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title: "Aritmética: divisores y números primos"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 64
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos
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# Capítulo 64 — Aritmética: divisores y números primos

La aritmética estudia los números enteros y cómo se dividen unos a otros. Sus personajes centrales son los [números primos](#def-g9-arith-prime), los ladrillos con los que todo número entero se monta por multiplicación. El capítulo termina con el [máximo común divisor](#def-g9-arith-gcd), la herramienta adecuada para simplificar fracciones de una vez por todas. Esta historia continúa, mucho más lejos, en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior y más allá.

## 64.1 Divisores y múltiplos

**Definición 64.1 (Divisor, múltiplo).**

Sean $a$ y $b$ números enteros positivos. Se dice que $b$ *divide* a $a$ (o que $b$ es un divisor de $a$, o que $a$ es *múltiplo* de $b$) cuando $a = b \times
k$ para algún número entero $k$ — es decir, cuando la división de $a$ entre $b$ da [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$.

**Ejemplo 64.2.**

Los [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $24$ son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — van por parejas cuyo [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es $24$: $(1,24)$, $(2,12)$, $(3,8)$, $(4,6)$. Los [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $7$ son $7, 14, 21, 28, \dots$

**Proposición 64.3 (Criterios de divisibilidad).**

Un número entero es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible):

- entre $2$ cuando su última cifra es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ( $0, 2, 4, 6, 8$ );
- entre $5$ cuando su última cifra es $0$ o $5$ ;
- entre $10$ cuando su última cifra es $0$ ;
- entre $3$ (resp. $9$ ) cuando la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de sus cifras es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $3$ (resp. $9$ );
- entre $4$ cuando sus dos últimas cifras forman un número [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $4$ .

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 64.4.**

$7\,215$ termina en $5$: [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $5$. Su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras es $7 + 2 + 1 + 5 = 15$, [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $3$ pero no entre $9$: así que $7\,215$ es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $3$, no entre $9$. En efecto, $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$.

## 64.2 Los números primos

**Definición 64.5 (Número primo).**

Un *número primo* es un número entero $\geq 2$ cuyos únicos [divisores](#def-g9-arith-divisor) son $1$ y él mismo. Los primos menores que $30$ son

$$
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .
$$

El número $1$ *no* es primo (por convenio), y un número entero $\geq 2$ que no es primo se llama *compuesto*.

**Teorema 64.6 (Descomposición en factores primos).**

Todo número entero $\geq 2$ es [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de [números primos](#def-g9-arith-prime), y esa descomposición es única salvo el orden de los factores.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Método 64.7 (Descomponer un número entero).**

Divide por el primo más pequeño posible, una y otra vez, hasta llegar a $1$:

1. prueba con $2$ mientras el número sea [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ;
2. después prueba con $3$ , después con $5$ , después con $7$ , … (solo primos);
3. para cuando el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sea $1$ ; reúne los factores con sus [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) .

Basta con probar los primos $p$ cuyo $p^2$ no pase del número actual: si ninguno lo [divide](#def-g9-arith-divisor), el número mismo es primo.

**Ejemplo 64.8.**

Descompón $360$, división a división:

$$
360 = 2 \times 180, \quad
180 = 2 \times 90, \quad
90 = 2 \times 45, \quad
45 = 3 \times 15, \quad
15 = 3 \times 5,
$$

así que

$$
360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2
\times 5 .
$$

![El árbol de factores de 360: cada paso separa el factor primo más pequeño (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el 5 final: 360 = 23 × 32 × 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-arith/fig-aae7345aa9ba.svg)

*El árbol de factores de $360$: cada paso separa el factor primo más pequeño (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el $5$ final: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.*

**Teorema 64.9 (Euclides).**

Hay infinitos [números primos](#def-g9-arith-prime).

