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title: "Trigonometría en el triángulo rectángulo"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 69
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/69-trigonometria-en-el-triangulo-rectangulo
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# Capítulo 69 — Trigonometría en el triángulo rectángulo

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), en cuanto conoces un ángulo agudo, la *forma* del triángulo queda fijada — solo puede variar su tamaño. Las razones entre sus lados dependen, por tanto, solo del ángulo: esas razones son el [coseno](#def-g9-trig-ratios), el [seno](#def-g9-trig-ratios) y la [tangente](#def-g9-trig-ratios). Junto con el teorema de Pitágoras, permiten calcular todos los lados y todos los ángulos de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) a partir de muy poca información.

## 69.1 El teorema de Pitágoras, otra vez

**Teorema 69.1 (Pitágoras).**

En un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, el cuadrado de la hipotenusa es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los cuadrados de los dos catetos:

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 .
$$

Recíprocamente, si en un triángulo se cumple $BC^2 = AB^2 + AC^2$, entonces el triángulo es rectángulo en $A$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 69.2.**

Un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene catetos $AB = 5$ y $AC = 12$. Entonces

$$
BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169,
\qquad\text{luego}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .
$$

Para hallar un *cateto*: si $BC = 10$ y $AB = 6$, entonces $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$, luego $AC = 8$.

## 69.2 Coseno, seno, tangente

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), respecto de un ángulo agudo $\theta$, los tres lados tienen nombre: la *hipotenusa* (opuesta al [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle), el lado más largo), el lado *opuesto* a $\theta$ y el lado *adyacente* a $\theta$ (el cateto que toca a $\theta$).

**Definición 69.3 (Razones trigonométricas).**

Para un ángulo agudo $\theta$ de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles):

$$
\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}},
\qquad
\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}},
\qquad
\tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} .
$$

Estas razones solo dependen de $\theta$, no del tamaño del triángulo (todos los [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) con el mismo ángulo agudo son escalados unos de otros, por Tales).

![Los tres lados vistos desde el ángulo = B: la hipotenusa (BC), el lado adyacente (BA), el lado opuesto (AC).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-trig/fig-9a500a59d3a4.svg)

*Los tres lados vistos desde el ángulo $\theta = \widehat B$: la hipotenusa $[BC]$, el lado adyacente $[BA]$, el lado opuesto $[AC]$.*

**Proposición 69.4 (Primeras propiedades).**

Para todo ángulo agudo $\theta$:

1. $0 < \cos\theta < 1$ y $0 < \sin\theta < 1$ (un cateto es más corto que la hipotenusa);
2. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
3. $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

**Demostración.** Escribe $a$ para el lado adyacente, $o$ para el lado opuesto y $h$ para la hipotenusa de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de ángulo $\theta$.

1. $0 < a < h$ y $0 < o < h$, así que las dos razones están estrictamente entre $0$ y $1$.

2. Por Pitágoras, $a^2 + o^2 = h^2$. Divide todo entre $h^2$:

$$
\cos^2\theta + \sin^2\theta
= \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2}
= \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .
$$

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa
= \tan\theta$. ∎

**Método 69.5 (Hallar un lado).**

Para calcular un lado desconocido cuando se conocen un lado y un ángulo agudo:

1. marca el ángulo conocido y nombra los tres lados (hipotenusa, opuesto, adyacente) *desde ese ángulo* ;
2. elige la razón (cos, sen o tg) en la que intervengan el lado conocido y el lado buscado;
3. escribe la [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def) y resuélvela;
4. comprueba que tiene sentido: la hipotenusa tiene que salir la más larga.

**Ejemplo 69.6.**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), la hipotenusa mide $8$ y uno de los ángulos es de $35^\circ$; calcula el lado opuesto a ese ángulo. La razón en la que intervienen el lado opuesto y la hipotenusa es el [seno](#def-g9-trig-ratios):

$$
\sin 35^\circ = \frac{\text{opuesto}}{8}
\quad\Longrightarrow\quad
\text{opuesto} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .
$$

Para el lado adyacente, usa el [coseno](#def-g9-trig-ratios): $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$. Comprobación con Pitágoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$.

