--- title: "La division" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 23 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/23-la-division --- # Chapitre 23 — La division L’année 3 divisait avec les tables et de petits [restes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#ch-g3-division)) ; ce chapitre installe la méthode écrite complète — la division posée — qui traite n’importe quel nombre, groupe de chiffres par groupe de chiffres. ## 23.1 La méthode de la division posée **Méthode 23.1 (Division posée par un nombre à un chiffre).** Pour diviser $749$ par $6$ : 1. on prend le chiffre le plus à gauche, $7$ (centaines) : $6$ rentre $1$ fois dans $7$ ; on écrit $1$ au [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) , on soustrait $6$ , [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $1$ ; 2. on *abaisse* le chiffre suivant, $4$ : on divise maintenant $14$ (dizaines) : $6 \times 2 = 12$ ; on écrit $2$ , [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $2$ ; 3. on abaisse le $9$ : on divise $29$ : $6 \times 4 = 24$ ; on écrit $4$ , [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $5$ ; 4. plus de chiffre : le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est $124$ , le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $5$ . Vérification : $6 \times 124 + 5 = 744 + 5 = 749$, et $5 < 6$. ![La division posée de 749 par 6, écrite en entier : chaque soustraction apparaît, chaque chiffre reste dans sa colonne, et les flèches grises montrent les chiffres que l’on abaisse.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-division/fig-4de829ed4a46.svg) *La division posée de $749$ par $6$, écrite en entier : chaque soustraction apparaît, chaque chiffre reste dans sa colonne, et les flèches grises montrent les chiffres que l’on abaisse.* **Exemple 23.2 (Un zéro au quotient).** Diviser $618$ par $3$ : centaines, $6 \div 3 = 2$ ; dizaines, on abaisse le $1$ : $3$ rentre $0$ fois dans $1$ — *on écrit le* $0$ ! — [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $1$ ; unités, on abaisse le $8$ : $18 \div 3 = 6$. [Quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $206$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$. Oublier le [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) du milieu (écrire $26$) est l’erreur classique ; la vérification $3 \times 26 = 78 \neq 618$ la rattrape aussitôt. **Exemple 23.3 (Estimer la taille du quotient).** Avant de diviser $749$ par $6$, on encadre la réponse : $6 \times 100 = 600$ et $6 \times 200 = 1\,200$, donc le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est entre $100$ et $200$ — il aura trois chiffres. Cette estimation d’une ligne évite la plupart des erreurs de place. ## 23.2 Choisir ce que la question demande **Méthode 23.4 (Quotient, reste, ou quotient plus un).** Comme dans [Méthode 17.5](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#met-g3-division-interpret), c’est l’histoire qui décide : 1. « combien de …complets » ou « combien chacun » : le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) ; 2. « combien il reste » : le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) ; 3. « combien de contenants pour tout » : le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) , plus un si le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) n’est pas [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) . **Exemple 23.5.** $530$ livres doivent être emballés dans des cartons de $8$. $$ 530 = 8 \times 66 + 2 . $$ Combien de cartons *pleins* ? $66$. Combien de livres ne sont pas dans un carton plein ? $2$. Combien de cartons pour emballer *tous* les livres ? $67$. Trois questions, une division. **Exemple 23.6 (Partage équitable d’argent).** Quatre amis partagent équitablement le coût d’un cadeau de $92$ : $92 \div 4 = 23$ exactement ([reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$). Chacun paie $23$. Quand le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero), la division « tombe juste » et le partage est parfaitement équitable. ## 23.3 Exercices **Exercice 23.1 ★.** Encadrer chaque [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) comme dans [Exemple 23.3](#ex-g4-division-size) (entre quels deux nombres « ronds » ?), puis calculer la division posée : $96 \div 4$ ; $87 \div 5$. **Solution de Exercice 23.1.