--- title: "Division et multiples" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 32 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples --- # Chapitre 32 — Division et multiples La division posée apprise dans [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/23-la-division#ch-g4-division) reçoit deux mises à niveau : des [diviseurs](#def-g5-division-multiple) à deux chiffres, et des [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) qui continuent après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) — $3 \div 4$ obtient enfin une réponse, $0.75$. Le chapitre se termine par les [multiples](#def-g5-division-multiple), les [diviseurs](#def-g5-division-multiple) et les premiers critères de divisibilité. ## 32.1 Diviser par un nombre à deux chiffres **Méthode 32.1 (Diviseurs à deux chiffres).** Même méthode qu’avant, avec une compétence en plus : deviner combien de fois le [diviseur](#def-g5-division-multiple) rentre. Écrire d’abord une petite table des [multiples](#def-g5-division-multiple) du [diviseur](#def-g5-division-multiple). Pour $986 \div 23$ ([multiples](#def-g5-division-multiple) de 23 : 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207) : 1. $98$ dizaines : $23 \times 4 = 92$ rentre, $23 \times 5 = 115$ ne rentre pas : chiffre $4$ , [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $6$ ; 2. on abaisse le $6$ : $66$ : $23 \times 2 = 46$ rentre : chiffre $2$ , [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $20$ ; 3. [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $42$ , [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $20$ . Vérification : $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ . ## 32.2 Quotients décimaux **Exemple 32.2 (La division qui refuse de s’arrêter au reste).** Partager $3$ pizzas entre $4$ enfants : $3 \div 4$ a pour [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ et [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $3$ — inutile ! On continue la division après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) : 1. $3$ unités $= 30$ dixièmes ; $30 \div 4$ : $7$ dixièmes, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $2$ dixièmes ; 2. $2$ dixièmes $= 20$ centièmes ; $20 \div 4 = 5$ centièmes, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ . Donc $3 \div 4 = 0.75$ : chaque enfant obtient $0.75$ pizza — trois [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), comme le langage des [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) le savait déjà ([Proposition 31.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/31-les-fractions-comme-nombres#prop-g5-fractions-decimal)). **Méthode 32.3 (Continuer une division après la virgule).** Quand les unités sont épuisées et qu’il reste un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) : 1. écrire la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) au [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) ; 2. ajouter un [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) au [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) (les unités deviennent des dixièmes, les dixièmes des centièmes …) et continuer à diviser ; 3. s’arrêter quand le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est $0$ — ou quand les chiffres recommencent à jamais, comme $1 \div 3 = 0.333\dots$ : alors donner une valeur arrondie. **Exemple 32.4.** $27 \div 6$ : [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $4$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $3$ ; [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) ; $30$ dixièmes $\div\ 6 = 5$ : donc $27 \div 6 = 4.5$. $22 \div 8$ : $2$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $6$ ; puis $60 \div 8 = 7$ r $4$ ; puis $40 \div 8 = 5$ : donc $22 \div 8 = 2.75$. ## 32.3 Multiples et diviseurs **Définition 32.5 (Multiple, diviseur).** Les *multiples* de $6$ sont sa table prolongée à l’infini : $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Quand $24$ est un multiple de $6$, on dit aussi que $6$ est un *diviseur* de $24$, ou que $24$ est *divisible* par $6$ : la division $24 \div 6$ ne laisse pas de [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder). **Proposition 32.6 (Critères de divisibilité).** Sans diviser, un nombre est divisible : - par $2$ quand son dernier chiffre est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ (les [nombres pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ) ; - par $5$ quand son dernier chiffre est $0$ ou $5$ ; - par $10$ quand son dernier chiffre est $0$ ; - par $3$ quand la *[somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de ses chiffres* est divisible par $3$ (ex. : $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , divisible — et en effet $741 = 3 \times 247$ ). **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ ![Les nombres de 1 à 30 : les multiples de 2 et de 3 font des motifs — et les nombres portant les deux marques (6, 12, 18, 24, 30) sont exactement les multiples de 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-division/fig-0837f08a399b.svg) *Les nombres de $1$ à $30$ : les [multiples](#def-g5-division-multiple) de $2$ et de $3$ font des motifs — et les nombres portant les deux marques ($6$, $12$, $18$, $24$, $30$) sont exactement les [multiples](#def-g5-division-multiple) de $6$.