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title: "Álgebra y ecuaciones"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 66
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/66-algebra-y-ecuaciones
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# Capítulo 66 — Álgebra y ecuaciones

Las letras representan números, y calcular con letras demuestra hechos sobre *todos* los números a la vez. Este capítulo practica el desarrollo y la factorización — incluidas las tres identidades que te acompañarán por todas las matemáticas — y resuelve ecuaciones de primer grado, ecuaciones [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) e inecuaciones sencillas, siempre paso a paso y con justificación.

## 66.1 Desarrollar

**Definición 66.1 (Desarrollar).**

*Desarrollar* es transformar un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) en una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def), usando la distributividad:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Ejemplo 66.2.**

Cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo:

$$
\begin{align*}
(x + 3)(2x + 5)
&= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\
&= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\
&= 2x^2 + 11x + 15 .
\end{align*}
$$

Los signos viajan con los términos:

$$
\begin{align*}
(3x - 2)(x - 4)
&= 3x^2 - 12x - 2x + 8
= 3x^2 - 14x + 8 .
\end{align*}
$$

**Teorema 66.3 (Las tres identidades).**

Para todos los números $a$ y $b$:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**Demostración.** Desarrolla cada miembro izquierdo. Para la primera: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Para la segunda, sustituye $b$ por $-b$ en la primera. Para la tercera: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (los términos cruzados se cancelan). ∎

![La identidad (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, vista como áreas: el cuadrado grande de lado a+b está formado por dos cuadrados y dos rectángulos iguales. ¡Olvidar el «2ab» es olvidar los dos rectángulos!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-3f1377230717.svg)

*La identidad $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, vista como [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): el cuadrado grande de lado $a+b$ está formado por dos cuadrados y dos rectángulos iguales. ¡Olvidar el «$2ab$» es olvidar los dos rectángulos!*

**Ejemplo 66.4.**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad
(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .
$$

Cálculo mental: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$, y $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$.

## 66.2 Factorizar

**Método 66.5 (Factorizar).**

Para factorizar una expresión, prueba en este orden:

1. *factor común* : $ka + kb = k(a + b)$ , donde $k$ puede ser él mismo un paréntesis;
2. *[diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de cuadrados* : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
3. *cuadrado perfecto* : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (y, con $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Comprueba siempre desarrollando el resultado.

**Ejemplo 66.6.**

*Factor común:* $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$.

*Paréntesis común:*

$$
(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr]
= (x+2)(4x+3).
$$

*[Diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de cuadrados:* $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$, y

$$
(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).
$$

Cada factor sigue teniendo un factor común: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times
2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$.

## 66.3 Ecuaciones

**Método 66.7 (Ecuaciones de primer grado).**

Para resolver una [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def) como $5x - 3 = 2x + 9$:

1. reúne los términos en $x$ en un miembro y los números en el otro, sumando la misma cantidad a los dos miembros;
2. reduce cada miembro;
3. divide los dos miembros entre el coeficiente de $x$ ;
4. comprueba la solución en la [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def) de partida.

**Ejemplo 66.8.**

$$
\begin{align*}
5x - 3 &= 2x + 9 \\
5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(suma $3 - 2x$ a los dos miembros)}\\
3x &= 12 \\
x &= 4 && \text{(divide entre 3).}
\end{align*}
$$

Comprobación: $5 \times 4 - 3 = 17$ y $2 \times 4 + 9 = 17$. La solución es $4$.

Con paréntesis, desarrolla primero: $3(x - 2) = x + 8$ se convierte en $3x - 6 = x + 8$, luego $2x = 14$ y $x = 7$.

**Teorema 66.9 (Regla del producto nulo).**

Un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) si y solo si al menos uno de los factores es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero):

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ o } \ B = 0 .
$$

**Demostración.** Si un factor es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero), el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) lo es claramente. Recíprocamente, si $A B = 0$ con $A \neq 0$, dividir los dos miembros entre $A$ da $B = 0$. ∎

**Ejemplo 66.10.**

Resuelve $(x - 3)(2x + 10) = 0$: o bien $x - 3 = 0$, o bien $2x + 10 = 0$, así que las soluciones son $3$ y $-5$.

