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title: "Estadística y probabilidad"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 71
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/71-estadistica-y-probabilidad
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# Capítulo 71 — Estadística y probabilidad

Los datos y el azar están por todas partes: resultados deportivos, predicciones del tiempo, juegos. Este capítulo enseña a resumir una serie de números con su [media](#def-g9-statproba-indicators), su [mediana](#def-g9-statproba-indicators) y su [recorrido](#def-g9-statproba-indicators), y a calcular la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de experimentos aleatorios sencillos — incluidos los experimentos en dos pasos, que se tratan con diagramas de árbol. Los dos temas se desarrollan mucho más en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior de esta serie.

## 71.1 Resumir datos

**Definición 71.1 (Media, mediana, recorrido).**

Para una serie de $N$ números:

- la *media* es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de todos los valores dividida entre $N$ ;
- la *mediana* es un valor que parte la serie ordenada en dos [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del mismo tamaño: para $N$ [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , el valor central; para $N$ [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , el punto medio de los dos valores centrales;
- el *recorrido* es el valor mayor menos el menor.

**Ejemplo 71.2.**

Notas de un alumno: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$.

1. [media](#def-g9-statproba-indicators) : $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ ;
2. [mediana](#def-g9-statproba-indicators) : ordena la serie: $8, 9, 11, 12, 15$ ; el valor central (el 3.º) es $11$ ;
3. [recorrido](#def-g9-statproba-indicators) : $15 - 8 = 7$ .

Con una sexta nota de $17$: ordenadas $8, 9, 11, 12, 15, 17$, la [mediana](#def-g9-statproba-indicators) pasa a ser el punto medio de $11$ y $12$, es decir $11.5$, y la [media](#def-g9-statproba-indicators) pasa a ser $\frac{72}{6} = 12$.

**Ejemplo 71.3 (Media ponderada).**

Las tallas de zapato vendidas en un día:

| talla | $38$ | $39$ | $40$ | $41$ | $42$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| cantidad | $3$ | $7$ | $6$ | $3$ | $1$ |

La talla [media](#def-g9-statproba-indicators) es

$$
\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42}
{3 + 7 + 6 + 3 + 1}
= \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20}
= \frac{792}{20} = 39.6 .
$$

**Observación 71.4.**

La [media](#def-g9-statproba-indicators) y la [mediana](#def-g9-statproba-indicators) pueden diferir mucho. En la serie $10, 10, 10, 10, 60$ la [media](#def-g9-statproba-indicators) es $20$ (arrastrada hacia arriba por el valor $60$), mientras que la [mediana](#def-g9-statproba-indicators) es $10$. Pregúntate siempre qué indicador representa mejor la situación.

## 71.2 La probabilidad

**Definición 71.5 (Probabilidad).**

Un experimento aleatorio tiene varios *resultados* posibles; un *suceso* es un conjunto de resultados. Cada resultado recibe una *probabilidad*: un número entre $0$ y $1$, de manera que todas las probabilidades de los resultados sumen $1$; la probabilidad $\P(A)$ de un suceso $A$ es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de las probabilidades de sus resultados. Cuando los $n$ resultados son todos igual de probables,

$$
\P(A) = \frac{\text{número de casos favorables}}{n}.
$$

**Ejemplo 71.6.**

Una ruleta está dividida en $8$ sectores iguales: $3$ rojos, $3$ azules, $2$ verdes. Cada sector tiene [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) $\frac18$, así que

$$
\P(\text{rojo}) = \frac38, \qquad
\P(\text{verde}) = \frac28 = \frac14, \qquad
\P(\text{no verde}) = 1 - \frac14 = \frac34 .
$$

**Proposición 71.7 (Suceso contrario).**

Para todo suceso $A$, el *suceso contrario* $\bar A$ («$A$ no ocurre») cumple

$$
\P(\bar A) = 1 - \P(A).
$$

**Demostración.** Todo resultado está exactamente en uno de los dos, $A$ o $\bar A$, así que $\P(A) + \P(\bar A)$ [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de todos los resultados, lo que da $1$. ∎

## 71.3 Experimentos en dos pasos

**Método 71.8 (Diagramas de árbol).**

Para un experimento en dos pasos:

1. dibuja una rama por cada resultado del primer paso y continúa después cada rama con los resultados del segundo paso, escribiendo cada [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) sobre su rama;
2. multiplica las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) a lo largo de un camino para obtener la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de ese camino;
3. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de todos los caminos que forman un suceso.