**Método 69.7 (Hallar un ángulo).**

Cuando se conocen dos lados, calcula la razón que forman, identifícala como [coseno](#def-g9-trig-ratios), [seno](#def-g9-trig-ratios) o [tangente](#def-g9-trig-ratios) del ángulo desconocido y aplica a esa razón la función inversa de la calculadora ($\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ o $\tan^{-1}$).

**Ejemplo 69.8.**

Una escalera de $5$ m se apoya en una pared, con el pie a $1.4$ m de la pared. El ángulo $\theta$ entre la escalera y el suelo cumple

$$
\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28,
\qquad\text{luego}\quad
\theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .
$$

![El problema de la escalera: se conocen el lado adyacente (1.4 m) y la hipotenusa (5 m), así que el coseno da el ángulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-trig/fig-6daa11ccbd02.svg)

*El problema de la escalera: se conocen el lado adyacente ($1.4$ m) y la hipotenusa ($5$ m), así que el [coseno](#def-g9-trig-ratios) da el ángulo.*

**Ejemplo 69.9 (Ángulos especiales).**

Dos triángulos dan valores exactos. La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un cuadrado de lado 1 (un [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) rectángulo) tiene hipotenusa $\sqrt2$ y ángulos de $45^\circ$:

$$
\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},
\qquad \tan 45^\circ = 1 .
$$

La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado 1 da los ángulos $30^\circ$ y $60^\circ$:

$$
\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12,
\qquad
\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.
$$

## 69.3 Ejercicios

**Ejercicio 69.1 ★.**

Un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) tiene catetos $9$ y $12$. Calcula su hipotenusa. Otro tiene hipotenusa $17$ y un cateto $8$: calcula el otro cateto.

**Solución de Ejercicio 69.1.**

Hipotenusa: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Otro cateto: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

**Ejercicio 69.2 ★.**

Un triángulo tiene lados $7$, $24$ y $25$. ¿Es rectángulo? La misma pregunta para los lados $5$, $6$ y $8$.

**Solución de Ejercicio 69.2.**

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$: sí, rectángulo (recíproco de Pitágoras), con el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) opuesto al lado $25$.

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$: no es rectángulo.

**Ejercicio 69.3 ★.**

En un triángulo $DEF$ rectángulo en $D$, con el ángulo en $E$ llamado $\theta$: ¿qué lado es la hipotenusa? ¿Qué lado es el opuesto a $\theta$? Escribe $\cos\theta$, $\sin\theta$ y $\tan\theta$ como razones de los lados $DE$, $DF$, $EF$.

**Solución de Ejercicio 69.3.**

La hipotenusa es $[EF]$ (opuesta al [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) en $D$). El lado opuesto a $\theta = \widehat E$ es $[DF]$; el lado adyacente es $[DE]$. Por tanto

$$
\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad
\sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad
\tan\theta = \frac{DF}{DE}.
$$

**Ejercicio 69.4 ★.**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), la hipotenusa mide $10$ y uno de los ángulos agudos es de $28^\circ$. Calcula los dos catetos (redondea a la décima; $\cos 28^\circ \approx 0.883$, $\sin 28^\circ \approx 0.469$).

**Solución de Ejercicio 69.4.**

Cateto opuesto: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$. Cateto adyacente: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$. (Comprobación: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$.)

**Ejercicio 69.5 ★.**

En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles), el cateto adyacente al ángulo $\theta$ mide $6$ y el cateto opuesto mide $4.5$. Calcula $\tan\theta$ y después $\theta$ (redondea al grado; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$).

**Solución de Ejercicio 69.5.**

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$, luego $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$.

**Ejercicio 69.6 ★★.**

Un dron vuela a una altitud de $120$ m. Desde un observador situado en el suelo, se ve con un ángulo de elevación de $32^\circ$. ¿A qué distancia horizontal del observador está el dron ($\tan 32^\circ \approx 0.625$)?