Resuelve $x^2 - 49 = 0$: factoriza primero, $(x-7)(x+7) = 0$, soluciones $7$ y $-7$.

Resuelve $x^2 = 3x$: ¡nunca dividas entre $x$! Pasa todo a un lado y factoriza: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$, soluciones $0$ y $3$.

## 66.4 Inecuaciones

**Proposición 66.11 (Reglas de las desigualdades).**

Una desigualdad se conserva al sumar el mismo número a los dos miembros y al multiplicar los dos miembros por el mismo número *positivo*. Multiplicar los dos miembros por un número *negativo* invierte el signo de desigualdad.

**Demostración.** Si $a \leq b$, entonces $b - a \geq 0$. Sumando $c$: $(b+c) - (a+c) = b - a
\geq 0$, luego $a + c \leq b + c$. Multiplicando por $c > 0$: $bc - ac = (b-a)c \geq 0$, luego $ac \leq bc$. Multiplicando por $c < 0$: $(b-a)c \leq 0$, luego $ac \geq bc$: el orden se invierte. ∎

**Ejemplo 66.12.**

Resuelve $7 - 2x < 15$:

$$
\begin{align*}
7 - 2x &< 15 \\
-2x &< 8 && \text{(resta 7)} \\
x &> -4 && \text{(divide entre $-2$: invierte el signo).}
\end{align*}
$$

Las soluciones son todos los números mayores que $-4$: en una recta numérica, un punto hueco en $-4$ y sombreado hacia la derecha.

![Las soluciones de 7 - 2x < 15: todos los x > -4 (punto hueco: el propio -4 no es solución).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-754390be3efb.svg)

*Las soluciones de $7 - 2x < 15$: todos los $x > -4$ (punto hueco: el propio $-4$ no es solución).*

## 66.5 Ejercicios

**Ejercicio 66.1 ★.**

Desarrolla y reduce:

$$
4(3x - 2), \qquad
(x + 6)(x + 2), \qquad
(2x - 3)(x + 5), \qquad
(x - 1)(x - 9).
$$

**Solución de Ejercicio 66.1.**

$4(3x - 2) = 12x - 8$.

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$.

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$.

**Ejercicio 66.2 ★.**

Desarrolla usando las identidades:

$$
(x + 8)^2, \qquad
(3x - 4)^2, \qquad
(x + 10)(x - 10), \qquad
(5x + 2)(5x - 2).
$$

**Solución de Ejercicio 66.2.**

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$.

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$.

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$.

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$.

**Ejercicio 66.3 ★.**

Calcula mentalmente, usando una identidad: $101^2$; $59^2$ (escribe $59 = 60 - 1$); $53 \times 47$.

**Solución de Ejercicio 66.3.**

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.

**Ejercicio 66.4 ★.**

Factoriza:

$$
9x + 12, \qquad
x^2 - 64, \qquad
x^2 + 14x + 49, \qquad
18x^2 - 6x .
$$

**Solución de Ejercicio 66.4.**

$9x + 12 = 3(3x + 4)$.

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$.

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$.

**Ejercicio 66.5 ★.**

Resuelve, escribiendo todos los pasos:

$$
4x + 7 = 19, \qquad
6x - 5 = 2x + 11, \qquad
5(x - 3) = 3x + 1 .
$$

**Solución de Ejercicio 66.5.**

$4x + 7 = 19$: $4x = 12$, luego $x = 3$.

$6x - 5 = 2x + 11$: $4x = 16$, luego $x = 4$.

$5(x-3) = 3x + 1$: $5x - 15 = 3x + 1$, luego $2x = 16$ y $x = 8$.

**Ejercicio 66.6 ★★.**

Resuelve usando la regla del [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) nulo:

$$
(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad
x^2 - 121 = 0, \qquad
(2x - 1)^2 = 0, \qquad
x^2 = 8x .
$$

**Solución de Ejercicio 66.6.**

$(x+4)(3x-12) = 0$: $x = -4$ o $x = 4$.

