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title: "Les grands nombres"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 21
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres
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# Chapitre 21 — Les grands nombres

Les milliers étaient le plafond de [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#ch-g3-numbers) ; maintenant le plafond monte jusqu’aux *millions*. L’astuce qui rend les grands nombres lisibles, c’est de découper leurs chiffres en groupes de trois — les [classes](#def-g4-numbers-classes).

## 21.1 Classes de trois chiffres

**Définition 21.1 (Classes).**

En partant de la droite, les chiffres d’un nombre sont regroupés en *classes* de trois : la classe des *unités*, la classe des *milliers*, la classe des *millions*. Chaque classe a ses propres unités, dizaines et centaines. Par exemple

$$
6\,309\,452 = 6 \text{ millions} + 309 \text{ milliers}
+ 452 \text{ unités},
$$

qui se lit « six millions trois cent neuf mille quatre cent cinquante-deux ».

![Le tableau des classes de 6\,309\,452 (c = centaines, d = dizaines, u = unités de chaque classe). Lire un grand nombre, c’est lire chaque classe, suivie de son nom.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-numbers/fig-a4c1ad8ac45a.svg)

*Le tableau des [classes](#def-g4-numbers-classes) de $6\,309\,452$ (c $=$ centaines, d $=$ dizaines, u $=$ unités de chaque classe). Lire un grand nombre, c’est lire chaque classe, suivie de son nom.*

**Exemple 21.2 (Écrire avec les classes).**

« Douze millions quarante mille cinq cents » a $12$ dans la classe des millions, $040$ dans celle des milliers, $500$ dans celle des unités :

$$
12\,040\,500 .
$$

Les [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) de $040$ sont indispensables : chaque classe (sauf la plus à gauche) doit afficher ses trois chiffres.

**Exemple 21.3 (Combien de milliers ?).**

Le nombre $6\,309\,452$ *contient* $6\,309$ milliers (tout ce qui est à gauche de la classe des unités) : $6\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452$. Demander « combien de milliers » n’est pas demander un seul chiffre, mais tout un préfixe du nombre.

## 21.2 Comparer et arrondir

**Méthode 21.4 (Comparer de grands nombres).**

Exactement comme dans [Méthode 14.4](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#met-g3-numbers-compare), avec les [classes](#def-g4-numbers-classes) en raccourci : plus de chiffres gagne ; même longueur, on compare de la gauche — classe par classe, puis chiffre par chiffre.

**Exemple 21.5.**

$2\,145\,890$ et $2\,148\,540$ : millions égaux ($2$), classe des milliers $145 < 148$, donc

$$
2\,145\,890 < 2\,148\,540 .
$$

**Définition 21.6 (Arrondi).**

Pour *arrondir* un nombre au millier le plus proche (ou à la dizaine, à la centaine, au million …), on le remplace par le multiple de $1\,000$ le plus proche. Si le nombre est exactement à mi-chemin, on arrondit vers le haut. En pratique : on regarde le chiffre juste en dessous de la place d’arrondi — $5$ ou plus arrondit vers le haut, $4$ ou moins vers le bas.

**Exemple 21.7.**

$37\,614$ [arrondi](#def-g4-numbers-round) au millier le plus proche : le chiffre des centaines est $6$, donc on arrondit vers le haut : $38\,000$. [Arrondi](#def-g4-numbers-round) à la centaine la plus proche : $37\,600$. [Arrondi](#def-g4-numbers-round) à la dizaine de milliers la plus proche : $40\,000$.

![Arrondi de 37\,614 au millier le plus proche : il dépasse la marque du milieu 37\,500, donc on arrondit vers le haut à 38\,000.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-numbers/fig-c6769ea21dd6.svg)

*[Arrondi](#def-g4-numbers-round) de $37\,614$ au millier le plus proche : il dépasse la marque du milieu $37\,500$, donc on arrondit vers le haut à $38\,000$.*

**Exemple 21.8 (Ordres de grandeur dans le monde).**

L’[arrondi](#def-g4-numbers-round) est la façon dont on utilise vraiment les grands nombres : un pays de $67\,842\,591$ habitants, c’est « environ $68$ millions » ; une ville de $214\,376$ personnes, c’est « environ $200\,000$ ». Le chiffre exact change chaque jour de toute façon — l’[arrondi](#def-g4-numbers-round) porte l’information utile.

## 21.3 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Écrire en chiffres, avec les [classes](#def-g4-numbers-classes) séparées : « trois millions cinq cent vingt mille » ; « sept millions huit » ; « deux cent quarante mille soixante ».

