---
title: "Raíces cuadradas"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 65
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/65-raices-cuadradas
---

# Capítulo 65 — Raíces cuadradas

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado $1$? El teorema de Pitágoras responde $\sqrt 2$, un número cuyo cuadrado es $2$ — y que resulta no ser una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction). Este capítulo define las [raíces cuadradas](#def-g9-sqrt-def), establece las reglas para calcular con ellas y enseña a simplificar expresiones como $\sqrt{75}$.

## 65.1 Definición y primeras propiedades

**Definición 65.1 (Raíz cuadrada).**

Sea $a \geq 0$. La *raíz cuadrada* de $a$, escrita $\sqrt a$, es el único número *no negativo* cuyo cuadrado es $a$:

$$
\sqrt a \geq 0
\qquad\text{y}\qquad
\left(\sqrt a\right)^2 = a .
$$

Los números negativos no tienen raíz cuadrada, porque todo cuadrado es no negativo.

**Ejemplo 65.2.**

$\sqrt{49} = 7$, $\sqrt 0 = 0$, $\sqrt 1 = 1$, $\sqrt{2.25} = 1.5$. Las primeras [raíces cuadradas](#def-g9-sqrt-def) que hay que saberse de memoria son las de los *cuadrados perfectos*: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121,
144$.

![La diagonal de un cuadrado unidad mide √12 + 12 = √2 1.414, por el teorema de Pitágoras ( lo recuerda). Este número es irracional: sus decimales no se repiten nunca.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-e4c870763528.svg)

*La diagonal de un cuadrado unidad mide $\sqrt{1^2 + 1^2} =
\sqrt2 \approx 1.414$, por el teorema de Pitágoras ([Capítulo 69](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/69-trigonometria-en-el-triangulo-rectangulo#ch-g9-trig) lo recuerda). Este número es irracional: sus decimales no se repiten nunca.*

**Proposición 65.3 (Raíz cuadrada de un cuadrado).**

Para todo número real $x$ (positivo o no):

$$
\sqrt{x^2} = \abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{si } x \geq 0,\\
-x & \text{si } x < 0 .
\end{cases}
$$

**Demostración.** El número $\abs{x}$ es no negativo y su cuadrado es $x^2$ (un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado). Al ser el único número no negativo de cuadrado $x^2$, es $\sqrt{x^2}$. ∎

**Ejemplo 65.4.**

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$: la [raíz cuadrada](#def-g9-sqrt-def) «olvida» el signo, no lo restituye. En particular, $\sqrt{x^2} = x$ es *falso* para $x$ negativo.

## 65.2 Productos y cocientes de raíces cuadradas

**Teorema 65.5 (Reglas de multiplicación y división).**

Para todos los $a \geq 0$ y $b \geq 0$:

$$
\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b,
\qquad\text{y, para } b > 0:\quad
\sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .
$$

**Demostración.** El número $\sqrt a \times \sqrt b$ es no negativo ([producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de números no negativos), y su cuadrado es

$$
\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2
= \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2
= a b .
$$

Por unicidad del número no negativo cuyo cuadrado es $ab$, vale $\sqrt{ab}$. La regla del [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) se demuestra igual. ∎

**Observación 65.6 (¡Nada de eso para las sumas!).**

$\sqrt{a + b}$ *no* es $\sqrt a + \sqrt b$ en general:

$$
\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,
\qquad\text{pero}\qquad
\sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .
$$

**Método 65.7 (Simplificar n\sqrt nn​).**

Para simplificar la [raíz cuadrada](#def-g9-sqrt-def) de un número entero:

1. busca el mayor cuadrado perfecto que divida a $n$ (descompón $n$ si hace falta);
2. separa con la regla del [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) y saca el cuadrado: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
3. comprueba que ningún cuadrado perfecto [divide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) a lo que queda bajo la raíz.

