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title: "Droites et polygones"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 26
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones
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# Chapitre 26 — Droites et polygones

Avec une règle, une équerre et un compas, la géométrie devient un métier. Ce chapitre enseigne les deux positions spéciales des droites — [perpendiculaires](#def-g4-geometry-def) et [parallèles](#def-g4-geometry-def) — au niveau des outils, et fait un tour de la famille des [polygones](#def-g4-geometry-polygon). (La théorie de ces notions arrive dans [Chapitre 40](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#ch-g6-lines).)

## 26.1 Perpendiculaires et parallèles

**Définition 26.1 (Perpendiculaires, parallèles).**

Deux droites sont *perpendiculaires* lorsqu’elles se croisent en formant un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) (vérifié avec l’équerre, marqué d’un petit carré). Deux droites sont *parallèles* lorsqu’elles vont dans la même direction et ne se croisent jamais — comme les deux rails d’une voie, toujours à la même distance l’un de l’autre.

**Méthode 26.2 (Tracer avec l’équerre).**

*[Perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à une droite $d$ passant par un point $P$* : poser un côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) le long de $d$, glisser jusqu’à ce que l’autre côté atteigne $P$, tracer.

*[Parallèle](#def-g4-geometry-def) à $d$ passant par $P$* : poser un côté de l’équerre le long de $d$, appuyer la règle contre un autre côté comme un rail, faire glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à $P$, tracer.

![Les deux constructions. Les droites parallèles gardent un écart constant : mesurer l’écart en deux endroits est une bonne vérification.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-8942c07f68f3.svg)

*Les deux constructions. Les [droites parallèles](#def-g4-geometry-def) gardent un écart constant : mesurer l’écart en deux endroits est une bonne vérification.*

**Exemple 26.3 (Les repérer dans les figures).**

Dans un rectangle, chaque côté est [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à ses deux voisins et [parallèle](#def-g4-geometry-def) au côté opposé. Le papier quadrillé est un réseau tout prêt de [parallèles](#def-g4-geometry-def) et de [perpendiculaires](#def-g4-geometry-def) — c’est ce qui le rend si confortable pour dessiner.

## 26.2 Polygones

**Définition 26.4 (Polygone).**

Un *polygone* est une figure fermée dont le bord est formé de segments de droite, ses *côtés* ; les points de coin sont les *sommets*. Les polygones se nomment d’après leur nombre de côtés : *triangle* ($3$), *quadrilatère* ($4$), *pentagone* ($5$), *hexagone* ($6$), *octogone* ($8$).

![La famille des polygones (le pentagone et l’hexagone dessinés ici sont réguliers : côtés égaux et angles égaux). Un cercle n’est pas un polygone : son bord n’est pas fait de segments.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-36bc8d087cbb.svg)

*La famille des [polygones](#def-g4-geometry-polygon) (le [pentagone](#def-g4-geometry-polygon) et l’[hexagone](#def-g4-geometry-polygon) dessinés ici sont *réguliers* : côtés égaux et angles égaux). Un cercle n’est pas un [polygone](#def-g4-geometry-polygon) : son bord n’est pas fait de segments.*

**Exemple 26.5 (Décrire un polygone).**

Un jeu utile : décrire une figure si précisément qu’un camarade puisse la redessiner sans la voir. « Un [quadrilatère](#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ avec $AB = 5$ cm, l’angle en $A$ droit, $AD = 3$ cm … » — le vocabulaire est ce qui fait fonctionner le message.

## 26.3 Le cercle et le compas

**Définition 26.6 (Cercle).**

Le *cercle* de centre $O$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm est l’ensemble de tous les points situés exactement à $3$ cm de $O$. Le compas le trace : pointe sur $O$, ouverture $3$ cm, on tourne. Un *diamètre* est un segment passant par le centre et joignant deux points du cercle ; il mesure deux fois le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes).

**Exemple 26.7 (Le compas comme garde-distance).**

Le compas fait plus que tracer des cercles : il *transporte des distances*. Pour marquer tous les points à $4$ cm d’un point $A$, on trace le cercle de centre $A$, [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm ; pour comparer deux segments sans règle, on ouvre le compas sur l’un et on le teste sur l’autre.