**Solution de Exercice 21.1.**

$3\,520\,000$ ; $7\,000\,008$ ; $240\,060$.

**Exercice 21.2 ★.**

Écrire en lettres : $5\,204\,300$ ; $10\,050\,000$ ; $999\,999$.

**Solution de Exercice 21.2.**

$5\,204\,300$ : cinq millions deux cent quatre mille trois cents.

$10\,050\,000$ : dix millions cinquante mille.

$999\,999$ : neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf.

**Exercice 21.3 ★.**

Dans $8\,472\,156$ : quel chiffre est celui des dizaines de milliers ? Celui des centaines de la classe des millions ? Combien de *milliers* le nombre contient-il (voir [Exemple 21.3](#ex-g4-numbers-contained)) ?

**Solution de Exercice 21.3.**

Dizaines de milliers : $7$. Centaines de la classe des millions : il n’y a pas de chiffre des centaines de millions dans un nombre à sept chiffres — la classe des millions de $8\,472\,156$ ne contient que le chiffre $8$ (unités de millions). Milliers contenus : $8\,472$ (car $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$).

**Exercice 21.4 ★.**

Recopier et compléter avec $<$ ou $>$ :

$$
980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad
3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad
7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .
$$

**Solution de Exercice 21.4.**

$980\,000 < 1\,020\,000$ ; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (classe des milliers $456 < 465$) ; $7\,090\,050 < 7\,090\,500$.

**Exercice 21.5 ★.**

Ranger du plus petit au plus grand : $2\,300\,000$ ; $980\,500$ ; $2\,030\,000$ ; $2\,299\,999$.

**Solution de Exercice 21.5.**

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$.

**Exercice 21.6 ★.**

Arrondir $63\,782$ : à la dizaine la plus proche ; à la centaine la plus proche ; au millier le plus proche ; à la dizaine de milliers la plus proche.

**Solution de Exercice 21.6.**

À la dizaine : $63\,780$. À la centaine : $63\,800$. Au millier : $64\,000$. À la dizaine de milliers : $60\,000$.

**Exercice 21.7 ★.**

Arrondir au million le plus proche : $4\,721\,000$ ; $6\,499\,999$ ; $9\,500\,000$.

**Solution de Exercice 21.7.**

$5\,000\,000$ ; $6\,000\,000$ (les $499\,999$ n’atteignent pas la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un million) ; $10\,000\,000$ (exactement à mi-chemin, on arrondit vers le haut).

**Exercice 21.8 ★.**

Compter par pas : trois pas de $1\,000$ à partir de $998\,500$ ; deux pas de $100\,000$ à partir de $950\,000$. Que se passe-t-il pour les [classes](#def-g4-numbers-classes) quand on franchit un million ?

**Solution de Exercice 21.8.**

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$ : le second pas franchit le million, et une nouvelle classe s’allume à gauche.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$ : même franchissement dès le premier pas.

**Exercice 21.9 ★.**

Un stade accueille $81\,338$ spectateurs. Un journal écrit « plus de $80\,000$ fans » ; une radio dit « environ $81\,000$ ». Les deux ont-ils raison ? À quelle place chacun a-t-il [arrondi](#def-g4-numbers-round) ?

**Solution de Exercice 21.9.**

Les deux ont raison. « Plus de $80\,000$ » arrondit vers le bas à la dizaine de milliers ($81\,338 \to 80\,000$) ; « environ $81\,000$ » arrondit au millier le plus proche ($81\,338 \to 81\,000$).

**Exercice 21.10 ★★.**

En utilisant chaque chiffre de $1$ à $7$ exactement une fois, écrire le plus grand nombre à sept chiffres possible, le plus petit, et celui le plus proche de $4\,000\,000$.

**Solution de Exercice 21.10.**

Le plus grand : $7\,654\,321$. Le plus petit : $1\,234\,567$. Le plus proche de $4\,000\,000$ : juste en dessous marche moins bien — $3\,765\,421$ est à $234\,579$, tandis que juste au-dessus, $4\,123\,567$, n’est qu’à $123\,567$ : le plus proche est $4\,123\,567$.

**Exercice 21.11 ★★.**

Quel est le plus grand nombre entier qui s’arrondit à $50\,000$ lorsqu’on arrondit au millier le plus proche ? Et le plus petit ?

**Solution de Exercice 21.11.**

L’[arrondi](#def-g4-numbers-round) au millier le plus proche donne $50\,000$ pour tous les nombres de $49\,500$ (mi-chemin [arrondi](#def-g4-numbers-round) vers le haut) à $50\,499$. Le plus grand : $50\,499$ ; le plus petit : $49\,500$.