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title: "El teorema de Tales"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 68
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales
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# Capítulo 68 — El teorema de Tales

¿Cómo se mide la altura de una [pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) sin subirse a ella? Tales de Mileto comparó su sombra con la sombra de un palo. Su teorema — las [rectas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) cortan [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) en trozos [proporcionales](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines#def-g9-linfunc-linear) — es el corazón matemático de las maquetas a escala, los mapas y las ampliaciones, y uno de los teoremas con nombre más antiguos.

## 68.1 El teorema

**Teorema 68.1 (Tales).**

Sean dos rectas que se cortan en un punto $A$. Toma $M$ sobre la primera recta y $N$ sobre la segunda, con $B$ más lejos sobre la primera y $C$ más lejos sobre la segunda. Si las rectas $(MN)$ y $(BC)$ son *[paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp)*, entonces los triángulos $AMN$ y $ABC$ tienen los lados [proporcionales](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines#def-g9-linfunc-linear):

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Las dos configuraciones de Tales: triángulos encajados (izquierda) y la «mariposa», donde M y N están al otro lado de A (derecha). En las dos, (MN) (BC) y las tres razones son iguales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-45201f71a40b.svg)

![Las dos configuraciones de Tales: triángulos encajados (izquierda) y la «mariposa», donde M y N están al otro lado de A (derecha). En las dos, (MN) (BC) y las tres razones son iguales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-9ab852c1ceba.svg)

*Las dos configuraciones de Tales: triángulos encajados (izquierda) y la «mariposa», donde $M$ y $N$ están al otro lado de $A$ (derecha). En las dos, $(MN) \parallel (BC)$ y las tres razones son iguales.*

**Método 68.2 (Calcular una longitud con Tales).**

1. identifica el punto $A$ donde se cortan las dos rectas y las dos [rectas paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) ; nombra los dos triángulos;
2. escribe las tres razones iguales, siempre «triángulo pequeño entre triángulo grande»;
3. quédate con la igualdad de las dos razones en las que intervienen las tres longitudes conocidas y la desconocida;
4. resuelve la proporción resultante multiplicando en cruz.

**Ejemplo 68.3.**

En la configuración de la izquierda de arriba, supón $AM = 3$, $AB = 5$, $AN = 2.4$ y $MN = 3.3$, y calculemos $AC$ y $BC$. Tales da

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC},
\qquad\text{es decir}\qquad
\frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.
$$

De $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$, multiplicando en cruz: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$, luego $AC = 4$. De $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$: $3 \times BC = 16.5$, luego $BC = 5.5$.

**Ejemplo 68.4 (Tales en la vida real).**

Un palo vertical de $1$ m de altura proyecta una sombra de $1.5$ m, mientras que un árbol proyecta una sombra de $12$ m en el mismo momento. Los rayos del Sol son paralelos, así que los triángulos palo-sombra y árbol-sombra están en configuración de Tales:

$$
\frac{\text{altura del árbol}}{1} = \frac{12}{1.5},
\qquad\text{así que el árbol mide } 8 \text{ m.}
$$

## 68.2 El recíproco

**Teorema 68.5 (Recíproco de Tales).**

Con los puntos colocados como en el [Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct) ($M$ sobre $(AB)$, $N$ sobre $(AC)$, en el mismo orden en las dos rectas): si

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},
$$

entonces las rectas $(MN)$ y $(BC)$ son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Método 68.6 (Demostrar o refutar el paralelismo).**

1. calcula por separado las dos razones $\dfrac{AM}{AB}$ y $\dfrac{AN}{AC}$ (como fracciones, no como [redondeos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-rounding) );
2. si son iguales *y* los puntos están en el mismo orden en las dos rectas, las rectas son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) (recíproco de Tales);
3. si difieren, las rectas *no* son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) — porque, si lo fueran, el teorema de Tales obligaría a que las razones fueran iguales.

**Ejemplo 68.7.**

En la recta 1, $AM = 4$ y $AB = 10$; en la recta 2, $AN = 6$ y $AC = 15$. Entonces

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25,
\qquad
\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :
$$

razones iguales, mismo orden: $(MN) \parallel (BC)$.

Con $AC = 14$ en su lugar: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$, así que las rectas no son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp).