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$: $x = 11$ o $x = -11$.

$(2x-1)^2 = 0$: la única solución $x = \frac12$.

$x^2 = 8x$: $x(x - 8) = 0$, luego $x = 0$ o $x = 8$.

**Ejercicio 66.7 ★★.**

Factoriza $E = (3x + 2)^2 - 25$ y resuelve después $E = 0$.

**Solución de Ejercicio 66.7.**

[Diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de cuadrados con $a = 3x + 2$ y $b = 5$:

$$
E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).
$$

Regla del [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) nulo: $3x + 7 = 0$ da $x = -\frac73$, y $3x - 3 = 0$ da $x = 1$.

**Ejercicio 66.8 ★★.**

Resuelve las inecuaciones y representa las soluciones en una recta numérica:

$$
3x - 4 \geq 8, \qquad
5 - 2x > 1, \qquad
4(x + 1) \leq x - 5 .
$$

**Solución de Ejercicio 66.8.**

$3x - 4 \geq 8$: $3x \geq 12$, luego $x \geq 4$ (punto relleno en $4$, sombreado a la derecha).

$5 - 2x > 1$: $-2x > -4$; al dividir entre $-2$ se invierte el signo: $x < 2$ (punto hueco en $2$, sombreado a la izquierda).

$4(x+1) \leq x - 5$: $4x + 4 \leq x - 5$, luego $3x \leq -9$, luego $x \leq -3$ (punto relleno en $-3$, sombreado a la izquierda).

**Ejercicio 66.9 ★★.**

Pienso un número, lo multiplico por $3$, le sumo $7$ y obtengo el mismo resultado que si lo hubiera multiplicado por $5$ y le hubiera restado $9$. ¿Cuál es mi número? (Plantea una [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def) y resuélvela.)

**Solución de Ejercicio 66.9.**

Sea $x$ el número: $3x + 7 = 5x - 9$. Entonces $16 = 2x$, luego $x = 8$. Comprobación: $3 \times 8 + 7 = 31$ y $5 \times 8 - 9 = 31$.

**Ejercicio 66.10 ★★★.**

Sea $n$ un número entero.

1. desarrolla $(n + 1)(n - 1)$ y deduce que el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de los dos vecinos de $n$ siempre es $n^2 - 1$ (por ejemplo, $24 \times 26 =  25^2 - 1 = 624$ );
2. demuestra que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de tres enteros consecutivos siempre es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $3$ .

**Solución de Ejercicio 66.10.**

*1.* $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (tercera identidad). Los vecinos de $n$ son $n - 1$ y $n + 1$, así que su [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es $n^2 - 1$: por ejemplo, $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$.

*2.* Tres enteros consecutivos se pueden escribir $n - 1$, $n$, $n + 1$. Su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es

$$
(n-1) + n + (n+1) = 3n ,
$$

[múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $3$ (tres veces el del medio).

## 66.6 Problema: El álgebra de las cifras

**Problema 66.1.**

Problema de fin de semana — por qué funcionan los criterios de divisibilidad, el truco del 1089 desenmascarado y un cálculo mental que parece brujería

En primaria te enseñaron *reglas* (un número es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $9$ cuando lo es su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras); los magos hacen *trucos* (todo el mundo acaba en $1089$); los mercados conocen *atajos* ($35^2 = 1225$, al instante). Todo ello es el mismo secreto: un número de cifras $a$, $b$, $c$ es la expresión $100a + 10b + c$, y el álgebra de este capítulo ([Teorema 66.3](#thm-g9-algebra-identities), [desarrollar](#def-g9-algebra-expand), factorizar) sabe desmontarlo. Al final de este problema habrás demostrado las reglas, desenmascarado el truco y aprendido la brujería.

