--- title: "Funciones lineales y afines" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 67 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines --- # Capítulo 67 — Funciones lineales y afines «Tres kilogramos cuestan el triple que uno»: eso es la [proporcionalidad](#def-g9-linfunc-linear), la manera más sencilla en que se pueden relacionar dos magnitudes. Las [funciones lineales](#def-g9-linfunc-linear) son la [proporcionalidad](#def-g9-linfunc-linear) en el lenguaje de las funciones; las [funciones afines](#def-g9-linfunc-affine) añaden una cantidad inicial fija. Sus gráficas son rectas, y leer esas rectas es la destreza que construye este capítulo. ## 67.1 Proporcionalidad y funciones lineales **Definición 67.1 (Función lineal).** Una *función lineal* multiplica todos los números por un número fijo $a$: $$ f(x) = a x . $$ El número $a$ es el *coeficiente* de $f$. Dos magnitudes son *proporcionales* exactamente cuando una es función lineal de la otra. **Ejemplo 67.2.** Si las manzanas cuestan $3$ por kilogramo, el precio de $x$ kilogramos es $f(x) = 3x$: comprar el doble cuesta el doble, y el precio de $2.5$ kg es $f(2.5) = 7.5$. Recíprocamente, si una [función lineal](#def-g9-linfunc-linear) cumple $f(4) = 10$, entonces $a = \frac{10}{4} = 2.5$ y $f(x) = 2.5x$: *un solo valor determina por completo una [función lineal](#def-g9-linfunc-linear).* **Proposición 67.3 (Gráfica de una función lineal).** La gráfica de $f(x) = ax$ es una recta *que pasa por el origen*. Recíprocamente, toda recta no vertical que pasa por el origen es la gráfica de una [función lineal](#def-g9-linfunc-linear). **Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎ ![Dos funciones lineales: las dos gráficas pasan por el origen; el coeficiente a es la altura alcanzada en x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-linfunc/fig-08e8aadc66eb.svg) *Dos [funciones lineales](#def-g9-linfunc-linear): las dos gráficas pasan por el origen; el coeficiente $a$ es la altura alcanzada en $x = 1$.* ## 67.2 Las funciones afines **Definición 67.4 (Función afín).** Una *función afín* tiene la forma $$ f(x) = a x + b , $$ donde $a$ y $b$ son números fijos. Las [funciones lineales](#def-g9-linfunc-linear) son el caso particular $b = 0$; las funciones constantes, el caso $a = 0$. **Ejemplo 67.5.** Un gimnasio cobra una cuota de inscripción de $20$ y después $5$ por visita: el coste total de $x$ visitas es $f(x) = 5x + 20$. El coste *no* es proporcional al número de visitas (10 visitas no cuestan el doble que 5), pero cada visita de más añade la misma cantidad, $5$. **Proposición 67.6 (Gráfica de una función afín).** La gráfica de $f(x) = ax + b$ es una recta: - $b = f(0)$ es la *ordenada en el origen* : la recta corta el eje vertical en $(0, b)$ ; - $a$ es la *pendiente* : avanzar una unidad hacia la derecha sube $a$ unidades (baja si $a < 0$ ); la función es creciente cuando $a > 0$ y decreciente cuando $a < 0$ ; - para dos entradas cualesquiera $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ . **Demostración del último punto.** $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$; divide entre $v - u$. El [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) se admite a este nivel (el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior da un tratamiento completo de las rectas y sus ecuaciones). ∎ ![Leer y = ax + b en su gráfica: la recta corta el eje y a la altura b y sube a por cada paso de una unidad hacia la derecha (aquí a = 1, b = 1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-linfunc/fig-01bf255d3837.svg) *Leer $y = ax + b$ en su gráfica: la recta corta el eje $y$ a la altura $b$ y sube $a$ por cada paso de una unidad hacia la derecha (aquí $a = 1$, $b = 1$).* **Método 67.7 (Hallar una función afín a partir de dos valores).