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title: "Cuerpos y volúmenes"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 70
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/70-cuerpos-y-volumenes
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# Capítulo 70 — Cuerpos y volúmenes

La geometría del espacio empieza con una pequeña familia de cuerpos — [prismas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism), [cilindros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism), [pirámides](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def), [conos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def), esferas — y dos preguntas: ¿cuánto caben ([volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume)) y qué se ve al cortarlos (secciones)? El capítulo se cierra con un hecho de gran importancia práctica: escalar un cuerpo con factor $k$ multiplica su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) por $k^3$.

## 70.1 Los cuerpos clásicos y sus volúmenes

**Teorema 70.1 (Fórmulas de volumen).**

Escribe $B$ para el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base y $h$ para la altura (la distancia entre la base y la cara o el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuestos).

| cuerpo | [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) |
| --- | --- |
| [prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism), [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) | $V = B \times h$ |
| [5pt] [pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def), [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) | $V = \dfrac13\, B \times h$ |
| [5pt] esfera de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$ | $V = \dfrac43\,\pi r^3$ |

Para un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) y un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$, el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base es $B = \pi r^2$; el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la superficie de la esfera es $4\pi r^2$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Los cuerpos de este capítulo. En cada uno, el volumen usa un área de base y una altura — salvo la esfera, a la que solo le hace falta su radio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-b66d37c85449.svg)

*Los cuerpos de este capítulo. En cada uno, el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) usa un [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de base y una altura — salvo la esfera, a la que solo le hace falta su [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes).*

**Ejemplo 70.2.**

Un bote cilíndrico tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm y altura $10$ cm:

$$
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3
\approx 0.5 \text{ L}.
$$

Un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) con la misma base y la misma altura contiene un tercio de eso: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm$^3$. Una esfera de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm$^3$.

**Ejemplo 70.3 (Una pirámide paso a paso).**

Una [pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) tiene base cuadrada de lado $6$ m y altura $5$ m.

1. [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ ;
2. [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Cuidado con las unidades: si el lado viniera en cm y la altura en m, habría que convertir una de las dos primero.

## 70.2 Secciones por planos

**Proposición 70.4 (Secciones de los cuerpos clásicos).**

Cortar un cuerpo con un plano produce una figura plana, su *sección*:

- un [prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) o un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) cortados *paralelamente a su base* dan una copia de la base, a cualquier altura;
- una [pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) o un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) cortados paralelamente a su base dan una *reducción* de la base: a distancia $d$ del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) , el [factor de escala](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#def-g9-thales-scaling) es $k = \frac{d}{h}$ ;
- una esfera de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$ cortada por un plano a distancia $d < r$ del centro da una circunferencia de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$ (por el teorema de Pitágoras).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Izquierda: cortar un cono paralelamente a su base a distancia d del vértice da un disco escalado con k = dh. Derecha: un plano a distancia d del centro de una esfera la corta en una circunferencia de radio √r2 - d2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-8ea023b3b7a2.svg)

*Izquierda: cortar un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) paralelamente a su base a distancia $d$ del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) da un disco escalado con $k = \frac dh$. Derecha: un plano a distancia $d$ del centro de una esfera la corta en una circunferencia de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$.*

**Ejemplo 70.5.**

Un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la base $6$ y altura $9$. La [sección](#prop-g9-solids-sections) por un plano paralelo a la base, a distancia $3$ del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), es un disco escalado con $k = \frac39 = \frac13$: su [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) es $6 \times \frac13 = 2$.

Una esfera de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ se corta por un plano a distancia $3$ de su centro: la [sección](#prop-g9-solids-sections) es una circunferencia de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{25 - 9} = 4$.

## 70.3 Escalar cuerpos

**Teorema 70.6 (Efecto de un escalado sobre longitudes, áreas y volúmenes).**

Cuando un cuerpo se amplía o se reduce con el [factor de escala](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#def-g9-thales-scaling) $k > 0$:

- todas las longitudes quedan multiplicadas por $k$ ;
- todas las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) quedan multiplicadas por $k^2$ ;
- todos los volúmenes quedan multiplicados por $k^3$ .

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 70.7.**

Un coche a escala $\frac{1}{18}$: las longitudes son las del coche real multiplicadas por $k = \frac{1}{18}$, la superficie pintada queda multiplicada por $k^2 = \frac{1}{324}$ y el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) por $k^3 = \frac{1}{5832}$.