## 68.3 Ampliación y reducción

**Definición 68.8 (Escalar una figura).**

Ampliar o reducir una figura con el *factor de escala* $k > 0$ es multiplicar *todas* sus longitudes por $k$: una *ampliación* cuando $k > 1$ y una *reducción* cuando $k < 1$. En la configuración de Tales, el triángulo $AMN$ es la reducción de $ABC$ con el factor $k = \frac{AM}{AB}$.

**Proposición 68.9 (Efecto sobre los ángulos y las áreas).**

Escalar con el factor $k$ conserva los ángulos y la forma de las figuras, multiplica todas las longitudes por $k$ y multiplica todas las *[áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area)* por $k^2$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Duplicar las longitudes (k = 2) multiplica el área por k2 = 4: cuatro copias del rectángulo pequeño recubren el grande.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-d00eeb2bf80f.svg)

*Duplicar las longitudes ($k = 2$) multiplica el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) por $k^2 = 4$: cuatro copias del rectángulo pequeño recubren el grande.*

**Ejemplo 68.10.**

Una foto de $10 \times 15$ cm se amplía con [factor de escala](#def-g9-thales-scaling) $k = 3$: la copia mide $30 \times 45$ cm. Su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) pasa de $150$ cm$^2$ a $150 \times 9 = 1350$ cm$^2$ — $9$ veces mayor, no $3$.

## 68.4 Ejercicios

**Ejercicio 68.1 ★.**

Las rectas $(MN)$ y $(BC)$ son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp), con $M$ sobre $[AB]$ y $N$ sobre $[AC]$; $AM = 2$, $AB = 6$, $AN = 3$, $BC = 9$. Calcula $AC$ y $MN$.

**Solución de Ejercicio 68.1.**

Tales: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, es decir $\dfrac26 = \dfrac13$. Así que $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ da $AC = 9$, y $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ da $MN = 3$.

**Ejercicio 68.2 ★.**

La misma configuración: $AM = 5$, $MB = 3$ (¡cuidado: $MB$, no $AB$!), $AN = 4$. Calcula $AC$.

**Solución de Ejercicio 68.2.**

Halla primero $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$. Después, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ da $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$, luego $5 \times AC = 32$ y $AC = 6.4$.

**Ejercicio 68.3 ★.**

En una configuración de mariposa, $A$ está entre $M$ y $B$ y entre $N$ y $C$, con $(MN) \parallel (BC)$; $AM = 3$, $AB = 7.5$, $AN = 2$, $MN = 2.6$. Calcula $AC$ y $BC$.

**Solución de Ejercicio 68.3.**

La mariposa funciona exactamente igual que la configuración encajada: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, es decir $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$. Así que $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ da $AC = 5$, y $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ da $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$.

**Ejercicio 68.4 ★.**

$M$ está sobre $[AB]$ con $AM = 6$, $AB = 8$; $N$ está sobre $[AC]$ con $AN = 9$, $AC = 12$. ¿Son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) las rectas $(MN)$ y $(BC)$?

**Solución de Ejercicio 68.4.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ y $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$: razones iguales, puntos en el mismo orden, así que $(MN) \parallel (BC)$ por el recíproco de Tales.

**Ejercicio 68.5 ★★.**

Lo mismo que antes con $AM = 4$, $AB = 6$, $AN = 5$, $AC = 8$. ¿Son $(MN)$ y $(BC)$ [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp)? Justifícalo con cuidado.

**Solución de Ejercicio 68.5.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ y $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$. Comprobación cruzada: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ y $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$: las razones difieren. Si las rectas fueran [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp), el teorema de Tales obligaría a que fueran iguales — así que $(MN)$ y $(BC)$ *no* son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp).

**Ejercicio 68.6 ★★.**

Una persona de $1.8$ m de altura está a $2$ m de la base de una farola; su sombra mide $3$ m. Dibuja la configuración de Tales que forman la farola, la persona y la punta de la sombra, y calcula la altura de la farola.

**Solución de Ejercicio 68.6.**

Sea $S$ la punta de la sombra, $P$ la coronilla de la persona y $L$ lo alto de la farola. La persona ($1.8$ m a distancia $3$ m de $S$) y la farola (altura $h$ a distancia $3 + 2 = 5$ m de $S$) son dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) verticales paralelos cortados por el rayo de luz $(SL)$: Tales desde el punto $S$ da

$$
\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5},
\qquad\text{luego}\quad
h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.
$$

**Ejercicio 68.7 ★★.**

Un mapa tiene escala $1 : 25\,000$ (las longitudes del mapa son las longitudes reales multiplicadas por $k = \frac{1}{25000}$).