** Dados $f(u)$ y $f(v)$ con $u \neq v$: 1. calcula la [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ; 2. sustituye uno de los dos valores conocidos en $f(x) = ax + b$ para hallar $b$ ; 3. comprueba con el otro valor. **Ejemplo 67.8.** Halla la [función afín](#def-g9-linfunc-affine) con $f(2) = 7$ y $f(5) = 16$. $$ a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 , $$ y después $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ da $b = 1$: $f(x) = 3x + 1$. Comprobación: $f(5) = 15 + 1 = 16$. ## 67.3 Los porcentajes **Proposición 67.9 (Variación porcentual).** Aumentar una magnitud un $t\,\%$ la multiplica por $1 + \dfrac{t}{100}$; disminuirla un $t\,\%$ la multiplica por $1 - \dfrac{t}{100}$. Las variaciones porcentuales son [funciones lineales](#def-g9-linfunc-linear). **Demostración.** Aumentar $x$ un $t\,\%$ es sumarle $\frac{t}{100}\,x$: $$ x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x . $$ El mismo cálculo con un signo menos para una disminución. ∎ **Ejemplo 67.10.** Un precio de $80$ aumenta un $15\%$: precio nuevo $80 \times 1.15 = 92$. Un precio de $60$ disminuye un $30\%$: $60 \times 0.7 = 42$. *Encadenar variaciones multiplica los factores.* Un aumento del $20\%$ seguido de una bajada del $20\%$ da $1.2 \times 0.8 = 0.96$: ¡una *bajada* del $4\%$ en total, y no una vuelta al punto de partida! ## 67.4 Ejercicios **Ejercicio 67.1 ★.** Entre estas funciones, ¿cuáles son lineales? ¿Cuáles afines? ¿Cuáles ninguna de las dos? $$ f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 . $$ **Solución de Ejercicio 67.1.** Lineales: $f$ y $k$ (de la forma $ax$). Afines pero no lineales: $g$ ([pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $3$, ordenada en el origen $-5$) y $m$ (constante, [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $0$). Ninguna de las dos: $h$, por culpa del cuadrado. **Ejercicio 67.2 ★.** Sea $f(x) = 2x - 3$. Calcula $f(0)$, $f(4)$, $f(-1)$ y halla el número $x$ tal que $f(x) = 9$. **Solución de Ejercicio 67.2.** $f(0) = -3$; $f(4) = 5$; $f(-1) = -5$. Y $f(x) = 9$ significa $2x - 3 = 9$, luego $2x = 12$ y $x = 6$. **Ejercicio 67.3 ★.** Una [función lineal](#def-g9-linfunc-linear) cumple $f(6) = 15$. Halla su coeficiente y calcula después $f(10)$ y $f(-2)$. **Solución de Ejercicio 67.3.** $a = \frac{15}{6} = 2.5$, luego $f(x) = 2.5x$. Entonces $f(10) = 25$ y $f(-2) = -5$. **Ejercicio 67.4 ★.** Dibuja en el mismo sistema de coordenadas las gráficas de $f(x) = 2x$, $g(x) = 2x + 3$ y $h(x) = -x + 4$. ¿Qué se puede decir de las gráficas de $f$ y $g$? **Solución de Ejercicio 67.4.** $f$ pasa por el origen con [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $2$; $g$ tiene la misma [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) pero corta el eje $y$ en $3$; $h$ decrece desde $(0, 4)$ con [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $-1$. Las gráficas de $f$ y $g$ son *[rectas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp)* (misma [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph), distinta ordenada en el origen). **Ejercicio 67.5 ★.** Halla la [función afín](#def-g9-linfunc-affine) tal que $f(1) = 5$ y $f(3) = 11$; y después la que cumple $g(0) = 4$ y $g(2) = 0$. **Solución de Ejercicio 67.5.** Para $f$: [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$, y después $5 = 3 \times 1 + b$ da $b = 2$: $f(x) = 3x + 2$. Para $g$: [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$, y $g(0) = 4$ ya es la ordenada en el origen: $g(x) = -2x + 4$. **Ejercicio 67.6 ★★.** Calcula: el precio tras un aumento del $25\%$ sobre $120$; el precio tras un descuento del $40\%$ sobre $65$; el precio inicial si un artículo cuesta $69$ tras un descuento del $25\%$. **Solución de Ejercicio 67.6.