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title: "El triángulo rectángulo y el coseno"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 60
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/60-el-triangulo-rectangulo-y-el-coseno
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# Capítulo 60 — El triángulo rectángulo y el coseno

Dos hechos preciosos atan el [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) a la circunferencia: un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) encaja exactamente en una semicircunferencia, con la hipotenusa como [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle). Y un solo número, el *coseno* de un ángulo, codifica la forma de todos los [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) con ese ángulo — la primera razón trigonométrica, por delante de sus hermanos el seno y la tangente ([Capítulo 69](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/69-trigonometria-en-el-triangulo-rectangulo#ch-g9-trig)).

## 60.1 El triángulo rectángulo y su circunferencia

**Teorema 60.1 (Teorema de la circunferencia).**

1. si un triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ , entonces $A$ está sobre la circunferencia cuyo [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) es la hipotenusa $[BC]$ ;
2. recíprocamente, si $A$ está sobre una circunferencia de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (con $A \neq B, C$ ), entonces el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ .

Equivalentemente: en un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), el punto medio de la hipotenusa está a igual distancia de los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) — la mediana desde el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) mide la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la hipotenusa.

**Demostración de 1.** Sea $O$ el punto medio de $[BC]$ y $D$ el [simétrico](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-def) de $A$ respecto de $O$. Las diagonales de $ABDC$ se cortan en su punto medio común $O$, así que $ABDC$ es un [paralelogramo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram) ([Definición 52.7](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-parallelogram)) — con un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) en $A$: es un rectángulo. Las diagonales de un rectángulo son iguales, así que $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$: el punto $A$ está a distancia $\frac{BC}{2}$ de $O$, es decir, sobre la circunferencia de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$. (El punto 2 se demuestra recorriendo el argumento al revés.) ∎

![Esté donde esté A sobre la circunferencia, el ángulo BAC es recto — la conjetura del , ahora un teorema. La mediana roja (OA) es un radio: la mitad de la hipotenusa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-104da44b3199.svg)

*Esté donde esté $A$ sobre la circunferencia, el ángulo $\widehat{BAC}$ es recto — la conjetura del [Ejercicio 41.10](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#exo-g6-shapes-10), ahora un teorema. La mediana roja $[OA]$ es un [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes): la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la hipotenusa.*

**Ejemplo 60.2.**

Un triángulo tiene una hipotenusa de $10$ cm. Sin saber nada más, la mediana desde el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) mide $5$ cm y la [circunferencia circunscrita](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1) del triángulo tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm, con centro en el punto medio de la hipotenusa.

## 60.2 El coseno de un ángulo agudo

**Definición 60.3 (Coseno).**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), para un ángulo agudo $\theta$:

$$
\cos\theta = \frac{\text{cateto contiguo a } \theta}{\text{hipotenusa}}
$$

— el cateto que toca a $\theta$, dividido entre la hipotenusa. Esta razón depende solo del ángulo, no del tamaño del triángulo: todos los [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) con el mismo ángulo agudo son ampliaciones unos de otros, y las ampliaciones conservan las razones de longitudes (el [Capítulo 59](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#ch-g8-midpoints) empezó esta historia; el [Capítulo 68](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#ch-g9-thales) la termina).

![Dos triángulos rectángulos que comparten el ángulo : el pequeño es una reducción del grande, así que contiguo hipotenusa es el mismo para los dos — ese valor común es .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-a17d051dd077.svg)

*Dos [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) que comparten el ángulo $\theta$: el pequeño es una reducción del grande, así que $\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}$ es el mismo para los dos — ese valor común es $\cos\theta$.*

**Proposición 60.4 (Primeros valores y cotas).**

Para todo ángulo agudo $\theta$: $0 < \cos\theta < 1$, y el coseno *decrece* a medida que el ángulo se abre: un ángulo más abierto tiene menor coseno. Referencias: $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = \frac12$, $\cos 90^\circ = 0$ (los valores extremos corresponden a triángulos aplastados).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Método 60.5 (Usar el coseno).**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), cuando lo conocido y lo buscado son un ángulo agudo, su cateto contiguo y la hipotenusa:

1. escribe la definición: $\cos\theta = \frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}$ con los valores conocidos en su sitio;
2. resuelve la pequeña [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def) para la incógnita (multiplica o divide);
3. para un *ángulo* desconocido, aplica el $\cos^{-1}$ de la calculadora a la razón calculada;
4. comprobaciones de sentido común: una longitud tiene que salir más corta que la hipotenusa; un ángulo, estrictamente entre $0^\circ$ y $90^\circ$ .

