---
title: "Pirámides y conos"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 62
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos
---

# Capítulo 62 — Pirámides y conos

Después de los [prismas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) y los [cilindros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) del [Capítulo 53](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#ch-g7-areas) — cuerpos de sección constante — llegan los cuerpos con punta: las [pirámides](#def-g8-solids-def) y los [conos](#def-g8-solids-def). Su fórmula del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) lleva un factor famoso, $\frac13$, que este capítulo hace verosímil y usa; el estudio de los cuerpos continúa con las esferas y las secciones en el [Capítulo 70](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/70-cuerpos-y-volumenes#ch-g9-solids).

## 62.1 Describir pirámides y conos

**Definición 62.1 (Pirámide, cono).**

- una *pirámide* tiene un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) como *base* y un punto, el *[vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def)* , unido a todos los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de la base por [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) triangulares. Su *altura* es la distancia del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) al plano de la base;
- un *cono* es la misma construcción sobre un disco: un disco como base, un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y una superficie lateral curva.

Una pirámide es *regular* cuando su base es un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular (cuadrado, [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), …) y su [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) queda en la vertical del centro de la base.

![Una pirámide de base cuadrada y un cono: una base poligonal o circular, un vértice y la altura medida perpendicularmente a la base.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-77ab71e793dd.svg)

*Una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base cuadrada y un [cono](#def-g8-solids-def): una base poligonal o circular, un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y la altura medida perpendicularmente a la base.*

**Ejemplo 62.2 (Contar caras, aristas y vértices).**

Una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base cuadrada tiene $5$ [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ($1$ cuadrado $+ 4$ triángulos), $8$ [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y $5$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def). Con una base de $n$ lados: $n + 1$ [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), $2n$ [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y $n + 1$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def). Comprueba el patroncito de Euler: [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $+$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $=$ [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $+ 2$.

## 62.2 El volumen

**Teorema 62.3 (Volumen de una pirámide o de un cono).**

Para una [pirámide](#def-g8-solids-def) o un [cono](#def-g8-solids-def) de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $B$ y altura $h$:

$$
V = \frac{1}{3}\, B \times h
$$

— un tercio del [prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) o del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) de la misma base y altura. Para un [cono](#def-g8-solids-def) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la base $r$: $V = \frac13 \pi r^2 h$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 62.4 (¿Por qué un tercio?).**

Llena de agua una [pirámide](#def-g8-solids-def) hueca y viértela en el [prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) de la misma base y altura: hacen falta exactamente tres llenados. Mejor aún: un [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) se puede cortar en tres [pirámides](#def-g8-solids-def) idénticas, cada una con una [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) como base y un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) como [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) (¡intenta imaginarlo!). Una demostración general usa la integración, herramienta del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.

**Ejemplo 62.5.**

Una [pirámide](#def-g8-solids-def) tiene una base cuadrada de lado $5$ cm y altura $9$ cm:

1. [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base: $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
2. [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Un [cono](#def-g8-solids-def) de helado de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm y altura $10$ cm:

$$
V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94
\text{ cm}^3 .
$$

**Ejemplo 62.6 (Cuidado con la altura).**

En un [cono](#def-g8-solids-def), no confundas la altura $h$ (del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) al centro de la base, perpendicular) con la *generatriz* $s$ (del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) al borde). Están relacionadas por Pitágoras ([Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#thm-g8-pythagoras-direct)) en el [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) vértice–centro–borde:

$$
s^2 = h^2 + r^2 .
$$

Un [cono](#def-g8-solids-def) con $r = 3$ y $s = 5$ tiene, por tanto, altura $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ y [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

**Método 62.7 (Problemas de volumen).**

1. identifica el cuerpo ( [prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) / [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) : $V = Bh$ ; [pirámide](#def-g8-solids-def) / [cono](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 Bh$ );
2. calcula primero el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $B$ , como paso aparte;
3. comprueba que la altura es perpendicular a la base (usa Pitágoras si te dan la generatriz);
4. multiplica, mantén las unidades coherentes y convierte al final si hace falta ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

## 62.3 Desarrollos

**Ejemplo 62.8 (Desarrollo de una pirámide).**

Desplegar una [pirámide](#def-g8-solids-def) regular de base cuadrada la aplana en su *[desarrollo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-net)*: la base cuadrada con cuatro [triángulos isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) idénticos pegados a sus lados. Los lados iguales de los triángulos son las *[aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) laterales* de la [pirámide](#def-g8-solids-def) — su longitud no es ni $h$ ni la altura de una [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), así que etiquétalo bien antes de recortar el cartón.

