--- title: "Partage et division" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 17 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division --- # Chapitre 17 — Partage et division Vingt billes partagées équitablement entre quatre enfants : combien chacun ? La division répond à toutes les questions de partage — et aux questions de groupement aussi — et c’est la jumelle de la multiplication : l’une défait l’autre. ## 17.1 Deux visages de la division **Définition 17.1 (Division).** La division $20 \div 4$ répond à deux sortes de questions : - *partage* : $20$ billes partagées entre $4$ enfants — combien de billes *chacun* ? ( $5$ chacun) ; - *groupement* : $20$ billes mises en sacs de $4$ — combien de *sacs* ? ( $5$ sacs). Les deux questions ont la même réponse, car toutes deux défont la même multiplication : $4 \times 5 = 20$. ![Partager 20 en 4 groupes égaux. Grouper par 4 à la place donnerait 5 groupes — la même division.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-division/fig-72dd5b5fc1f2.svg) *Partager $20$ en $4$ groupes égaux. Grouper par $4$ à la place donnerait $5$ groupes — la même division.* **Méthode 17.2 (Diviser avec les tables).** Pour calculer $42 \div 6$, se demander : « $6$ fois *quoi* fait $42$ ? » La table de $6$ répond : $6 \times 7 = 42$, donc $42 \div 6 = 7$. Chaque question de division est une question de multiplication lue à l’envers. ## 17.2 Quand ça ne tombe pas juste **Définition 17.3 (Reste).** Partager $23$ billes entre $4$ enfants donne $5$ billes chacun — et $3$ billes *en trop*, pas assez pour un autre tour. On écrit $$ 23 = 4 \times 5 + 3 , $$ et on dit : le *quotient* est $5$, le *reste* est $3$. Le reste est toujours plus petit que le nombre d’enfants — sinon un autre tour de partage serait possible. ![Partager 23 entre 4 : après 5 tours, 3 billes restent — trop peu pour un 6e tour.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-division/fig-2c3c6903da87.svg) *Partager $23$ entre $4$ : après $5$ tours, $3$ billes restent — trop peu pour un $6$e tour.* **Exemple 17.4.** Diviser $58$ par $7$. Parcourir la table de $7$ : $7 \times 8 = 56$ est le plus grand [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) qui tient sous $58$ ($7 \times 9 = 63$ est trop grand). Donc $$ 58 = 7 \times 8 + 2 : $$ [quotient](#def-g3-division-remainder) $8$, [reste](#def-g3-division-remainder) $2$. Vérification : $56 + 2 = 58$, et $2 < 7$. **Méthode 17.5 (Interpréter le reste).** Après la division, revenir à l’histoire : 1. « combien chacun / combien de groupes complets ? » — le [quotient](#def-g3-division-remainder) ; 2. « combien en trop ? » — le [reste](#def-g3-division-remainder) ; 3. « combien de boîtes pour tout contenir ? » — le [quotient](#def-g3-division-remainder) *plus un* si le [reste](#def-g3-division-remainder) n’est pas [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) . **Exemple 17.6.** $58$ élèves vont en canoë, $7$ par canoë. $58 = 7 \times 8 + 2$ : huit canoës sont pleins, et $2$ élèves restent — ils ont besoin d’un canoë aussi. Donc $9$ canoës doivent être réservés. ## 17.3 Moitiés, tiers, quarts **Définition 17.7 (Moitié, tiers, quart).** La *moitié* d’un nombre est le résultat de sa division par $2$ ; le *tiers*, par $3$ ; le *quart*, par $4$. Par exemple la moitié de $18$ est $9$, le tiers de $18$ est $6$, le quart de $36$ est $9$. **Exemple 17.8 (Doubles et moitiés vont ensemble).** La [moitié](#def-g3-division-half) de $46$ : comme $46 = 40 + 6$, la [moitié](#def-g3-division-half) de chaque partie donne $20 + 3 = 23$. Vérifier avec le double : $23 + 23 = 46$. Connaître les doubles par cœur ($25 \to 50$, $45 \to 90$, $150 \to 300$) rend les [moitiés](#def-g3-division-half) instantanées. ## 17.4 Exercices **Exercice 17.1 ★.** Calcule en utilisant les tables à l’envers : $36 \div 4$ ; $63 \div 9$ ; $40 \div 5$ ; $56 \div 8$. **Solution de Exercice 17.1.** $36 \div 4 = 9$ (car $4 \times 9 = 36$) ; $63 \div 9 = 7$ ; $40 \div 5 = 8$ ; $56 \div 8 = 7$. **Exercice 17.2 ★.