Duplicar el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de una esfera ($k = 2$) multiplica su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) por $2^3 = 8$: compruébalo en la fórmula, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$.

**Ejemplo 70.8 (Tronco de cono).**

Un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) de altura $9$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la base $6$ ([volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$) se corta a distancia $3$ del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y se quita el [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) pequeño de encima del corte. El [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) pequeño es la reducción con $k = \frac13$, así que su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) es $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$. El cuerpo que queda (un *tronco de [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def)*) tiene [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$.

## 70.4 Ejercicios

**Ejercicio 70.1 ★.**

Calcula los volúmenes: un [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ([prisma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) rectangular) de dimensiones $4 \times 5
\times 12$; un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ y altura $7$ (valor exacto con $\pi$ y después redondeado a la unidad).

**Solución de Ejercicio 70.1.**

[Ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$.

[Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism): $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$.

**Ejercicio 70.2 ★.**

Calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ y altura $12$, y el de una [pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) de base rectangular $8 \times 3$ y altura $10$.

**Solución de Ejercicio 70.2.**

[Cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 =
100\pi \approx 314$.

[Pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def): [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $B = 8 \times 3 = 24$, luego $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$.

**Ejercicio 70.3 ★.**

Calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) y el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la superficie de una esfera de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6$ (valores exactos con $\pi$).

**Solución de Ejercicio 70.3.**

[Volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume): $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$.

[Área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la superficie: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$.

**Ejercicio 70.4 ★.**

Una esfera de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $10$ se corta por un plano a distancia $8$ de su centro. ¿Cuál es el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la circunferencia de la [sección](#prop-g9-solids-sections)?

**Solución de Ejercicio 70.4.**

[Radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la [sección](#prop-g9-solids-sections): $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36}
= 6$.

**Ejercicio 70.5 ★★.**

Un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la base $8$ y altura $12$. Un plano paralelo a la base lo corta a distancia $9$ del [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def). Calcula el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la [sección](#prop-g9-solids-sections) y después el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) pequeño de encima del corte.

**Solución de Ejercicio 70.5.**

[Factor de escala](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/68-el-teorema-de-tales#def-g9-thales-scaling) del [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) entero al pequeño: $k = \frac{9}{12} = \frac34$. [Radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la [sección](#prop-g9-solids-sections): $8 \times \frac34 = 6$.

[Volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) entero: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$. [Volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) pequeño: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 =
256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$.

**Ejercicio 70.6 ★★.**

Un vaso cilíndrico de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) interior $3$ cm contiene agua hasta una altura de $10$ cm. Se sumerge del todo en él una bola de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm. ¿Cuánto sube el nivel del agua? (El [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) añadido se reparte sobre el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base del vaso; da la subida exacta y después redondea al milímetro.)

**Solución de Ejercicio 70.6.**

[Volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de la bola: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm$^3$. Ese [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) se reparte sobre el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la base $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$, así que el nivel sube

$$
\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}
$$

(unos $12$ mm).

**Ejercicio 70.7 ★★.**

Una receta llena un molde esférico de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm. Solo tienes un molde esférico de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. ¿Cuántos moldes pequeños puedes llenar? (Responde sin calcular explícitamente ninguno de los dos volúmenes.)

**Solución de Ejercicio 70.7.**

El molde pequeño es la reducción del grande con $k = \frac36 =
\frac12$, así que su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del grande: la receta llena $8$ moldes pequeños.

**Ejercicio 70.8 ★★.**

La Gran [Pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) de Guiza tiene base cuadrada de lado unos $230$ m y una altura de unos $147$ m. Estima su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) y exprésalo en millones de metros cúbicos.

**Solución de Ejercicio 70.8.**

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147
= 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m$^3$ — unos $2.6$ millones de metros cúbicos.

**Ejercicio 70.9 ★★★.**

Un embudo con forma de [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm y altura $12$ cm, con el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) hacia abajo, se llena de agua hasta la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de su *altura* (medida desde el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def)).

1. ¿qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del embudo está llena?;
2. si, en cambio, se llena con la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de su *[volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume)* de agua, demuestra que la altura $d$ del agua cumple $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , y da $d$ al milímetro ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

**Solución de Ejercicio 70.9.**

*1.* El agua forma un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) escalado con $k = \frac12$ ([vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) hacia abajo, la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la altura), así que su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del embudo: ¡un octavo, mucho menos que la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)!