**Demostración.** Supón que solo hubiera una cantidad finita, digamos $p_1, p_2, \dots, p_k$, y considera

$$
N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .
$$

Al dividir $N$ entre cualquier $p_i$ queda [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $1$, así que ningún $p_i$ [divide](#def-g9-arith-divisor) a $N$. Pero $N \geq 2$ tiene al menos un [divisor](#def-g9-arith-divisor) primo ([Teorema 64.6](#thm-g9-arith-factorization)) — un primo que no está en nuestra lista. Contradicción: ninguna lista finita puede contener todos los primos. ∎

## 64.3 El máximo común divisor

**Definición 64.10 (MCD).**

El *máximo común divisor* de dos números enteros positivos $a$ y $b$, escrito $\gcd(a, b)$, es el mayor número entero que [divide](#def-g9-arith-divisor) a los dos. Cuando $\gcd(a, b) = 1$, los enteros se llaman *primos entre sí*: no comparten ningún [divisor](#def-g9-arith-divisor) salvo $1$.

**Ejemplo 64.11.**

[Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $18$: $1, 2, 3, 6, 9, 18$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $24$: $1, 2, 3, 4, 6,
8, 12, 24$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) comunes: $1, 2, 3, 6$; así que $\gcd(18, 24) = 6$. Los enteros $15$ y $28$ son [primos entre sí](#def-g9-arith-gcd).

**Proposición 64.12 (El MCD a partir de las descomposiciones).**

El MCD de dos números enteros es el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de los primos que aparecen en *las dos* descomposiciones, cada uno tomado con el *menor* de sus dos [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 64.13.**

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ y $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. Primos comunes: $2$ ([exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) $3$ y $2$: se queda $2$) y $3$ ([exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) $2$ y $1$: se queda $1$). Así que

$$
\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .
$$

**Teorema 64.14 (Algoritmo de Euclides).**

Si $a = bq + r$ es la división de $a$ entre $b$ con [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $r$, entonces

$$
\gcd(a, b) = \gcd(b, r).
$$

Repitiendo divisiones hasta que el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sea $0$, el MCD de $a$ y $b$ es el *último [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) no nulo*.

**Demostración.** De $a = bq + r$: todo número entero que divida a $b$ y a $r$ [divide](#def-g9-arith-divisor) a $bq + r = a$; y de $r = a - bq$: todo número entero que divida a $a$ y a $b$ [divide](#def-g9-arith-divisor) a $r$. Así que las parejas $(a, b)$ y $(b, r)$ tienen exactamente los mismos [divisores](#def-g9-arith-divisor) comunes — en particular el mismo mayor. Como los [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) decrecen estrictamente, el algoritmo termina, y $\gcd(x, 0) = x$ da el último [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) no nulo. ∎

**Ejemplo 64.15.**

Calcula $\gcd(1071, 462)$:

$$
\begin{align*}
1071 &= 462 \times 2 + 147, \\
462 &= 147 \times 3 + 21, \\
147 &= 21 \times 7 + 0 .
\end{align*}
$$

El último [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) no nulo es $21$: $\gcd(1071, 462) = 21$.

**Método 64.16 (Simplificar del todo una fracción).**

Para escribir $\dfrac ab$ en su forma irreducible:

1. calcula $d = \gcd(a, b)$ , por ejemplo con el algoritmo de Euclides;
2. divide [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) entre $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ;
3. la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) resultante es *irreducible* : su [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y su [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) son [primos entre sí](#def-g9-arith-gcd) .

**Ejemplo 64.17.**

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$, y $\gcd(22, 51) = 1$: irreducible.

## 64.4 Ejercicios

**Ejercicio 64.1 ★.**

Enumera todos los [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $36$, de $45$ y de $17$.

**Solución de Ejercicio 64.1.**

[Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $36$: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $45$: $1, 3, 5, 9, 15, 45$. [Divisores](#def-g9-arith-divisor) de $17$: solo $1$ y $17$ ($17$ es primo).

**Ejercicio 64.2 ★.**

Usando los criterios de divisibilidad, determina si $2\,346$ es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $2$, entre $3$, entre $4$, entre $5$ y entre $9$.

**Solución de Ejercicio 64.2.**

$2\,346$ termina en $6$: [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $2$, no entre $5$. [Suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras $2 + 3 + 4 + 6 = 15$: [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $3$, no entre $9$. Las dos últimas cifras son $46$, y $46 = 4 \times 11 + 2$ no es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $4$: $2\,346$ no es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $4$.

**Ejercicio 64.3 ★.**

Da la descomposición en factores primos de $72$, $150$, $210$ y $121$.

**Solución de Ejercicio 64.3.**

$72 = 2^3 \times 3^2$; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$; $121 = 11^2$.