**Solución de Ejercicio 69.6.**

En el [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) que forman el observador, el punto del suelo bajo el dron y el dron: la altitud de $120$ m es el lado opuesto al ángulo de elevación, y la distancia horizontal $d$ es el adyacente. Así que

$$
\tan 32^\circ = \frac{120}{d},
\qquad
d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.
$$

**Ejercicio 69.7 ★★.**

Una rampa de acceso tiene que subir $1.2$ m con un ángulo de como mucho $5^\circ$ respecto de la horizontal. ¿Qué longitud mínima a lo largo de la [pendiente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines#prop-g9-linfunc-affinegraph) tiene que tener la rampa ($\sin 5^\circ \approx 0.0872$)? Redondea hacia arriba a la décima de metro.

**Solución de Ejercicio 69.7.**

La subida ($1.2$ m) es el lado opuesto al ángulo; la longitud $L$ de la rampa es la hipotenusa:

$$
\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L},
\qquad
L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8
\text{ m}.
$$

La rampa tiene que medir al menos $13.8$ m.

**Ejercicio 69.8 ★★.**

Usando la [Proposición 69.4](#prop-g9-trig-properties): un ángulo agudo $\theta$ cumple $\cos\theta = 0.6$. Calcula $\sin\theta$ sin hallar $\theta$ y después $\tan\theta$.

**Solución de Ejercicio 69.8.**

De $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$: $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, y $\sin\theta > 0$ para un ángulo agudo, luego $\sin\theta = 0.8$. Entonces $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} =
\dfrac43$.

**Ejercicio 69.9 ★★★.**

Justifica los valores exactos del [Ejemplo 69.9](#ex-g9-trig-special): en el [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) rectángulo de catetos $1$, calcula la hipotenusa; en el [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de lado $1$, calcula la altura y deduce el [coseno](#def-g9-trig-ratios) y el [seno](#def-g9-trig-ratios) de $30^\circ$ y de $60^\circ$.

**Solución de Ejercicio 69.9.**

*[Triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) rectángulo* de catetos $1$: hipotenusa $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$; cada ángulo agudo mide $45^\circ$, y

$$
\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ,
\qquad
\tan 45^\circ = \frac11 = 1 .
$$

*[Triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles)* de lado $1$: su altura lo parte en dos [triángulos rectángulos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de hipotenusa $1$, base $\frac12$ y altura $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pitágoras). Los ángulos son $60^\circ$ (en la base) y $30^\circ$ (arriba). Leyendo las razones:

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad
\sin 30^\circ = \frac12 .
$$

## 69.4 Problema: Medir lo que no se puede alcanzar

**Problema 69.1.**

Problema de fin de semana — el método topográfico de las dos estaciones para alturas inaccesibles, las pendientes de las carreteras, la distancia al horizonte y la carrera de la tangente hacia el infinito

Ninguna cinta métrica llega a la cima de una montaña, a lo alto de una torre al otro lado de un río o al horizonte en el mar — pero un medidor de ángulos y las tres razones de este capítulo sí. La pieza central de este problema es el clásico *método de las dos estaciones* de los topógrafos, que calcula una altura sin acercarse jamás a su base; a su alrededor: señales de tráfico, escaleras de mano, escalones, la curvatura de la Tierra y un primer vistazo a una función que explota hacia el infinito.

**Parte I — Una estación.** (Valores: $\tan 35^\circ \approx 0.700$, $\sin 35^\circ \approx 0.574$, $\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\tan 1^\circ \approx 0.0175$.)