**Méthode 26.8 (Reproduire une figure sur un quadrillage).**

1. Choisir un [sommet](#def-g4-geometry-polygon) de départ et sa position sur le quadrillage vierge ;
2. parcourir la figure [sommet](#def-g4-geometry-polygon) par [sommet](#def-g4-geometry-polygon) , en comptant les pas du quadrillage (« $3$ à droite, $2$ en haut ») ;
3. joindre les [sommets](#def-g4-geometry-polygon) dans l’ordre, et comparer au modèle : mêmes longueurs, mêmes directions.

## 26.4 Exercices

**Exercice 26.1 ★.**

Tracer une droite $d$ et un point $P$ hors de $d$. Construire la [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à $d$ passant par $P$, puis la [parallèle](#def-g4-geometry-def) à $d$ passant par $P$ (avec la méthode règle-rail). Marquer l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle).

**Solution de Exercice 26.1.**

Constructions avec [Méthode 26.2](#met-g4-geometry-draw) ; le petit carré marque l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) entre $d$ et la [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def).

**Exercice 26.2 ★.**

Regarder les lettres capitales E, H, N, T, Z. Dans chacune, trouver une paire de traits [parallèles](#def-g4-geometry-def) et une paire de traits [perpendiculaires](#def-g4-geometry-def) lorsqu’elles existent.

**Solution de Exercice 26.2.**

E : les trois traits horizontaux sont [parallèles](#def-g4-geometry-def) ; chacun est [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) au vertical. H : les deux traits verticaux sont [parallèles](#def-g4-geometry-def), la barre transversale est [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) aux deux. N : les deux traits verticaux sont [parallèles](#def-g4-geometry-def) ; la diagonale n’est ni [parallèle](#def-g4-geometry-def) ni [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def). T : les deux traits sont [perpendiculaires](#def-g4-geometry-def). Z : les traits du haut et du bas sont [parallèles](#def-g4-geometry-def) ; la diagonale n’est ni l’un ni l’autre.

**Exercice 26.3 ★.**

Nommer chaque [polygone](#def-g4-geometry-polygon) : $6$ côtés ; $4$ côtés ; $3$ côtés ; $8$ côtés ; $5$ côtés. Combien de *[sommets](#def-g4-geometry-polygon)* chacun a-t-il ?

**Solution de Exercice 26.3.**

[Hexagone](#def-g4-geometry-polygon) ; [quadrilatère](#def-g4-geometry-polygon) ; triangle ; [octogone](#def-g4-geometry-polygon) ; [pentagone](#def-g4-geometry-polygon). Un [polygone](#def-g4-geometry-polygon) a autant de [sommets](#def-g4-geometry-polygon) que de côtés : $6$, $4$, $3$, $8$, $5$.

**Exercice 26.4 ★.**

Dessiner un [pentagone](#def-g4-geometry-polygon) quelconque (pas nécessairement régulier) et étiqueter ses [sommets](#def-g4-geometry-polygon) $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Combien de côtés a-t-il ? Tracer ses diagonales issues de $A$ (segments joignant $A$ à des [sommets](#def-g4-geometry-polygon) non voisins) : combien y en a-t-il ?

**Solution de Exercice 26.4.**

Un [pentagone](#def-g4-geometry-polygon) a $5$ côtés. Depuis $A$, les non-voisins sont $C$ et $D$ : deux diagonales, $[AC]$ et $[AD]$.

**Exercice 26.5 ★.**

Tracer un cercle de centre $O$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm ; un [diamètre](#def-g4-geometry-circle) $[AB]$ ; et un point $M$ du cercle non situé sur $[AB]$. Donner les longueurs $OA$, $OM$ et $AB$ sans mesurer.

**Solution de Exercice 26.5.**

$OA = 4$ cm ([rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes)) ; $OM = 4$ cm (tout point du cercle) ; $AB = 8$ cm (un [diamètre](#def-g4-geometry-circle) vaut deux fois le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes)).

