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title: "Puntos medios y paralelas"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 59
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas
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# Capítulo 59 — Puntos medios y paralelas

Une los puntos medios de dos lados de un triángulo: el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) que sale es siempre paralelo al tercer lado y mide exactamente la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). Este «teorema del punto medio» y su recíproco son el primer aperitivo de una gran idea — las [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) cortan longitudes de forma proporcional — que florece en el teorema de Tales del [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#ch-g9-thales).

## 59.1 El teorema del punto medio

**Teorema 59.1 (Teorema del punto medio).**

En un triángulo $ABC$, sea $I$ el punto medio de $[AB]$ y $J$ el punto medio de $[AC]$. Entonces la recta $(IJ)$ es paralela a $(BC)$ y

$$
IJ = \frac{BC}{2} .
$$

**Idea de la demostración.** Sea $K$ el [simétrico](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-def) de $I$ respecto de $J$ (un medio giro, [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central)). El [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $AICK$ tiene las diagonales $[IK]$ y $[AC]$ cortándose en su punto medio común $J$: es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram), así que $KC$ es paralelo a $AI$, es decir, a $(AB)$, y $KC = AI = IB$. Entonces $IBCK$ tiene dos lados opuestos ($[IB]$ y $[KC]$) paralelos e iguales: también es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#thm-g7-central-recognize)), así que $(IK) \parallel (BC)$ — es decir, $(IJ) \parallel (BC)$ — y $BC = IK = 2\,IJ$. ∎

![El segmento de los puntos medios (IJ) (en rojo) es paralelo al tercer lado (BC) y mide la mitad.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-c5593cfefe80.svg)

*El [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de los puntos medios $[IJ]$ (en rojo) es paralelo al tercer lado $(BC)$ y mide la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).*

**Ejemplo 59.2.**

En un triángulo $ABC$ con $BC = 9$ cm, se unen los puntos medios $I$ de $[AB]$ y $J$ de $[AC]$. Sin medir nada: $(IJ) \parallel (BC)$ y $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. El triángulo pequeño $AIJ$ es una copia a [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de tamaño de $ABC$ — su [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) es también la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de $ABC$.

**Teorema 59.3 (Recíproco).**

En un triángulo $ABC$, la recta que pasa por el punto medio $I$ de $[AB]$ y es *paralela* a $(BC)$ corta al lado $[AC]$ en su punto medio.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 59.4.**

Un camino atraviesa un campo triangular partiendo de la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un borde y siguiendo paralelo al borde opuesto. El recíproco garantiza que el camino sale exactamente por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del otro borde — sin necesidad de medir al otro lado.

**Método 59.5 (Elegir entre el teorema y el recíproco).**

1. *dos puntos medios conocidos* $\Rightarrow$ usa el teorema directo: concluye paralelismo y [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de longitud;
2. *un punto medio y una paralela conocidos* $\Rightarrow$ usa el recíproco: concluye que el punto de corte es un punto medio;
3. escribe qué triángulo, qué puntos medios y qué teorema usas — una frase para cada cosa.

## 59.2 Triángulos a mitad de tamaño

**Proposición 59.6 (El triángulo de los puntos medios).**

Unir los tres puntos medios de los lados de un triángulo lo corta en cuatro triángulos de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales, cada uno copia a [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de tamaño del original.

**Demostración.** Cada lado del triángulo de los puntos medios es paralelo a un lado de $ABC$ y mide la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) ([Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct), aplicado tres veces). Los cuatro triángulos pequeños tienen lados de las mismas tres longitudes, así que son copias idénticas; juntos recubren $ABC$, así que cada uno tiene un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area). ∎

![El triángulo de los puntos medios IJK corta ABC en cuatro triángulos iguales — una imagen que conviene recordar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-b3c1cb0867de.svg)

*El triángulo de los puntos medios $IJK$ corta $ABC$ en cuatro triángulos iguales — una imagen que conviene recordar.*

**Observación 59.7 (Camino de Tales).**

El teorema del punto medio es el caso «una [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)» de un hecho más general: una recta paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos lados en *razones iguales* — un tercio y un tercio, dos quintos y dos quintos … Ese enunciado general es el teorema de Tales ([Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#ch-g9-thales)); el caso del punto medio es el único que hace falta este año.

## 59.3 Ejercicios

**Ejercicio 59.1 ★.**

En un triángulo $RST$, $M$ es el punto medio de $[RS]$ y $N$ el punto medio de $[RT]$, con $ST = 7$ cm. ¿Qué se puede decir de la recta $(MN)$ y de la longitud $MN$? Cita el teorema que usas.

