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title: "Fracciones y potencias"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 63
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias
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# Capítulo 63 — Fracciones y potencias

Las fracciones y las [potencias](#def-g9-fractions-power) son las herramientas de cálculo de todos los días: repartir cantidades, comparar proporciones, escribir números muy grandes o muy pequeños. Este capítulo consolida las reglas para calcular con ellas — con todos los pasos intermedios escritos — e introduce la [notación científica](#def-g9-fractions-scientific).

## 63.1 Calcular con fracciones

**Definición 63.1 (Fracción).**

Una *fracción* $\dfrac ab$ (con $b \neq 0$) es el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) de $a$ entre $b$. Dos fracciones son iguales cuando una se obtiene de la otra multiplicando (o dividiendo) [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) por el mismo número no nulo:

$$
\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).
$$

**Ejemplo 63.2.**

Simplifica $\dfrac{42}{56}$ paso a paso:

$$
\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28}
= \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .
$$

(En el [Capítulo 64](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#ch-g9-arith) el máximo común [divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) hará esto en un solo paso.)

**Método 63.3 (Sumar y restar fracciones).**

1. pon las dos fracciones con un *[denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común* (un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) común de los dos [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) );
2. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) o resta los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) , conservando el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) ;
3. simplifica el resultado si se puede.

**Ejemplo 63.4.**

Calcula $\dfrac56 + \dfrac34$. Un [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común de $6$ y $4$ es $12$:

$$
\frac56 + \frac34
= \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}
= \frac{10}{12} + \frac{9}{12}
= \frac{19}{12}.
$$

Calcula $2 - \dfrac37$. Escribe $2$ como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $7$:

$$
2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
$$

![Por qué un denominador común: cortar las dos unidades en 12 casillas iguales hace que las fracciones sean comparables y sumables — juntas, 10 + 9 = 19 doceavos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-fractions/fig-d3a7b11c7fe0.svg)

*Por qué un [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común: cortar las dos unidades en $12$ casillas iguales hace que las fracciones sean comparables y sumables — juntas, $10 + 9 = 19$ doceavos.*

**Método 63.5 (Multiplicar y dividir fracciones).**

1. para multiplicar, multiplica los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) entre sí y los [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) entre sí: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (simplifica *antes* de multiplicar siempre que puedas);
2. para dividir, multiplica por el [inverso](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/55-fracciones-las-cuatro-operaciones#def-g8-fractions-inverse) del [divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) : $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

**Ejemplo 63.6.**

$$
\frac{7}{15} \times \frac{25}{14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7}
= \frac{25}{30} = \frac56,
$$

donde hemos simplificado por el factor común $7$ y después por $5$. Y una división:

$$
\frac{3}{4} \div \frac{9}{8}
= \frac34 \times \frac89
= \frac{3 \times 8}{4 \times 9}
= \frac{24}{36} = \frac23 .
$$

## 63.2 Las potencias

**Definición 63.7 (Potencia).**

Para un número real $a$ y un número entero positivo $n$, la *potencia* $a^n$ es el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de $n$ factores iguales a $a$:

$$
a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factores}} .
$$

Por convenio $a^0 = 1$ (para $a \neq 0$), y los [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) negativos indican [inversos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/55-fracciones-las-cuatro-operaciones#def-g8-fractions-inverse):

$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
$$

**Ejemplo 63.8.**

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$; $(-3)^2 = 9$, pero $-3^2 = -(3^2) = -9$ (el [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) actúa antes que el signo menos); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$; $5^1 = 5$ y $5^0 = 1$.