** $96 \div 4$ : entre $4 \times 20 = 80$ et $4 \times 30 = 120$, donc le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) a deux chiffres ; la division posée donne $24$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$. $87 \div 5$ : entre $5 \times 10 = 50$ et $5 \times 20 = 100$ ; [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $17$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $2$ ($87 = 5 \times 17 + 2$). **Exercice 23.2 ★.** Calculer les divisions posées et vérifier chacune : $672 \div 4$ ; $925 \div 7$ ; $804 \div 6$. **Solution de Exercice 23.2.** $672 \div 4 = 168$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ (vérif. : $4 \times 168 = 672$). $925 \div 7 = 132$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $1$ (vérif. : $7 \times 132 + 1 = 925$). $804 \div 6 = 134$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ (vérif. : $6 \times 134 = 804$). **Exercice 23.3 ★.** Attention au [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) (voir [Exemple 23.2](#ex-g4-division-zero)) : $816 \div 4$ ; $420 \div 7$ ; $2\,512 \div 5$. **Solution de Exercice 23.3.** $816 \div 4 = 204$ (l’étape des dizaines est $1 \div 4$ : [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) fois — écrire le $0$). $420 \div 7 = 60$. $2\,512 \div 5 = 502$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $2$ (vérif. : $5 \times 502 + 2 = 2\,512$). **Exercice 23.4 ★.** Écrire l’égalité de vérification ($a = b \times q + r$) pour : $85 \div 9$ ; $1\,000 \div 3$. **Solution de Exercice 23.4.** $85 = 9 \times 9 + 4$ ([quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $9$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $4$). $1\,000 = 3 \times 333 + 1$. **Exercice 23.5 ★.** $156$ œufs sont mis dans des boîtes de $6$. Combien de boîtes sont remplies ? **Solution de Exercice 23.5.** $156 \div 6 = 26$ : vingt-six boîtes sont remplies, rien ne reste. **Exercice 23.6 ★.** Un ruban de $250$ cm est découpé en morceaux de $8$ cm. Combien de morceaux, et quelle longueur reste-t-il ? **Solution de Exercice 23.6.** $250 = 8 \times 31 + 2$ : trente et un morceaux, et $2$ cm de ruban restant. **Exercice 23.7 ★.** $375$ élèves vont à un spectacle en bus de $52$ places. Combien de bus faut-il ? (Quel cas de [Méthode 23.4](#met-g4-division-interpret) est-ce ? Diviser par $52$ en utilisant les multiples : $52 \times 7 = 364$.) **Solution de Exercice 23.7.** $375 = 52 \times 7 + 11$ : sept bus transportent $364$ élèves, $11$ restent — le cas « plus un » : $8$ bus sont nécessaires. **Exercice 23.8 ★.** Trois amis se partagent équitablement $234$ billes. Combien de billes chacun ? Vérifier avec une multiplication. **Solution de Exercice 23.8.** $234 \div 3 = 78$ : chacun obtient $78$ billes. Vérif. : $3 \times 78 = 234$. **Exercice 23.9 ★.** Trouver le dividende : la division par $7$ donne le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $58$ et le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $3$. **Solution de Exercice 23.9.** Dividende $= 7 \times 58 + 3 = 406 + 3 = 409$. **Exercice 23.10 ★★.** Un bibliothécaire range $438$ livres, $9$ par étagère. Les étagères viennent par bibliothèques de $6$ étagères. Combien d’étagères faut-il ? Combien de bibliothèques doit-on acheter ? (Deux divisions, toutes deux avec une question « plus un ».) **Solution de Exercice 23.10.** Étagères : $438 = 9 \times 48 + 6$ : $48$ étagères pleines et $6$ livres de plus — $49$ étagères sont nécessaires. Bibliothèques : $49 = 6 \times 8 + 1$ : huit bibliothèques pleines et une étagère en plus — $9$ bibliothèques doivent être achetées. **Exercice 23.11 ★★.** Dans une division par $8$, le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est égal au [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder). Quels sont les dividendes possibles ? Les lister tous. (Le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) doit rester strictement inférieur à $8$.) **Solution de Exercice 23.11.** [Quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $=$ [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $= r$ avec $r < 8$, donc $r$ vaut $0, 1, \dots, 7$ et le dividende est $8r + r = 9r$ : les dividendes possibles sont $0$, $9$, $18$, $27$, $36$, $45$, $54$, $63$.