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title: "Figures et angles droits"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits
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# Chapitre 18 — Figures et angles droits

Carrés, rectangles, triangles, cercles : les figures sont de vieilles amies. Ce chapitre les regarde avec l’œil du géomètre — qu’est-ce qui fait exactement d’un carré un carré ? — et présente l’outil qui décide : l’équerre et son [angle droit](#def-g3-shapes-rightangle).

## 18.1 L’angle droit

**Définition 18.1 (Angle droit).**

Un *angle droit* est l’angle d’un coin de feuille de papier, ou de l’équerre. Deux droites qui forment un angle droit sont *perpendiculaires*. Dans les figures, un angle droit se marque par un petit carré dans le coin.

**Méthode 18.2 (Vérifier un angle droit).**

1. Placer le coin de l’équerre exactement sur le coin à tester ;
2. glisser un bord de l’équerre le long d’un côté de l’angle ;
3. si l’autre côté de l’angle suit exactement l’autre bord, l’angle est droit — s’il s’ouvre plus large ou plus étroit, ce n’est pas un [angle droit](#def-g3-shapes-rightangle) .

![Seul le premier angle est droit — et seuls le petit carré de marque, ou l’équerre, peuvent le certifier : l’œil seul se trompe facilement.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-a04480cdf422.svg)

*Seul le premier angle est droit — et seuls le petit carré de marque, ou l’équerre, peuvent le certifier : l’œil seul se trompe facilement.*

## 18.2 Les figures et leurs règles

**Définition 18.3 (Carré, rectangle, triangle).**

- Un *rectangle* a $4$ côtés et $4$ [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) ; ses côtés opposés ont la même longueur.
- Un *carré* est un rectangle dont les $4$ côtés ont tous la même longueur.
- Un *triangle* a $3$ côtés ; un *triangle rectangle* a un [angle droit](#def-g3-shapes-rightangle) .
- Un *cercle* se trace au compas : tous ses points sont à la même distance (le *rayon* ) du *centre* .

![La galerie des figures, avec leurs marques : petits carrés pour les angles droits, petits traits pour les côtés égaux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-ea33ffe92e24.svg)

*La galerie des figures, avec leurs marques : petits carrés pour les [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle), petits traits pour les côtés égaux.*

**Exemple 18.4 (Pourquoi les marques comptent).**

Une figure un peu penchée peut *ressembler* à un carré sans l’être. Les marques disent la vérité : $4$ petits carrés d’[angle droit](#def-g3-shapes-rightangle) $+$ $4$ traits d’égalité $=$ un vrai carré. Quand on dessine, mettre les marques ; quand on lit une figure, ne se fier qu’aux marques et aux mesures données.

## 18.3 Dessiner sur du papier quadrillé

**Méthode 18.5 (Constructions sur un quadrillage).**

Le papier quadrillé offre des [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) gratuits : ses lignes sont perpendiculaires.

1. Pour dessiner un rectangle $5$ sur $3$ : choisir un croisement, compter $5$ cases à droite, $3$ cases vers le haut, et fermer la figure le long des lignes du quadrillage ;
2. pour vérifier des longueurs égales, compter les cases ;
3. les pas en diagonale font des lignes penchées : aller « $1$ à droite, $1$ en haut » répétément trace une ligne à $45^\circ$ .

![Deux constructions sur le quadrillage : les lignes du quadrillage garantissent les angles droits.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-a0807973cae6.svg)

*Deux constructions sur le quadrillage : les lignes du quadrillage garantissent les [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle).*

**Exemple 18.6 (Un programme de construction).**

Une figure peut se décrire par des instructions : « 1. Dessiner un carré $ABCD$ de côté $4$ cm. 2. Dessiner le cercle de centre $A$ passant par $B$. » En suivant un programme ligne par ligne, n’importe qui peut redessiner la même figure — et en écrire un force à nommer chaque point. Essaie avec un camarade : l’un écrit, l’autre dessine.

## 18.4 Exercices

**Exercice 18.1 ★.**

Dans la classe, trouve (sans mesurer) trois [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) et un angle qui n’est pas droit. Comment peux-tu *vérifier* chacun ?

**Solution de Exercice 18.1.**

[Angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) typiques : les coins du tableau, d’une feuille de papier, de la porte. Un angle non droit : l’ouverture d’une paire de ciseaux, les aiguilles de l’horloge à $1$ heure. Chacun se vérifie à l’équerre ([Méthode 18.2](#met-g3-shapes-check)) — jamais à l’œil seul.

**Exercice 18.2 ★.**

Dessine un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm à la règle et à l’équerre. Marque ses [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) et ses côtés égaux.

**Solution de Exercice 18.2.**

Construction : un côté de $6$ cm, [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) aux deux extrémités avec l’équerre, côtés de $4$ cm, fermer la figure. Marques : $4$ petits carrés dans les coins, un trait sur chaque côté de $6$ cm, un double trait sur chaque côté de $4$ cm.