**Ejercicio 64.4 ★.**

¿Es $101$ primo? ¿Y $91$? ¿Y $143$? Justifícalo con la regla de parada del [Método 64.7](#met-g9-arith-factorization).

**Solución de Ejercicio 64.4.**

$101$: prueba con los primos $p$ tales que $p^2 \leq 101$, es decir $2, 3, 5, 7$. Ninguno [divide](#def-g9-arith-divisor) a $101$ (es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras $2$, no termina en $0/5$, $101 = 7 \times 14 + 3$): $101$ es primo.

$91 = 7 \times 13$: no es primo.

$143 = 11 \times 13$: no es primo.

**Ejercicio 64.5 ★.**

Calcula $\gcd(48, 60)$ de dos maneras: enumerando los [divisores](#def-g9-arith-divisor) comunes y a partir de las descomposiciones en factores primos.

**Solución de Ejercicio 64.5.**

[Divisores](#def-g9-arith-divisor) comunes de $48$ y $60$: los [divisores](#def-g9-arith-divisor) de 48 son $1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 16, 24, 48$; los [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $60$ son $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
30, 60$; los comunes son $1, 2, 3, 4, 6, 12$, así que $\gcd(48,60) = 12$.

Por descomposición: $48 = 2^4 \times 3$ y $60 = 2^2 \times 3 \times 5$; primos comunes con los [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) menores: $2^2 \times 3 = 12$.

**Ejercicio 64.6 ★★.**

Usa el algoritmo de Euclides para calcular $\gcd(255, 154)$ y después $\gcd(1053, 325)$. Escribe todas las líneas de división.

**Solución de Ejercicio 64.6.**

$\gcd(255, 154)$:

$$
\begin{align*}
255 &= 154 \times 1 + 101, \\
154 &= 101 \times 1 + 53, \\
101 &= 53 \times 1 + 48, \\
53 &= 48 \times 1 + 5, \\
48 &= 5 \times 9 + 3, \\
5 &= 3 \times 1 + 2, \\
3 &= 2 \times 1 + 1, \\
2 &= 1 \times 2 + 0 .
\end{align*}
$$

Último [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) no nulo: $\gcd(255, 154) = 1$ (son [primos entre sí](#def-g9-arith-gcd)).

$\gcd(1053, 325)$:

$$
\begin{align*}
1053 &= 325 \times 3 + 78, \\
325 &= 78 \times 4 + 13, \\
78 &= 13 \times 6 + 0 .
\end{align*}
$$

$\gcd(1053, 325) = 13$.

**Ejercicio 64.7 ★★.**

Haz irreducible la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) $\dfrac{588}{504}$. (Calcula el MCD por el método que prefieras y después divide.)

**Solución de Ejercicio 64.7.**

Algoritmo de Euclides: $588 = 504 \times 1 + 84$; $504 = 84 \times 6 + 0$: $\gcd(588, 504) = 84$. Entonces

$$
\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},
$$

que es irreducible.

**Ejercicio 64.8 ★★.**

Una florista tiene $84$ rosas y $126$ tulipanes y quiere hacer ramos idénticos, usando todas las flores, con el mayor número posible de ramos. ¿Cuántos ramos puede hacer y qué lleva cada uno?

**Solución de Ejercicio 64.8.**

El número de ramos tiene que dividir a $84$ y a $126$; el mayor posible es $\gcd(84, 126)$. Descomposiciones: $84 = 2^2 \times 3 \times
7$, $126 = 2 \times 3^2 \times 7$, así que el MCD es $2 \times 3 \times 7 =
42$. Puede hacer $42$ ramos, cada uno con $\frac{84}{42} = 2$ rosas y $\frac{126}{42} = 3$ tulipanes.

**Ejercicio 64.9 ★★.**

Dos transbordadores salen del mismo muelle a las 8:00. Uno sale cada $24$ minutos y el otro cada $36$ minutos. ¿A qué hora vuelven a salir juntos? (Busca el menor [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) común de $24$ y $36$; las descomposiciones ayudan.)

**Solución de Ejercicio 64.9.**

Hace falta el mínimo común [múltiplo](#def-g9-arith-divisor). $24 = 2^3 \times 3$ y $36 = 2^2 \times 3^2$; tomando cada primo con el *mayor* [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def): $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$. Los transbordadores vuelven a salir juntos $72$ minutos después de las 8:00, a las 9:12.