** Aumento del $25\%$: $120 \times 1.25 = 150$. Descuento del $40\%$: $65 \times 0.6 = 39$. Precio inicial $p$ con $p \times 0.75 = 69$: $p = \frac{69}{0.75} = 92$. **Ejercicio 67.7 ★★.** Una tarifa de teléfono A cuesta $10$ al mes más $0.05$ por minuto de llamadas; la tarifa B cuesta $25$ al mes con llamadas ilimitadas. 1. expresa el coste mensual de la tarifa A en función del número $x$ de minutos; 2. ¿a partir de cuántos minutos al mes sale más barata la tarifa B? **Solución de Ejercicio 67.7.** *1.* $f(x) = 0.05x + 10$. *2.* La tarifa B sale más barata cuando $25 < 0.05x + 10$, es decir $15 < 0.05x$, es decir $x > 300$. A partir de $301$ minutos ($5$ horas) al mes, gana la tarifa B. **Ejercicio 67.8 ★★.** Una población de $2000$ bacterias aumenta un $10\%$ cada hora. 1. ¿cuántas bacterias hay al cabo de una hora? ¿Y de dos horas?; 2. explica por qué la respuesta al cabo de dos horas no es $2400$ . **Solución de Ejercicio 67.8.** *1.* Al cabo de una hora: $2000 \times 1.1 = 2200$. Al cabo de dos horas: $2200 \times 1.1 = 2420$. *2.* El segundo aumento se aplica a $2200$, no a $2000$: crecer un $10\%$ dos veces multiplica por $1.1^2 = 1.21$, un aumento del $21\%$, no del $20\%$. **Ejercicio 67.9 ★★.** La gráfica de una [función afín](#def-g9-linfunc-affine) pasa por los puntos $(2, 3)$ y $(6, 1)$. 1. calcula su [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) . ¿La función es creciente o decreciente?; 2. da su expresión y calcula la entrada para la que la salida es $0$ . **Solución de Ejercicio 67.9.** *1.* [Pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$: la función es decreciente. *2.* $f(x) = -0.5x + b$ con $f(2) = 3$: $-1 + b = 3$, luego $b = 4$ y $f(x) = -0.5x + 4$. Salida $0$: $-0.5x + 4 = 0$ da $x = 8$. **Ejercicio 67.10 ★★★.** Una tienda sube primero un precio un $t\,\%$ y después baja el precio nuevo un $t\,\%$. 1. demuestra que el precio final es igual al inicial multiplicado por $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ ; 2. deduce que el precio final siempre es *menor* que el inicial (para $0 < t \leq 100$ ), y halla la variación porcentual total para $t = 10$ . **Solución de Ejercicio 67.10.** *1.* Las dos variaciones multiplican el precio por $$ \left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000} $$ (tercera identidad con $a = 1$, $b = \frac{t}{100}$). *2.* Para $0 < t \leq 100$, $\frac{t^2}{10000} > 0$, así que el factor es menor que $1$: el precio final es menor que el inicial. Para $t = 10$: factor $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$, es decir una bajada total del $1\%$. ## 67.5 Problema: Los dos termómetros **Problema 67.1.** Problema de fin de semana — Celsius, Fahrenheit y las funciones afines de la vida diaria: una temperatura se lee igual en las dos escalas, y la pendiente constante es la firma de la rectitud Los estadounidenses oyen «$68$ grados» y se visten ligeros; los europeos lo oyen y agarran un abrigo. Los dos termómetros del mundo están enlazados por una [función afín](#def-g9-linfunc-affine) — y construirla a partir de dos datos es exactamente la destreza del [Método 67.7](#met-g9-linfunc-findaffine). Este problema construye la conversión, halla la inquietante temperatura en la que las dos escalas coinciden, después lee taxis, grillos y velas con las mismas gafas, y termina con la prueba que reconoce la rectitud misma. **Parte I — Construir la conversión.** Dos datos fijan la escala Fahrenheit: el agua se congela a $32\,^\circ$F y hierve a $212\,^\circ$F (a $0\,^\circ$C y $100\,^\circ$C). 