*2.* El agua hasta la altura $d$ forma un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) escalado con $k = \frac{d}{12}$, de [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) $k^3$ veces el del embudo. La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) significa $k^3 = \frac12$, es decir $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$. Entonces $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$, luego $d \approx 9.5$ cm: la segunda [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) ocupa solo los $2.5$ cm de arriba — la parte ancha del [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) contiene casi toda el agua.

## 70.5 Problema: La lápida de Arquímedes

**Problema 70.1.**

Problema de fin de semana — la esfera es dos tercios de su cilindro (por partida doble), la pila 1:2:3 y la ley del cuadrado-cubo que prohíbe los gigantes

Arquímedes demostró muchos teoremas, pero uno le enorgulleció tanto que pidió que se grabara su *figura* en su tumba: una esfera encajada en su [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) más ajustado. Un siglo después, el escritor romano Cicerón, buscando entre las zarzas cerca de Siracusa, reconoció la tumba «por la esfera y el [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism)». Este problema recupera lo que el grabado codifica — un doble milagro de dos tercios — y después sigue los volúmenes y las superficies ([Teorema 70.1](#thm-g9-solids-volumes), [Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) hasta una ley que gobierna a los gigantes, a las hormigas y a los planetas que se enfrían.

**Parte I — El grabado descifrado.** Una esfera de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$ está encajada exactamente dentro de un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism): mismo [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes), altura $2r$.

1. calcula el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) en función de $r$ ;
2. calcula la razón entre el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de la esfera y el del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) . ¿Por qué le pudo gustar a Arquímedes que la respuesta no contenga ni $\pi$ ni $r$ ?;
3. ahora las superficies: compara el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la superficie de la esfera con la superficie *total* del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) (la parte lateral más las dos tapas). ¿Qué razón aparece — otra vez?;
4. el espacio vacío entre la esfera y el [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) tiene [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Demuestra que ese sobrante es exactamente igual al [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de *dos [conos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def)* de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$ y altura $r$ ;
5. un balón de baloncesto de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $12$ cm se vende en la caja cilíndrica más ajustada. Calcula los dos volúmenes (redondeando a $100$ cm $^3$ ) y el porcentaje de la caja que queda vacío.

**Parte II — Cuencos, moldes y lunas.**

6. un cuenco semiesférico tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm. Calcula su [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units) , en cm $^3$ y en litros (al decilitro);
7. la pila 1:2:3: un [cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) , una semiesfera y un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) , todos de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm y altura $10$ cm. Calcula los tres volúmenes y verifica la legendaria proporción $1 : 2 : 3$ . (Esta también le habría gustado a Arquímedes.);
8. una esfera de chocolate de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm se funde en un molde cilíndrico de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. ¿Qué altura alcanza el chocolate? ( [Fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) exacta y después al milímetro.);
9. el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de la Tierra es de unos $6\,371$ km y el de la Luna, de unos $1\,737$ km. Calcula la razón de los [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) y después — con el [Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling) — la razón de los volúmenes: ¿cuántas Lunas cabrían en una Tierra hueca, en [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) ?;
10. del mismo teorema: ¿cuál es la razón Tierra–Luna de las *[áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de superficie* ? Y, en general, cuando el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de un globo se duplica, ¿qué le pasa a su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) y a su superficie? Enuncia la *ley del cuadrado-cubo* : cuando una forma se escala hacia arriba, los volúmenes adelantan a las superficies.

**Parte III — La ley del cuadrado-cubo gobierna el mundo.**

11. el argumento de Galileo contra los gigantes: imagina un ser humano escalado con un factor $10$ , con las mismas proporciones. ¿Por qué factor crece el peso (el peso sigue al [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) )? ¿Por qué factor crece la [sección](#prop-g9-solids-sections) de los huesos (un [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) )? ¿Por qué factor crece entonces la *presión* sobre cada centímetro cuadrado de hueso — y qué le pasa al gigante?;
12. la misma ley al revés explica las hazañas de las hormigas: la fuerza sigue a la [sección](#prop-g9-solids-sections) del músculo (un [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) ) y el peso sigue al [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) . Para un animal $100$ veces más pequeño en todas las direcciones, ¿por qué factores se encogen el peso y la fuerza, y por qué factor mejora la razón entre fuerza y peso?;
13. el calor lo produce el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) del cuerpo y se pierde por su superficie. Demuestra que, para una esfera, la razón superficie-volumen es $\frac{3}{r}$ , y calcúlala para $r = 1$ y $r = 2$ . ¿Quién se enfría antes, un ratón o un oso — y por qué los bebés necesitan gorro en invierno?;
14. dos naranjas esféricas de [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm y $5$ cm se venden al mismo precio. Calcula la razón de sus volúmenes: ¿cuánta más naranja da la grande por el mismo dinero?;
15. final: describe con precisión qué codifica la figura de la lápida — los dos «dos tercios» de las preguntas 2 y 3 — y responde a Cicerón en una frase: ¿por qué elegiría un matemático, por encima de todas las conquistas de su genio ingenieril, una esfera dentro de un [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) ?