**Teorema 63.9 (Reglas de los exponentes).**

Para todos los $a$, $b$ no nulos y todos los números enteros $m$, $n$:

$$
a^m \times a^n = a^{m+n},
\qquad
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},
\qquad
\left(a^m\right)^n = a^{mn},
\qquad
(ab)^n = a^n b^n .
$$

**Demostración.** Para [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) positivos, cuenta los factores. Para la primera regla: $a^m \times a^n$ son $m$ factores $a$ seguidos de $n$ factores $a$, en total $m + n$ factores. Para la tercera: $\left(a^m\right)^n$ repite $n$ veces un bloque de $m$ factores, lo que da $mn$ factores. Las otras dos reglas son parecidas; la extensión al [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) y a los [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) negativos se comprueba a partir de $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (y hace del convenio $a^0 = 1$ la única elección coherente, ya que $a^n \times a^0$ tiene que ser $a^{n+0} = a^n$). ∎

**Ejemplo 63.10.**

Simplifica paso a paso:

$$
\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4}
= \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4}
= \frac{3^5}{3^4}
= 3^{5-4} = 3^1 = 3 .
$$

Y con dos letras: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$.

## 63.3 Las potencias de diez y la notación científica

**Proposición 63.11 (Potencias de diez).**

Para un número entero positivo $n$: $10^n$ se escribe «$1$ seguido de $n$ [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero)», y $10^{-n} = 0.0\dots01$ con el $1$ en el $n$-ésimo lugar decimal. Multiplicar un [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-places) por $10^n$ (resp. $10^{-n}$) desplaza su [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) $n$ lugares a la derecha (resp. a la izquierda).

**Definición 63.12 (Notación científica).**

La *notación científica* de un [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-places) positivo es la única manera de escribirlo como

$$
a \times 10^n,
\qquad\text{con } 1 \leq a < 10 \text{ y } n \text{ entero.}
$$

**Ejemplo 63.13.**

La distancia Tierra–Sol es de unos $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times
10^8$ km. El tamaño de una molécula de agua es de unos $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Para calcular con estos números, agrupa las partes decimales y las [potencias](#def-g9-fractions-power) de diez:

$$
(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2})
= (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)}
= 7.5 \times 10^{3}.
$$

**Método 63.14 (Poner un número en notación científica).**

1. desplaza el [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) justo detrás de la primera cifra no nula; eso da el factor $a$ con $1 \leq a < 10$ ;
2. cuenta cuántos lugares se ha movido el punto: esa cuenta es $n$ , positiva si el número de partida era $\geq 10$ , negativa si era $< 1$ ;
3. comprueba: $a \times 10^n$ tiene que reproducir el número de partida.

## 63.4 Ejercicios

**Ejercicio 63.1 ★.**

Calcula y da el resultado como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) totalmente simplificada:

$$
\frac13 + \frac15, \qquad
\frac72 - \frac53, \qquad
\frac{5}{12} + \frac38, \qquad
3 - \frac45 .
$$

**Solución de Ejercicio 63.1.**

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$.

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$.

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} =
\dfrac{19}{24}$.

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$.

**Ejercicio 63.2 ★.**

Calcula y simplifica:

$$
\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad
\frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad
\frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
$$

**Solución de Ejercicio 63.2.**

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35}
= \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (simplificando por $9$ y por $5$).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54
= \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$.

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4}
{3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (los $3$ y los $4$ se cancelan).

**Ejercicio 63.3 ★.**

Calcula:

$$
2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad
\left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
$$

**Solución de Ejercicio 63.3.**

$2^5 = 32$; $(-2)^4 = 16$; $-2^4 = -16$; $4^{-2} = \frac{1}{16}$; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$; $7^0 = 1$.

**Ejercicio 63.4 ★.**

Escribe como una sola [potencia](#def-g9-fractions-power):

$$
5^3 \times 5^6, \qquad
\frac{7^9}{7^5}, \qquad
\left(2^3\right)^4, \qquad
\frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad
2^5 \times 4 .
$$

**Solución de Ejercicio 63.4.**

$5^3 \times 5^6 = 5^9$; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$.

**Ejercicio 63.5 ★.**

Escribe en [notación científica](#def-g9-fractions-scientific): $45\,000$; $0.0072$; $302.5$; $0.000\,000\,9$; doce millones.

**Solución de Ejercicio 63.5.**

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$; $302.5 = 3.025 \times 10^2$; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$; doce millones $= 1.2 \times 10^7$.

**Ejercicio 63.6 ★★.**

Calcula y da el resultado en [notación científica](#def-g9-fractions-scientific):

$$
(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}),
\qquad
\frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}},
\qquad
(5 \times 10^3)^2 .
$$

**Solución de Ejercicio 63.6.**

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$.

