--- title: "Multiplier de plus grands nombres" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 22 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/22-multiplier-de-plus-grands-nombres --- # Chapitre 22 — Multiplier de plus grands nombres L’année 3 multipliait par un chiffre ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/16-multiplication#ch-g3-mult)) ; ce chapitre multiplie par des nombres à deux chiffres — et explique la mystérieuse « ligne décalée » de la multiplication posée, qui n’est rien d’autre qu’un découpage en dizaines et unités. ## 22.1 Multiplier par des dizaines **Proposition 22.1 (Fois 10, 20, 300 …).** Multiplier par $10$ ajoute un [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero), par $100$ deux [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero). Pour multiplier par $20$, on multiplie par $2$, puis par $10$ : $$ 36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 . $$ De même $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$. **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ ## 22.2 La multiplication posée à deux chiffres **Exemple 22.2 (Pourquoi la ligne décalée ?).** Pour calculer $23 \times 12$, on découpe $12$ en $10 + 2$ : $$ 23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 . $$ La multiplication posée écrit exactement ces deux [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def), l’un sous l’autre — le second décalé à gauche parce que c’est un nombre de *dizaines* : $$ \begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array} $$ (le point marque la place des unités de la ligne décalée, souvent laissée vide). ![L’image du rectangle pour 23 × 12 : quatre produits faciles, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. La multiplication posée les regroupe en deux lignes : 46 (la ligne « × 2 ») et 230 (la ligne « × 10 »).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-mult/fig-cb4114601663.svg) *L’image du rectangle pour $23 \times 12$ : quatre [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) faciles, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$. La multiplication posée les regroupe en deux lignes : $46$ (la ligne « $\times 2$ ») et $230$ (la ligne « $\times 10$ »).* **Méthode 22.3 (Multiplication posée par un nombre à deux chiffres).** Pour calculer $457 \times 36$ : 1. première ligne : $457 \times 6 = 2\,742$ ; 2. deuxième ligne : $457 \times 3$ *dizaines* $= 1\,371$ dizaines — on écrit $1\,371$ décalé d’une place à gauche ; 3. on additionne les deux lignes : $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ; 4. on estime pour vérifier : $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Mieux : $450 \times 36$ fait environ $16\,000$ — plausible. $$ \begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array} $$ **Exemple 22.4 (Astuces de calcul mental).** - *Découper le plus simple* : $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ . - *Utiliser une centaine proche* : $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ . - *Doubler et diviser par deux* : $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (diviser un facteur par deux et doubler l’autre conserve le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) ). ## 22.3 La multiplication dans les problèmes **Exemple 22.5.** Une école commande $28$ boîtes de $145$ feuilles de papier. 1. Opération : $145 \times 28$ . 2. Estimation : $150 \times 30 = 4\,500$ , un peu trop des deux côtés. 3. Posée : $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ dizaines $= 2\,900$ ; total $4\,060$ . 4. Phrase : l’école reçoit $4\,060$ feuilles. ## 22.4 Exercices **Exercice 22.1 ★.** Calculer mentalement : $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$. **Solution de Exercice 22.1.** $470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$. **Exercice 22.2 ★.** Calculer $34 \times 21$ en découpant comme dans [Exemple 22.2](#ex-g4-mult-why) ($34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$), puis vérifier en posant. **Solution de Exercice 22.2.** $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; la posée donne les mêmes lignes : $34$ et $680$. **Exercice 22.3 ★.** Calculer en posant : $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$. **Solution de Exercice 22.3.** $63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$. **Exercice 22.4 ★.** Calculer en posant, avec une estimation d’abord : $208 \times 34$ ; $517 \times 62$. **Solution de Exercice 22.4.** $208 \times 34$ : estimation $200 \times 34 = 6\,800$ ; exact $7\,072$. $517 \times 62$ : estimation $500 \times 60 = 30\,000$ ; exact $32\,054$. **Exercice 22.5 ★.** Calculer avec une astuce de [Exemple 22.4](#ex-g4-mult-tricks) : $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (doubler et diviser par deux — deux fois si on veut). **Solution de Exercice 22.5.** $45 \times 11 = 450 + 45 = 495$. $32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$. $24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (ou encore une fois : $6 \times 180 = 1\,080$). **Exercice 22.6 ★.** Un cinéma a $26$ rangées de $18$ sièges. Combien de sièges en tout ? **Solution de Exercice 22.6.** $26 \times 18 = 468$ sièges. **Exercice 22.7 ★.** Un camion transporte $32$ palettes de $48$ caisses. Combien de caisses ? Donner d’abord une estimation, puis la réponse exacte. **Solution de Exercice 22.7.** Estimation : $30 \times 50 = 1\,500$. Exact : $32 \times 48 = 1\,536$ caisses. **Exercice 22.8 ★.** Trouver l’erreur : Ana calcule $57 \times 23$ comme $57 \times 3 = 171$ et $57 \times 2 = 114$, puis additionne $171 + 114 = 285$. La bonne réponse est $1\,311$. Qu’a-t-elle oublié ? **Solution de Exercice 22.8.** Elle a oublié que le $2$ de $23$ compte des *dizaines* : la deuxième ligne doit être $57 \times 20 = 1\,140$, et non $114$. Total correct : $171 + 1\,140 = 1\,311$. **Exercice 22.9 ★★.** Un jardinier plante $14$ rangées de $35$ tulipes et $12$ rangées de $28$ jonquilles. Combien de fleurs en tout ? (Deux [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def), puis une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def).) **Solution de Exercice 22.9.** Tulipes : $14 \times 35 = 490$. Jonquilles : $12 \times 28 = 336$. Total : $490 + 336 = 826$ fleurs. **Exercice 22.10 ★★.** Chaque jour, une boulangerie utilise $67$ kg de farine. Environ combien de farine pour un mois de $30$ jours — estimer avec des nombres [arrondis](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres#def-g4-numbers-round), puis calculer exactement. **Solution de Exercice 22.10.** Estimation : $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Exact : $67 \times 30 = 2\,010$ kg. **Exercice 22.11 ★★.** Expliquer, avec un dessin de rectangle comme celui de ce chapitre, pourquoi $15 \times 12$ peut se calculer comme $15 \times 10 + 15 \times 2$. Puis inventer un autre découpage de $15 \times 12$ qui fonctionne aussi. **Solution de Exercice 22.11.** Un rectangle $15 \times 12$ de carreaux unitaires peut être coupé par une ligne verticale en une partie $15 \times 10$ et une partie $15 \times 2$ : compter chaque partie donne $150 + 30 = 180$. Une autre découpe fonctionne aussi bien, par exemple $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$. Toute façon de découper le rectangle laisse le nombre total de carreaux inchangé.