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title: "Proporcionalidad, velocidad y medias"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 61
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias
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# Capítulo 61 — Proporcionalidad, velocidad y medias

La [proporcionalidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/49-la-proporcionalidad#def-g7-prop-table) ([Capítulo 49](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/49-la-proporcionalidad#ch-g7-prop)) se encuentra ahora con el mundo físico: la [velocidad](#def-g8-speed-def), los caudales, las conversiones de unidades — magnitudes que son *[cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder)* de otras dos. El capítulo cierra con las [medias ponderadas](#def-g8-speed-average), donde pensar en proporciones evita un error clásico.

## 61.1 La velocidad media

**Definición 61.1 (Velocidad media).**

La *velocidad media* de un trayecto es el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder)

$$
v = \frac{d}{t}
\qquad
\left(\text{la distancia dividida entre la duración}\right),
$$

en kilómetros por hora (km/h), metros por segundo (m/s), … La fórmula se da la vuelta: $d = v \times t$ y $t = \frac{d}{v}$.

**Ejemplo 61.2.**

Un tren recorre $270$ km en $1$ h $30$ min. Convierte primero el tiempo: $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Entonces,

$$
v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.
$$

Distancia a $90$ km/h durante $2$ h $20$ min $= \frac73$ h: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Tiempo para $35$ km a $14$ km/h: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

**Observación 61.3 (Los minutos no son decimales).**

$1$ h $30$ min es $1.5$ h, pero $1$ h $20$ min *no* es $1.2$ h: es $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Convierte siempre los minutos en [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) de hora ($60$ min $= 1$ h) antes de dividir.

![A velocidad constante, la distancia es proporcional al tiempo: una recta que pasa por el origen, cuya inclinación es la velocidad.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-speed/fig-c8e66f76f95f.svg)

*A [velocidad](#def-g8-speed-def) constante, la distancia es proporcional al tiempo: una recta que pasa por el origen, cuya inclinación *es* la [velocidad](#def-g8-speed-def).*

**Método 61.4 (Convertir velocidades).**

Para convertir km/h en m/s: $1$ km $= 1000$ m y $1$ h $= 3600$ s, así que

$$
v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s}
= \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.
$$

Para convertir m/s en km/h, multiplica por $3.6$.

**Ejemplo 61.5.**

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Un velocista que corre $100$ m en $10$ s va a $10$ m/s $= 36$ km/h.

## 61.2 Magnitudes cociente

**Ejemplo 61.6 (Caudal, densidad, precio por kilo).**

La [velocidad](#def-g8-speed-def) tiene muchos primos, todos tratados igual:

- un grifo llena $48$ L en $4$ min: caudal $\frac{48}{4} = 12$ L/min, así que llenar una bañera de $150$ L lleva $\frac{150}{12} = 12.5$ min;
- $0.6$ kg de queso cuestan $9$ euros: precio $\frac{9}{0.6} = 15$ euros por kg;
- un coche gasta $6.3$ L en $90$ km: consumo $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L cada $100$ km.

Identifica el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) y la fórmula de tres vías ($q = \frac ab$, $a = qb$, $b = \frac aq$) hace el resto.

## 61.3 Medias ponderadas

**Definición 61.7 (Media ponderada).**

Cuando unos valores $v_1, v_2, \dots$ vienen con recuentos (o pesos) $n_1, n_2, \dots$, su *media ponderada* es

$$
\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :
$$

el total de los valores, dividido entre el total de los pesos.

**Ejemplo 61.8.**

Un examen lo hicieron dos grupos: el grupo 1, de $12$ alumnos, con media $11$; el grupo 2, de $18$ alumnos, con media $14$. Media de toda la clase:

$$
\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18}
= \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .
$$

*No* $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$: el grupo mayor arrastra la media hacia su lado — los pesos importan.