1. dos pueblos distan $6.8$ cm en el mapa. ¿Cuál es la distancia real, en km?;
2. un bosque tiene un [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de $8$ cm $^2$ en el mapa. ¿Cuál es su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) real, en km $^2$ ?

**Solución de Ejercicio 68.7.**

*1.* Distancia real: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $=
1.7$ km.

*2.* Las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) escalan con $k^2$: [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) real $= 8 \times 25\,000^2$ cm$^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm$^2$ $= 5 \times 10^9$ cm$^2$. Como $1$ km$^2 = 10^{10}$ cm$^2$, eso son $0.5$ km$^2$.

**Ejercicio 68.8 ★★.**

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 12$, $AC = 15$, $BC = 18$. El punto $M$ de $[AB]$ cumple $AM = 8$, y la recta que pasa por $M$ y es paralela a $(BC)$ corta $[AC]$ en $N$.

1. calcula $AN$ y $MN$ ;
2. ¿cuál es el [factor de escala](#def-g9-thales-scaling) de $ABC$ a $AMN$ ? Compara los [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de los dos triángulos.

**Solución de Ejercicio 68.8.**

*1.* La razón es $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$. Tales: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ y $MN = \frac23 \times 18 = 12$.

*2.* El [factor de escala](#def-g9-thales-scaling) es $k = \frac23$. [Perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter): $ABC$ tiene $12 + 15 + 18 = 45$, y $AMN$ tiene $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times
45$: el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) también escala con $k$, como toda longitud.

**Ejercicio 68.9 ★★★.**

Sea $ABCD$ un trapecio con $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$ y $CD = 6$, cuyas diagonales $[AC]$ y $[BD]$ se cortan en $O$. Usando Tales en la configuración de mariposa alrededor de $O$, calcula la razón $\dfrac{OA}{OC}$ y demuestra que $O$ corta las dos diagonales en la misma razón.

**Solución de Ejercicio 68.9.**

Alrededor de $O$ se cortan las rectas $(AC)$ y $(BD)$, y $(AB) \parallel (CD)$: configuración de mariposa con los triángulos $OAB$ y $OCD$. Tales da

$$
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .
$$

Así que $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$, y la igualdad $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ dice precisamente que $O$ corta las dos diagonales en la misma razón.

## 68.5 Problema: La regla sin marcas, la cámara estenopeica y las tres medias de un trapecio

**Problema 68.1.**

Problema de fin de semana — Tales en acción: dividir cualquier segmento en partes iguales, medir el Sol con una caja de zapatos y un trapecio donde se dan cita las tres medias famosas

El teorema de Tales es la matemática de los *rayos*: rayos de sol, rayos de luz por un agujerito, rayos de lápiz desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def). Este problema lo usa de tres maneras — como herramienta de construcción (dividir un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de longitud *cualquiera*, incluso $\sqrt2$, en partes perfectamente iguales), como instrumento de medida (el [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) del Sol, con una caja de zapatos y una moneda) y como lupa sobre el trapecio del [Ejercicio 68.9](#exo-g9-thales-9), donde las medias aritmética, geométrica y armónica de esta serie aparecen todas en una sola figura.

**Parte I — Dividir con una regla sin marcas.**

1. dibuja un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $7$ cm. Para cortarlo en tres partes iguales con compás y regla sin marcas: traza un rayo cualquiera desde $A$ (que no pase por $B$ ); lleva sobre él tres longitudes iguales de compás, lo que da los puntos $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; une $P_3$ con $B$ ; traza las [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) a $(P_3 B)$ por $P_1$ y $P_2$ . Haz la construcción y marca dónde cortan las [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) a $[AB]$ ;
2. justifica con el [Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct) que los dos puntos marcados cortan $[AB]$ exactamente en sus puntos de trisección;
3. adapta el método para dividir un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) en $5$ partes iguales y después para construir $\frac35$ de un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) dado;
4. construye el punto $M$ de $[AB]$ con $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (es decir, $M$ a $\frac25$ del camino desde $A$ ). ¿Cuántos pasos iguales sobre el rayo y qué punto se une con $B$ ?;
5. ¿por qué es mejor esta construcción que medir con una regla graduada? Piensa en un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de longitud $\sqrt2$ (la diagonal de un cuadrado unidad, irracional por el [Problema 65.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/65-raices-cuadradas#pb-g9-sqrt-1) ): ¿qué daría medir y qué da Tales?