**Ejemplo 71.9.**

Una bolsa contiene $2$ fichas rojas y $3$ negras. Saca una ficha, anota su color, *devuélvela* y saca otra vez. Cada extracción da roja con [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) $\frac25$ y negra con [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) $\frac35$.

![El árbol de las dos extracciones con devolución: multiplica a lo largo de las ramas y comprueba que los cuatro caminos suman 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-statproba/fig-038f93ca43a2.svg)

*El árbol de las dos extracciones con devolución: multiplica a lo largo de las ramas y comprueba que los cuatro caminos suman $1$.*

[Probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de dos fichas del mismo color: $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$. [Probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de al menos una roja: $1 - \P(\text{NN}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

**Observación 71.10 (Las frecuencias se acercan a las probabilidades).**

Lanzar un dado equilibrado $6000$ veces da *alrededor de* $1000$ seises — no exactamente. A medida que crece el número de repeticiones, las frecuencias observadas se acercan cada vez más a las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability): eso es lo que hace de la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) la herramienta adecuada para modelizar experimentos repetidos (una historia que se desarrolla en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior de esta serie).

## 71.4 Ejercicios

**Ejercicio 71.1 ★.**

Calcula la [media](#def-g9-statproba-indicators), la [mediana](#def-g9-statproba-indicators) y el [recorrido](#def-g9-statproba-indicators) de la serie $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$.

**Solución de Ejercicio 71.1.**

[Media](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$.

[Mediana](#def-g9-statproba-indicators): ordenada, $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$; el valor central (el $4$.º) es $12$.

[Recorrido](#def-g9-statproba-indicators): $17 - 9 = 8$.

**Ejercicio 71.2 ★.**

Las temperaturas al mediodía a lo largo de una semana fueron $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\
19$ (grados). Calcula la [media](#def-g9-statproba-indicators) (a la décima) y la [mediana](#def-g9-statproba-indicators).

**Solución de Ejercicio 71.2.**

[Media](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7}
\approx 21.1$ grados.

[Mediana](#def-g9-statproba-indicators): ordenada, $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$; el $4$.º valor es $21$ grados.

**Ejercicio 71.3 ★.**

El número de goles marcados por un equipo en $10$ partidos:

| goles | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| partidos | $2$ | $4$ | $3$ | $1$ |

Calcula el número medio de goles por partido y la [mediana](#def-g9-statproba-indicators).

**Solución de Ejercicio 71.3.**

[Media](#def-g9-statproba-indicators):

$$
\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10}
= \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3
\text{ goles por partido.}
$$

[Mediana](#def-g9-statproba-indicators): la serie ordenada es $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$; el $5$.º y el $6$.º valores son los dos $1$: [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $1$.

**Ejercicio 71.4 ★.**

Se lanza una vez un dado equilibrado. Calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de: «sacar un $3$»; «sacar un [número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)»; «sacar al menos un $3$»; «no sacar un $6$».

**Solución de Ejercicio 71.4.**

$\P(3) = \frac16$. $\P(\text{par}) = \frac36 = \frac12$. $\P(\text{al menos } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$. $\P(\text{no } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$.

**Ejercicio 71.5 ★.**

Una caja contiene $12$ bolas: $5$ blancas, $4$ rojas y $3$ verdes; se saca una bola al azar. Calcula $\P(\text{blanca})$, $\P(\text{roja o verde})$ y $\P(\text{no blanca})$. ¿Qué observas en las dos últimas?

**Solución de Ejercicio 71.5.**

$\P(\text{blanca}) = \frac{5}{12}$.

$\P(\text{roja o verde}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

$\P(\text{no blanca}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.

Las dos últimas son iguales: «no blanca» *es* el suceso «roja o verde».

**Ejercicio 71.6 ★★.**

Se lanza una moneda y después un dado equilibrado. Dibuja el árbol (o cuenta los resultados) y calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de sacar cara *y* un $6$; y después la de sacar cara *o* un $6$ (o las dos cosas).