**Ejemplo 61.9 (Velocidad media en dos tramos).**

Una ciclista recorre $30$ km a $30$ km/h y después $30$ km a $15$ km/h. La [velocidad media](#def-g8-speed-def) de todo el trayecto *no* es $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Calcúlala con la definición:

1. tiempos: $\frac{30}{30} = 1$ h y después $\frac{30}{15} = 2$ h; en total, $3$ h;
2. distancia total $60$ km, así que $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

El tramo lento dura más, así que pesa más — una media de [velocidades](#def-g8-speed-def) hay que ponderarla por el *tiempo*.

## 61.4 Ejercicios

**Ejercicio 61.1 ★.**

Calcula la [velocidad media](#def-g8-speed-def): $150$ km en $2$ h; $27$ km en $45$ min; $100$ m en $12.5$ s.

**Solución de Ejercicio 61.1.**

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

**Ejercicio 61.2 ★.**

Calcula la distancia: $2$ h a $85$ km/h; $40$ min a $90$ km/h. Calcula el tiempo: $315$ km a $90$ km/h (en h y min).

**Solución de Ejercicio 61.2.**

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

**Ejercicio 61.3 ★.**

Convierte: $72$ km/h en m/s; $5$ m/s en km/h; $108$ km/h en m/s.

**Solución de Ejercicio 61.3.**

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

**Ejercicio 61.4 ★.**

Un grifo da $15$ L/min. ¿Cuánto tarda en llenar un depósito de $600$ L? ¿Cuántos litros da en $2$ h $30$?

**Solución de Ejercicio 61.4.**

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L.

**Ejercicio 61.5 ★.**

¿Qué sale mejor: $1.2$ kg de manzanas por $3.30$ euros o $0.8$ kg por $2.16$ euros? Compara los precios por kilogramo.

**Solución de Ejercicio 61.5.**

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euros/kg frente a $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euros/kg: la segunda oferta es (ligeramente) la más ventajosa.

**Ejercicio 61.6 ★.**

Una clase de $25$ alumnos tiene una media de $12.4$ en un examen; otra clase de $35$ alumnos tiene una media de $10$. Calcula la media de las dos clases juntas.

**Solución de Ejercicio 61.6.**

$$
\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60}
= \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .
$$

**Ejercicio 61.7 ★.**

El sonido viaja a unos $340$ m/s. Ves un relámpago y oyes el trueno $6$ segundos después. ¿A qué distancia cayó el rayo (redondeando a los $100$ m)?

**Solución de Ejercicio 61.7.**

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

**Ejercicio 61.8 ★★.**

Un senderista camina $2$ h a $5$ km/h, descansa $30$ min y después camina $1$ h $30$ a $4$ km/h. Calcula la distancia total y la [velocidad media](#def-g8-speed-def) *incluyendo el descanso* (distancia total entre tiempo total transcurrido).

**Solución de Ejercicio 61.8.**

Distancias: $2 \times 5 = 10$ km, y después $1.5 \times 4 = 6$ km: en total $16$ km. Tiempo transcurrido: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. [Velocidad media](#def-g8-speed-def): $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

**Ejercicio 61.9 ★★.**

Notas con coeficientes: un alumno sacó $15$ (coeficiente $3$), $9$ (coeficiente $2$) y $12$ (coeficiente $1$). Calcula la [media ponderada](#def-g8-speed-average). ¿Qué media simple (sin ponderar) tendría y por qué son distintas?

**Solución de Ejercicio 61.9.**

Con coeficientes: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1}
= \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$. Sin coeficientes: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$. Difieren porque los coeficientes dan a la nota $15$ tres veces el peso de la nota $12$.

**Ejercicio 61.10 ★★.**

Un coche recorre $120$ km a $80$ km/h y después $120$ km a $120$ km/h.

1. calcula la duración de cada tramo y después la [velocidad media](#def-g8-speed-def) de todo el trayecto;
2. explica por qué la respuesta es menor que $100$ km/h, el punto medio de las dos [velocidades](#def-g8-speed-def) .