**Parte I — Las cifras al microscopio.**

1. un número de dos cifras con cifra de las decenas $a$ y cifra de las unidades $b$ es $10a + b$ . Desarrolla y factoriza la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) entre el número y su volteado, $(10a + b) - (10b + a)$ , y enuncia el descubrimiento. Compruébalo con $72 - 27$ ;
2. demuestra el criterio del nueve para los números de tres cifras: verifica la identidad $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$$ y explica por qué eso muestra que un número y su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras dejan el *mismo [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder)* en la división entre $9$ — así que uno es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $9$ exactamente cuando lo es el otro ([Proposición 64.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#prop-g9-arith-rules), ahora demostrado);
3. deduce el criterio del tres de la misma identidad, en una frase;
4. «la prueba del nueve», la comprobación de los contables: para verificar $47 \times 86 = 4\,042$ , sustituye cada número por la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras de su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , y $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; después $4\,042 \to 10 \to 1$ : coherente. Explica por qué un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) correcto tiene que pasar la prueba (escribe $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ y desarrolla) y encuentra un resultado erróneo que la prueba no detecte (¿por qué son invisibles para ella dos cifras intercambiadas?);
5. demuestra el criterio del once para los números de cuatro cifras: verifica $$1000a + 100b + 10c + d  = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$$ y úsalo para decidir si $2\,926$ es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $11$.

**Parte II — El truco del 1089.** El truco: piensa un número de tres cifras cuya primera y última cifras difieran al menos en $2$; voltéalo; resta el menor del mayor; voltea el resultado; [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) los dos últimos números. El mago anuncia: *1089*.

6. haz el truco con $742$ y con un número que elijas tú;
7. sea el número de cifras $a$ , $b$ , $c$ con $a > c$ . Factoriza la primera resta, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , y enumera todos los valores que puede tomar cuando $a - c$ va de $2$ a $9$ ;
8. cada uno de esos [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $99$ tiene un patrón de cifras llamativo. Escribiendo $m = a - c$, verifica la identidad $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$$ y lee las tres cifras de $99m$;
9. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $99m$ con su propio volteado, usando las cifras de la pregunta 8, y demuestra que el total es $1089$ — sea cual sea $m$ . El truco ha muerto; viva el álgebra;
10. ¿por qué exigía el mago que la primera y la última cifra difirieran al menos en $2$ ? Examina los casos $a = c$ y $a - c = 1$ (en el que la resta da $99$ , que hay que escribir $099$ para que el volteo funcione) y enuncia la letra pequeña que mantiene honesto el truco.

**Parte III — Brujería de uso diario.**

11. el truco del cumpleaños: «multiplica tu mes de nacimiento por $5$ , súmale $7$ , dóblalo, súmale tu día de nacimiento, réstale $14$ ». Demuestra que el resultado siempre es $10m + d$ — mes y día, legibles de un vistazo. (Pruébalo con alguien.);
12. rediseñas el truco así: «multiplica el mes por $5$ , súmale $9$ , dóblalo, súmale el día». ¿Qué número tiene que restar ahora el espectador al final para obtener la misma lectura mes–día?;
13. el truco de la cifra que falta: el espectador elige un número cualquiera, le resta su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras (la pregunta 2 dice que el resultado es siempre [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ — explica por qué para un número de tres cifras), después tacha una cifra *no nula* y te lee las cifras restantes. Explica cómo recuperas la cifra tachada y por qué había que excluir el $0$ ;
14. brujería de mercado: demuestra la identidad $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , enuncia la regla para elevar al cuadrado cualquier número terminado en $5$ y calcula $45^2$ , $85^2$ y $105^2$ de cabeza;
15. final, ampliando el [Ejercicio 66.10](#exo-g9-algebra-10) : demuestra que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cinco enteros consecutivos siempre es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $5$ , pero que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de *cuatro* enteros consecutivos *nunca* es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $4$ . (Dos cálculos cortos — y una moraleja sobre lo que el álgebra hace con las palabras «siempre» y «nunca».)

**Solución de Problema 66.1.**

**1.** $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$: la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) entre un número de dos cifras y su volteado siempre es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$. Comprobación: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$, y $a - b = 7 - 2 = 5$.