**Solución de Problema 70.1.**

**1.** $V_{\text{cil}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$.

**2.** $\dfrac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cil}}}
= \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$. El $\pi$ y el $r^3$ se cancelan: la proporción es *universal* — vale para una canica y para un planeta. Una relación entre formas, no entre números: exactamente el tipo de verdad que merece grabarse en piedra.

**3.** Esfera: $4\pi r^2$. [Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism): lateral $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$, más dos tapas $2 \times \pi r^2$: en total $6\pi r^2$. Razón: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — los mismos dos tercios, ahora para superficies. (Y una propina: el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de la esfera es exactamente igual al [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) lateral del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism).)

**4.** Sobrante: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 =
\frac23 \pi r^3$. Dos [conos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def) de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$ y altura $r$: $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$. Iguales.

**5.** Balón: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm$^3$; caja: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm$^3$. Vacío: un tercio de la caja, alrededor del $33\,\%$ — lo garantiza la pregunta 2, sea cual sea el tamaño del balón.

**6.** Media esfera: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times
1\,000 \approx 2\,094$ cm$^3 \approx 2.1$ L.

**7.** [Cono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#def-g8-solids-def): $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 =
\frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm$^3$. Semiesfera: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm$^3$. [Cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism): $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm$^3$. Razones: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3}
= 1 : 2 : 3$ exactamente.

**8.** $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ da $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm exactamente.

**9.** [Radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes): $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$. Los volúmenes escalan como el [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ([Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling)): $3.67^3 \approx 49$. En la Tierra caben unas cincuenta Lunas.

**10.** Las superficies escalan como el cuadrado: $3.67^2 \approx
13.5$. Duplicar el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) de un globo multiplica su [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) por $2^3 = 8$, pero su superficie solo por $2^2 = 4$: al crecer las cosas, el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) (peso, contenido, calor producido) adelanta a la superficie (piel, material, calor perdido) — la ley del cuadrado-cubo.

**11.** Peso: $\times 10^3 = 1\,000$. [Sección](#prop-g9-solids-sections) del hueso: $\times 10^2 = 100$. Presión — peso por [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de hueso: $\times \frac{1000}{100} = 10$. Unos huesos hechos para la presión humana reciben diez veces más: el esqueleto del gigante se parte bajo su propio peso. Los gigantes son geométricamente imposibles; los animales grandes necesitan huesos desproporcionadamente gruesos (compara las patas de un elefante con las de una gacela).

**12.** Peso: $\div 100^3 = 10^6$. Fuerza ([sección](#prop-g9-solids-sections) del músculo): $\div 100^2 = 10^4$. Fuerza entre peso: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$. La hormiga que levanta cincuenta veces su peso no es una superatleta — simplemente es pequeña; un humano encogido al tamaño de una hormiga haría lo mismo.

**13.** $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3}
= \dfrac{3}{r}$: para $r = 1$ la razón es $3$ y para $r = 2$ es $1.5$ — reducir el tamaño a la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) duplica la superficie disponible por unidad de [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) productor de calor. Los cuerpos pequeños pierden calor: el ratón tiene que comer sin parar, el oso puede hibernar y el bebé — esfera pequeña, $\frac Sr$ grande — necesita el gorro.

**14.** $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx
1.95$: la naranja grande contiene casi *el doble* de fruta por el mismo precio. Compra [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes).

**15.** El grabado dice: la esfera es $\frac23$ del [cilindro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#def-g7-areas-prism) en [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) *y* $\frac23$ de él en superficie total — dos proporciones exactas y universales que enlazan el cuerpo más redondo con el más sencillo. La respuesta a Cicerón: porque un teorema es el único monumento que no erosionan ni los ejércitos ni los siglos — las máquinas de Arquímedes ardieron con Siracusa, pero los dos tercios siguen siendo exactamente dos tercios.