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title: "Calculer avec les décimaux"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 30
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/30-calculer-avec-les-decimaux
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# Chapitre 30 — Calculer avec les décimaux

Les nombres décimaux s’additionnent, se soustraient et se multiplient presque comme les entiers — tout l’art est de savoir où va la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point). Ce chapitre couvre les méthodes en colonnes et la magie de la multiplication ou de la division par $10$, $100$, $1000$. (Multiplier deux décimaux entre eux attend [Chapitre 38](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#ch-g6-decimals).)

## 30.1 Additionner et soustraire

**Méthode 30.1 (Colonnes avec une virgule).**

1. Écrire les nombres avec les *[virgules](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) alignées* (alors les unités sont sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes) ;
2. compléter la partie décimale plus courte avec des [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) ;
3. additionner ou soustraire comme avec les entiers ;
4. faire descendre la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) du résultat droit en bas.

**Exemple 30.2.**

$27.5 + 3.86$ (compléter $27.5 = 27.50$) :

$$
\begin{array}{r}
2\,7.5\,0 \\
+\ \ \ 3.8\,6 \\
\hline
3\,1.3\,6
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
1\,2.4\,0 \\
-\ \ \ 5.6\,5 \\
\hline
\ \ \,6.7\,5
\end{array}
$$

Pour la soustraction ($12.4 - 5.65$) : compléter, emprunter comme d’habitude, et vérifier en additionnant : $6.75 + 5.65 = 12.4$.

**Exemple 30.3 (Compléments mentaux).**

Que faut-il ajouter à $7.6$ pour atteindre $10$ ? Monter : $7.6 \to 8$ fait $0.4$, puis $8 \to 10$ fait $2$ : le complément est $2.4$. Pratique pour la monnaie : payer $10$ pour un article à $7.60$, recevoir $2.40$ de rendu.

## 30.2 Dix fois plus grand, dix fois plus petit

**Proposition 30.4 (Fois et divisé par 10, 100, 1000).**

Multiplier par $10$ fait valoir chaque chiffre dix fois plus : les chiffres glissent d’une place à gauche — ce qui ressemble à la *[virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) qui avance d’une place à droite*. Diviser fait l’inverse :

$$
3.47 \times 10 = 34.7, \qquad
3.47 \times 100 = 347, \qquad
52.1 \div 10 = 5.21, \qquad
6 \div 100 = 0.06 .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Multiplier par 10 : chaque chiffre monte d’une place à gauche. La virgule ne bouge pas vraiment — ce sont les chiffres qui bougent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-decimalops/fig-010efef9d9d2.svg)

*Multiplier par $10$ : chaque chiffre monte d’une place à gauche. La [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) ne bouge pas vraiment — ce sont les chiffres qui bougent.*

**Exemple 30.5 (Les conversions, encore).**

Les unités de mesure sont des puissances de dix les unes des autres, donc les conversions sont juste ces décalages : $2.35$ m $= 235$ cm ($\times 100$) ; $470$ g $= 0.47$ kg ($\div 1000$) ; $1.5$ L $= 150$ cL.

## 30.3 Multiplier un décimal par un entier

**Méthode 30.6 (Décimal fois entier).**

Calculer comme s’il n’y avait pas de [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point), puis donner au résultat autant de chiffres décimaux que le facteur décimal :

$$
4.35 \times 6: \quad 435 \times 6 = 2\,610
\ \to\ 4.35 \times 6 = 26.10 = 26.1 .
$$

Estimer pour placer la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) avec confiance : $4.35$ est proche de $4$, et $4 \times 6 = 24$ — donc $26.1$, ni $2.61$ ni $261$.

**Exemple 30.7 (L’addition répétée marche toujours).**

$0.75 \times 4 = 0.75 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 3$ : quatre [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) font un tout, en habits décimaux. Multiplier par un entier, c’est toujours « autant de fois ».

**Exemple 30.8 (Courses).**

Trois cahiers à $2.45$ chacun et un stylo à $1.20$ :

1. cahiers : $2.45 \times 3 = 7.35$ ;
2. total : $7.35 + 1.20 = 8.55$ ;
3. rendu sur $10$ : $10 - 8.55 = 1.45$ .

## 30.4 Exercices

**Exercice 30.1 ★.**

Calculer en colonnes : $45.7 + 8.93$ ; $16.25 + 3.75$ ; $0.86 + 12.4$.

**Solution de Exercice 30.1.**

$45.7 + 8.93 = 54.63$ ; $16.25 + 3.75 = 20$ ; $0.86 + 12.4 = 13.26$.