![El desarrollo de una pirámide de base cuadrada: pliega los cuatro triángulos hasta que sus vértices se junten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-da4b2a2f34de.svg)

*El [desarrollo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-net) de una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base cuadrada: pliega los cuatro triángulos hasta que sus [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) se junten.*

## 62.4 Ejercicios

**Ejercicio 62.1 ★.**

¿Cuántas [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) tiene una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base triangular (un *tetraedro*)? ¿Y una de base hexagonal?

**Solución de Ejercicio 62.1.**

Tetraedro: $4$ [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), $6$ [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), $4$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ($4 + 4 = 6 + 2$). Base hexagonal: $7$ [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), $12$ [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), $7$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ($7 + 7 = 12 + 2$).

**Ejercicio 62.2 ★.**

Calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de una [pirámide](#def-g8-solids-def) de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $36$ cm$^2$ y altura $10$ cm; y el de una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base rectangular $6 \times 4$ cm y altura $7.5$ cm.

**Solución de Ejercicio 62.2.**

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm$^3$.

Base rectangular: $B = 24$ cm$^2$, luego $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm$^3$.

**Ejercicio 62.3 ★.**

Calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de un [cono](#def-g8-solids-def) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm y altura $9$ cm (exacto con $\pi$ y después redondeado al cm$^3$).

**Solución de Ejercicio 62.3.**

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm$^3$.

**Ejercicio 62.4 ★.**

Un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) y un [cono](#def-g8-solids-def) tienen el mismo [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm y la misma altura $12$ cm. Calcula los dos volúmenes. ¿Cuál es su razón?

**Solución de Ejercicio 62.4.**

[Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism): $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm$^3$. [Cono](#def-g8-solids-def): $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm$^3$. Razón: el [cono](#def-g8-solids-def) es un tercio del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism).

**Ejercicio 62.5 ★.**

Una [pirámide](#def-g8-solids-def) tiene [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) $56$ cm$^3$ y altura $8$ cm. ¿Cuál es el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de su base? (Escribe la fórmula del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) y despeja.)

**Solución de Ejercicio 62.5.**

$56 = \frac13 \times B \times 8$, luego $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm$^2$.

**Ejercicio 62.6 ★.**

Esboza el [desarrollo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-net) de un [cono](#def-g8-solids-def) (un disco para la base y un sector de un disco mayor para la superficie lateral). ¿Qué medida del [cono](#def-g8-solids-def) es el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de ese sector: la altura $h$ o la generatriz $s$?

**Solución de Ejercicio 62.6.**

La superficie lateral se despliega en un sector de disco cuyo [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) es la *generatriz* $s$ (la distancia del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) al borde — ese [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) está sobre la superficie), no la altura $h$.

**Ejercicio 62.7 ★★.**

La [pirámide](#def-g8-solids-def) del Louvre tiene una base cuadrada de lado unos $35$ m y una altura de unos $22$ m. Estima su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume), redondeando a la centena de metros cúbicos.

**Solución de Ejercicio 62.7.**

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22
= \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ — unos $9\,000$ metros cúbicos.

**Ejercicio 62.8 ★★.**

Un [cono](#def-g8-solids-def) tiene generatriz $13$ cm y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la base $5$ cm. Calcula su altura y después su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) (exacto con $\pi$).

**Solución de Ejercicio 62.8.**

Altura: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. [Volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume): $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm$^3$.

**Ejercicio 62.9 ★★.**

Una copa cónica de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm y altura $9$ cm se llena hasta el borde y se vierte después en un vaso cilíndrico de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm. ¿Qué altura alcanza el líquido en el [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism)?

**Solución de Ejercicio 62.9.**

El mismo [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes), así que el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del [cono](#def-g8-solids-def) es un tercio del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) *a igual altura*: el líquido llega a $\frac{9}{3} = 3$ cm en el [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism).