**Solución de Ejercicio 71.6.**

Los $12$ resultados ([cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de la moneda, valor del dado) son igual de probables.

Cara y un $6$: un resultado de $12$: $\frac{1}{12}$.

Cara o un $6$: los resultados con cara ($6$ de ellos) más el resultado (cruz, $6$): $7$ resultados, así que $\frac{7}{12}$. Contar cada suceso y restar el solapamiento da lo mismo: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$.

**Ejercicio 71.7 ★★.**

En la bolsa del [Ejemplo 71.9](#ex-g9-statproba-tree) ($2$ rojas, $3$ negras), las dos extracciones se hacen ahora *sin* devolución. Dibuja el árbol nuevo (cuidado: las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) del segundo nivel cambian) y calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de sacar dos fichas negras y después la de sacar dos fichas de colores distintos.

**Solución de Ejercicio 71.7.**

Primera extracción: roja $\frac25$, negra $\frac35$. Segunda extracción sin devolución: tras una roja quedan $1$ roja y $3$ negras entre $4$; tras una negra, $2$ rojas y $2$ negras entre $4$.

Dos negras: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Colores distintos (RN o NR): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24
= \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$.

**Ejercicio 71.8 ★★.**

Tras $9$ partidos, una jugadora de baloncesto promedia $14$ puntos por partido.

1. ¿cuántos puntos ha marcado en total?;
2. ¿cuántos puntos tiene que marcar en el $10$ .º partido para promediar $15$ ?

**Solución de Ejercicio 71.8.**

*1.* $9 \times 14 = 126$ puntos.

*2.* Un promedio de $15$ en $10$ partidos significa $150$ puntos en total: tiene que marcar $150 - 126 = 24$ puntos.

**Ejercicio 71.9 ★★★.**

Un juego: lanza dos dados equilibrados; ganas si los dos resultados son iguales («un doble»).

1. calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de ganar;
2. juegas dos veces (partidas independientes). Con un árbol, calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de ganar al menos una vez.

**Solución de Ejercicio 71.9.**

*1.* Entre las $36$ parejas igual de probables, los dobles son $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$: seis, así que $\P(\text{doble}) = \frac{6}{36} = \frac16$.

*2.* Dos partidas independientes: árbol con ganar ($\frac16$) / perder ($\frac56$) en cada nivel. [Probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de no ganar nunca: $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$. Así que

$$
\P(\text{al menos una victoria}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
\approx 0.31 .
$$

## 71.5 Problema: Las apuestas ruinosas del Caballero

**Problema 71.1.**

Problema de fin de semana — la disputa de juego de 1654 que creó la teoría de la probabilidad, y la coincidencia de cumpleaños que engaña a todas las clases

En 1654, un noble francés jugador empedernido, el Caballero de Méré, se hizo rico con una apuesta de dados y empezó a perder con otra que él creía equivalente. Desconcertado, preguntó al matemático Blaise Pascal; Pascal escribió a Pierre de Fermat; y su intercambio de cartas fundó la teoría de la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability). Este problema repite todo el asunto con las herramientas de este capítulo — resultados igual de probables, árboles y la regla del suceso contrario ([Proposición 71.7](#prop-g9-statproba-complement)) — y termina con la coincidencia más contraintuitiva de todas.

**Parte I — Los dados, contados con honestidad.**

1. lanza dos veces un dado equilibrado. Con un árbol (o una tabla $6 \times 6$ ), calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de que *no* salga ningún seis en los dos lanzamientos, y deduce la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de al menos un seis;
2. un compañero argumenta: «una posibilidad entre seis por lanzamiento, dos veces, así que $\frac16 + \frac16 = \frac13$ ». Compara con la pregunta 1 y señala los resultados exactos que su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) cuenta dos veces;
3. lanzando dos dados y sumando: calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $7$ y la de una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $2$ . ¿Por qué es el $7$ el favorito de los jugadores?;
4. vieja disputa: con dos dados, ¿es más probable una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $9$ o una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $10$ ? Cuenta los resultados y zanja la cuestión;
5. generaliza la pregunta 1: explica por qué la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de al menos un seis en $n$ lanzamientos es $$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$$ porque las ramas «sin seis» del árbol se multiplican de nivel en nivel.