**Ejercicio 64.10 ★★★.**

Sea $n$ un número entero positivo.

1. demuestra que $\gcd(n, n+1) = 1$ (dos enteros consecutivos siempre son [primos entre sí](#def-g9-arith-gcd) );
2. deduce que la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) $\dfrac{n}{n+1}$ es siempre irreducible.

**Solución de Ejercicio 64.10.**

*1.* Todo [divisor](#def-g9-arith-divisor) común $d$ de $n$ y $n+1$ [divide](#def-g9-arith-divisor) también a su [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) $(n+1) - n = 1$, luego $d = 1$: $\gcd(n, n+1) = 1$.

*2.* Una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) es irreducible exactamente cuando su [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y su [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) son [primos entre sí](#def-g9-arith-gcd), que es el caso de $n$ y $n + 1$ por el apartado 1.

## 64.5 Problema: Jarras de agua, cigarras y cien taquillas

**Problema 64.1.**

Problema de fin de semana — el MCD decide qué cantidades pueden medir dos jarras; los primos protegen a las cigarras; y las taquillas que quedan abiertas son los cuadrados perfectos

Tres acertijos que parecen adivinanzas y son en realidad aritmética: medir agua con jarras sin marcas (el MCD disfrazado), ciclos de vida de insectos que evolucionaron hasta [números primos](#def-g9-arith-prime) y un famoso pasillo de cien taquillas cuyo estado final se decide contando [divisores](#def-g9-arith-divisor). Todo funciona con la maquinaria de este capítulo: la divisibilidad, la descomposición en factores primos ([Teorema 64.6](#thm-g9-arith-factorization)) y el algoritmo de Euclides ([Teorema 64.14](#thm-g9-arith-euclidalgo)).

**Parte I — Las jarras de agua.** Estás en una fuente con dos jarras sin marcas, de $5$ L y $3$ L. Movimientos permitidos: llenar una jarra hasta el borde, vaciar una jarra del todo, verter una jarra en la otra hasta que la de origen quede vacía o la de destino esté llena.

1. mide exactamente $1$ L (describe tu sucesión de movimientos y el contenido de las dos jarras después de cada uno);
2. mide exactamente $4$ L — el acertijo de una famosa película de acción (se puede hacer en seis movimientos);
3. ¿qué números enteros de litros de $1$ a $8$ puedes exhibir (en una jarra o repartidos entre las dos)? Completa la lista reutilizando tus sucesiones;
4. jarras nuevas: $6$ L y $4$ L. Intenta medir $1$ L — y después explica por qué no hay nada que hacer: comprueba que cada uno de los tres movimientos permitidos mantiene el contenido de cada jarra como [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) de $2$ , así que toda cantidad alcanzable es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ;
5. el argumento de la pregunta 4 vale en general: con jarras de $a$ y $b$ litros, toda cantidad alcanzable es [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) de $\gcd(a, b)$ . Calcula $\gcd(6, 4)$ y $\gcd(5, 3)$ y di qué predice la ley para cada pareja de jarras.

**Parte II — Euclides en la fuente.**

6. calcula con el algoritmo de Euclides: $\gcd(91, 65)$ y $\gcd(2\,026, 46)$ ;
7. explica, con tus palabras, por qué las cantidades que aparecen en las jarras son los [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) de Euclides disfrazados: con jarras de $13$ L y $5$ L, llena una y otra vez la jarra pequeña y viértela en la grande (vaciando la grande cada vez que se llene). ¿Qué cantidades nuevas aparecen primero? Y compáralas con los [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) del algoritmo de Euclides para $(13, 5)$ ;
8. deduce la respuesta del campeón: con jarras de $13$ y $5$ litros, ¿puedes medir exactamente $1$ L? Justifícalo en una línea con la pregunta 5 y $\gcd(13, 5)$ ;
9. una demostración rápida de coprimalidad al estilo del [Ejercicio 64.10](#exo-g9-arith-10) : demuestra que $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ para todo número entero positivo $n$ (¿a qué tiene que dividir un [divisor](#def-g9-arith-divisor) común de $n$ y $2n + 1$ ?);
10. dos autobuses salen juntos de la terminal a las 7:00; uno sale cada $12$ minutos y el otro cada $18$ . Enumera las próximas horas de salida de cada uno y halla el primer momento en que vuelven a salir juntos. Comprueba en este ejemplo la bonita ley: (primer [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) común) $\times$ $\gcd$ $=$ [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de los dos números — y pruébala otra vez con $5$ y $3$ .