**Parte II — La cámara estenopeica.** Pincha con un alfiler una [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de una caja cerrada: en la [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuesta aparece una imagen del mundo del revés. Un punto de un objeto, el agujerito y el punto imagen están alineados — la luz viaja en línea recta — así que el objeto (altura $H$, a distancia $D$ delante del agujero) y su imagen (altura $h$, sobre la pared del fondo a profundidad $d$ detrás del agujero) están en la configuración de mariposa de Tales.

6. deduce la fórmula del estenopo $h = H \times \frac dD$ a partir de Tales en la mariposa alrededor del agujero;
7. un árbol de $12$ m está a $30$ m de una caja de zapatos de profundidad $20$ cm. ¿Cuánto mide su imagen y en qué posición?;
8. apunta la caja al Sol: a $d = 1$ m detrás del agujerito, la imagen del Sol es un disco de [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) de unos $9$ mm. Dada la distancia del Sol $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, calcula su [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) en [notación científica](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-scientific) (la notación del [Problema 63.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#pb-g9-fractions-1) en acción). Compáralo con el valor verdadero, $1.39 \times 10^9$ m;
9. la Luna: [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $3.5 \times 10^6$ m, distancia $3.8 \times 10^8$ m. Calcula la razón $\frac{\text{diámetro}}{\text{distancia}}$ para la Luna y para el Sol. ¿Qué afortunada coincidencia revelan los dos números — y qué espectacular fenómeno la hace posible?;
10. en una o dos frases: ¿por qué la imagen del estenopo está del revés y por qué agrandar el agujerito hace la imagen más luminosa pero más borrosa?

**Parte III — El trapecio de las tres medias.** $ABCD$ es el trapecio del [Ejercicio 68.9](#exo-g9-thales-9): $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, con las diagonales cortándose en $O$ y $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} =
\frac23$.

11. práctica de mariposa: dos rectas se cortan en $O$ con $(MN) \parallel (PQ)$ en posición de mariposa; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ y $OQ = 6$ . Calcula $PQ$ y $ON$ ;
12. explica cómo Tales, aplicado con razón $\frac12$ , contiene el teorema de los puntos medios del [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#thm-g8-midpoints-direct) como caso particular;
13. traza la paralela a las bases por $O$ ; corta $[AD]$ en $E$ . Trabajando en el triángulo $ACD$ (observa que $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ), calcula $EO$ ;
14. por el cálculo [simétrico](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#def-g7-central-def) en el triángulo $BDC$, el trozo $OF$ (con $F$ sobre $[BC]$) tiene la misma longitud. Concluye que $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$ la paralela por el cruce de las diagonales mide la *[media armónica](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias#pb-g8-speed-1)* de las bases — la media de la ida y vuelta del [Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias#pb-g8-speed-1), reapareciendo en geometría pura;
15. gran final: calcula las tres medias clásicas de las bases $4$ y $6$ — la aritmética $\frac{4+6}{2}$ , la geométrica $\sqrt{4 \times 6}$ y la armónica $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — y ordénalas. Cada una vive en el trapecio: la media aritmética es la paralela media que une los puntos medios de los lados oblicuos ( [Problema 53.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#pb-g7-areas-1) ), la [media armónica](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias#pb-g8-speed-1) es tu [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $EF$ y la [media geométrica](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/60-el-triangulo-rectangulo-y-el-coseno#pb-g8-cosine-1) es la paralela que corta el trapecio en dos trapecios *semejantes* (comprueba su valor con una calculadora; la demostración es un bonito reto extra). ¿Dónde se ha demostrado en este libro la desigualdad entre las tres ( [Problema 60.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/60-el-triangulo-rectangulo-y-el-coseno#pb-g8-cosine-1) , [Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias#pb-g8-speed-1) )?

**Solución de Problema 68.1.**

**1.** La construcción produce dos puntos sobre $[AB]$; llámalos $M_1$ (a partir de $P_1$) y $M_2$ (a partir de $P_2$).

**2.** En el triángulo $A P_3 B$, las [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) a $(P_3 B)$ por $P_1$ y $P_2$ cortan los lados proporcionalmente ([Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct)):

$$
\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13,
\qquad
\frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .
$$

El compás hizo iguales $A P_1$, $P_1 P_2$, $P_2 P_3$, así que las razones son exactamente tercios — sea cual sea el ángulo del rayo y la abertura de compás elegidos.