**Ejemplo 65.8.**

Simplifica $\sqrt{75}$: como $75 = 25 \times 3$,

$$
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .
$$

Simplifica $\sqrt{72}$: como $72 = 36 \times 2$, $\sqrt{72} = 6\sqrt2$. Y un [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder): $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$.

**Ejemplo 65.9 (Sumar raíces cuadradas).**

Las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de [raíces cuadradas](#def-g9-sqrt-def) solo se simplifican cuando las raíces son *semejantes*. Calcula $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$, simplificando primero cada término:

$$
\begin{align*}
\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\
\sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\
\sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3,
\end{align*}
$$

así que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$.

**Ejemplo 65.10 (Desarrollar con raíces cuadradas).**

Las identidades del álgebra valen para las [raíces cuadradas](#def-g9-sqrt-def). Desarrolla $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ con $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$
\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .
$$

Y con la tercera identidad, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$$
\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :
$$

el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de dos números irracionales puede ser un número entero.

## 65.3 La ecuación $x^2 = a$

**Teorema 65.11 (Resolver x2=ax^2 = ax2=a).**

1. si $a > 0$ , la [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def) $x^2 = a$ tiene exactamente dos soluciones: $\sqrt a$ y $-\sqrt a$ ;
2. si $a = 0$ , la única solución es $0$ ;
3. si $a < 0$ , no hay solución.

**Demostración.** Reescribe $x^2 = a$ como $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ cuando $a \geq 0$, y factoriza como [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de cuadrados:

$$
\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,
$$

luego $x = \sqrt a$ o $x = -\sqrt a$ (que coinciden cuando $a = 0$). Cuando $a < 0$ no hay solución, porque $x^2 \geq 0 > a$ para todo $x$. ∎

![Resolver x2 = 3 sobre la parábola y = x2: la recta horizontal y = 3 la corta en las dos abscisas ±√3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-57ab6201daa2.svg)

*Resolver $x^2 = 3$ sobre la parábola $y = x^2$: la recta horizontal $y = 3$ la corta en las dos abscisas $\pm\sqrt3$.*

**Ejemplo 65.12.**

$x^2 = 16$: soluciones $4$ y $-4$. $x^2 = 5$: soluciones $\sqrt5$ y $-\sqrt5$ (valores exactos; $\sqrt5
\approx 2.236$). $x^2 = -9$: no hay solución. $3x^2 = 21$: divide antes entre 3, $x^2 = 7$, soluciones $\pm\sqrt7$.

## 65.4 Ejercicios

**Ejercicio 65.1 ★.**

Calcula sin calculadora:

$$
\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad
\sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad
\sqrt{(-4)^2} .
$$

**Solución de Ejercicio 65.1.**

$\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{100} = 10$; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (porque $0.3^2 = 0.09$); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$.

**Ejercicio 65.2 ★.**

Simplifica:

$$
\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .
$$

**Solución de Ejercicio 65.2.**

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$.

**Ejercicio 65.3 ★.**

Calcula y simplifica:

$$
\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad
\sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .
$$

**Solución de Ejercicio 65.3.**

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$.

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$.

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$.

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}}
= \dfrac25$.

**Ejercicio 65.4 ★.**

Resuelve: $x^2 = 36$; $x^2 = 11$; $x^2 + 4 = 0$; $2x^2 = 50$.

**Solución de Ejercicio 65.4.**

$x^2 = 36$: $x = 6$ o $x = -6$.

$x^2 = 11$: $x = \sqrt{11}$ o $x = -\sqrt{11}$.

$x^2 + 4 = 0$ significa $x^2 = -4 < 0$: no hay solución.

$2x^2 = 50$: $x^2 = 25$, luego $x = 5$ o $x = -5$.

**Ejercicio 65.5 ★.**

Reduce a un solo término: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$, y después $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$.

**Solución de Ejercicio 65.5.**

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$.

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2
= (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$.

