primera identidad notable da

$$
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,
$$

un [número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) más $1$: [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**15.** Supón que $a$, $b$, $c$ fueran los tres [impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Por la pregunta 14, $a^2$ y $b^2$ son [impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), luego $a^2 + b^2$ es [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de dos [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *[par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Pero $c^2$ sería *[impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. La igualdad $a^2 + b^2 = c^2$ es entonces imposible. Así que en toda [terna pitagórica](#pb-g8-pythagoras-1) al menos uno de los tres números es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — como confirma cada línea de la tabla de la pregunta 7.