**Ejercicio 62.10 ★★.**

Un reloj de arena está hecho de dos [conos](#def-g8-solids-def) idénticos ([radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm, altura $4.5$ cm) unidos por sus [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def). Toda la arena llena exactamente un [cono](#def-g8-solids-def). Calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de arena (exacto y después en cm$^3$ redondeado a la décima) y la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) interior total del reloj que ocupa la arena.

**Solución de Ejercicio 62.10.**

Arena $=$ un [cono](#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi
\approx 18.8$ cm$^3$. El reloj de arena contiene dos [conos](#def-g8-solids-def) así, de modo que la arena llena exactamente la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) interior total.

**Ejercicio 62.11 ★★★.**

Una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base cuadrada de lado $6$ cm tiene su [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) justo encima de una esquina de la base, a $8$ cm de altura.

1. ¿sigue valiendo la fórmula $V = \frac13 Bh$ ? (Sí — el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) no tiene por qué estar centrado. Calcula $V$ .)
2. calcula la longitud de la [arista](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) lateral más larga, del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) a la esquina opuesta de la base (dos pasos de Pitágoras: primero la diagonal de la base).

**Solución de Ejercicio 62.11.**

*1.* Sí: la fórmula $V = \frac13 Bh$ vale para cualquier posición del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), siempre que $h$ sea la distancia perpendicular al plano de la base. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm$^3$.

*2.* Diagonal de la base: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. La [arista](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) lateral más larga es la hipotenusa de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $6\sqrt2$ (en el plano de la base) y $8$ (vertical):

$$
\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7
\text{ cm}.
$$

## 62.5 Problema: Un cubo cortado en tres pirámides

**Problema 62.1.**

Problema de fin de semana — de dónde sale el factor $\frac13$ y qué le pasa a una pirámide cortada a media altura

La observación posterior al [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) afirma que un [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) se puede cortar en tres [pirámides](#def-g8-solids-def) idénticas — «¡intenta imaginarlo!». Este problema lo imagina con precisión, saca de ahí honradamente el famoso factor $\frac13$, corta después el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de una segunda manera en *seis* [pirámides](#def-g8-solids-def) y termina rebanando una [pirámide](#def-g8-solids-def) a media altura — con un resultado que poca gente acierta a la primera.

En todo el problema, $ABCDEFGH$ es un [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de lado $a$: base $ABCD$ y [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) superior $EFGH$, con $E$ encima de $A$, $F$ encima de $B$, $G$ encima de $C$ y $H$ encima de $D$.

**Parte I — Tres [pirámides](#def-g8-solids-def) con un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) común.**

1. el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $G$ pertenece a tres [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) . Enumera las tres [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) que *no* contienen a $G$ y describe las tres [pirámides](#def-g8-solids-def) que se obtienen tomando cada una de ellas como base, con [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $G$ siempre. ¿Cuántas [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) , [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) tiene cada [pirámide](#def-g8-solids-def) ( [Ejemplo 62.2](#ex-g8-solids-count) )?
2. explica por qué girar el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) un tercio de vuelta alrededor de su diagonal larga $(AG)$ deja el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) igual pero permuta cíclicamente las tres bases de la pregunta 1 — y por qué las tres [pirámides](#def-g8-solids-def) son, por tanto, copias idénticas unas de otras;
3. admitiendo que las tres [pirámides](#def-g8-solids-def) llenan el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) sin solaparse (una maqueta de cartón resulta bastante convincente), deduce el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de cada una;
4. compruébalo con la fórmula del [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) : la [pirámide](#def-g8-solids-def) de base $ABCD$ y [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $G$ tiene su [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) justo encima de una *esquina* de su base, exactamente como en el [Ejercicio 62.11](#exo-g8-solids-11) . Identifica su altura, aplica la fórmula y compara;
5. para un [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de lado $6$ cm, da el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de cada una de las tres [pirámides](#def-g8-solids-def) — y explica qué tiene que ver esta descomposición con el experimento del agua del capítulo (tres llenados de la [pirámide](#def-g8-solids-def) para un [prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) ).

**Parte II — Seis [pirámides](#def-g8-solids-def) con el centro común.** Sea ahora $O$ el centro del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), y une $O$ con los cuatro [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de cada una de las seis [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def).