**Solución de Ejercicio 61.10.**

*1.* Duraciones: $\frac{120}{80} = 1.5$ h y $\frac{120}{120} = 1$ h. [Velocidad media](#def-g8-speed-def): $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

*2.* El coche pasa *más tiempo* a $80$ km/h ($1.5$ h) que a $120$ km/h ($1$ h): la [velocidad](#def-g8-speed-def) lenta pesa más en la [media ponderada](#def-g8-speed-average) por el tiempo y la arrastra por debajo del punto medio $100$.

**Ejercicio 61.11 ★★★.**

Dos pueblos distan $18$ km. Ana sale del primero a las $10{:}00$ andando a $5$ km/h hacia el segundo; Boris sale del segundo a la misma hora andando a $4$ km/h hacia el primero. ¿A qué hora se encuentran y a qué distancia del pueblo de Ana? (Entre los dos reducen la separación a $5 + 4$ km/h.)

**Solución de Ejercicio 61.11.**

La separación de $18$ km se cierra a $5 + 4 = 9$ km/h: se encuentran al cabo de $\frac{18}{9} = 2$ h, a las $12{:}00$. Ana ha andado entonces $2 \times 5 = 10$ km: se encuentran a $10$ km del pueblo de Ana (y a $8$ km del de Boris — comprobación: $10 + 8 = 18$).

## 61.5 Problema: La media armónica, o por qué el viaje de vuelta arruina la media

**Problema 61.1.**

Problema de fin de semana — la [velocidad media](#def-g8-speed-def) en distancias iguales es $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ y nunca supera el punto medio de las [velocidades](#def-g8-speed-def)

El [Ejemplo 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) y el [Ejercicio 61.10](#exo-g8-speed-10) terminaron los dos con la misma sorpresa: ir a una [velocidad](#def-g8-speed-def), volver a otra, y la [velocidad media](#def-g8-speed-def) cae *por debajo* del punto medio de las dos. Este problema halla la fórmula exacta que hay detrás de la sorpresa — una clase nueva de media, la *media armónica* —, demuestra que la sorpresa es un teorema y la lleva a su extremo lógico: un alcance que ninguna [velocidad](#def-g8-speed-def) del mundo puede lograr.

**Parte I — La fórmula del viaje de ida y vuelta.** Un trayecto cubre una distancia $d$ a [velocidad](#def-g8-speed-def) $v_1$ y después la misma distancia $d$ otra vez a [velocidad](#def-g8-speed-def) $v_2$ (todos números positivos).

1. expresa las dos duraciones y después la duración total como fracciones en las que aparezcan $d$ , $v_1$ y $v_2$ ;
2. la [velocidad media](#def-g8-speed-def) de todo el trayecto es $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) de piso doble ([Ejemplo 55.8](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/55-fracciones-las-cuatro-operaciones#ex-g8-fractions-complex)). Simplifícala y demuestra: $$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$$
3. comprueba la fórmula con los dos cálculos citados arriba: $v_1 = 30$ y $v_2 = 15$ km/h ( [Ejemplo 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) ), y $v_1 = 80$ y $v_2 = 120$ km/h ( [Ejercicio 61.10](#exo-g8-speed-10) );
4. la distancia $d$ ha desaparecido de la fórmula. ¿Qué significa eso, en concreto, para la ciclista?
5. supón ahora que el trayecto pasa en cambio el mismo *tiempo* $T$ a cada [velocidad](#def-g8-speed-def) . Demuestra que la [velocidad media](#def-g8-speed-def) es entonces $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , el punto medio simple. En el lenguaje de la [Definición 61.7](#def-g8-speed-average) : ¿por qué magnitud hay que ponderar siempre una media de [velocidades](#def-g8-speed-def) y qué cambia entre los dos escenarios?