**Ejemplo 60.6 (Hallar un lado).**

Una rampa de $6$ m forma un ángulo de $20^\circ$ con el suelo horizontal. Distancia horizontal recorrida (contigua a $20^\circ$, con la hipotenusa $6$ m):

$$
\cos 20^\circ = \frac{d}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.
$$

**Ejemplo 60.7 (Hallar un ángulo).**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), el cateto contiguo al ángulo $\theta$ mide $3.5$ y la hipotenusa, $5$:

$$
\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7,
\qquad
\theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .
$$

## 60.3 Ejercicios

**Ejercicio 60.1 ★.**

Un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene una hipotenusa de $13$ cm. ¿Cuánto mide la mediana desde el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) del [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle)? ¿Cuál es el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la circunferencia que pasa por los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def)?

**Solución de Ejercicio 60.1.**

Mediana desde el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle): la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la hipotenusa, $6.5$ cm ([Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). La [circunferencia circunscrita](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#pb-g6-symmetry-1) tiene su centro en el punto medio de la hipotenusa y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6.5$ cm.

**Ejercicio 60.2 ★.**

Traza una circunferencia de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $8$ cm con un [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, elige un punto cualquiera $A$ de la circunferencia y dibuja $ABC$. ¿Qué ángulo es recto? Cita el teorema. Mide $AB$ y $AC$ y comprueba Pitágoras.

**Solución de Ejercicio 60.2.**

El ángulo en $A$ es recto ($[BC]$ es un [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle): punto 2 del [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). Las medidas cumplen $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$, salvo precisión de medida.

**Ejercicio 60.3 ★.**

En un triángulo $DEF$ rectángulo en $D$, nombra el cateto contiguo al ángulo $\widehat E$, el cateto opuesto y la hipotenusa. Escribe $\cos \widehat E$ como una razón.

**Solución de Ejercicio 60.3.**

Hipotenusa: $[EF]$ (opuesta al [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) $D$). Adyacente a $\widehat E$: $[ED]$. Opuesto: $[DF]$. Luego $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$.

**Ejercicio 60.4 ★.**

Calcula la magnitud que falta ($\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\cos 50^\circ \approx 0.643$):

1. hipotenusa $10$ , ángulo $35^\circ$ : ¿cateto contiguo?
2. cateto contiguo $6$ , ángulo $50^\circ$ : ¿hipotenusa?

**Solución de Ejercicio 60.4.**

*1.* adyacente $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$.

*2.* hipotenusa $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx
\dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$.

**Ejercicio 60.5 ★.**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), el cateto contiguo a $\theta$ mide $8$ y la hipotenusa, $10$. Calcula $\cos\theta$ y después $\theta$ ($\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$).

**Solución de Ejercicio 60.5.**

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$, luego $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$.

**Ejercicio 60.6 ★.**

Explica por qué $\cos\theta$ nunca puede valer $1.2$ para un ángulo agudo de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles).

**Solución de Ejercicio 60.6.**

$\cos\theta$ es un cateto dividido entre la hipotenusa, y la hipotenusa es el lado *más largo* de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles): el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es siempre menor que $1$. Un valor de $1.2$ significaría un cateto más largo que la hipotenusa — imposible.

**Ejercicio 60.7 ★★.**

Una tirolina de $25$ m baja desde una plataforma hasta el suelo formando un ángulo de $12^\circ$ con la horizontal ($\cos 12^\circ \approx
0.978$). ¿Qué distancia horizontal cubre?

**Solución de Ejercicio 60.7.**

Alcance horizontal $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx
24.5$ m.

**Ejercicio 60.8 ★★.**

Ordena sin calculadora: $\cos 20^\circ$, $\cos 70^\circ$ y $\cos 45^\circ$ (usa la [Proposición 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)). Compruébalo después con calculadora.