**Ejercicio 65.6 ★★.**

Desarrolla y simplifica:

$$
\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad
\left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad
\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).
$$

**Solución de Ejercicio 65.6.**

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$.

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9
= 29 - 12\sqrt5$.

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$.

**Ejercicio 65.7 ★★.**

Un campo cuadrado tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $6400$ m$^2$. ¿Cuánto mide su lado? ¿Y su diagonal (valor exacto y después redondeado al metro)?

**Solución de Ejercicio 65.7.**

Lado: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonal (Pitágoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

**Ejercicio 65.8 ★★.**

Demuestra que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplica [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) por $\sqrt2$). Usa el mismo truco para escribir $\dfrac{6}{\sqrt3}$ y $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sin [raíz cuadrada](#def-g9-sqrt-def) en el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def).

**Solución de Ejercicio 65.8.**

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2}
= \dfrac{\sqrt2}{2}$.

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$.

**Ejercicio 65.9 ★★.**

¿Verdadero o falso? Justifícalo con una demostración o un contraejemplo.

1. para todos los $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ ;
2. para todos los $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ ;
3. para todo $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ ;
4. $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

**Solución de Ejercicio 65.9.**

*1. Verdadero*: es la regla del [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) ([Teorema 65.5](#thm-g9-sqrt-rules)).

*2. Falso*: $\sqrt{9 + 16} = 5$, pero $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$.

*3. Falso* para $x$ negativo: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$. El enunciado correcto es $\sqrt{x^2} = \abs{x}$.

*4. Verdadero*: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$.

**Ejercicio 65.10 ★★★.**

Sea $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$. Calcula $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ y deduce una expresión más sencilla de $x$. La misma pregunta para $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (apunta a un cuadrado de la forma $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$, y cuidado con el signo).

**Solución de Ejercicio 65.10.**

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$. Así que $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (es un número no negativo, así que la raíz solo quita el cuadrado).

Igualmente $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$, y $\sqrt5 - 2 > 0$, luego $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (¡y no $2 - \sqrt5$, que es negativo!).

## 65.5 Problema: El número que no es una fracción

**Problema 65.1.**

Problema de fin de semana — la legendaria demostración de que $\sqrt2$ es irracional, sus muchos primos hermanos y la receta asombrosamente buena de Herón para aproximarlo

La diagonal de un cuadrado unidad es una longitud perfectamente real — la dibujaste en el [Ejemplo 58.9](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) — y, sin embargo, como los pitagóricos descubrieron con horror hace veinticinco siglos, *ninguna [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) en absoluto* la mide. La leyenda cuenta que el descubrimiento se castigó con la muerte por ahogamiento. Este problema te lleva de la mano por la demostración inmortal (cuatro preguntas y es tuya de por vida), multiplica las víctimas y termina con la receta que los ingenieros usaron durante dos mil años para domar el número indomable.

**Parte I — La demostración.**

1. primero acorrálalo: comprueba que $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ y después que $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , elevando al cuadrado las cotas. Una cifra más: ¿entre qué números de tres decimales está $\sqrt2$ ?;
2. supón ahora — para llegar a una contradicción — que $\sqrt2 = \frac ab$ para cierta [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) *irreducible* ( [Método 64.16](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#met-g9-arith-simplify) ). Eleva al cuadrado los dos miembros y demuestra que $a^2 = 2 b^2$ . ¿Cuál es la paridad de $a^2$ ?;
3. los hechos sobre paridad del [Problema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#pb-g8-pythagoras-1) dicen: los [números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) tienen cuadrados [impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Deduce que $a$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , escribe $a = 2k$ , sustituye — y demuestra que $b$ también tiene que ser [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ;
4. ¿dónde está la contradicción? Concluye y enuncia el teorema completo: *$\sqrt2$ es irracional — no es [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) de números enteros* ;
5. la demostración se apoyó una vez, discretamente, en la palabra «irreducible». Señala el paso exacto que se vendría abajo sin ella y explica por qué suponer la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) irreducible era legítimo de entrada.