**Parte II — Armónica frente a aritmética.** Para dos números positivos $v_1$ y $v_2$, sean

$$
H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2}
\quad\text{(su \emph{media armónica}),}
\qquad
A = \frac{v_1 + v_2}{2}
\quad\text{(su \emph{media aritmética}).}
$$

6. calcula $H$ y $A$ para las parejas $(30, 15)$ y $(80, 120)$ . ¿Cuál de las dos medias gana en cada caso?
7. pon $A - H$ sobre el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $2(v_1 + v_2)$, desarrolla el [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) con las identidades notables ([Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1)) y demuestra: $$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$$
8. deduce el teorema que hay detrás de todas las sorpresas: para [velocidades](#def-g8-speed-def) positivas, $H \leq A$ siempre, con igualdad exactamente cuando $v_1 = v_2$ . ¿Por qué zanja la cuestión un cuadrado en el [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) ?
9. demuestra la elegante identidad $H \times A = v_1 \times v_2$ : las dos medias multiplicadas devuelven el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) original;
10. un coche recorre $60$ km a $40$ km/h y $60$ km a $60$ km/h. Predice la [velocidad media](#def-g8-speed-def) con la fórmula y confírmala después por la vía larga, con tiempos y distancia total.

**Parte III — El alcance imposible.**

11. una ciclista participa en una carrera de $30$ km esperando promediar $30$ km/h. ¿Cuánto tiempo puede durarle la carrera, como mucho? Recorre los primeros $15$ km a $15$ km/h: ¿cuánto le queda de ese presupuesto de tiempo?
12. demuestra que la media esperada se ha vuelto literalmente imposible: calcula su [velocidad media](#def-g8-speed-def) si recorre la segunda [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) a $90$ km/h y explica por qué ni siquiera una [velocidad](#def-g8-speed-def) arbitrariamente enorme le permite alcanzar los $30$ km/h;
13. baja su objetivo a $20$ km/h. ¿Qué [velocidad](#def-g8-speed-def) en los segundos $15$ km lo consigue? Comprueba tu respuesta con la fórmula de la [media armónica](#pb-g8-speed-1) ;
14. un grifo de agua fría solo llena una bañera en $20$ min; el de agua caliente solo, en $30$ min. ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) de la bañera llenan los dos grifos juntos por minuto y cuánto tardan? Compara tu respuesta con $H(20, 30)$ : ¿qué observas?
15. un avión vuela la misma ruta de ida y de vuelta: $900$ km/h con el viento a favor y $700$ km/h en contra. Calcula la [velocidad media](#def-g8-speed-def) del viaje completo y explica en una frase por qué un viento, sople como sople, siempre *alarga* un viaje de ida y vuelta.

**Solución de Problema 61.1.**

**1.** Por la [Definición 61.1](#def-g8-speed-def), $t_1 = \frac{d}{v_1}$ y $t_2 = \frac{d}{v_2}$; el trayecto entero dura $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ para una distancia de $2d$.

**2.** Saca factor común $d$ en el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y simplifícalo:

$$
\bar v
= \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)}
= \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .
$$

[Denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común dentro: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$, y dividir es multiplicar por el [inverso](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/55-fracciones-las-cuatro-operaciones#def-g8-fractions-inverse) ([Teorema 55.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/55-fracciones-las-cuatro-operaciones#thm-g8-fractions-div)):

$$
\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .
$$

**3.** $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15}
= \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, como en el [Ejemplo 61.9](#ex-g8-speed-twolegs); y $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200}
= 96$ km/h, como se halló en el [Ejercicio 61.10](#exo-g8-speed-10).

**4.** La media solo depende de las dos [velocidades](#def-g8-speed-def), no de $d$: una ida y vuelta de $1$ km y otra de $100$ km a las mismas dos [velocidades](#def-g8-speed-def) tienen exactamente la misma [velocidad media](#def-g8-speed-def). (Por eso la fórmula se podía comprobar en trayectos de longitudes distintas.)

