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title: "Mesures et périmètre"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 28
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre
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# Chapitre 28 — Mesures et périmètre

L’année 3 mesurait avec règles, balances et horloges ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/19-mesures#ch-g3-measure)) ; ce chapitre ajoute le tableau des unités — la machine qui convertit tout — et deux façons de mesurer une figure plane : la longueur de son bord ([périmètre](#def-g4-measure-perimeter)) et l’espace à l’intérieur ([aire](#def-g4-measure-area), comptée en carreaux pour l’instant).

## 28.1 Le tableau des unités

**Méthode 28.1 (Convertir avec le tableau).**

Pour les longueurs, chaque colonne vaut dix de la suivante :

| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  | $3$ | $4$ | $0$ |  |

1. Écrire le nombre avec un chiffre par colonne, le chiffre des unités de la mesure dans la colonne de son unité (ici $3.4$ m : le $3$ sous m) ;
2. lire le nombre dans la nouvelle unité : $3.4$ m $= 340$ cm (remplir les colonnes vides avec des [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) ) ;
3. les [masses](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/12-argent-et-mesures#def-g2-measure-units) (kg … g) et les capacités (L … cL) fonctionnent de la même façon.

**Exemple 28.2.**

$5$ km $= 5\,000$ m ; $270$ cm $= 2.7$ m (le $2$ se place sous m) ; $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g ; $2.5$ L $= 250$ cL.

## 28.2 Périmètre

**Définition 28.3 (Périmètre).**

Le *périmètre* d’un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) est la longueur totale de son bord : on additionne les longueurs de tous ses côtés (dans la même unité !). Raccourcis pour les classiques :

$$
\text{rectangle~: } P = 2 \times (L + \ell),
\qquad
\text{carré~: } P = 4 \times c .
$$

**Exemple 28.4.**

Un jardin rectangulaire de $12$ m sur $7$ m :

$$
P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}
$$

de clôture. Un cadre photo carré de côté $18$ cm : $P = 4 \times 18 = 72$ cm.

## 28.3 Aire : compter les carreaux

**Définition 28.5 (Aire par comptage).**

L’*aire* d’une figure dessinée sur un quadrillage est le nombre de carreaux qu’elle couvre. Deux demi-carreaux comptent pour un. L’aire répond à « combien de surface », le [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) à « quelle longueur a le bord » — deux questions différentes !

![Deux figures sur le quadrillage : aires 8 et 6 carreaux. Maintenant parcourir les bords et compter les unités : 12 pour les deux ! Même périmètre, aires différentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-measure/fig-31ac0ade996f.svg)

*Deux figures sur le quadrillage : [aires](#def-g4-measure-area) $8$ et $6$ carreaux. Maintenant parcourir les bords et compter les unités : $12$ pour les deux ! Même [périmètre](#def-g4-measure-perimeter), [aires](#def-g4-measure-area) différentes.*

**Exemple 28.6 (Demi-carreaux).**

Un triangle rectangle dessiné sur le quadrillage avec des côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $4$ et $2$ couvre $3$ carreaux pleins et $2$ demi-carreaux … compter soigneusement : son [aire](#def-g4-measure-area) est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du rectangle $4 \times 2$, c’est-à-dire $4$ carreaux. Couper un rectangle le long de sa diagonale donne toujours deux triangles de même [aire](#def-g4-measure-area).

**Exemple 28.7 (Même aire, périmètres différents).**

Un carré $4 \times 4$ et un rectangle $8 \times 2$ couvrent tous deux $16$ carreaux — même [aire](#def-g4-measure-area). Bords : $16$ unités pour le carré, $20$ pour le rectangle. Ni l’une ni l’autre mesure ne détermine l’autre : une forme longue et fine a beaucoup de bord pour peu de surface.

## 28.4 Durées

**Méthode 28.8 (Additionner des temps en passant l’heure).**

Pour additionner ou soustraire des durées, on travaille par sauts à travers les heures pleines (rappel $1$ h $= 60$ min) :

$$
9\text{ h }40 + 35 \text{ min}:
\quad 9\text{ h }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ h }00
\xrightarrow{+15} 10\text{ h }15 .
$$

Ne jamais additionner les minutes au-delà de $60$ sans convertir : $40 + 35 = 75$ min $= 1$ h $15$ min.

**Exemple 28.9.**

Le train part à $8{:}47$ et arrive à $11{:}05$. Durée : $8{:}47 \to 9{:}00$ fait $13$ min ; $9{:}00 \to 11{:}00$ fait $2$ h ; $11{:}00 \to 11{:}05$ fait $5$ min. Total : $2$ h $18$ min.

## 28.5 Exercices

**Exercice 28.1 ★.**

Convertir avec le tableau des unités : $7$ m en cm ; $3.2$ km en m ; $85$ mm en cm ; $4\,500$ m en km.