** Pour chaque division, écris l’égalité $a = b \times q + r$ et donne le [quotient](#def-g3-division-remainder) et le [reste](#def-g3-division-remainder) : $17 \div 5$ ; $30 \div 4$ ; $50 \div 6$. **Solution de Exercice 17.2.** $17 = 5 \times 3 + 2$ : [quotient](#def-g3-division-remainder) $3$, [reste](#def-g3-division-remainder) $2$. $30 = 4 \times 7 + 2$ : [quotient](#def-g3-division-remainder) $7$, [reste](#def-g3-division-remainder) $2$. $50 = 6 \times 8 + 2$ : [quotient](#def-g3-division-remainder) $8$, [reste](#def-g3-division-remainder) $2$. **Exercice 17.3 ★.** $28$ billes sont partagées entre $6$ enfants. Combien de billes chacun, et combien en trop ? Dessine le partage si cela aide. **Solution de Exercice 17.3.** $28 = 6 \times 4 + 4$ : chaque enfant reçoit $4$ billes, et $4$ billes restent en trop. **Exercice 17.4 ★.** Calcule : la [moitié](#def-g3-division-half) de $68$ ; le tiers de $27$ ; le [quart](#def-g3-division-half) de $48$ ; la [moitié](#def-g3-division-half) de $150$. **Solution de Exercice 17.4.** [Moitié](#def-g3-division-half) de $68$ : $34$. Tiers de $27$ : $9$. [Quart](#def-g3-division-half) de $48$ : $12$. [Moitié](#def-g3-division-half) de $150$ : $75$. **Exercice 17.5 ★.** Vrai ou faux ? Vérifie avec une multiplication. « $45 \div 5 = 9$ » ; « $52 \div 6 = 8$ [reste](#def-g3-division-remainder) $4$ » ; « $70 \div 8 = 9$ [reste](#def-g3-division-remainder) $2$ ». **Solution de Exercice 17.5.** « $45 \div 5 = 9$ » : vrai, $5 \times 9 = 45$. « $52 \div 6 = 8$ [reste](#def-g3-division-remainder) $4$ » : vrai, $6 \times 8 + 4 = 52$ et $4 < 6$. « $70 \div 8 = 9$ [reste](#def-g3-division-remainder) $2$ » : faux — $8 \times 9 + 2 = 74$, pas $70$. Correct : $70 = 8 \times 8 + 6$. **Exercice 17.6 ★.** $32$ photos sont collées dans un album, $4$ par page. Combien de pages sont utilisées ? Quel visage de la division est-ce (partage ou groupement) ? **Solution de Exercice 17.6.** $32 \div 4 = 8$ pages. C’est un *groupement* : les photos sont mises en groupes de $4$, et on compte les groupes. **Exercice 17.7 ★.** Une corde de $75$ cm est coupée en morceaux de $9$ cm. Combien de morceaux complets, et quelle longueur reste-t-il ? **Solution de Exercice 17.7.** $75 = 9 \times 8 + 3$ : huit morceaux complets, et un [reste](#def-g3-division-remainder) de $3$ cm. **Exercice 17.8 ★.** $50$ enfants partent en voyage dans des voitures de $4$ places. Combien de voitures faut-il ? (Attention : tout le monde doit monter !) **Solution de Exercice 17.8.** $50 = 4 \times 12 + 2$ : douze voitures transportent $48$ enfants, et $2$ enfants ont encore besoin d’une place. Il faut $13$ voitures. **Exercice 17.9 ★.** Trouve les nombres manquants : $? \div 7 = 6$ ; $54 \div ? = 6$ ; la [moitié](#def-g3-division-half) de $?$ est $35$. **Solution de Exercice 17.9.** $? = 7 \times 6 = 42$. $54 \div 9 = 6$, donc le diviseur manquant est $9$. Le nombre dont la [moitié](#def-g3-division-half) est $35$ est $70$. **Exercice 17.10 ★★.** Amina partage ses $47$ autocollants entre ses $5$ amis, le plus équitablement possible, et garde le [reste](#def-g3-division-remainder) pour elle. Combien d’autocollants chaque ami reçoit-il, et combien Amina en garde-t-elle ? **Solution de Exercice 17.10.** $47 = 5 \times 9 + 2$ : chaque ami reçoit $9$ autocollants, et Amina garde le [reste](#def-g3-division-remainder), $2$ autocollants. **Exercice 17.11 ★★.** Quand on divise un nombre par $6$, quels sont tous les [restes](#def-g3-division-remainder) possibles ? Quel est le plus grand nombre dont la division par $6$ a pour [quotient](#def-g3-division-remainder) $7$ ? **Solution de Exercice 17.11.** En divisant par $6$, le [reste](#def-g3-division-remainder) est toujours plus petit que $6$ : il peut être $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$. Le plus grand nombre de [quotient](#def-g3-division-remainder) $7$ utilise le plus grand [reste](#def-g3-division-remainder) : $6 \times 7 + 5 = 47$.