1. halla la [función afín](#def-g9-linfunc-affine) $F = f(C)$ que convierte los grados Celsius en Fahrenheit ( [Método 67.7](#met-g9-linfunc-findaffine) con los valores $f(0) = 32$ y $f(100) = 212$ ); 2. convierte a Fahrenheit: un día templado de $20\,^\circ$ C; los $37\,^\circ$ C del cuerpo; unos gélidos $-10\,^\circ$ C; 3. despeja $C$ para construir la conversión de vuelta y úsala con $50\,^\circ$ F y con $98.6\,^\circ$ F; 4. ¿es $f$ una función *lineal* ( [Definición 67.1](#def-g9-linfunc-linear) )? Prueba las señales delatoras: ¿cuánto vale $f(0)$ y doblar la lectura Celsius dobla la Fahrenheit? Concluye con la palabra correcta ( [Definición 67.4](#def-g9-linfunc-affine) ); 5. el acertijo clásico: ¿hay una temperatura que se lea con *el mismo número* en las dos escalas? Resuelve $f(x) = x$ y describe qué significa tu solución en la gráfica de $f$ (¿qué recta corta ahí la gráfica?). **Parte II — Las [funciones afines](#def-g9-linfunc-affine) en libertad.** 6. el taxi A cobra $3$ euros más $1.50$ por km; el taxi B cobra $2$ euros por km a secas. Escribe las dos funciones de precio y compáralas para un trayecto de $4$ km y otro de $8$ km; 7. halla la distancia de equilibrio en la que los dos taxis cuestan lo mismo y describe la situación en una gráfica (dos rectas — ¿qué pasa en el punto de corte, antes de él y después?); 8. regla práctica de los naturalistas: un grillo canta unas $N = 7T - 30$ veces por minuto a la temperatura $T\,^\circ$ C. ¿Cuántos cantos en una tarde de $20\,^\circ$ C? Cuentas $82$ cantos en un minuto: ¿qué temperatura anuncia el grillo?; 9. un teléfono comprado por $600$ euros pierde $15$ euros de valor al mes: escribe la función de valor $v(t)$ , halla cuándo el teléfono vale $240$ euros y cuándo el modelo dice que no vale nada. ¿La fórmula sigue significando algo después de esa fecha?; 10. las variaciones porcentuales son [funciones lineales](#def-g9-linfunc-linear) : $+25\,\%$ es multiplicar por $1.25$ , y $-20\,\%$ por $0.8$ ( [Proposición 67.9](#prop-g9-linfunc-percent) ). Compónlas: ¿qué le hace a un precio una subida del $+25\,\%$ seguida de una bajada del $-20\,\%$ ? Explica el pequeño milagro y compara con el [Ejercicio 67.10](#exo-g9-linfunc-10) . **Parte III — La [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) lo es todo.** 11. una vela mide $20$ cm al encenderla y $17$ cm media hora después. Suponiendo que se derrite de forma afín, halla $h(t)$ (altura en cm, $t$ en minutos) y predice cuándo se apaga la vela; 12. dos ciclistas recorren la misma carretera: la distancia del primero es $d_1(t) = 24t$ (km al cabo de $t$ horas) y la del segundo, $d_2(t) = 10 + 18t$ . ¿Quién salió con ventaja, quién va más rápido y en qué momento y kilómetro alcanza el primero al segundo?; 13. sean $f(x) = 2x + 3$ y $g(x) = -0.5x + 7$ . Calcula $f(x) + g(x)$ y comprueba que vuelve a ser afín. ¿Cuáles son la [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) y la ordenada en el origen de una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) , en general?; 14. discute por completo la [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def) $mx + p = 0$ : ¿cuántas soluciones hay cuando $m \neq 0$ (y cuál es)? ¿Y cuando $m = 0$ y $p \neq 0$ ? ¿Y cuando $m = 0$ y $p = 0$ ? (Cada caso tiene su historia gráfica: ¿dónde corta al eje horizontal una recta de [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $m$ ?); 15. la prueba de alineación: ¿están los puntos $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ sobre una misma recta? ¿Y $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Calcula las tasas de variación entre parejas y decide. Enuncia la moraleja: una *tasa de variación constante* es la firma de las [funciones afines](#def-g9-linfunc-affine) — las gráficas curvas cambian de tasa, y medir *eso* es historia para el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior. **Solución de Problema 67.1.** **1.** [Pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$; ordenada en el origen $f(0) = 32$. Por tanto $$ f(C) = 1.8\,C + 32 . $$ **2.