**Parte II — Las víctimas se multiplican.**

6. un segundo estilo de demostración, vía descomposiciones en factores primos ( [Teorema 64.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#thm-g9-arith-factorization) ): en $a^2 = 3b^2$ , compara la paridad del *[exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) de $3$* en cada miembro ( [Problema 64.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#pb-g9-arith-1) : los cuadrados llevan [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ). Concluye que $\sqrt3$ es irracional;
7. aplica el mismo argumento de [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) a $a^2 = n b^2$ para un número entero $n$ cualquiera: ¿para qué $n$ produce una contradicción y para cuáles falla? Enuncia el resultado completo: $\sqrt n$ es irracional exactamente cuando …;
8. demuestra el lema escudo: un racional no nulo por un irracional es irracional. (Supón $r x = q$ con $r, q$ racionales, $r \neq 0$ , y despeja $x$ .) Deduce que $2\sqrt2$ y $\frac{\sqrt2}{2}$ son irracionales;
9. demuestra que $1 + \sqrt2$ es irracional. Y después la bonita: suponiendo que $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fuera racional, calcula $s^2$ , despeja $\sqrt6$ y encuentra la contradicción;
10. modera el entusiasmo: da dos números irracionales cuya *[suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def)* sea racional, y dos cuyo *[producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def)* sea racional. (La irracionalidad no se conserva por la aritmética — cada caso necesita su propia demostración.)

**Parte III — La receta de Herón.** Dos mil años antes de las calculadoras, Herón de Alejandría aproximaba $\sqrt2$ así: *adivina $x$; sustituye la estimación por la media de $x$ y $\frac2x$; repite.*

11. parte de la estimación $x = 1$ y calcula las dos estimaciones siguientes como fracciones exactas;
12. calcula la tercera estimación, otra vez como [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) exacta, y su valor decimal. Compara con la pregunta 1: ¿cuántos decimales de $\sqrt2$ son ya correctos?;
13. la idea que hay detrás de la receta: un rectángulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $2$ con un lado $x$ tiene el otro lado $\frac2x$ . Demuestra que $\sqrt2$ siempre está *entre* $x$ y $\frac2x$ (considera los dos casos $x^2 > 2$ y $x^2 < 2$ ), así que promediar los dos lados aprieta el rectángulo hacia el cuadrado;
14. las estimaciones $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ esconden una joya: calcula $3^2 - 2 \times  2^2$ , después $17^2 - 2 \times 12^2$ y después $577^2 - 2 \times 408^2$ . La Parte I demostró que $a^2 - 2b^2 = 0$ es imposible — ¿cuánto se acercan las fracciones de Herón a lo imposible?;
15. final, en dos frases: la diagonal del cuadrado unidad existe sobre el papel, ninguna [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) la mide y su escritura decimal no se puede repetir nunca ( [Problema 63.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#pb-g9-fractions-1) ). ¿Qué clase de «números nuevos» tiene que contener entonces la recta numérica — y en qué punto de esta serie se cuenta su historia completa?

**Solución de Problema 65.1.**

**1.** $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$. Con tres decimales: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$, luego $1.414 < \sqrt2 < 1.415$.

**2.** Elevar al cuadrado $\sqrt2 = \frac ab$ da $2 = \frac{a^2}{b^2}$, de donde $a^2 = 2b^2$: el número $a^2$ es el doble de un número entero — *[par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*.