**5.** En un tiempo $T$ a cada [velocidad](#def-g8-speed-def), las distancias son $v_1 T$ y $v_2 T$, luego

$$
\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T}
= \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T}
= \frac{v_1 + v_2}{2} .
$$

Una media de [velocidades](#def-g8-speed-def) siempre está ponderada por el *tiempo* ([Definición 61.7](#def-g8-speed-average)). Con tiempos iguales, las dos [velocidades](#def-g8-speed-def) llevan pesos iguales: punto medio a secas. Con distancias iguales, la [velocidad](#def-g8-speed-def) más lenta ocupa *más* tiempo, luego más peso — y la media se desliza hacia ella.

**6.** Para $(30, 15)$: $H = 20$ y $A = 22.5$. Para $(80, 120)$: $H = 96$ y $A = 100$. La media aritmética gana las dos veces.

**7.** Con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $2(v_1 + v_2)$:

$$
A - H
= \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,
$$

y el [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se desarrolla con las identidades del [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1):

$$
(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2
= (v_1 - v_2)^2 .
$$

**8.** Un cuadrado nunca es negativo, y $2(v_1 + v_2)$ es positivo: así que $A - H \geq 0$, es decir $H \leq A$, para todo [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [velocidades](#def-g8-speed-def) positivas. La igualdad exige $(v_1 - v_2)^2 = 0$, es decir $v_1 = v_2$: en cuanto las dos [velocidades](#def-g8-speed-def) difieren, la media de la ida y vuelta cae estrictamente por debajo del punto medio — la sorpresa es un teorema.

**9.** Multiplica:

$$
H \times A
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2}
= v_1 v_2 ,
$$

tras simplificar el factor $2$ y el factor $v_1 + v_2$.

**10.** Fórmula: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60}
{40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Por el camino largo: $\frac{60}{40} = 1.5$ h y $\frac{60}{60} = 1$ h, luego $120$ km en $2.5$ h: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. Coinciden.

**11.** Promediar $30$ km/h en $30$ km significa un tiempo total de como mucho $\frac{30}{30} = 1$ h. Los primeros $15$ km a $15$ km/h ya se llevan $\frac{15}{15} = 1$ h: el presupuesto de tiempo *entero* está gastado, y queda la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del recorrido.

**12.** A $90$ km/h la segunda [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) lleva $\frac{15}{90} = \frac16$ h, así que la carrera dura $\frac76$ h y

$$
\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7
\text{ km/h} < 30 .
$$

Sea cual sea la [velocidad](#def-g8-speed-def) de la segunda [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half), su duración es un número positivo, así que el tiempo total pasa de $1$ h y la media se queda estrictamente por debajo de $30$ km/h. (Con la fórmula: $\frac{2 \times 15
\times v_2}{15 + v_2} = 30$ obligaría a $30 v_2 = 450 + 30 v_2$, es decir $0 = 450$ — ninguna [velocidad](#def-g8-speed-def) $v_2$ sirve.)

**13.** Una media de $20$ km/h permite $\frac{30}{20} = 1.5$ h; tras la primera hora quedan $15$ km para $0.5$ h: necesita $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h. Comprobación: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45}
= 20$ km/h.

**14.** Por minuto, los grifos llenan $\frac{1}{20}$ y $\frac{1}{30}$ de la bañera; juntos

$$
\frac{1}{20} + \frac{1}{30}
= \frac{3}{60} + \frac{2}{60}
= \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
$$

de la bañera por minuto: la bañera se llena en $12$ min. Y $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$: los dos grifos juntos tardan exactamente la *[mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la [media armónica](#pb-g8-speed-1)* de sus tiempos por separado — los caudales se suman, así que volvemos al terreno de la [media armónica](#pb-g8-speed-1).

**15.** La misma distancia en cada sentido, luego

$$
\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700}
= \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},
$$

por debajo de los $800$ km/h en aire en calma. En una frase: el avión pasa *más tiempo* volando contra el viento que a favor, así que el tramo lento recibe el mayor peso en la [media ponderada](#def-g8-speed-average) por el tiempo — un viento solo puede alargar una ida y vuelta.