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)}
= 3 \times 10^7$.

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$.

**Ejercicio 63.7 ★★.**

Un depósito está lleno hasta sus $\frac35$. Tras añadir $30$ litros está lleno hasta sus $\frac34$. ¿Cuál es la [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units) del depósito? (Expresa primero la [fracción](#def-g9-fractions-fraction) del depósito que se ha añadido.)

**Solución de Ejercicio 63.7.**

El agua añadida representa $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ del depósito. Así que $\frac{3}{20}$ de la [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units) son $30$ litros: $\frac{1}{20}$ son $10$ litros, y la [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units) es de $200$ litros.

**Ejercicio 63.8 ★★.**

Alicia se come $\frac14$ de un pastel, después Ben se come $\frac13$ de lo que queda y después Carla se come $\frac12$ de lo que queda todavía. ¿Qué [fracción](#def-g9-fractions-fraction) del pastel queda al final? (Calcula el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) después de cada paso.)

**Solución de Ejercicio 63.8.**

Después de Alicia queda $1 - \frac14 = \frac34$ del pastel. Ben se come $\frac13 \times \frac34 = \frac14$, y quedan $\frac34 - \frac14 = \frac12$. Carla se come la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de eso, $\frac14$, y queda $\frac14$ del pastel.

**Ejercicio 63.9 ★★.**

La luz recorre $3 \times 10^8$ metros por segundo. El Sol está a unos $1.5 \times 10^{11}$ m. ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar hasta nosotros? Da la respuesta en segundos (no hace falta [notación científica](#def-g9-fractions-scientific)) y después en minutos y segundos.

**Solución de Ejercicio 63.9.**

Tiempo $= \dfrac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} =
\dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ segundos, es decir $8$ minutos y $20$ segundos.

**Ejercicio 63.10 ★★★.**

¿Cuál es mayor, $2^{30}$ o $3^{20}$? (Pista: escribe los dos como [potencias](#def-g9-fractions-power) de [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) $10$ usando $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$, y compara $2^3$ con $3^2$.)

**Solución de Ejercicio 63.10.**

Escribe los dos números como [potencias](#def-g9-fractions-power) de [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) $10$:

$$
2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10},
\qquad
3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.
$$

Como $8 < 9$, al multiplicar diez copias de cada uno: $8^{10} < 9^{10}$, luego $2^{30} < 3^{20}$.

## 63.5 Problema: El código secreto de los decimales periódicos

**Problema 63.1.**

Problema de fin de semana — toda fracción tiene una escritura decimal que se para o se repite, todo decimal periódico es una fracción, y $0.999\ldots$ vale exactamente $1$

Divide $3$ entre $11$ y las cifras caen en una cantinela: $0.272727\ldots$ para siempre. Divide $1$ entre $4$ y las cifras se paran en seco: $0.25$. Este problema demuestra que esos son los dos únicos comportamientos posibles de una [fracción](#def-g9-fractions-fraction) — y después invierte la máquina: dado cualquier decimal periódico, reconstruye la [fracción](#def-g9-fractions-fraction) que se esconde detrás. Por el camino zanja, de una vez por todas, la igualdad más discutida de las matemáticas escolares.

**Parte I — De la [fracción](#def-g9-fractions-fraction) al decimal.**

1. calcula por división larga las escrituras decimales de $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ y $\frac{3}{11}$ . ¿Cuáles se paran, cuáles se repiten y con qué periodo?
2. explica por qué la escritura decimal de *cualquier* [fracción](#def-g9-fractions-fraction) $\frac ab$ tiene que pararse o acabar repitiéndose. (En la división larga entre $b$ , ¿qué valores pueden tomar los [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sucesivos? ¿Qué pasa en cuanto un [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) aparece por segunda vez?)
3. lleva la división de $1$ entre $7$ lo bastante lejos como para hallar el periodo. ¿Qué longitud tiene y cómo se compara esa longitud con la cota prometida por la pregunta 2?
4. algunas fracciones se paran porque su [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se puede inflar hasta una [potencia](#def-g9-fractions-power) de diez: $\frac14 =  \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . explica el criterio y por qué ningún multiplicador entero puede convertir nunca $3$ , $6$ u $11$ en $10$ , $100$ , $1000, \dots$ (¿en qué cifra terminaría el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) ?);
5. sin dividir, clasifica $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ y $\frac{33}{50}$ en «se para» y «se repite», y da después la escritura decimal de las dos que se paran.