**Exercice 26.6 ★.**

Avec le compas comme garde-distance ([Exemple 26.7](#ex-g4-geometry-compass)), comparer les côtés d’un triangle dessiné par un camarade et décider s’il a deux côtés égaux.

**Solution de Exercice 26.6.**

Ouvrir le compas le long d’un côté, puis reporter cette ouverture sur les deux autres côtés : si l’écart pointe-crayon s’ajuste exactement à un second côté, ces deux côtés sont égaux.

**Exercice 26.7 ★.**

Sur papier quadrillé, reproduire ce chemin et le fermer en [polygone](#def-g4-geometry-polygon) : partir d’un point $A$ ; aller $4$ à droite ; $2$ en haut ; $3$ à gauche ; $2$ en haut ; puis revenir en $A$ en ligne droite. Quel est le nom du [polygone](#def-g4-geometry-polygon) obtenu (compter ses côtés) ?

**Solution de Exercice 26.7.**

Le chemin se ferme en un [polygone](#def-g4-geometry-polygon) à $5$ côtés — un [pentagone](#def-g4-geometry-polygon) (pas régulier !).

**Exercice 26.8 ★.**

Vrai ou faux ? Expliquer avec un dessin. « Deux [droites perpendiculaires](#def-g4-geometry-def) se croisent toujours. » « Deux [droites parallèles](#def-g4-geometry-def) ne se croisent jamais. » « Une droite peut être [parallèle](#def-g4-geometry-def) à une droite et [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à une autre. »

**Solution de Exercice 26.8.**

« Les [droites perpendiculaires](#def-g4-geometry-def) se croisent toujours » : vrai — elles se croisent à l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) lui-même.

« Les [droites parallèles](#def-g4-geometry-def) ne se croisent jamais » : vrai — c’est leur définition.

« Une droite peut être [parallèle](#def-g4-geometry-def) à une droite et [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à une autre » : vrai — sur papier quadrillé, une droite horizontale est [parallèle](#def-g4-geometry-def) à toute droite horizontale et [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à toute droite verticale.

**Exercice 26.9 ★★.**

Tracer une droite $d$, puis une droite $e$ [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à $d$, puis une droite $f$ [perpendiculaire](#def-g4-geometry-def) à $e$. Regarder $d$ et $f$ : que remarque-t-on ? (Cette observation devient un théorème dans [Chapitre 40](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#ch-g6-lines).)

**Solution de Exercice 26.9.**

Les droites $d$ et $f$ semblent [parallèles](#def-g4-geometry-def) — et elles le sont toujours : deux [droites perpendiculaires](#def-g4-geometry-def) à une même droite sont [parallèles](#def-g4-geometry-def) ([Proposition 40.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#prop-g6-lines-facts) le rend officiel).

**Exercice 26.10 ★★.**

Décrire la figure ci-dessous en mots pour un camarade, sans la montrer : un carré de côté $4$ cm, avec un cercle de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm centré au milieu du carré (touchant les quatre côtés). Écrire la description sous forme d’instructions numérotées.

**Solution de Exercice 26.10.**

Un programme correct : « 1. Tracer un carré $ABCD$ de côté $4$ cm. 2. Marquer le point $O$ où ses diagonales se croisent. 3. Tracer le cercle de centre $O$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm. » Le cercle touche chaque côté en son milieu.

**Exercice 26.11 ★★.**

Combien de diagonales a un [quadrilatère](#def-g4-geometry-polygon) ? Un [pentagone](#def-g4-geometry-polygon) ? Un [hexagone](#def-g4-geometry-polygon) ? Dessiner les trois cas, compter soigneusement, et décrire le motif observé.

**Solution de Exercice 26.11.**

[Quadrilatère](#def-g4-geometry-polygon) : $2$ diagonales. [Pentagone](#def-g4-geometry-polygon) : $5$. [Hexagone](#def-g4-geometry-polygon) : $9$. Chaque nouveau [sommet](#def-g4-geometry-polygon) ajoute de plus en plus de diagonales — les comptes croissent de plus en plus vite ($+3$, puis $+4$, …).