**Exercice 18.3 ★.**

Dessine un carré de côté $5$ cm. Combien d’[angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) a-t-il ? Combien de côtés égaux ? Marque tout.

**Solution de Exercice 18.3.**

Un carré a $4$ [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) et $4$ côtés égaux — tous marqués.

**Exercice 18.4 ★.**

Sur du papier quadrillé, dessine : un carré $4 \times 4$ ; un rectangle $7 \times 2$ ; un triangle rectangle de côtés $3$ et $5$ cases.

**Solution de Exercice 18.4.**

Constructions sur quadrillage ; le quadrillage garantit les [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle), et le comptage des cases garantit les longueurs.

**Exercice 18.5 ★.**

Vrai ou faux ? Explique. « Tout carré est un rectangle. » « Tout rectangle est un carré. » « Un triangle peut avoir deux [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle). » (Essaie d’en dessiner un !)

**Solution de Exercice 18.5.**

« Tout carré est un rectangle » : *vrai* — il a $4$ [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle), c’est tout ce qu’un rectangle demande.

« Tout rectangle est un carré » : *faux* — un rectangle $6 \times 4$ a des côtés inégaux.

« Un triangle peut avoir deux [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) » : *faux* — les deux côtés tirés des deux [angles droits](#def-g3-shapes-rightangle) seraient perpendiculaires à la même base, donc ne se rencontreraient jamais pour fermer le triangle.

**Exercice 18.6 ★.**

Dessine un cercle de [rayon](#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm. Marque son centre $O$, un point $A$ sur le cercle, et trace le [rayon](#def-g3-shapes-shapes) $[OA]$. Quelle est la longueur de $OA$ ? Et si $B$ est un autre point du cercle, quelle est la longueur de $OB$ ?

**Solution de Exercice 18.6.**

$OA = 4$ cm (le [rayon](#def-g3-shapes-shapes)). $OB = 4$ cm aussi : *tout* point du cercle est à la même distance du centre.

**Exercice 18.7 ★.**

Suis ce programme : « 1. Dessine un rectangle $ABCD$ avec $AB = 6$ cm et $BC = 3$ cm. 2. Marque le point $M$ au milieu de $[AB]$. 3. Relie $M$ à $C$ et à $D$. » En quelles figures le rectangle a-t-il été découpé ?

**Solution de Exercice 18.7.**

Le rectangle est découpé en trois triangles : deux triangles rectangles ($AMD$ et $MBC$, rectangles en $A$ et $B$) et le triangle du milieu $MCD$.

**Exercice 18.8 ★.**

Classe les figures : lesquelles ont au moins un [angle droit](#def-g3-shapes-rightangle) ? Un carré ; un rectangle (non carré) ; un triangle rectangle ; un cercle ; la lettre L dessinée avec des traits épais.

**Solution de Exercice 18.8.**

Avec au moins un [angle droit](#def-g3-shapes-rightangle) : le carré, le rectangle, le triangle rectangle, et la lettre L (ses coins intérieurs et extérieurs). Le cercle n’a aucun coin.

**Exercice 18.9 ★★.**

Sur du papier quadrillé, dessine un carré penché dont les côtés vont « $2$ à droite, $1$ en haut » (et les tours correspondants). Compte les cases pour te convaincre que les quatre côtés ont la même longueur.

**Solution de Exercice 18.9.**

Chaque côté croise « $2$ à droite, $1$ en haut » (ou les versions tournées « $1$ à droite, $2$ en bas », etc.) : chaque côté est la diagonale d’un bloc $2 \times 1$ de cases, donc les quatre ont la même longueur.

**Exercice 18.10 ★★.**

Écris un programme de construction (instructions numérotées, points nommés) pour : un carré de côté $3$ cm posé sur un rectangle $3$ cm $\times$ $2$ cm, comme une maison sur son rez-de- chaussée. Teste ton programme sur un camarade.

**Solution de Exercice 18.10.**

Un programme correct : « 1. Dessiner un rectangle $ABCD$ avec $AB = 3$ cm (bas) et $BC = 2$ cm. 2. Sur le côté $[DC]$, dessiner le carré $DCEF$ de côté $3$ cm, à l’extérieur du rectangle. » Tout programme clair, numéroté et complet est correct — le tester en le suivant mot à mot.

**Exercice 18.11 ★★.**

Combien de carrés peux-tu trouver dans une grille $3 \times 3$ de petits carrés ? (Compte les $1 \times 1$, les $2 \times 2$ et les $3 \times 3$.)

**Solution de Exercice 18.11.**

Carrés $1 \times 1$ : $9$. Carrés $2 \times 2$ : $4$. $3 \times 3$ : $1$. Total : $9 + 4 + 1 = 14$ carrés.