** $f(20) = 68\,^\circ$F (el famoso día templado); $f(37) = 98.6\,^\circ$F; $f(-10) = 14\,^\circ$F. **3.** De $F = 1.8C + 32$: $C = \frac{F - 32}{1.8}$. Entonces $50\,^\circ$F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$C, y $98.6\,^\circ$F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$C. **4.** $f(0) = 32 \neq 0$, y $f(20) = 68$ no es el doble de $f(10) = 50$: no es lineal. La gráfica es una recta que no pasa por el origen: $f$ es *afín*, no lineal. **5.** $1.8x + 32 = x$ da $0.8x = -32$, luego $x = -40$: a cuarenta bajo [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero), los dos termómetros marcan $-40$. En la gráfica, la recta de $f$ corta ahí justamente a la diagonal $y = x$. **6.** $p_A(k) = 1.5k + 3$ y $p_B(k) = 2k$. Para $4$ km: $9$ euros frente a $8$: B más barato. Para $8$ km: $15$ frente a $16$: A más barato. **7.** $1.5k + 3 = 2k$ da $k = 6$: a seis kilómetros los dos cuestan $12$ euros. Gráficamente, la recta de B (que pasa por el origen y es más inclinada) empieza por debajo de la de A y la corta en $(6, 12)$: B gana en los trayectos cortos y A en los largos. **8.** $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ cantos por minuto. De $82 = 7T - 30$: $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$C. **9.** $v(t) = 600 - 15t$. Vale $240$: $600 - 15t = 240$, $t = 24$ meses. Vale $0$: $t = 40$ meses. Pasados los $40$ meses la fórmula se vuelve negativa — pero el valor de un teléfono se para en [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero): todo modelo afín tiene un dominio en el que tiene sentido. **10.** Componiendo: $\times 1.25$ y después $\times 0.8$ multiplica por $1.25 \times 0.8 = 1$: el precio vuelve exactamente a su punto de partida. No hay milagro: los porcentajes actúan sobre referencias distintas (la bajada se aplica al precio ya subido) y aquí los multiplicadores se cancelan por casualidad — la historia general, con su pérdida incorporada $1 - \frac{t^2}{10\,000}$, es el [Ejercicio 67.10](#exo-g9-linfunc-10). **11.** [Pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm por minuto; $h(t) = 20 - 0.1t$. Se apaga en $h(t) = 0$: $t = 200$ minutos — tres horas y veinte minutos de luz. **12.** El segundo salió $10$ km por delante (ordenada en el origen); el primero es más rápido ($24 > 18$ km/h). Alcance: $24t = 10 + 18t$ da $6t = 10$, $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, en el kilómetro $24 \times \frac53 = 40$. **13.** $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$: afín, con [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph) la *[suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de las [pendientes](#prop-g9-linfunc-affinegraph)* y ordenada en el origen la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de las ordenadas en el origen — se ve al agrupar los términos semejantes en $(mx + p) + (m'x + p')$. **14.** Si $m \neq 0$: exactamente una solución, $x = -\frac pm$ — una recta no horizontal corta el eje una vez. Si $m = 0$, $p \neq 0$: no hay solución — una recta horizontal por encima o por debajo del eje nunca lo toca. Si $m = 0$, $p = 0$: todo $x$ es solución — la recta *es* el eje. **15.** Primer terna: tasas $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ y $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$: iguales, los puntos están alineados (sobre $y = 2x + 3$). Segunda terna: $\frac{9-5}{2} = 2$, pero $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$: no están alineados. Las [funciones afines](#def-g9-linfunc-affine) son exactamente las de tasa de variación constante — un solo número, la [pendiente](#prop-g9-linfunc-affinegraph), cuenta toda la historia; en las curvas, la tasa cambia de un punto a otro, y perseguirla lleva a la derivada, en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.