**Parte III — Cigarras, [divisores](#def-g9-arith-divisor) y taquillas.**

11. ciertas cigarras norteamericanas emergen solo cada $17$ años; supón que la población de un depredador alcanza su máximo cada $4$ años. Si las dos cosas ocurren este año, ¿dentro de cuántos años volverá a coincidir una emergencia con un máximo? La misma pregunta si el ciclo de las cigarras fuera de $16$ años: ¿cada cuánto serían masacradas entonces? Explica en una frase por qué la evolución empujó el ciclo hacia una duración *prima* ;
12. usando la descomposición $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , cuenta los [divisores](#def-g9-arith-divisor) de $360$ sin enumerarlos: un [divisor](#def-g9-arith-divisor) elige un [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) para $2$ (cuatro opciones: $0, 1, 2, 3$ ), otro para $3$ y otro para $5$ . ¿Cuántos [divisores](#def-g9-arith-divisor) hay en total?;
13. demuestra que en la descomposición de un cuadrado perfecto $n = m^2$ todo primo lleva un [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) *[par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* . Deduce, sin calcular ninguna raíz cuadrada, que $360$ no es un cuadrado perfecto;
14. empareja cada [divisor](#def-g9-arith-divisor) $d$ de $n$ con su compañero $\frac{n}{d}$ (para $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ , $2 \leftrightarrow 18$ , $3 \leftrightarrow 12$ , $4 \leftrightarrow 9$ , $6 \leftrightarrow 6$ ). ¿Cuándo es un [divisor](#def-g9-arith-divisor) su propio compañero? Deduce el criterio: $n$ tiene un número *[impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* de [divisores](#def-g9-arith-divisor) exactamente cuando $n$ es un cuadrado perfecto. Compruébalo con $36$ y con $360$ ;
15. las cien taquillas. Las taquillas $1$ a $100$ empiezan cerradas. El alumno $1$ cambia el estado de todas las taquillas; el alumno $2$ cambia el de las taquillas $2, 4, 6, \dots$ ; el alumno $k$ cambia el de los [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $k$ ; y así hasta el alumno $100$ . Explica qué alumnos tocan la taquilla $n$ , cuántas veces se le cambia el estado y — usando la pregunta 14 — exactamente qué taquillas acaban abiertas. ¿Cuántas quedan abiertas?

**Solución de Problema 64.1.**

**1.** Llena la de $3$ y viértela en la de $5$ (contenidos $0/3 \to 3$ en la grande). Vuelve a llenar la de $3$ y viértela en la de $5$ hasta que esté llena: la jarra grande solo admite $2$ más, y quedan

$$
3 - 2 = 1 \text{ L en la jarra pequeña.}
$$

Movimientos: llena $3$; vierte $3 \to 5$; llena $3$; vierte $3 \to 5$.

**2.** Llena la de $5$; viértela en la de $3$ (quedan $2$ en la grande); vacía la de $3$; vierte los $2$ en la de $3$; llena la de $5$; viértela en la de $3$ hasta llenarla — admite $1$, y quedan $\mathbf{4}$ L en la jarra grande. Seis movimientos.

**3.** Todas: $1$ (pregunta 1), $2$ (tras dos movimientos de la pregunta 2), $3$ y $5$ (con un solo llenado), $4$ (pregunta 2), $6 = 3 + 3$ (la jarra pequeña llena más $3$ vertidos en la grande), $7 = 5 + 2$, $8 = 5 + 3$ (las dos llenas). Toda cantidad entera de $1$ a $8$ L se puede medir con la de $5$ y la de $3$.

**4.** Al principio las dos jarras contienen $0$, [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) de $2$. Llenar pone un contenido a $6$ o a $4$: [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Vaciar lo pone a $0$: [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Verter mueve algo de agua entre jarras cuyos contenidos eran [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), y la cantidad vertida es [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de [números pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (el hueco libre o la cantidad disponible): todos los contenidos siguen siendo [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) para siempre. Un objetivo [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) como $1$ L es inalcanzable.