**2.** Desarrollando el miembro derecho: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c
= 100a + 10b + c$. Así que el número es igual a un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ más su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras: al dividir entre $9$, los dos dejan el mismo [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder). En particular, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$ para uno significa [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$ para el otro: el criterio del nueve, demostrado.

**3.** $9(11a + b)$ también es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $3$, así que la misma identidad muestra que el número y su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras dejan el mismo [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) en la división entre $3$: el criterio del tres.

**4.** Escribe $47 = 9k + 2$ y $86 = 9l + 5$. Entonces

$$
47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5)
= 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :
$$

el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) deja el mismo [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) que $2 \times 5 = 10$, es decir $1$. Por tanto, un resultado correcto también tiene que dejar [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $1$ — y $4\,042$ lo deja. Pero la prueba solo ve [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder): $4\,042$ y $4\,402$ (cifras intercambiadas) pasan igual, así que pasarla no demuestra nada — lo que condena es fallarla.

**5.** Desarrollando: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d
= 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d
= 1000a + 100b + 10c + d$. Así que el número es [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $11$ exactamente cuando lo es su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) alterna $-a + b - c + d$. Para $2\,926$: $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$, [divisible](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-divisible) entre $11$: sí, $2\,926 = 11 \times 266$.

**6.** $742 - 247 = 495$; $495 + 594 = 1\,089$. Cualquier ejemplo válido aterriza también en $1\,089$.

**7.** $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$. Para $a - c = 2, 3, \dots, 9$:

$$
198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .
$$

**8.** $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10
- m = 99m$. Así que las tres cifras de $99m$ son $m - 1$, después $9$ y después $10 - m$ (comprueba con $495$: $m = 5$ da $4$, $9$, $5$).

**9.** El volteado de $99m$ tiene cifras $10 - m$, $9$, $m - 1$, así que vale $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$. Sumando:

$$
100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1)
= 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,
$$

independientemente de $m$. Sea cual sea el número de partida, el mago está a salvo.

**10.** Si $a = c$, la resta da $0$ y el truco muere de inmediato. Si $a - c = 1$, da $99$, que hay que tratar como la cadena de tres cifras $099$ (volteado $990$, $99 + 990 = 1\,089$: ¡salvado!). La letra pequeña: las [diferencias](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de $1$ solo funcionan si el espectador escribe el resultado de la resta con tres cifras, [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) inicial incluido — exigir una separación de al menos $2$ evita la discusión.

**11.** $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 =
10m + d$: las decenas (y las centenas, para octubre–diciembre) dan el mes, y las unidades (y las decenas) el día.

**12.** $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$: hay que restar $18$.

**13.** Por la pregunta 2, $n - (\text{suma de cifras de } n) =
9(11a + b)$ para un $n$ de tres cifras: siempre [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ (identidades parecidas valen para cualquier longitud). Un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ tiene [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$ (otra vez la pregunta 2), así que las cifras que el espectador lee hay que completarlas hasta el siguiente [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$: la cifra que falta es ese complemento. Ambigüedad: si las cifras leídas ya suman un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $9$, la cifra tachada podría ser $0$ o $9$ — excluir el $0$ quita la duda.

**14.** $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 =
100\,t(t + 1) + 25$: escribe $t(t+1)$ y pega $25$ detrás. $45^2$: $4 \times 5 = 20$, así que $2\,025$. $85^2$: $8 \times 9 = 72$, así que $7\,225$. $105^2$: $10 \times 11 = 110$, así que $11\,025$.

**15.** Cinco consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) +
(n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$: [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $5$, siempre. Cuatro consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 =
4(n + 1) + 2$: [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $2$ en la división entre $4$, nunca [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor). El álgebra convierte «parece funcionar» en *siempre*, y «no he encontrado ningún ejemplo» en *nunca* — dos palabras a las que ninguna cantidad de pruebas puede llegar ([Método 48.8](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/48-expresiones-literales#met-g7-literal-test)).