**3.** Para quintos: lleva cinco longitudes iguales, une el quinto punto con $B$ y traza cuatro [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp). Para $\frac35$ de un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects): la misma figura, y toma el punto que corta la paralela por $P_3$: está a $\frac{3}{5}$ de $[AB]$ desde $A$.

**4.** $\frac{AM}{MB} = \frac23$ significa $AM = \frac25 AB$: cinco pasos iguales sobre el rayo, une $P_5$ con $B$, y la paralela por $P_2$ marca $M$.

**5.** Medir $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm solo usa nunca una cantidad finita de decimales: cualquier «tercio» medido es una aproximación. La construcción de Tales no lee ningún número: entrega el punto exacto en $\frac{\sqrt2}{3}$ — partes iguales de un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) que ninguna regla puede siquiera expresar ([Problema 65.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/65-raices-cuadradas#pb-g9-sqrt-1)).

**6.** Lo alto del objeto, el agujero y lo bajo de la imagen están alineados, e igualmente lo bajo del objeto y lo alto de la imagen: dos rectas que se cortan en el agujero, con el objeto y la pared de la imagen paralelos. Tales en la mariposa:

$$
\frac{h}{H} = \frac{d}{D},
\qquad\text{luego}\qquad
h = H \times \frac dD .
$$

**7.** $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — del revés (los rayos se cruzan en el agujero).

**8.** $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times
\frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Valor verdadero $1.39 \times 10^9$ m: una caja de zapatos mide el Sol con un error de unos pocos por ciento.

**9.** Luna: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8}
\approx 0.0092$. Sol: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times
10^{11}} \approx 0.0093$. Las dos razones — los tamaños aparentes en el cielo — son casi idénticas: la Luna puede tapar el Sol *exactamente*, borde con borde. Esa casualidad cósmica es el eclipse solar total.

**10.** Todo rayo tiene que pasar por el único agujero, así que los rayos que salen de lo alto del objeto siguen *hacia abajo* y los que salen de lo bajo siguen *hacia arriba*: la imagen queda invertida. Agrandar el agujero deja pasar todo un haz de copias ligeramente desplazadas de la imagen, que se superponen: más luminosa, pero emborronada.

**11.** $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3}
= 2.5$, luego $PQ = 10$; y $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} =
\frac{1}{2.5}$, luego $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$.

**12.** Si la paralela pasa por el punto medio de un lado, la razón de Tales es $\frac12$, así que corta el segundo lado en *su* punto medio, y el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) paralelo mide la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la base: precisamente el [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/59-puntos-medios-y-paralelas#thm-g8-midpoints-direct). Tales es el teorema de los puntos medios liberado de la razón $\frac12$.

**13.** En el triángulo $ACD$, la recta $(EO)$ es paralela a la base $(CD)$, con $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} =
\frac{4}{4 + 6} = \frac25$. Tales: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$, luego $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$.

**14.** En el triángulo $BDC$, igualmente $\frac{BO}{BD} = \frac25$ y $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$. Por tanto

$$
EF = EO + OF = 4.8
= \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :
$$

la [media armónica](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias#pb-g8-speed-1) de las bases — la media de las idas y vueltas ([Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias#pb-g8-speed-1)), dibujada en un trapecio.

**15.** Aritmética: $5$; geométrica: $\sqrt{24} \approx 4.90$; armónica: $4.8$. Orden: $4.8 < 4.90\ldots < 5$, es decir armónica $<$ geométrica $<$ aritmética — con igualdad solo para bases iguales. En la figura: la paralela media mide $5$, la paralela por el cruce de las diagonales $4.8$ y el corte de semejanza $\sqrt{24}$, apiladas entre las bases en ese orden. Las desigualdades se demostraron en el [Problema 60.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/60-el-triangulo-rectangulo-y-el-coseno#pb-g8-cosine-1) (geométrica $\leq$ aritmética, con la circunferencia y con una identidad) y en el [Problema 61.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/61-proporcionalidad-velocidad-y-medias#pb-g8-speed-1) (armónica $\leq$ aritmética); armónica $\leq$ geométrica se sigue combinándolas ($H \times A = G^2$, demostrado allí también).