6. describe las seis [pirámides](#def-g8-solids-def) que se obtienen y explica por qué son copias idénticas unas de otras. ¿Cuál es la altura de cada una?
7. deduce, repartiendo el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) , el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de cada una de las seis [pirámides](#def-g8-solids-def) ;
8. vuelve a calcular ese [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) con la fórmula $V = \frac13 B h$ y comprueba que las dos respuestas coinciden;
9. las dos descomposiciones confirman el factor $\frac13$ para unas [pirámides](#def-g8-solids-def) muy especiales. Explica por qué todavía no *demuestran* el [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) para toda [pirámide](#def-g8-solids-def) y todo [cono](#def-g8-solids-def) — y di cómo trata el capítulo esa laguna: qué enunciado se admite, qué experimento lo apoya y en qué [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de la serie se demuestra honradamente;
10. un [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de lado $6$ cm se corta en sus seis [pirámides](#def-g8-solids-def) centrales. Calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de cada una, de las dos maneras.

**Parte III — Cortar una [pirámide](#def-g8-solids-def) a media altura.** $SABCD$ es una [pirámide](#def-g8-solids-def) regular de base cuadrada: lado de la base $c$, altura $h$ y [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $S$ encima del centro de la base. Córtala por el plano que pasa por los *puntos medios* de las cuatro [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) laterales $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$.

11. aplica el teorema del punto medio ( [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#thm-g8-midpoints-direct) ) en el triángulo $SAB$ : ¿cuáles son la dirección y la longitud del [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) que une los puntos medios de $[SA]$ y $[SB]$ ? Deduce que el corte es un cuadrado de lado $\frac{c}{2}$ , paralelo a la base, a altura $\frac{h}{2}$ ;
12. el trozo de encima del corte es a su vez una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base cuadrada. Da su lado de la base y su altura, y demuestra que su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) es exactamente *una octava parte* del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) original $V$ ;
13. deduce el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del trozo de abajo (el *tronco de [pirámide](#def-g8-solids-def)* , la forma de una [pirámide](#def-g8-solids-def) sin terminar). ¿En qué razón reparte el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) el corte a media altura?
14. la [pirámide](#def-g8-solids-def) del Louvre ( [Ejercicio 62.7](#exo-g8-solids-7) : lado de la base $35$ m, altura $22$ m) se limpia en dos campañas: el cristal por encima de la media altura y después el de por debajo. ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) del *[volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume)* queda por debajo de la media altura? Estímala en metros cúbicos, redondeando a la centena;
15. la moraleja general: si *todas* las dimensiones de una [pirámide](#def-g8-solids-def) se multiplican por $2$ , ¿qué le pasa a su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) ? ¿Por qué factor crece el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) cuando cada dimensión se multiplica por $k$ — y cómo explica esto, en una línea, la «octava parte» de la pregunta 12?

**Solución de Problema 62.1.**

**1.** $G$ pertenece a la [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) superior $EFGH$ y a las dos [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) laterales $BCGF$ y $DCGH$. Las tres [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) que *no* contienen $G$ son la de abajo $ABCD$, la de delante $ABFE$ y la [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) izquierda $ADHE$ (todas comparten el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $A$, la esquina opuesta a $G$). Las tres [pirámides](#def-g8-solids-def) son $ABCDG$, $ABFEG$ y $ADHEG$: cada una tiene por base una [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) cuadrada del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y por [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) lejano $G$. Cada una es una [pirámide](#def-g8-solids-def) de base cuadrada: $5$ [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), $8$ [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), $5$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ([Ejemplo 62.2](#ex-g8-solids-count)).

**2.** La diagonal larga $[AG]$ une los dos únicos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) que no pertenecen a ninguna de las tres bases. Un giro de un tercio de vuelta alrededor de la recta $(AG)$ lleva el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) sobre sí mismo (las tres [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) que salen de $A$ — hacia $B$, $D$, $E$ — se permutan en un ciclo, y lo mismo las tres [aristas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) que llegan a $G$). Lleva la base $ABCD$ a $ADHE$, después $ADHE$ a $ABFE$, y vuelve: los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) se quedan fijos en $G$ y las bases van rotando. Así, cada [pirámide](#def-g8-solids-def) se lleva sobre la siguiente: las tres son copias idénticas.