**Solución de Ejercicio 59.1.**

$M$ y $N$ son los puntos medios de dos lados del triángulo $RST$: por el teorema de los puntos medios ([Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct)), $(MN) \parallel (ST)$ y $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

**Ejercicio 59.2 ★.**

En un triángulo $ABC$, $I$ es el punto medio de $[AB]$ y la recta que pasa por $I$ paralela a $(BC)$ corta a $[AC]$ en $J$, con $AC = 11$ cm. Calcula $AJ$ citando el teorema que usas.

**Solución de Ejercicio 59.2.**

$I$ es un punto medio y $(IJ) \parallel (BC)$: por el *recíproco* ([Teorema 59.3](#thm-g8-midpoints-converse)), $J$ es el punto medio de $[AC]$, luego $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

**Ejercicio 59.3 ★.**

Dibuja un triángulo $ABC$ con $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm y $BC = 7$ cm, sitúa los puntos medios $I$ de $[AB]$ y $J$ de $[AC]$, y mide $IJ$ para comprobar el teorema. Calcula el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de $AIJ$ sin medir nada más.

**Solución de Ejercicio 59.3.**

La medida da $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de $AIJ$: $AI = 4$, $AJ = 3$, $IJ = 3.5$: en total $10.5$ cm — la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de $ABC$ ($8 + 6 + 7 = 21$ cm).

**Ejercicio 59.4 ★.**

$IJK$ es el triángulo de los puntos medios de $ABC$, cuyos lados miden $10$, $12$ y $16$ cm. Da los tres lados de $IJK$ y su [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter). ¿Cómo se comparan los dos [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter)?

**Solución de Ejercicio 59.4.**

Cada lado de $IJK$ es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un lado de $ABC$: $5$, $6$ y $8$ cm. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter): $19$ cm, la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

**Ejercicio 59.5 ★.**

El [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de un triángulo es $36$ cm$^2$. ¿Cuál es el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de su triángulo de los puntos medios? ¿Y la de cada uno de los cuatro triángulos pequeños?

**Solución de Ejercicio 59.5.**

El triángulo de los puntos medios es uno de los cuatro triángulos iguales de la [Proposición 59.6](#prop-g8-midpoints-medial): [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $\frac{36}{4} = 9$ cm$^2$ — y cada uno de los cuatro triángulos pequeños tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $9$ cm$^2$.

**Ejercicio 59.6 ★★.**

En un triángulo $ABC$, $I$ es el punto medio de $[AB]$, $J$ el de $[AC]$ y $K$ el de $[BC]$. Demuestra que $IJKB$ es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram). (Compara $[IJ]$ y $[BK]$: ¿paralelos? ¿iguales?)

**Solución de Ejercicio 59.6.**

Por el teorema de los puntos medios en $ABC$: $(IJ) \parallel (BC)$, es decir $(IJ) \parallel (BK)$, y $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (ya que $K$ es el punto medio de $[BC]$). Dos lados opuestos de $IJKB$ son paralelos e iguales: es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#thm-g7-central-recognize), criterio 3).

**Ejercicio 59.7 ★★.**

Una vela triangular tiene el borde inferior de $6.4$ m. Una costura de refuerzo une los puntos medios de los otros dos bordes. ¿Qué longitud de costura hace falta? ¿Y si la costura uniera en cambio los puntos situados a un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de cada borde desde el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) superior? (Conjetura con un dibujo; la demostración es de Tales, [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#ch-g9-thales).)

**Solución de Ejercicio 59.7.**

La costura une dos puntos medios: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. A un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) superior, el dibujo sugiere una costura de $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, paralela a la base — lo confirmará Tales en el [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#ch-g9-thales).

**Ejercicio 59.8 ★★.**

En el triángulo $ABC$, rectángulo en $A$, $M$ es el punto medio de la hipotenusa $[BC]$, y la paralela a $(AB)$ por $M$ corta a $[AC]$ en $N$.

1. demuestra que $N$ es el punto medio de $[AC]$ ;
2. explica por qué $(MN)$ es perpendicular a $(AC)$ .

**Solución de Ejercicio 59.8.**

*1.* $M$ es el punto medio de $[BC]$ y $(MN) \parallel (AB)$: por el recíproco del teorema de los puntos medios (en el triángulo $ABC$, lado $[AC]$), $N$ es el punto medio de $[AC]$.