**Solución de Ejercicio 60.8.**

El coseno disminuye a medida que el ángulo crece ([Proposición 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)):

$$
\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .
$$

(Calculadora: $0.342 < 0.707 < 0.940$.)

**Ejercicio 60.9 ★★.**

Una escalera de longitud $L$ se apoya en una pared formando un ángulo $\theta$ entre la escalera y el *suelo*. Su pie está a $1.2$ m de la pared y $\theta = 68^\circ$ ($\cos 68^\circ \approx 0.375$). Calcula $L$ y después la altura alcanzada (Pitágoras).

**Solución de Ejercicio 60.9.**

La distancia en el suelo es adyacente a $\theta$: $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$, luego $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Altura (Pitágoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

**Ejercicio 60.10 ★★.**

$[BC]$ es un [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) de una circunferencia de centro $O$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4.5$ cm, y $A$ es un punto de la circunferencia con $AB = 5.4$ cm.

1. ¿por qué es $ABC$ rectángulo en $A$ ?
2. calcula $AC$ y después $\cos \widehat B$ .

**Solución de Ejercicio 60.10.**

*1.* $A$ está en una circunferencia de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$: [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) en $A$ ([Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)).

*2.* $BC = 9$ cm (el doble del [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes)). Pitágoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. Y $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$.

**Ejercicio 60.11 ★★★.**

Usando la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado $1$ (cortado por una altura), justifica la referencia $\cos 60^\circ = \frac12$ de la [Proposición 60.4](#prop-g8-cosine-bounds). (¿Dónde cae el pie de la altura sobre la base? La versión trigonométrica completa está en el [Ejemplo 69.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/69-trigonometria-en-el-triangulo-rectangulo#ex-g9-trig-special).)

**Solución de Ejercicio 60.11.**

En el [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado $1$, la altura desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) cae en el *punto medio* del lado opuesto ([eje de simetría](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#def-g6-symmetry-axis)). La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del triángulo es rectángulo, con hipotenusa $1$ (un lado entero), un ángulo de $60^\circ$ en el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de la base y lado adyacente $\frac12$ (la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la base). Por tanto

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .
$$

## 60.4 Problema: Las relaciones de Euclides y Pitágoras otra vez

**Problema 60.1.**

Problema de fin de semana — la altura de un triángulo rectángulo: $AB^2 = BH \times BC$, $AH^2 = BH \times HC$, una segunda demostración de Pitágoras y una máquina para construir raíces cuadradas

Traza, desde el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), la perpendicular a la hipotenusa: ese [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) corto — la *altura* — cumple relaciones tan útiles que Euclides las puso en el corazón de sus *Elementos*. En este problema, la propiedad que define al coseno, «la razón depende solo del ángulo» ([Definición 60.3](#def-g8-cosine-def)), las demuestra todas; por el camino volverás a demostrar el teorema de Pitágoras por una vía completamente distinta y terminarás con una máquina de regla y compás que construye $\sqrt2$, $\sqrt5$ y $\sqrt{n}$ para todo número entero $n$.

En todo el problema, $ABC$ es un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) en $A$ y $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a la hipotenusa $[BC]$, de modo que $H$ está entre $B$ y $C$ y $AH \perp BC$.

**Parte I — Un ángulo, dos triángulos.**

1. usando la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los ángulos de un triángulo ( [Teorema 51.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#thm-g7-triangles-sum) ) en $ABH$ y en $ABC$ , demuestra que $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : la altura corta el [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) en dos triángulos menores que llevan los *mismos ángulos* que el original;
2. los triángulos $ABC$ (rectángulo en $A$) y $ABH$ (rectángulo en $H$) comparten el ángulo $\widehat B$. Escribe $\cos\widehat B$ en cada uno y deduce de la [Definición 60.3](#def-g8-cosine-def) que $$AB^2 = BH \times BC .$$ (para pasar de razones iguales a [productos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) iguales, multiplica los dos miembros por los dos [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def), [Teorema 57.5](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#thm-g8-equations-balance).)
3. enuncia y demuestra la relación gemela en el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $C$: $$AC^2 = CH \times CB .$$
4. toma el triángulo $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Calcula $BH$ y $CH$ con las preguntas 2 y 3, y comprueba que $BH + HC = BC$ ;
5. en general, expresa $BH$ y $CH$ como fracciones en las que solo aparezcan los tres lados. ¿En qué sentido reparte el pie $H$ la hipotenusa «proporcionalmente a los cuadrados de los catetos»?