**5.** $\gcd(6, 4) = 2$: solo cantidades [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — lo confirma la pregunta 4. $\gcd(5, 3) = 1$: la ley permite toda cantidad entera, y la pregunta 3 las realizó todas. El MCD es exactamente la unidad de medida de las jarras.

**6.** $91 = 1 \times 65 + 26$; $65 = 2 \times 26 + 13$; $26 = 2 \times 13 + 0$: $\gcd(91, 65) = 13$. Y $2\,026 = 44 \times 46 + 2$; $46 = 23 \times 2 + 0$: $\gcd(2\,026, 46) = 2$.

**7.** Vertiendo la de $5$ en la de $13$ una y otra vez: tras dos llenados la jarra grande contiene $10$; en el tercer llenado solo caben $3$, y quedan $5 - 3 = 2$ en la jarra pequeña — el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) de $13$ entre $5$ era $3$, y las cantidades $3$ (el hueco) y $2$ (lo sobrante) son exactamente los números de Euclides ($13 = 2 \times 5 + 3$, $5 = 1 \times 3 + 2$). Siguiendo, aparece $3 - 2 = 1$: el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) siguiente del algoritmo. La fuente ejecuta con agua las divisiones de Euclides.

**8.** $\gcd(13, 5) = 1$, así que la ley de la pregunta 5 permite toda cantidad entera — y la cascada de la pregunta 7 produjo de hecho $1$ L. Sí.

**9.** Un [divisor](#def-g9-arith-divisor) común de $n$ y $2n + 1$ [divide](#def-g9-arith-divisor) a $2n + 1 - 2 \times n = 1$: tiene que ser $1$. Por tanto $\gcd(n, 2n+1) = 1$ siempre.

**10.** Autobús A: 7:12, 7:24, 7:36, 7:48, 8:00 …; autobús B: 7:18, 7:36, 7:54 … Primera salida común: 7:36, al cabo de $36$ minutos — el primer [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) común de $12$ y $18$. Ley: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times
18$. Para $5$ y $3$: primer [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) común $15$, y $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$.

**11.** Con un ciclo de $17$ años: la próxima coincidencia es el primer [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) común de $17$ y $4$; como $\gcd(17, 4) = 1$, eso son $17 \times 4 = 68$ años — las cigarras se topan con el máximo una vez de cada cuatro emergencias. Con un ciclo de $16$ años: $16$ es [múltiplo](#def-g9-arith-divisor) de $4$, así que *cada* emergencia cae en un máximo. Una duración de ciclo prima no comparte ningún factor con ningún ciclo de depredador más corto, lo que separa las coincidencias todo lo posible: la aritmética como camuflaje.

**12.** Cuatro opciones de [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) para $2$, tres para $3$ y dos para $5$: $4 \times 3 \times 2 = 24$ [divisores](#def-g9-arith-divisor).

**13.** Si $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$, entonces $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$: todos los [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) quedan duplicados, luego [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd). En $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$, los [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) de $2$ y de $5$ son [impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): $360$ no es un cuadrado perfecto.

**14.** Un [divisor](#def-g9-arith-divisor) es su propio compañero exactamente cuando $d = \frac nd$, es decir $n = d^2$: solo los cuadrados tienen un [divisor](#def-g9-arith-divisor) central así. Para todos los demás $n$, los [divisores](#def-g9-arith-divisor) se reparten en parejas, una cantidad [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Así que: [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [divisores](#def-g9-arith-divisor) $\Leftrightarrow$ cuadrado perfecto. Comprobación: $36$ tiene por [divisores](#def-g9-arith-divisor) $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — nueve, [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), y $36 = 6^2$; mientras que $360$ tiene $24$ (pregunta 12), [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), y no es cuadrado (pregunta 13).

**15.** A la taquilla $n$ le cambia el estado una vez cada alumno $k$ cuyo número [divide](#def-g9-arith-divisor) a $n$: en total, tantas veces como [divisores](#def-g9-arith-divisor) tenga $n$. Una taquilla acaba *abierta* cuando se le cambia el estado un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de veces — por la pregunta 14, exactamente cuando $n$ es un cuadrado perfecto. Taquillas abiertas: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100$ — diez.