**3.** Tres piezas idénticas que llenan el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) se reparten su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) a partes iguales:

$$
V_{\text{pirámide}} = \frac{a^3}{3} .
$$

**4.** La [pirámide](#def-g8-solids-def) $ABCDG$ tiene por base $ABCD$, de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $a^2$, y su [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $G$ está justo encima de la esquina $C$, a la altura $CG = a$ (una [arista](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) vertical del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def)). Como en el [Ejercicio 62.11](#exo-g8-solids-11), la fórmula se aplica con la altura perpendicular $h = a$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,
$$

en perfecto acuerdo con la pregunta 3 — la descomposición y la fórmula se confirman mutuamente.

**5.** Para $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ cada una. El experimento de trasvasar agua es esta descomposición hecha líquida: el [prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) sobre la base $ABCD$ de altura $a$ es el propio [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), y contiene exactamente tres [pirámides](#def-g8-solids-def) llenas — y aquí esos tres llenados se ensamblan además geométricamente para formar el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def).

**6.** Al unir el centro $O$ con las cuatro esquinas de cada [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) salen seis [pirámides](#def-g8-solids-def), una por [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): base cuadrada, [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $O$. El centro está igual de colocado respecto de las seis [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) (cualquier giro o simetría del [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) deja fijo $O$ y permuta las [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def)), así que las seis [pirámides](#def-g8-solids-def) son idénticas. La altura de cada una es la distancia de $O$ a una [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del lado, $\frac{a}{2}$.

**7.** Seis piezas idénticas se reparten el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): $V = \frac{a^3}{6}$ cada una.

**8.** Fórmula: [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $a^2$, altura $\frac a2$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .
$$

Las dos respuestas coinciden.

**9.** Las dos descomposiciones tratan de [pirámides](#def-g8-solids-def) de proporciones muy especiales talladas en un [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def); una [pirámide](#def-g8-solids-def) esbelta, una torcida o un [cono](#def-g8-solids-def) no se pueden montar así (no hay tres [conos](#def-g8-solids-def) que llenen un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism)). Por eso el [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) se *admite* a este nivel: las descomposiciones y el experimento del trasvase hacen el $\frac13$ del todo creíble, y la demostración general honesta — la integración — se da en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.

**10.** $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; y, por la fórmula, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Coinciden.

**11.** En el triángulo $SAB$, los puntos medios de los lados $[SA]$ y $[SB]$ están unidos por un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) paralelo a $(AB)$ y de longitud $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ ([Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#thm-g8-midpoints-direct)). Lo mismo pasa en cada [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) lateral, así que los cuatro puntos medios forman un cuadrado de lado $\frac c2$, con los lados paralelos a la base. Sobre la recta vertical que pasa por el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), el corte pasa por el punto medio de la altura (de nuevo el teorema de los puntos medios, en un triángulo que pasa por $S$, el centro de la base y un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de la base): el plano de corte está a la altura $\frac h2$.

**12.** La pieza de arriba es una [pirámide](#def-g8-solids-def) regular de base cuadrada de lado $\frac c2$ y altura $\frac h2$ (su base es el corte, su [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) es $S$). Su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) es

$$
\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2
= \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2
= \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3}
= \frac{V}{8} :
$$

una octava parte de la original — no la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).

**13.** El tronco de [pirámide](#def-g8-solids-def) se queda con el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder): $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. El corte a media altura reparte el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) en la razón $1 : 7$ — la losa de abajo, de aspecto humilde, contiene siete veces el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de la punta.

**14.** Por debajo de la media altura está $\frac78$ del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume). Con $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx
8\,983$ m$^3$ ([Ejercicio 62.7](#exo-g8-solids-7)):

$$
\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx
7\,900 \text{ m}^3
$$

redondeando a la centena — la campaña «[mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) inferior» limpia casi ocho veces el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de vidrio de la superior.

**15.** Duplicar todas las dimensiones multiplica el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base por $2^2 = 4$ y la altura por $2$, luego el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) por $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Escalar por $k$ multiplica las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) por $k^2$ y una longitud más por $k$: los volúmenes crecen con el factor $k^3$. La pieza de arriba de la pregunta 12 es una copia a escala de la [pirámide](#def-g8-solids-def) entera con $k = \frac12$, así que su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del total — la explicación en una línea.