**Parte II — Del decimal periódico de vuelta a la [fracción](#def-g9-fractions-fraction).**

6. el truco del desplazamiento. Sea $x = 0.7777\ldots$ Calcula $10x$ , después $10x - x$ , y deduce $x$ como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) . Comprueba dividiendo;
7. sea $x = 0.727272\ldots$ ¿Qué [potencia](#def-g9-fractions-power) de diez desplaza $x$ exactamente un periodo? Úsala para escribir $x$ como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) irreducible;
8. un caso mixto: $x = 0.58333\ldots$ (solo se repite el $3$ ). Calcula $1000x - 100x$ y deduce $x$ como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) irreducible;
9. el famoso: aplica el truco del desplazamiento a $x = 0.9999\ldots$ ¿Qué [fracción](#def-g9-fractions-fraction) — qué *número* — encuentras? Concilia el resultado con tu intuición, recordando el vecino fantasma del [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#pb-g6-decimals-1) y el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) que encoge del [Problema 39.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#pb-g6-fractions-1) : ¿ $0.999\ldots$ está «justo por debajo» de $1$ , o es otro nombre de $1$ ?;
10. convierte $2.454545\ldots$ y $0.123123123\ldots$ en fracciones irreducibles.

**Parte III — El diccionario completo.**

11. las preguntas 6–10 sugieren un diccionario: un bloque de $k$ cifras que se repite desde el [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) es igual a ese bloque sobre $k$ nueves ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Usa el diccionario para predecir $0.037037\ldots$ como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) , simplifica — y admírate: ¿qué [fracción](#def-g9-fractions-fraction) sorprendentemente sencilla canturrea « $037$ »? Compruébalo dividiendo;
12. combina el diccionario con un desplazamiento: escribe $0.0272727\ldots$ como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) irreducible;
13. el número $0.101001000100001\ldots$ (un $1$ , después un $0$ , después un $1$ , después dos $0$ , después un $1$ , después tres $0$ , y así sucesivamente) no se para nunca. ¿Es un decimal periódico? ¿Qué dice entonces la Parte I sobre él: puede ser una [fracción](#def-g9-fractions-fraction) ? (Acabas de encontrarte con tu primer número *irracional* demostrable; el más famoso se atrapa en el [Capítulo 65](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/65-raices-cuadradas#ch-g9-sqrt) );
14. ¿aproximadamente cuántas cifras tiene $2^{30}$ ? Usa $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ y las reglas de los [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) ( [Teorema 63.9](#thm-g9-fractions-rules) ) para escribir $2^{30}$ en [notación científica](#def-g9-fractions-scientific) (aproximada), y concluye. (Compara con el [Ejercicio 63.10](#exo-g9-fractions-10) .);
15. final: escribe $0.20262026\ldots$ como [fracción](#def-g9-fractions-fraction) y enuncia la moraleja de doble sentido de todo el problema: qué escrituras decimales son fracciones y qué fracciones tienen qué escrituras decimales.

**Solución de Problema 63.1.**

**1.** $\frac14 = 0.25$ (se para); $\frac13 = 0.333\ldots$ (periodo $3$); $\frac56 = 0.8333\ldots$ (periodo $3$ tras el $8$); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (periodo $27$).

**2.** En cada paso de la división entre $b$, el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es uno de los $b$ valores $0, 1, \dots, b - 1$ ([Teorema 37.7](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#thm-g6-wholes-division)). Si aparece un [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$, la división se para. Si no, tras $b$ pasos como mucho algún [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) tiene que aparecer por segunda vez — hay más pasos que [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) posibles — y a partir de ese momento la división repite exactamente la sucesión de cifras que produjo tras la primera aparición: la escritura decimal cicla para siempre. Pararse o repetirse: no existe un tercer comportamiento.