**3.** Si $a$ fuera [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $a^2$ sería [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ([Problema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#pb-g8-pythagoras-1)); como $a^2$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $a$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): $a = 2k$. Sustituyendo: $4k^2 = 2b^2$, luego $b^2 = 2k^2$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), y por el mismo hecho de paridad $b$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**4.** Que $a$ y $b$ sean los dos [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) significa que los dos son [divisibles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $2$ — pero $\frac ab$ era irreducible, sin ningún [divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) común. Contradicción: la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) supuesta no puede existir. *Teorema: $\sqrt2$ es irracional.*

**5.** La contradicción vive entera en la palabra «irreducible»: sin ella, «$a$ y $b$ los dos [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)» no contradice nada. Suponer la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) irreducible es legítimo porque toda [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) *tiene* una forma irreducible ([Método 64.16](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#met-g9-arith-simplify): divide entre el MCD) — si $\sqrt2$ fuera una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) cualquiera, sería una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) irreducible, y esa es imposible.

**6.** En las descomposiciones en factores primos, los cuadrados llevan [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ([Problema 64.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#pb-g9-arith-1)). En $a^2 = 3b^2$, el [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) de $3$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) en el miembro izquierdo, pero [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) en el derecho ([par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) por $b^2$, más uno). Ningún número tiene dos descomposiciones ([Teorema 64.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#thm-g9-arith-factorization)): contradicción, y $\sqrt3$ es irracional.

**7.** En $a^2 = n b^2$, el argumento encuentra un primo con paridad de [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) contradictoria exactamente cuando algún primo aparece en $n$ con [exponente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) *[impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Si todos los [exponentes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#def-g8-powers-def) de $n$ son [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $n$ es un cuadrado perfecto ($n = m^2$, y $\sqrt n = m$ es entero). Resultado completo: $\sqrt n$ es irracional para todo entero $n$ que no sea un cuadrado perfecto — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10},
\dots$

**8.** De $r x = q$ con $r \neq 0$: $x = \frac qr$, un [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) de racionales, luego racional. Así que, si $x$ es irracional, $r x$ no puede ser racional: $2\sqrt2$ y $\frac{\sqrt2}{2}$ son irracionales (multiplicadores $2$ y $\frac12$).

**9.** Si $1 + \sqrt2 = q$ fuera racional, entonces $\sqrt2 = q - 1$ sería racional: contradicción. Si $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fuera racional, también lo sería $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$, lo que daría $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ racional — pero $\sqrt6$ es irracional (pregunta 7). Así que $\sqrt2 + \sqrt3$ es irracional.

**10.** [Sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def): $\sqrt2$ y $-\sqrt2$ (o $\sqrt2$ y $1 - \sqrt2$) son cada uno irracionales, con [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) racionales $0$ y $1$. [Productos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def): $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$. La irracionalidad puede evaporarse en la aritmética — de ahí las demostraciones caso por caso.

**11.** Desde $x = 1$: media de $1$ y $\frac21 = 2$: $x_1 = \frac32$. Después, media de $\frac32$ y $\frac{2}{3/2} = \frac43$: $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right)
= \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$.

**12.** $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} +
\frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot
\frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Frente a $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$: cinco decimales correctos tras tres pasos — la receta duplica más o menos los decimales correctos en cada vuelta.

**13.** Si $x^2 > 2$ (estimación demasiado grande), entonces $x > \sqrt2$, y $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$: el lado compañero es demasiado pequeño. Si $x^2 < 2$, las desigualdades se invierten. En cualquier caso, $\sqrt2$ está entre $x$ y $\frac2x$, así que su media — la estimación siguiente — está más cerca que el peor de los dos lados: el rectángulo de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $2$ se vuelve más cuadrado en cada paso.

**14.** $9 - 8 = 1$; $289 - 288 = 1$; $332\,929 - 332\,928 = 1$. Toda estimación $\frac ab$ de Herón cumple $a^2 - 2b^2 = 1$: la Parte I demostró que llegar a $0$ es imposible, y estas fracciones fallan lo imposible por exactamente una unidad — lo más cerca que pueden llegar los números enteros.

**15.** La recta numérica tiene que contener números más allá de las fracciones — longitudes como $\sqrt2$, cuyas escrituras decimales corren eternamente sin repetirse: los *números reales*. Su construcción honesta es historia para el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior y, con todo rigor, para los universitarios.