*2.* $(MN) \parallel (AB)$ y $(AB) \perp (AC)$ ([ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) en $A$): una recta paralela a $(AB)$ es también perpendicular a $(AC)$ ([Proposición 40.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#prop-g6-lines-facts)). Así que $(MN) \perp (AC)$ — el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[MN]$ es el trozo de [mediatriz](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#def-g6-symmetry-bisector) que vuelve a mostrar que $MA = MC$ ([Teorema 60.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/60-el-triangulo-rectangulo-y-el-coseno#thm-g8-cosine-circle)).

**Ejercicio 59.9 ★★★.**

Sea $ABCD$ un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) *cualquiera* y sean $I$, $J$, $K$ y $L$ los puntos medios de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ y $[DA]$ (la conjetura del [Ejercicio 52.11](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#exo-g7-central-11)).

1. aplica el teorema del punto medio en el triángulo $ABC$ al [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ , y en el triángulo $ACD$ al [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[LK]$ : compara cada uno con la diagonal $[AC]$ ;
2. concluye que $IJKL$ es siempre un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) .

**Solución de Ejercicio 59.9.**

*1.* En el triángulo $ABC$, $I$ y $J$ son puntos medios de $[AB]$ y $[BC]$: $(IJ) \parallel (AC)$ y $IJ = \frac{AC}{2}$. En el triángulo $ACD$, $L$ y $K$ son puntos medios de $[DA]$ y $[CD]$: $(LK) \parallel (AC)$ y $LK = \frac{AC}{2}$.

*2.* Así que $[IJ]$ y $[LK]$ son paralelos (los dos paralelos a la diagonal $(AC)$) e iguales (los dos la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $AC$): $IJKL$ es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#thm-g7-central-recognize), criterio 3) — para *todo* [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$, como se conjeturaba en el [Ejercicio 52.11](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#exo-g7-central-11).

## 59.4 Problema: Las tres medianas y el centro de gravedad

**Problema 59.1.**

Problema de fin de semana — las medianas de un triángulo se cortan en un solo punto, a dos tercios del recorrido de cada una

Recorta un triángulo de cartón rígido y se sostendrá en equilibrio, perfectamente plano, sobre la punta de un lápiz colocada en un punto especial: el *centro de gravedad* del triángulo. Este problema halla ese punto. Una *mediana* de un triángulo es el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) que une un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) con el *punto medio* del lado opuesto. Demostrarás — con el teorema del punto medio usado dos veces de una manera inesperada — que las tres medianas pasan todas por un mismo punto, y lo localizarás con precisión.

**Parte I — Calentamiento.**

1. dibuja un triángulo grande $ABC$ (sin forma especial), construye los puntos medios $I$ de $[AB]$ , $J$ de $[AC]$ y $K$ de $[BC]$ , y traza las tres medianas $[AK]$ , $[BJ]$ y $[CI]$ . ¿Qué observas?
2. demuestra que una mediana corta el triángulo en dos triángulos de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales. (Compara bases y alturas, y usa la fórmula del [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) : base $\times$ altura $\div\ 2$ .) Para un triángulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $36$ cm $^2$ , ¿cuáles son las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de los dos trozos?
3. en el triángulo $ABC$ , ¿qué dice el [Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) sobre el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ ?

**Parte II — Dos medianas se cortan a dos tercios del recorrido.** Las medianas $[BJ]$ y $[CI]$ se cortan en un punto; llámalo $G$. Sea $M$ el punto medio de $[GB]$ y $N$ el punto medio de $[GC]$.

4. aplica el teorema del punto medio *en el triángulo $GBC$* : ¿qué dice sobre el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[MN]$ ?
5. deduce que $(IJ) \parallel (MN)$ y $IJ = MN$ , y concluye con el [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#thm-g7-central-recognize) que $IJNM$ es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ;
6. explica por qué $I$ y $N$ están los dos sobre la mediana $(CI)$ , y $J$ y $M$ los dos sobre la mediana $(BJ)$ — así que las diagonales del [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ son $[IN]$ y $[JM]$ , y se cortan exactamente en $G$ . ¿Qué dice entonces la *definición* de [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) sobre $G$ ?
7. deduce que $BM = MG = GJ$ y concluye: $$BG = 2 \times GJ$$ — el punto $G$ está sobre la mediana $[BJ]$ a dos tercios del recorrido desde el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $B$. Enuncia y justifica el resultado análogo sobre la mediana $[CI]$;
8. olvídate ahora de $[CI]$ y repite exactamente el mismo argumento con la pareja de medianas $[BJ]$ y $[AK]$ : su punto de corte también está a dos tercios de $[BJ]$ desde $B$ . Explica por qué eso obliga a que sea el *mismo* punto $G$ — y concluye que las tres medianas pasan por $G$ ;
9. en un triángulo cuya mediana $[BJ]$ mide $9$ cm, ¿a qué distancia está $G$ de $B$ y de $J$ ?
10. justifica (en una frase) que también $AG = 2 \times GK$ .

