--- title: "La symétrie" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 27 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/27-la-symetrie --- # Chapitre 27 — La symétrie Papillons, visages, flocons de neige : la nature aime les figures dont les deux [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) coïncident quand on les plie. Ce chapitre explore la symétrie avec des plis et du papier quadrillé — les constructions à l’équerre attendent [Chapitre 42](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#ch-g6-symmetry). ## 27.1 Plier et faire coïncider **Définition 27.1 (Axe de symétrie).** Une droite est un *axe de symétrie* d’une figure lorsque le pliage de la figure le long de cette droite fait coïncider les deux [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) *exactement*. Une figure peut n’avoir aucun axe, un seul, ou plusieurs. ![Plier le long du trait en pointillés : les moitiés coïncident. Le dernier triangle n’a aucun pli qui fonctionne — pas d’axe de symétrie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-65b1c6dcaaf0.svg) *Plier le long du trait en pointillés : les [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) coïncident. Le dernier triangle n’a aucun pli qui fonctionne — pas d’[axe de symétrie](#def-g4-symmetry-def).* **Exemple 27.2 (Tester avec du papier calque).** Calquer la figure, retourner le calque le long de l’axe candidat, et le reposer : si le calque recouvre exactement la figure, l’axe est authentique. L’œil seul se trompe souvent — la diagonale d’un rectangle *semble* un axe, mais le test du pli dit non (essayez !). ## 27.2 Compléter des figures sur un quadrillage **Méthode 27.3 (Symétrique d’une figure par rapport à une ligne du quadrillage).** L’axe est une ligne verticale (ou horizontale) du quadrillage. 1. Prendre chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) de la figure à tour de rôle ; 2. compter sa distance à l’axe en carreaux ; 3. placer le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) image à la *même* distance de *l’autre* côté, sur la même ligne (ou colonne) ; 4. joindre les [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) images dans le même ordre, et vérifier : l’image est le jumeau miroir de la figure. ![Compléter par rapport à l’axe rouge : chaque sommet saute à la même distance de l’autre côté. Les sommets touchant l’axe resteraient en place.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-7196aa6feb76.svg) *Compléter par rapport à l’axe rouge : chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) saute à la même distance de l’autre côté. Les [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) touchant l’axe resteraient en place.* **Exemple 27.4 (Même forme, même taille, retournée).** L’image a exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles que l’original : la symétrie copie la figure — mais la retourne, comme une main gauche et une main droite. Si la lettre originale est un F, son image miroir est un F à l’envers, pas un autre F. ## 27.3 Axes des formes usuelles **Exemple 27.5 (Compter les axes).** En pliant : - un carré : $4$ axes (deux par les milieux des côtés opposés, deux le long des diagonales) ; - un rectangle : $2$ axes (milieux des côtés opposés seulement !) ; - un triangle isocèle : $1$ ; un triangle équilatéral : $3$ ; - un cercle : toute droite passant par son centre — plus d’axes qu’on ne peut en compter. **Exemple 27.6 (Symétrie dans l’alphabet).** A, M, T, U, V ont un axe vertical ; B, C, D, E en ont un horizontal ; H, I, O, X ont les deux. Des mots faits des bonnes lettres peuvent aussi être symétriques : MUM a un axe vertical ; OXO marche dans les deux sens. ## 27.4 Exercices **Exercice 27.1 ★.** Calquer et plier : lesquelles de ces figures ont un [axe de symétrie](#def-g4-symmetry-def) — un carré ; un rectangle (non carré) ; un triangle scalène (tous les côtés différents) ; un cercle ? **Solution de Exercice 27.1.** Carré : oui ($4$ axes). Rectangle : oui ($2$). Triangle scalène : aucun pli ne fonctionne. Cercle : oui — toute droite passant par le centre. **Exercice 27.2 ★.** Dessiner les [axes de symétrie](#def-g4-symmetry-def) de : un carré ; un rectangle ; un triangle équilatéral. Combien pour chacun ? **Solution de Exercice 27.2.** Carré : $4$ (deux médianes, deux diagonales). Rectangle : $2$ (les médianes seulement). Triangle équilatéral : $3$ (une par chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon)). **Exercice 27.3 ★.