1. desde un punto situado a $60$ m del pie de un faro, se ve lo alto con una elevación de $35^\circ$ (medida desde la horizontal, a la altura de los ojos). ¿Cuánto sobresale lo alto por encima del nivel de los ojos?;
2. una señal de tráfico anuncia una [pendiente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines#prop-g9-linfunc-affinegraph) del $12\,\%$ : la carretera sube $12$ m por cada $100$ m de avance horizontal. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? ¿Y qué porcentaje de [pendiente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines#prop-g9-linfunc-affinegraph) tendría una carretera de $45^\circ$ ?;
3. los dos ángulos agudos de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) son complementarios, y el lado opuesto de cada uno es el lado adyacente del otro. Deduce las identidades «co»: $$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta,  \qquad  \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$$
4. una escalera de mano de $8$ m se apoya formando $60^\circ$ con el suelo. Usando los valores exactos del [Ejemplo 69.9](#ex-g9-trig-special) , da la altura alcanzada y la distancia del pie a la pared — exactamente y después al centímetro;
5. verifica $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ numéricamente para $\theta = 35^\circ$ y exactamente para $\theta = 60^\circ$ . ¿Por qué es esta identidad ( [Proposición 69.4](#prop-g9-trig-properties) ) una buena costumbre para comprobar lo que hace la calculadora?

**Parte II — Dos estaciones.** Se ve la cima de una montaña, pero su base es inalcanzable. Desde un punto $A$, la elevación de la cima es de $30^\circ$; caminando $200$ m en línea recta hacia la montaña, hasta $B$, la elevación pasa a ser de $40^\circ$. Escribe $h$ para la altura de la cima sobre el nivel de los ojos y $x$ para la distancia horizontal de $B$ a la vertical de la cima. ($\tan 30^\circ \approx 0.577$, $\tan 40^\circ \approx 0.839$.)

6. expresa $\tan 40^\circ$ y $\tan 30^\circ$ usando $h$ , $x$ y $x + 200$ : dos ecuaciones para dos incógnitas;
7. a partir de cada [ecuación](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#def-g8-equations-def), expresa la distancia horizontal en función de $h$, resta y deduce la fórmula de las dos estaciones: $$h = \frac{200}  {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$$ calcula $h$ redondeando a la decena de metros;
8. calcula también $x$ y comprueba que tus dos respuestas tienen sentido frente a la visual de $30^\circ$ desde $A$ ;
9. en una frase: ¿por qué es indispensable el método de las dos estaciones? ¿Qué única medida, aquí imposible, habría exigido el método de una estación de la pregunta 1?;
10. se ve una torre con $30^\circ$ y, tras caminar $200$ m hacia ella, con $60^\circ$ . Usando $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ y $\tan 60^\circ = \sqrt3$ , calcula la altura *exactamente* — la respuesta es un [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/64-aritmetica-divisores-y-numeros-primos#def-g9-arith-divisor) de $\sqrt3$ — y después al metro.

**Parte III — Hasta el horizonte y pared arriba.**

11. ¿a qué distancia está el horizonte? De pie, con los ojos a $h$ metros sobre una Tierra esférica de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $R$ , tu línea de visión roza la esfera: la visual, el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) hasta el punto de roce y el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) hasta tus pies forman un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) . Demuestra con Pitágoras ( [Teorema 69.1](#thm-g9-trig-pythagoras) ) que la distancia $d$ al horizonte cumple $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , y calcula $d$ para unos ojos a $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m);
12. la misma pregunta desde lo alto de una torre de $324$ m. (Regla práctica de los marinos: el horizonte en kilómetros es de unos $3.6\sqrt{h}$ con $h$ en metros — contrasta con ella tus dos respuestas.);
13. tu pulgar, de unos $2$ cm de ancho, con el brazo estirado, a unos $60$ cm del ojo: ¿qué ángulo abarca? La Luna llena abarca unos $0.5^\circ$ : ¿qué parte de tu pulgar tapa la Luna entera?;
14. una escalera cómoda tiene contrahuellas de $17$ cm y huellas de $29$ cm. ¿Con qué ángulo sube? Compáralo con los $30^\circ$ del [Ejemplo 69.9](#ex-g9-trig-special) y con una escalera de desván empinada de $60^\circ$ : ¿qué contrahuella necesitaría *esa* con una huella de $29$ cm?;
15. la carrera de la [tangente](#def-g9-trig-ratios) : calcula (con calculadora) $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . ¿Qué pasa cuando el ángulo se acerca a $90^\circ$ , y por qué (piensa en el lado adyacente)? La pared es vertical, la razón no tiene valor y la gráfica se dispara hacia el infinito — tu primera *asíntota* , una criatura que se estudia de cerca en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.

