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title: "Les fractions comme nombres"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 31
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/31-les-fractions-comme-nombres
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# Chapitre 31 — Les fractions comme nombres

Une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) n’est pas seulement l’image d’une tarte : c’est un vrai *nombre*, avec une place sur la droite graduée — parfois la même place qu’un nombre décimal. Ce chapitre relie les deux mondes. (Les règles complètes du calcul fractionnaire arrivent dans [Chapitre 39](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#ch-g6-fractions) et au-delà.)

## 31.1 Fractions sur la droite, encore

**Exemple 31.1 (Placer et lire).**

Sur une droite découpée en cinquièmes, $\frac{7}{5}$ est à $7$ pas de $0$ : après $1$ (qui est $\frac55$), à $1 + \frac25$. Chaque [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) vit quelque part sur la droite ; un [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) plus grand (même [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def)) signifie plus à droite.

**Proposition 31.2 (Même point, plusieurs noms).**

Découper chaque part en deux (ou en trois …) ne déplace pas le point :

$$
\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10},
\qquad
\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.
$$

Multiplier (ou diviser) le [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) par le même nombre donne un autre nom de la même [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Trois barres, trois noms, une même quantité : 1/2 = 2/4 = 5/10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-fractions/fig-4f3e64597041.svg)

*Trois barres, trois noms, une même quantité : $\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}$.*

## 31.2 Fractions et décimaux

**Proposition 31.3 (Fractions à nom décimal).**

Les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) de dixièmes, centièmes, millièmes *sont* des nombres décimaux :

$$
\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .
$$

Certaines autres [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) ont aussi un nom décimal, trouvé en passant aux dixièmes ou aux centièmes :

$$
\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad
\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad
\frac{3}{4} = 0.75, \qquad
\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .
$$

Mais pas toutes : $\frac13 = 0.333\dots$ ne s’arrête jamais — la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) est son seul nom exact.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Une droite, deux langages : chaque point peut porter un nom fractionnaire et un nom décimal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-fractions/fig-b13d61484ddb.svg)

*Une droite, deux langages : chaque point peut porter un nom fractionnaire et un nom décimal.*

**Exemple 31.4 (Choisir le nom le plus commode).**

Pour payer les trois [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $12$ : le nom fractionnaire est plus commode, $\frac34$ de $12$ est $9$. Pour comparer $\frac34$ et $0.8$ : le nom décimal est plus commode, $0.75 < 0.8$. Être bilingue paie.

## 31.3 Comparer des fractions

**Méthode 31.5 (Trois outils de comparaison).**

1. *Même [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def)* : plus de parts gagne, $\frac57 > \frac37$ ;
2. *même [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def)* : les plus grandes parts gagnent, donc le *plus petit* [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) gagne : $\frac35 > \frac38$ (les cinquièmes sont plus grands que les huitièmes) ;
3. *repères* : comparer chacune à $\frac12$ ou à $1$ : $\frac38 < \frac12 < \frac59$ , donc $\frac38 < \frac59$ .

**Exemple 31.6.**

Qui a mangé plus de pizza : Ali avec $\frac58$ ou Bea avec $\frac54$ ? La [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) de Bea est plus grande que $1$ (cinq [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), c’est plus qu’une pizza entière), celle d’Ali est plus petite que $1$ : Bea a mangé plus — plus d’une pizza entière, en fait.

## 31.4 Exercices

**Exercice 31.1 ★.**

Dessiner une droite graduée découpée en cinquièmes de $0$ à $2$, et placer : $\frac25$ ; $\frac55$ ; $\frac85$ ; $\frac{10}{5}$.

**Solution de Exercice 31.1.**

$\frac25$ : deux pas depuis $0$ ; $\frac55$ : sur $1$ ; $\frac85$ : trois pas après $1$ ; $\frac{10}{5}$ : sur $2$.

**Exercice 31.2 ★.**

Compléter les noms égaux : $\frac12 = \frac{?}{8}$ ; $\frac34 = \frac{?}{8}$ ; $\frac{2}{5} = \frac{4}{?}$ ; $\frac{6}{9} = \frac{2}{?}$.

**Solution de Exercice 31.2.**

$\frac12 = \frac48$ ; $\frac34 = \frac68$ ; $\frac25 = \frac{4}{10}$ ; $\frac69 = \frac23$.