**Exercice 30.2 ★.**

Calculer en colonnes et vérifier : $9.4 - 2.72$ ; $20 - 13.45$ ; $6.03 - 5.9$.

**Solution de Exercice 30.2.**

$9.4 - 2.72 = 6.68$ (vérif. : $6.68 + 2.72 = 9.4$).

$20 - 13.45 = 6.55$ (vérif. : $6.55 + 13.45 = 20$).

$6.03 - 5.9 = 0.13$.

**Exercice 30.3 ★.**

Compléments mentaux à $10$ (comme dans [Exemple 30.3](#ex-g5-decimalops-complement)) : $6.2$ ; $3.75$ ; $9.99$.

**Solution de Exercice 30.3.**

$6.2 \to 10$ : $3.8$. $3.75 \to 10$ : $6.25$. $9.99 \to 10$ : $0.01$.

**Exercice 30.4 ★.**

Calculer sans colonnes :

$$
7.24 \times 10, \qquad
0.58 \times 100, \qquad
34.5 \div 10, \qquad
7 \div 100, \qquad
0.3 \times 1000 .
$$

**Solution de Exercice 30.4.**

$72.4$ ; $58$ ; $3.45$ ; $0.07$ ; $300$.

**Exercice 30.5 ★.**

Convertir : $4.05$ m en cm ; $325$ cm en m ; $0.6$ kg en g ; $85$ cL en L.

**Solution de Exercice 30.5.**

$4.05$ m $= 405$ cm ; $325$ cm $= 3.25$ m ; $0.6$ kg $= 600$ g ; $85$ cL $= 0.85$ L.

**Exercice 30.6 ★.**

Estimer d’abord, puis calculer : $6.2 \times 4$ ; $3.45 \times 8$ ; $12.5 \times 6$.

**Solution de Exercice 30.6.**

$6.2 \times 4$ : estimation $24$ ; exact $24.8$.

$3.45 \times 8$ : estimation $28$ ($3.5 \times 8$) ; exact $27.6$.

$12.5 \times 6$ : estimation $75$ ; exact $75$.

**Exercice 30.7 ★.**

Un tour de piste mesure $0.4$ km. Quelle longueur pour $7$ tours ? Et pour $25$ tours ?

**Solution de Exercice 30.7.**

$7$ tours : $0.4 \times 7 = 2.8$ km. $25$ tours : $0.4 \times 25 = 10$ km.

**Exercice 30.8 ★.**

Léa achète $2$ baguettes à $1.15$ chacune et un gâteau à $12.60$. Elle paie avec un billet de $20$. Calculer son total et sa monnaie.

**Solution de Exercice 30.8.**

Baguettes : $1.15 \times 2 = 2.30$. Total : $2.30 + 12.60 = 14.90$. Monnaie : $20 - 14.90 = 5.10$.

**Exercice 30.9 ★.**

Une bouteille contient $1.5$ L. Combien de litres dans un pack de $6$ bouteilles ? Une famille boit $0.75$ L par jour : pendant combien de jours un pack suffit-il ? (Combien de fois $0.75$ rentre-t-il dans $9$ ?)

**Solution de Exercice 30.9.**

Pack : $1.5 \times 6 = 9$ L. Jours : $0.75 + 0.75 = 1.5$ L tous les deux jours, donc $9$ L durent $12$ jours (douze portions de $0.75$ : $12 \times 0.75 = 9$).

**Exercice 30.10 ★★.**

Milo calcule $5.6 \times 3 = 15.18$, en raisonnant « $5 \times 3 = 15$ et $6 \times 3 = 18$ ». Utiliser une estimation pour montrer que la réponse est forcément fausse, puis calculer correctement.

**Solution de Exercice 30.10.**

Estimation : $5.6$ est plus que $5.5$, et $5.5 \times 3 = 16.5$ — donc le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) doit être *plus* que $16.5$, et $15.18$ est trop petit. Correctement : $56 \times 3 = 168$, un chiffre décimal, donc $5.6 \times 3 = 16.8$. Milo a collé ses deux [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) partiels ($15$ et $18$) côte à côte au lieu de les additionner avec leurs places : $15 + 1.8 = 16.8$.

**Exercice 30.11 ★★.**

Les quatre tours d’une coureuse ont pris $65.4$ s, $64.9$ s, $65.0$ s et $66.1$ s.

1. Calculer le temps total des quatre tours.
2. Le record pour quatre tours est $260$ s. L’a-t-elle battu ? De combien ?

**Solution de Exercice 30.11.**

*1.* $65.4 + 64.9 + 65.0 + 66.1 = 261.4$ s.

*2.* $261.4 > 260$ : elle n’a pas battu le record ; elle était à $1.4$ s au-dessus.