**Parte II — Las dos apuestas del Caballero.**

6. primera apuesta, a partes iguales: *al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado* . Calcula $\left(\frac56\right)^4$ como [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#def-g9-fractions-fraction) y como decimal, y la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de ganar del Caballero. ¿Era buena la apuesta?;
7. el propio razonamiento del Caballero era: «cuatro lanzamientos a $\frac16$ cada uno: $\frac46$ de posibilidad». Aquí daba casi la respuesta correcta — pero llévalo hasta $7$ lanzamientos: ¿qué absurdo produce y qué error de la pregunta 2 repite?;
8. segunda apuesta, que él creía equivalente por [proporcionalidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/67-funciones-lineales-y-afines#def-g9-linfunc-linear) (« $24$ lanzamientos a $\frac1{36}$ cada uno: otra vez $\frac{24}{36} = \frac46$ »): *al menos un seis doble en $24$ lanzamientos de dos dados* . Calcula la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) verdadera de ganar $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ (con calculadora). ¿Por qué se arruinó poco a poco el Caballero?;
9. ¿cuántos lanzamientos de dos dados le habrían devuelto la ventaja? Prueba $n = 25$ con la calculadora y concluye;
10. enuncia la moraleja en dos frases: ¿qué falla, en general, al multiplicar una [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) por el número de intentos — y qué herramienta correcta sustituye a esa tentación?

**Parte III — [Medias](#def-g9-statproba-indicators), [medianas](#def-g9-statproba-indicators) y cumpleaños.**

11. una empresa pequeña paga $2\,000$ euros al mes a nueve empleados y $20\,000$ al director. Calcula el salario medio y el mediano ( [Definición 71.1](#def-g9-statproba-indicators) ). ¿Qué número debería dar honestamente el anuncio de empleo?;
12. construye una lista de cinco notas de examen con [media](#def-g9-statproba-indicators) $12$ y [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $15$ . ¿Qué dice esa pareja ( [media](#def-g9-statproba-indicators) por debajo de la [mediana](#def-g9-statproba-indicators) ) sobre la forma de las notas?;
13. el problema de los cumpleaños: en una clase de $23$ alumnos, ¿cuál es la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de que al menos dos compartan cumpleaños? Plantea el suceso contrario (los $23$ cumpleaños distintos): $$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times  \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$$ Calcula el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de los tres primeros factores, describe cómo evolucionan los factores y — sabiendo que el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) completo vale unos $0.493$ — responde a la pregunta. La mayoría de la gente espera «muy improbable»: ¿qué dicen las matemáticas?;
14. la intuición reparada: ¿cuántas *parejas* de alumnos pueden compartir cumpleaños en una clase de $23$ (la cuenta de apretones de manos del [Problema 37.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#pb-g6-wholes-1) )? Explica en una frase por qué es ese número, y no el propio $23$ , el que provoca la sorpresa;
15. final: describe un experimento para comprobar cualquiera de los dos resultados — la apuesta de de Méré con un dado real o el problema de los cumpleaños en varias clases — y enuncia con cuidado qué esperas de las frecuencias observadas a medida que crece el número de repeticiones. (Esa expectativa tiene nombre: la ley de los grandes números; su demostración espera en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.)

**Solución de Problema 71.1.**

**1.** Cada lanzamiento tiene $5$ resultados sin seis de $6$; la tabla $6 \times 6$ muestra $5 \times 5 = 25$ resultados sin ningún seis de $36$: $P(\text{ningún seis}) = \frac{25}{36}$, luego $P(\text{al menos uno}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
\approx 0.31$.

**2.** $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$. La [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) cuenta el resultado «seis y después seis» una vez en cada $\frac16$: una vez de más. Las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de sucesos que pueden ocurrir *a la vez* no se suman sin más.

**3.** [Suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $7$: los seis resultados $(1,6), (2,5), (3,4),
(4,3), (5,2), (6,1)$: $P = \frac{6}{36} = \frac16$. [Suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $2$: solo $(1,1)$: $\frac{1}{36}$. El siete tiene el mayor número de maneras de salir — el grueso central de la tabla de [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def).