**Parte III — Seis porciones iguales y coordenadas.** Las tres medianas cortan el triángulo en seis triángulos pequeños alrededor de $G$.

11. en el triángulo $GBC$ , el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[GK]$ es una mediana. Deduce que los dos triángulos pequeños $GBK$ y $GKC$ tienen [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales;
12. usando la pregunta 2 en los triángulos $ABK$ y $AKC$ (los dos cortados por la mediana $[AK]$ de $ABC$ ), demuestra que los triángulos $ABG$ y $ACG$ tienen [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales. Repitiendo con otra mediana, concluye que los tres triángulos $ABG$ , $BCG$ y $CAG$ tienen todos [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) un tercio de la de $ABC$ ;
13. cada uno de esos tres triángulos queda cortado por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) por un trozo de mediana (por ejemplo, $[GI]$ es una mediana del triángulo $ABG$ — ¿vista desde qué [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ?). Concluye: las seis porciones pequeñas de alrededor de $G$ tienen todas la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) , una sexta parte del triángulo.
14. en una cuadrícula de coordenadas, sitúa $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(0, 6)$, con $K(3, 3)$ el punto medio de $[BC]$. Usa el teorema de los dos tercios de la Parte II para calcular las coordenadas de $G$ sobre la mediana $[AK]$; comprueba después que el mismo punto está a dos tercios de la mediana $[BJ]$, donde $J(0, 3)$. Compara las coordenadas de $G$ con las medias $$\frac{0 + 6 + 0}{3},  \qquad  \frac{0 + 0 + 6}{3} .$$
15. el final del equilibrio: usando las preguntas 2 y 8, explica por qué el triángulo de cartón se sostiene sobre el filo de un cuchillo colocado a lo largo de cualquier mediana — la misma cantidad de cartón a cada lado — y por qué, en consecuencia, la punta del lápiz tiene que colocarse en $G$ , el punto que los físicos llaman [centro de gravedad](#pb-g8-midpoints-1) . (Una demostración del equilibrio totalmente rigurosa necesita el cálculo integral de los volúmenes universitarios; las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales lo hacen creíble hoy.)

**Solución de Problema 59.1.**

**1.** Sea cual sea el triángulo dibujado, las tres medianas parecen pasar por un único punto, situado dentro del triángulo, visiblemente más cerca del punto medio de cada lado que del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuesto. El resto del problema lo demuestra.

**2.** Toma la mediana $[AK]$ del triángulo $ABC$: los triángulos $ABK$ y $AKC$ tienen bases $BK$ y $KC$ de la misma longitud ($K$ es el punto medio de $[BC]$) llevadas por la misma recta $(BC)$, y la misma altura: la distancia de $A$ a $(BC)$. Por la fórmula del [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area), cada uno tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) base $\times$ altura $\div\ 2$, con bases iguales y alturas iguales: las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) son iguales. Para un triángulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $36$ cm$^2$: dos trozos de $18$ cm$^2$ cada uno.

**3.** $I$ y $J$ son los puntos medios de los lados $[AB]$ y $[AC]$ del triángulo $ABC$, así que, por el [Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct): $(IJ) \parallel (BC)$ y $IJ = \frac{BC}{2}$.

**4.** $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $[GB]$ y $[GC]$ del triángulo $GBC$, así que, por el mismo teorema: $(MN) \parallel (BC)$ y $MN = \frac{BC}{2}$.

**5.** Tanto $(IJ)$ como $(MN)$ son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) a $(BC)$, luego [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) entre sí; y $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. El [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $IJNM$ tiene, pues, dos lados opuestos, $[IJ]$ y $[NM]$, paralelos y de la misma longitud: por el criterio 3 del [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#thm-g7-central-recognize), $IJNM$ es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram).

**6.** $G$ está en la mediana $[CI]$, y $N$ es el punto medio de $[GC]$, un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) llevado por esa misma recta mediana: así que $I$, $N$ (y $G$, $C$) están todos sobre $(CI)$. Igualmente $J$, $M$ y $G$ están sobre la recta mediana $(BJ)$. En el [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$, las diagonales son $[IN]$ y $[JM]$; están llevadas por las dos rectas medianas, que se cortan en $G$ — luego las diagonales se cortan en $G$. Por la *definición* de [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) (criterio 1 del [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#thm-g7-central-recognize): las diagonales tienen el mismo punto medio), $G$ es el punto medio de $[IN]$ *y* de $[JM]$: $GI = GN$ y $GJ = GM$.