**Solution de Exercice 28.1.**

$7$ m $= 700$ cm ; $3.2$ km $= 3\,200$ m ; $85$ mm $= 8.5$ cm ; $4\,500$ m $= 4.5$ km.

**Exercice 28.2 ★.**

Convertir : $2$ kg en g ; $1\,800$ g en kg et g ; $3.5$ L en cL ; $25$ cL en L.

**Solution de Exercice 28.2.**

$2$ kg $= 2\,000$ g ; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g ; $3.5$ L $= 350$ cL ; $25$ cL $= 0.25$ L.

**Exercice 28.3 ★.**

Calculer le [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) : un rectangle $9$ cm $\times$ $5$ cm ; un carré de côté $7.5$ cm ; un triangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm.

**Solution de Exercice 28.3.**

Rectangle : $2 \times (9 + 5) = 28$ cm. Carré : $4 \times 7.5 = 30$ cm. Triangle : $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

**Exercice 28.4 ★.**

Un rectangle a un [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) de $26$ cm et une longueur de $8$ cm. Trouver sa largeur (trouver d’abord longueur $+$ largeur).

**Solution de Exercice 28.4.**

Longueur $+$ largeur $= 26 \div 2 = 13$ cm, donc la largeur est $13 - 8 = 5$ cm.

**Exercice 28.5 ★.**

Sur papier quadrillé, dessiner une figure en L couvrant exactement $10$ carreaux, et compter les unités de son [périmètre](#def-g4-measure-perimeter).

**Solution de Exercice 28.5.**

De nombreuses formes en L conviennent ; pour un L de $10$ carreaux fait d’un rectangle $4 \times 2$ plus un pied $2 \times 1$, parcourir le bord donne $16$ unités. (Toute figure correcte et un comptage soigneux sont justes ; le [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) dépend du L choisi.)

**Exercice 28.6 ★.**

Dessiner deux rectangles différents d’[aire](#def-g4-measure-area) $12$ carreaux. Calculer le [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) de chacun. Lequel est « plus carré », lequel est « plus allongé » ?

**Solution de Exercice 28.6.**

$3 \times 4$ : [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) $14$. $2 \times 6$ : [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) $16$. ($1 \times 12$ : [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) $26$.) Plus on se rapproche d’un carré, plus le [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) est petit pour une même [aire](#def-g4-measure-area).

**Exercice 28.7 ★.**

Un triangle rectangle est dessiné sur le quadrillage avec des côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $6$ et $3$. Quelle est son [aire](#def-g4-measure-area) en carreaux ? (Utiliser [Exemple 28.6](#ex-g4-measure-half).)

**Solution de Exercice 28.7.**

[Moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du rectangle $6 \times 3$ : $18 \div 2 = 9$ carreaux.

**Exercice 28.8 ★.**

Calculer les durées : de $10{:}20$ à $12{:}45$ ; de $7{:}35$ à $9{:}10$. Un film dure $1$ h $50$ et commence à $20{:}30$ : à quelle heure se termine-t-il ?

**Solution de Exercice 28.8.**

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ h $25$ min. $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ h $35$ min. Film : $20{:}30 + 1$ h $50 = 22{:}20$.

**Exercice 28.9 ★.**

Kim court $3$ tours d’un terrain rectangulaire de $60$ m sur $45$ m. Combien de mètres court-elle ?

**Solution de Exercice 28.9.**

Un tour : $2 \times (60 + 45) = 210$ m. Trois tours : $3 \times 210 = 630$ m.

**Exercice 28.10 ★★.**

Un fermier veut clôturer un champ carré de côté $85$ m, en laissant un portail de $4$ m sans clôture. Combien de mètres de clôture doit-il acheter ?

**Solution de Exercice 28.10.**

[Périmètre](#def-g4-measure-perimeter) : $4 \times 85 = 340$ m ; moins le portail : $340 - 4 = 336$ m de clôture.

**Exercice 28.11 ★★.**

Vrai ou faux, avec des exemples sur le quadrillage : « si deux figures ont le même [périmètre](#def-g4-measure-perimeter), elles ont la même [aire](#def-g4-measure-area) » ; « si deux figures ont la même [aire](#def-g4-measure-area), elles ont le même [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) ». ([Exemple 28.7](#ex-g4-measure-samearea) et la figure du chapitre aideront.)

**Solution de Exercice 28.11.**

Les deux affirmations sont *fausses*. Même [périmètre](#def-g4-measure-perimeter), [aires](#def-g4-measure-area) différentes : le rectangle $4 \times 2$ et la forme en L de la figure du chapitre (tous deux [périmètre](#def-g4-measure-perimeter) $12$ ; [aires](#def-g4-measure-area) $8$ et $6$). Même [aire](#def-g4-measure-area), [périmètres](#def-g4-measure-perimeter) différents : le carré $4 \times 4$ et le rectangle $8 \times 2$ (tous deux [aire](#def-g4-measure-area) $16$ ; [périmètres](#def-g4-measure-perimeter) $16$ et $20$).