**Parte II — Pitágoras otra vez y la altura.**

6. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) las relaciones de las preguntas 2 y 3 y usa $BH + HC = BC$ para obtener $$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$$ el teorema de Pitágoras ([Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#thm-g8-pythagoras-direct)), demostrado de nuevo — sin ningún rompecabezas de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) a la vista (compara el [Ejercicio 58.11](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#exo-g8-pythagoras-11)).
7. aplica Pitágoras en el triángulo pequeño $ABH$ para escribir $AH^2 = AB^2 - BH^2$, sustituye $AB^2$ por $BH \times BC$ y saca factor común $BH$ para demostrar la *relación de la altura de Euclides*: $$AH^2 = BH \times HC .$$
8. calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de $ABC$ de dos maneras — con los catetos como base y altura, y después con la hipotenusa como base ([Teorema 53.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#thm-g7-areas-triangle)) — y deduce la tercera relación: $$AB \times AC = BC \times AH .$$
9. de vuelta al triángulo $3$ – $4$ – $5$ : calcula $AH$ con la pregunta 8 y verifica después numéricamente la relación de la altura de la pregunta 7, usando los valores de $BH$ y $CH$ hallados en la pregunta 4;
10. el pie de la altura parte la hipotenusa de cierto [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) en [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $BH = 2$ cm y $HC = 8$ cm. Calcula la altura $AH$ .

**Parte III — Una máquina de raíces cuadradas.** Traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[BC]$ formado por dos trozos puestos uno a continuación del otro: $BH = p$ y $HC = q$. Traza la semicircunferencia de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ y sea $A$ el punto donde la perpendicular a $(BC)$ en $H$ la corta.

11. usando el [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle), explica por qué el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ — así que se aplica la pregunta 7 y $$AH^2 = p \times q .$$ (la longitud $AH$ se llama la *media geométrica* de $p$ y $q$);
12. toma $p = 1$ y $q = 2$ . ¿Cuánto vale $AH^2$ ? ¿Qué longitud famosa del [Ejemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) acaba de construir tu figura de regla y compás?
13. describe la receta que construye un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de longitud $\sqrt n$ para cualquier número entero $n \geq 1$ , y di qué elección de $p$ y $q$ construye $\sqrt 5$ ;
14. sea $O$ el centro de la semicircunferencia. Explica por qué $AH$ nunca puede superar el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $\frac{p + q}{2}$ y para qué posición de $H$ los dos son iguales.
15. deduce la desigualdad: para todos los números positivos $p$ y $q$, $$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$$ con igualdad exactamente cuando $p = q$. Vuelve a demostrarla después sin nada de geometría: desarrolla $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ y reconoce una identidad notable ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1)).

**Solución de Problema 60.1.**

**1.** En el triángulo $ABH$, rectángulo en $H$, la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los ángulos ([Teorema 51.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#thm-g7-triangles-sum)) da $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$, luego $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$. En el triángulo $ABC$, rectángulo en $A$: $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$, luego $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$. Por tanto $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$: los dos triángulos pequeños repiten los ángulos $\widehat B$, $\widehat C$, $90^\circ$ del original.

**2.** En $ABC$ (rectángulo en $A$), el lado adyacente a $\widehat B$ es $AB$ y la hipotenusa es $BC$: $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$. En $ABH$ (rectángulo en $H$), el lado adyacente a $\widehat B$ es $BH$ y la hipotenusa es $AB$: $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$. La razón solo depende del ángulo ([Definición 60.3](#def-g8-cosine-def)), luego

$$
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;
$$

multiplicando los dos miembros por $BC \times AB$ ([Teorema 57.5](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#thm-g8-equations-balance)): $AB^2 = BH \times BC$.