**Solución de Problema 69.1.**

**1.** La altura por encima del nivel de los ojos es el lado opuesto a $35^\circ$, con lado adyacente $60$ m: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

**2.** $\tan\theta = 0.12$ da $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — empinado para una carretera y, aun así, un ángulo modesto. Una carretera de $45^\circ$ tiene $\tan 45^\circ = 1$: una [pendiente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines#prop-g9-linfunc-affinegraph) del $100\,\%$. («Cien por cien» está lejos de ser vertical — un malentendido clásico en los telesillas.)

**3.** En un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de ángulos agudos $\theta$ y $90^\circ - \theta$, el lado opuesto a uno es el adyacente del otro y la hipotenusa es común. Así que $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{su opuesto}}{h} =
\frac{\text{adyacente de }\theta}{h} = \cos\theta$, y simétricamente $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$: el *co*[seno](#def-g9-trig-ratios) es el [seno](#def-g9-trig-ratios) del *co*mplementario.

**4.** Altura: $8 \sin 60^\circ = 8 \times
\frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Pie: $8 \cos 60^\circ = 4$ m exactamente.

**5.** $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (salvo [redondeo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-rounding)); y $\left(\frac12\right)^2 +
\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$. Cualquier pareja de valores que no cumpla la identidad delata una lectura equivocada o una calculadora en el modo equivocado — un detector de errores gratis.

**6.** $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ y $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$.

**7.** $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ y $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$; restando, $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} -
\frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$, de donde la fórmula. Números: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$, $\frac{1}{0.839} \approx
1.192$, [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) $0.540$: $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

**8.** $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx
\frac{370}{0.839} \approx 441$ m. Comprobación desde $A$: $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 =
\tan 30^\circ$: coherente.

**9.** El método de una estación necesita la distancia horizontal al punto situado *justo debajo de la cima* — imposible de medir a través de un barranco o dentro de una montaña. El método de las dos estaciones la sustituye por una distancia que puedes recorrer tú mismo: los $200$ m entre tus dos puntos de observación.

**10.** $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}}
= \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — el segundo piso de la torre Eiffel, medido con dos visuales y un paseo.

**11.** Visual $d$, [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $R$ (hasta el punto de roce, perpendicular a la visual) y $R + h$ (hasta el ojo): Pitágoras da $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$, luego $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ($h$ es minúsculo frente a $R$). Con los ojos a $1.80$ m: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8}
\approx 4\,800$ m — el horizonte marino está a apenas cinco kilómetros.

**12.** $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times
324} \approx 64$ km. Regla de los marinos: $3.6\sqrt{1.8} \approx
4.8$ km y $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — las dos coinciden.

**13.** $\tan\theta = \frac{2}{60}$ da $\theta \approx
1.9^\circ$. Los $0.5^\circ$ de la Luna son aproximadamente un *[cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)* de pulgar: la Luna parece enorme y la tapa una uña — el ojo es mal transportador.

**14.** Escalera: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — una escalera cómoda sube casi exactamente con los $30^\circ$ de los valores especiales. Con $60^\circ$ y una huella de $29$ cm, la contrahuella tendría que ser $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx
50$ cm: una escalera de mano, no una escalera de casa.

**15.** $\tan 10^\circ \approx 0.18$; $\tan 45^\circ = 1$; $\tan 80^\circ \approx 5.7$; $\tan 89^\circ \approx 57.3$. Cuando $\theta \to 90^\circ$, el lado adyacente se encoge hasta nada mientras el opuesto aguanta: el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) crece por encima de cualquier cota. En $90^\circ$ exactamente no hay triángulo ni valor — la gráfica de la [tangente](#def-g9-trig-ratios) trepa por una asíntota vertical, la primera de muchas en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.