**3.** $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: el periodo $142857$ tiene longitud $6$. La pregunta 2 prometía una repetición en $7$ pasos como mucho — aquí los [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $1, 3, 2, 6, 4, 5$ aparecen todos antes de que vuelva el $1$: la cantinela más larga posible para una división entre $7$.

**4.** $\frac ab$ se para exactamente cuando algún $\frac{a \times k}{b \times k}$ tiene [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $10$, $100$, $1000, \dots$ — es decir, cuando el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se puede multiplicar hasta una [potencia](#def-g9-fractions-power) de diez, como $4 \times 25 = 100$ o $8 \times 125 = 1\,000$. Para $3$ y $6$ no hay nada que hacer: una [potencia](#def-g9-fractions-power) de diez tiene [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras $1$, y todo [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $3$ tiene una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras que es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $3$ — así que ningún [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $3$ (y por tanto ninguno de $6$) es nunca $10$, $100$, $1\,000, \dots$ Para $11$: dividir $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$ entre $11$ siempre deja [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) ($10$, $1$, $10$, $1, \dots$), nunca $0$. Los [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) que alcanzan una [potencia](#def-g9-fractions-power) de diez se paran; todos los demás se repiten.

**5.** $\frac{9}{40}$: $40 \times 25 = 1\,000$, se para: $\frac{225}{1000} = 0.225$. $\frac{33}{50}$: $50 \times 2 = 100$, se para: $\frac{66}{100} = 0.66$. $\frac{5}{12}$: $12$ es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $3$, se repite ($0.41666\ldots$).

**6.** $10x = 7.777\ldots$, luego $10x - x = 7$ (las colas se cancelan a la perfección), $9x = 7$ y $x = \frac79$. Comprobación por división: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

**7.** El periodo tiene dos cifras, así que desplaza con $100$: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$, de donde $99x = 72$ y $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.

**8.** $1000x = 583.333\ldots$ y $100x = 58.333\ldots$; restando, $900x = 525$, luego $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (divide entre $75$). En efecto, $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

**9.** $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$, luego $9x = 9$ y $x = 1$. No está «justo por debajo» de $1$: $0.999\ldots$ *es* el número $1$, escrito con un segundo disfraz. Cualquier número estrictamente menor que $1$ deja un hueco, y [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#pb-g6-decimals-1) mostró que un hueco siempre contiene más números — mientras que entre $0.999\ldots$ y $1$ no cabe nada. Los nueves sin fin son el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) de chocolate del [Problema 39.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#pb-g6-fractions-1) encogido por debajo de cualquier cantidad positiva: no queda nada.

**10.** $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 +
\frac{5}{11} = \frac{27}{11}$. Y $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (divide entre $3$).

**11.** Diccionario: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$. Como $999 = 27 \times 37$, esto se simplifica a $\frac{1}{27}$: la [fracción](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{1}{27}$ canturrea «$037$». Comprobación por división: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

**12.** $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times
0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99}
= \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (divide entre $9$).

**13.** Los bloques de [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) crecen sin fin, así que ningún bloque fijo puede repetirse para siempre: *no* es un decimal periódico (y tampoco se para nunca). Por la Parte I, toda [fracción](#def-g9-fractions-fraction) se para o se repite — así que este número no es ninguna [fracción](#def-g9-fractions-fraction): es irracional, hecho a medida. La superestrella de la irracionalidad, $\sqrt2$, queda desenmascarada en el [Capítulo 65](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/65-raices-cuadradas#ch-g9-sqrt).

**14.** $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx
(1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$: un número un poco mayor que $10^9$, luego con $10$ cifras. (Exactamente: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.)

**15.** $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$, ya irreducible ($9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ no comparte ningún factor con $2026 = 2 \times 1013$). El diccionario completo: *las fracciones son exactamente los decimales que se paran o se repiten* — los [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) amigos del diez se paran, todos los demás canturrean un periodo; y, recíprocamente, toda cantinela, incluso tu año de graduación, es una [fracción](#def-g9-fractions-fraction) disfrazada.