**Exercice 31.3 ★.**

Quelles [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) nomment des entiers ? Donner l’entier le cas échéant : $\frac82$ ; $\frac{9}{4}$ ; $\frac{15}{3}$ ; $\frac{20}{5}$.

**Solution de Exercice 31.3.**

$\frac82 = 4$ ; $\frac94$ n’est pas entier ($9$ n’est pas un multiple de $4$) ; $\frac{15}{3} = 5$ ; $\frac{20}{5} = 4$.

**Exercice 31.4 ★.**

Écrire en décimaux : $\frac{7}{10}$ ; $\frac{41}{100}$ ; $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac15$.

**Solution de Exercice 31.4.**

$0.7$ ; $0.41$ ; $0.5$ ; $0.75$ ; $0.2$.

**Exercice 31.5 ★.**

Écrire en [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) (dixièmes ou centièmes) : $0.9$ ; $0.13$ ; $2.5$ ; $0.75$ (puis donner son nom en [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)).

**Solution de Exercice 31.5.**

$0.9 = \frac{9}{10}$ ; $0.13 = \frac{13}{100}$ ; $2.5 = \frac{25}{10}$ ; $0.75 = \frac{75}{100} = \frac34$.

**Exercice 31.6 ★.**

Comparer, en nommant l’outil utilisé ([Méthode 31.5](#met-g5-fractions-compare)) :

$$
\frac47 \;?\; \frac67, \qquad
\frac35 \;?\; \frac37, \qquad
\frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad
\frac98 \;?\; \frac{11}{12} .
$$

**Solution de Exercice 31.6.**

$\frac47 < \frac67$ (même [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def)). $\frac35 > \frac37$ (même [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) : les cinquièmes sont plus grands). $\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}$, donc $\frac25 < \frac{7}{12}$ (repère $\frac12$). $\frac98 > 1 > \frac{11}{12}$ (repère $1$).

**Exercice 31.7 ★.**

Ranger avec les noms décimaux : $\frac12$ ; $0.4$ ; $\frac34$ ; $0.6$ ; $\frac15$.

**Solution de Exercice 31.7.**

Décimaux : $0.5$ ; $0.4$ ; $0.75$ ; $0.6$ ; $0.2$. Ordre :

$$
\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .
$$

**Exercice 31.8 ★.**

Un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) des élèves d’une classe de $28$ jouent d’un instrument, et la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) font du sport. Combien d’élèves pour chaque groupe ? Lequel est le plus grand ?

**Solution de Exercice 31.8.**

Instrument : $\frac14$ de $28 = 7$. Sport : $\frac12$ de $28 = 14$. Le groupe sport est plus grand.

**Exercice 31.9 ★.**

Associer chaque [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) à une durée : $\frac14$ h, $\frac12$ h, $\frac34$ h, $\frac{1}{60}$ h — à $30$ min, $45$ min, $1$ min, $15$ min.

**Solution de Exercice 31.9.**

$\frac14$ h $= 15$ min ; $\frac12$ h $= 30$ min ; $\frac34$ h $=
45$ min ; $\frac{1}{60}$ h $= 1$ min.

**Exercice 31.10 ★★.**

Tom a bu $\frac35$ de sa bouteille de $50$ cL ; Ana a bu $\frac12$ de sa bouteille de $60$ cL. Qui a bu le plus ? (Calculer les deux quantités en cL — comparer les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) nues ne suffit pas ici, et dire pourquoi.)

**Solution de Exercice 31.10.**

Tom : $\frac35$ de $50 = 30$ cL. Ana : $\frac12$ de $60 = 30$ cL. Ils ont bu la même quantité ! Les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) nues ($\frac35 > \frac12$) comparent des parts de bouteilles *différentes* — seules les quantités effectives se comparent.

**Exercice 31.11 ★★.**

Donner une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) strictement entre $\frac12$ et $1$ ; puis une strictement entre $\frac12$ et $\frac34$. (Les noms décimaux peuvent aider.)

**Solution de Exercice 31.11.**

Entre $\frac12$ et $1$ : par exemple $\frac34$ (c’est-à-dire $0.75$). Entre $\frac12 = 0.5$ et $\frac34 = 0.75$ : par exemple $0.6 = \frac35$.