** Utiliser le test du papier calque de [Exemple 27.2](#ex-g4-symmetry-trace) pour montrer que la diagonale d’un rectangle $6 \times 4$ *n’est pas* un [axe de symétrie](#def-g4-symmetry-def). **Solution de Exercice 27.3.** En pliant le long de la diagonale, les deux [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) triangulaires ont la même forme mais ne se superposent pas — l’une est « tournée du mauvais côté » : le calque se pose à côté de la figure, pas dessus. Donc la diagonale n’est pas un axe. **Exercice 27.4 ★.** Sur papier quadrillé, dessiner un axe vertical et la lettre L (trois carreaux de haut, deux de large) à $2$ carreaux de l’axe. Construire son image miroir. **Solution de Exercice 27.4.** Le L image est à $2$ carreaux de *l’autre* côté de l’axe, écrit à l’envers (un L miroir), mêmes dimensions. **Exercice 27.5 ★.** Sur papier quadrillé, dessiner un axe horizontal et un petit drapeau (un triangle $1 \times 1$ sur un mât de $3$ carreaux) au-dessus. Compléter la figure par symétrie sous l’axe. **Solution de Exercice 27.5.** La figure complétée montre le drapeau et son reflet à l’envers sous l’axe, mât sous mât. **Exercice 27.6 ★.** Une figure touche son [axe de symétrie](#def-g4-symmetry-def) en un point $P$. Où se trouve l’image de $P$ ? Expliquer avec l’image du pliage. **Solution de Exercice 27.6.** $P$ ne bouge pas : plier le long de l’axe laisse tout point *sur* l’axe exactement où il est — $P$ est sa propre image. **Exercice 27.7 ★.** Classer les lettres capitales A, B, E, F, H, N, O, T : axe vertical ? axe horizontal ? les deux ? aucun ? **Solution de Exercice 27.7.** Axe vertical : A, H, O, T. Axe horizontal : B, E, H, O. Les deux : H, O. Aucun : F, N. **Exercice 27.8 ★.** Un triangle a pour côtés $5$ cm, $5$ cm et $3$ cm. A-t-il un [axe de symétrie](#def-g4-symmetry-def) ? Quels côtés le pli échange-t-il ? **Solution de Exercice 27.8.** Oui : le triangle est isocèle, et son axe passe par le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) entre les deux côtés de $5$ cm et par le milieu de la base de $3$ cm. Le pli échange les deux côtés égaux. **Exercice 27.9 ★★.** Sur papier quadrillé, dessiner une figure de son invention qui a *exactement deux* [axes de symétrie](#def-g4-symmetry-def), et tracer les deux axes. (Indice : penser à un rectangle, ou à une croix.) **Solution de Exercice 27.9.** Toute figure avec exactement deux axes convient : un rectangle (non carré), un signe plus aux bras de deux longueurs différentes (horizontal long, vertical court), un ovale. Les deux axes se croisent toujours au centre de la figure. **Exercice 27.10 ★★.** La [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un dessin symétrique est donnée : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) gauche d’une maison (un mur carré et la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un toit triangulaire), avec un axe vertical le long de son bord droit. Décrire ou dessiner la maison complète. Comment les longueurs de la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) droite complétée se comparent-elles à celles de la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) gauche ? **Solution de Exercice 27.10.** La maison complète est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) gauche plus son jumeau miroir : un mur deux fois plus large que le demi-mur, sous un toit triangulaire complet. Chaque longueur à droite égale son partenaire à gauche — la symétrie copie exactement les longueurs. **Exercice 27.11 ★★.** Aya affirme : « tout triangle avec deux côtés égaux a un [axe de symétrie](#def-g4-symmetry-def), et tout triangle avec un [axe de symétrie](#def-g4-symmetry-def) a deux côtés égaux. » Tester sa double affirmation sur des dessins : un triangle isocèle, un équilatéral, un scalène. Le pliage la soutient-il ? **Solution de Exercice 27.11.** Les dessins soutiennent les deux sens : le triangle isocèle se plie le long de la droite passant par son [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) (deux côtés égaux $\to$ axe) ; l’équilatéral se plie de trois façons ; le scalène n’a pas d’axe (pas de côtés égaux $\to$ pas d’axe). La double affirmation d’Aya est juste — elle sera prouvée dans [Chapitre 42](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#ch-g6-symmetry).