**4.** [Suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — cuatro resultados, $\frac{4}{36}$. [Suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ — tres, $\frac{3}{36}$. El nueve es más probable: lo decide el recuento, no el número de «maneras de escribir» la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) con [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) sin ordenar.

**5.** Cada nivel del árbol multiplica la [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) de no sacar seis por $\frac56$, pase lo que pase antes: tras $n$ lanzamientos, $P(\text{ningún seis}) = \left(\frac56\right)^n$, y la regla del suceso contrario da la fórmula.

**6.** $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx
0.482$, así que el Caballero ganaba con [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) $1 - 0.482 = 0.518$ — una ventaja discreta y constante de casi $2\,\%$ por partida: una apuesta excelente, que le pagó sus carruajes.

**7.** Con $7$ lanzamientos su regla da $\frac76$ — una [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) mayor que $1$, un sinsentido. Es el doble recuento de la pregunta 2, agravado: los éxitos de los lanzamientos se solapan, y sumar sus posibilidades cuenta los solapamientos una y otra vez.

**8.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx
1 - 0.5086 = 0.491$: por debajo de la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). Apostando a partes iguales sobre un suceso del $49.1\,\%$, el Caballero perdía unas $2$ partidas de cada $100$ de [media](#def-g9-statproba-indicators) — despacio, misteriosamente (para él) e inevitablemente.

**9.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx
1 - 0.494 = 0.506$: con $25$ lanzamientos la apuesta pasa a ser favorable. Un solo lanzamiento separaba al Caballero de la rentabilidad.

**10.** Multiplicar una [probabilidad](#def-g9-statproba-probability) por el número de intentos cuenta varias veces los éxitos que se solapan y acaba produciendo respuestas imposibles, mayores que $1$. El camino correcto pasa siempre por el suceso contrario: encadena por multiplicación las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) de fallo y resta después de $1$.

**11.** [Media](#def-g9-statproba-indicators): $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} =
\frac{38\,000}{10} = 3\,800$ euros. [Mediana](#def-g9-statproba-indicators): los salarios centrales son los dos $2\,000$: [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $2\,000$ euros. El anuncio debería dar la [mediana](#def-g9-statproba-indicators) — nueve de los diez trabajadores no ven nunca nada parecido a $3\,800$; la [media](#def-g9-statproba-indicators) la arrastra hacia arriba un solo valor atípico ([Ejemplo 71.3](#ex-g9-statproba-weighted) avisaba de los pesos).

**12.** Por ejemplo $2, 8, 15, 17, 18$: [mediana](#def-g9-statproba-indicators) $15$ (valor central) y [media](#def-g9-statproba-indicators) $\frac{60}{5} = 12$. Una [media](#def-g9-statproba-indicators) por debajo de la [mediana](#def-g9-statproba-indicators) delata una cola de notas *bajas* que tira del promedio hacia abajo mientras la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) superior se queda alta.

**13.** Tres primeros factores: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx
0.992$. Cada alumno nuevo tiene que esquivar una fecha ocupada más, así que los factores encogen: $\frac{343}{365} \approx 0.94$ para el $23$.º. El [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) completo cae hasta unos $0.493$ — así que

$$
P(\text{al menos un cumpleaños compartido}) \approx 0.507 :
$$

mejor que jugárselo a cara o cruz, en una clase de solo $23$. La intuición dice «$23$ personas, $365$ días, ni hablar»; las matemáticas dicen «lanza una moneda».

**14.** $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ parejas. Cada pareja es una nueva oportunidad de coincidencia, y $253$ oportunidades a $\frac{1}{365}$ cada una ya no son poca cosa: la sorpresa se disuelve en cuanto se cuentan parejas, y no personas.

**15.** Protocolo de ejemplo: lanza un dado en bloques de cuatro, anotando si en cada bloque sale un seis, durante $100$ bloques; o reúne las listas de cumpleaños de muchas clases de unos $23$ alumnos y anota la proporción de clases con coincidencia. La frecuencia observada oscilará, pero, a medida que crezca el número de repeticiones, debería asentarse cada vez más cerca de las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability) calculadas ($0.518$; $0.507$) — las frecuencias convergen a las [probabilidades](#def-g9-statproba-probability): la ley de los grandes números, enunciada aquí como expectativa y demostrada en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-volume) de secundaria superior.