**3.** Los triángulos $ABC$ (rectángulo en $A$) y $ACH$ (rectángulo en $H$) comparten el ángulo $\widehat C$. Lado adyacente entre hipotenusa en cada uno:

$$
\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC}
\qquad\Longrightarrow\qquad
AC^2 = CH \times CB .
$$

**4.** $AB^2 = BH \times BC$ se lee $9 = BH \times 5$, luego $BH = 1.8$; y $16 = CH \times 5$ da $CH = 3.2$. Comprobación: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — como tenía que ser, ya que $H$ está sobre la hipotenusa, entre $B$ y $C$.

**5.** Dividiendo cada relación entre $BC$:

$$
BH = \frac{AB^2}{BC},
\qquad
CH = \frac{AC^2}{BC} .
$$

Así que $BH$ y $CH$ son [proporcionales](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/44-proporcionalidad-y-datos#def-g6-propdata-def) a $AB^2$ y $AC^2$: el pie de la altura parte la hipotenusa en la razón de los cuadrados de los catetos ($1.8 : 3.2 = 9 : 16$ en la pregunta 4).

**6.** Sumando las dos relaciones y sacando factor común $BC$ (distributividad):

$$
AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC
= (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .
$$

Esto es el [Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#thm-g8-pythagoras-direct), obtenido solo a partir del coseno — una demostración auténticamente distinta del rompecabezas de [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de los cuatro triángulos del [Ejercicio 58.11](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#exo-g8-pythagoras-11).

**7.** Pitágoras en $ABH$ (rectángulo en $H$, hipotenusa $[AB]$): $AH^2 = AB^2 - BH^2$. Sustituyendo $AB^2$ por $BH \times BC$ (pregunta 2) y sacando factor común $BH$:

$$
AH^2 = BH \times BC - BH^2
= BH \times (BC - BH)
= BH \times HC .
$$

**8.** Tomando los catetos como base y altura, el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de $ABC$ es $\frac{AB \times AC}{2}$; tomando la hipotenusa $[BC]$ como base, la altura es exactamente $AH$, así que el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) también es $\frac{BC \times AH}{2}$ ([Teorema 53.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#thm-g7-areas-triangle)). Igualando y multiplicando por dos: $AB \times AC = BC \times AH$.

**9.** $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5}
= 2.4$. Comprobación de la pregunta 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ y $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$. Iguales.

**10.** $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$, luego $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

**11.** El punto $A$ está en la circunferencia de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (y es distinto de $B$ y de $C$), así que, por el punto 2 del [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle), el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$. Por construcción $(AH) \perp (BC)$ con $H$ entre $B$ y $C$: el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AH]$ es precisamente la altura de la pregunta 7, y $AH^2 = BH \times HC = p \times q$.

**12.** $AH^2 = 1 \times 2 = 2$: la figura construye, solo con regla y compás, un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) cuyo cuadrado es $2$ — la diagonal del cuadrado unidad, $\sqrt2 \approx 1.414$, del [Ejemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal).

**13.** Receta: pon uno a continuación del otro dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de longitudes $p = 1$ y $q = n$; traza la semicircunferencia cuyo [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) es el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) entero (de longitud $n + 1$); levanta la perpendicular en el punto de unión; corta a la semicircunferencia en un punto cuya distancia al punto de unión es $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$. Para $\sqrt5$: toma $p = 1$ y $q = 5$ (una semicircunferencia de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $6$).

**14.** $A$ está en la circunferencia de centro $O$, luego $OA = \frac{p+q}{2}$, el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes). Si $H \neq O$, el triángulo $AHO$ es rectángulo en $H$ con hipotenusa $[OA]$, y un cateto es más corto que la hipotenusa: $AH < OA$. Si $H = O$, entonces $AH = OA$ exactamente. En todos los casos $AH \leq \frac{p+q}{2}$, con igualdad exactamente cuando $H$ es el centro — es decir, cuando $p = q$.

**15.** Elevando al cuadrado $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (los dos miembros son positivos) y usando $AH^2 = pq$:

$$
p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,
$$

con igualdad exactamente para $p = q$. Nueva demostración algebraica, con las identidades notables ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1)):

$$
\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq
= \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4}
= \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}
= \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,
$$

un cuadrado, luego nunca negativo — y [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) exactamente cuando $p = q$. La [media geométrica](#pb-g8-cosine-1) de dos números nunca supera su semisuma.