**7.** $M$ es el punto medio de $[GB]$, luego $BM = MG$; y $MG = GJ$ por la pregunta 6. Por tanto $BM = MG = GJ$: el trozo de mediana $[BJ]$ queda cortado en tres partes iguales, de las que $BG$ ocupa dos:

$$
BG = 2 \times GJ .
$$

Simétricamente, $N$ es el punto medio de $[GC]$ y $GN = GI$, luego $CN = NG = GI$ y $CG = 2 \times GI$: también sobre la mediana $[CI]$, el punto de corte se sitúa a dos tercios del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def).

**8.** El razonamiento no ha usado nada especial de la pareja $[BJ]$, $[CI]$: aplicado a la pareja $[BJ]$, $[AK]$, muestra que su punto de corte también está sobre $[BJ]$ a dos tercios de $B$. Ahora bien, solo hay *un* punto del [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[BJ]$ a distancia $\frac23 BJ$ de $B$ — luego el punto de corte de $[BJ]$ y $[AK]$ es exactamente ese mismo $G$. Las tres medianas pasan, pues, por $G$: son *concurrentes*.

**9.** $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm y $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

**10.** Por la pregunta 8, el mismo cálculo de los dos tercios vale en la mediana $[AK]$ (aplica el razonamiento de las preguntas 4–7 a la pareja $[AK]$, $[BJ]$): $AG = 2 \times GK$.

**11.** En el triángulo $GBC$, el punto $K$ es el punto medio del lado $[BC]$, luego $[GK]$ es una mediana de $GBC$; por la pregunta 2, los triángulos $GBK$ y $GKC$ tienen [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales.

**12.** La mediana $[AK]$ corta $ABC$ en $ABK$ y $AKC$, de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales (pregunta 2). Quitando a cada uno su triangulito de la pregunta 11:

$$
\text{área}(ABG) = \text{área}(ABK) - \text{área}(GBK),
\qquad
\text{área}(ACG) = \text{área}(AKC) - \text{área}(GKC),
$$

y las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) quitadas son iguales, luego $\text{área}(ABG) = \text{área}(ACG)$. El mismo cálculo a lo largo de la mediana $[BJ]$ — que parte $ABC$ en $ABJ$ y $CBJ$, mientras que $[GJ]$, mediana del triángulo $GAC$, lo parte en $GAJ$ y $GCJ$ — da $\text{área}(ABG) = \text{área}(CBG)$. Así que los tres triángulos $ABG$, $BCG$, $CAG$ tienen [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales y, como juntos recubren $ABC$, cada uno tiene por [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) un tercio del total.

**13.** En el triángulo $ABG$, el punto $I$ es el punto medio del lado $[AB]$, luego $[GI]$ es una mediana de $ABG$ *desde el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $G$*: corta $ABG$ en dos triángulos de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales (pregunta 2), a saber $AIG$ e $IBG$. Lo mismo ocurre en $BCG$ (mediana $[GK]$) y en $CAG$ (mediana $[GJ]$). Cada tercio de $ABC$ queda cortado por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): las seis porciones alrededor de $G$ tienen cada una [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ del triángulo.

**14.** En la mediana $[AK]$, de $A(0,0)$ a $K(3,3)$: $G$ se sitúa a dos tercios del camino, así que sus coordenadas son $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. En la mediana $[BJ]$, de $B(6, 0)$ a $J(0, 3)$: dos tercios del camino significa añadir dos tercios del desplazamiento ($-6$ en horizontal, $+3$ en vertical):

$$
\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right)
= (2, 2) .
$$

El mismo punto — como prometía la pregunta 8. Y $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: las coordenadas del [centro de gravedad](#pb-g8-midpoints-1) son las *medias* de las coordenadas de los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def).

**15.** Por la pregunta 2, el filo de un cuchillo apoyado a lo largo de una mediana deja la misma cantidad de cartón a cada lado ([áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales), así que el triángulo se equilibra sobre cada una de las tres rectas medianas. Un punto de equilibrio tiene que estar sobre las tres rectas de equilibrio a la vez y, por la pregunta 8, las tres medianas comparten exactamente un punto: $G$. Ahí es donde va la punta del lápiz. (Las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) iguales a ambos lados son la versión creíble del argumento; la honesta, que pesa *dónde* está el cartón y no solo cuánto hay, necesita el cálculo integral de los volúmenes de la universidad — que confirma $G$.)