* **Exemple 32.7.** $534$ est-il divisible par $2$ ? Se termine par $4$ : oui. Par $5$ ? Non. Par $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : oui. Donc $534$ est aussi divisible par $6$ (par $2$ *et* par $3$) — vérif. : $534 = 6 \times 89$. ## 32.4 Exercices **Exercice 32.1 ★.** Calculer les divisions posées (table des [multiples](#def-g5-division-multiple) d’abord) : $851 \div 23$ ; $704 \div 32$. **Solution de Exercice 32.1.** $851 \div 23$ : [multiples](#def-g5-division-multiple) de $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$. Puis $85 \div 23$ : $3$ fois ($69$), [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $16$ ; on abaisse le $1$ : $161 \div 23 = 7$ exactement. [Quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $37$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ ($23 \times 37 = 851$). $704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ fois ($64$), [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $6$ ; on abaisse le $4$ : $64 \div 32 = 2$. [Quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $22$, [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$. **Exercice 32.2 ★.** Calculer les [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) décimaux exacts : $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$. **Solution de Exercice 32.2.** $9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$. **Exercice 32.3 ★.** Quatre amis partagent équitablement une addition de restaurant de $54$. Combien chacun paie-t-il ? (Continuer après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point).) **Solution de Exercice 32.3.** $54 \div 4 = 13.5$ : chacun paie $13.50$. **Exercice 32.4 ★.** Calculer $10 \div 3$, en continuant trois chiffres après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point). Que remarque-t-on ? Donner la valeur arrondie au centième. **Solution de Exercice 32.4.** $10 \div 3 = 3.333\dots$ : le chiffre $3$ se répète à jamais — la division ne s’arrête pas. [Arrondi](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres#def-g4-numbers-round) au centième : $3.33$. **Exercice 32.5 ★.** Lister : les [multiples](#def-g5-division-multiple) de $7$ jusqu’à $70$ ; les [diviseurs](#def-g5-division-multiple) de $18$ ; les [diviseurs](#def-g5-division-multiple) de $24$. **Solution de Exercice 32.5.** [Multiples](#def-g5-division-multiple) de $7$ jusqu’à $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$. [Diviseurs](#def-g5-division-multiple) de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$. [Diviseurs](#def-g5-division-multiple) de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. **Exercice 32.6 ★.** Divisible par $2$ ? par $5$ ? par $10$ ? par $3$ ? Tester chaque critère sur : $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$. **Solution de Exercice 32.6.** $470$ : par $2$ (se termine par $0$), par $5$, par $10$ ; [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres $11$ : pas par $3$. $735$ : se termine par $5$ : par $5$, pas par $2$ ni $10$ ; [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres $15$ : par $3$. $8\,001$ : [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ; [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres $9$ : par $3$ seulement. $1\,314$ : [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ; [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres $9$ : par $2$ et par $3$ (donc par $6$), pas par $5$. **Exercice 32.7 ★.** Trouver tous les nombres entre $60$ et $80$ qui sont divisibles par $3$ *et* par $5$. (Quelle seule divisibilité cela combine-t-il ?) **Solution de Exercice 32.7.** Divisible par $3$ et $5$ signifie divisible par $15$ : entre $60$ et $80$, les nombres $60$, $75$. **Exercice 32.8 ★.** Un ruban de $7.2$ m est découpé en $6$ morceaux égaux. Quelle longueur a chaque morceau ? (Diviser un décimal par un entier : partager les mètres, puis les dixièmes.) **Solution de Exercice 32.8.** $7.2 \div 6 = 1.2$ : chaque morceau mesure $1.2$ m (vérif. : $1.2 \times 6 = 7.2$). **Exercice 32.9 ★.** $1\,000$ billes sont emballées par sacs de $24$. Combien de sacs pleins, et combien de billes restent ? ([Diviseur](#def-g5-division-multiple) à deux chiffres.) **Solution de Exercice 32.9.** $1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : quarante et un sacs pleins, $16$ billes restantes. **Exercice 32.10 ★★.** $5$ amis peuvent-ils se partager équitablement $7$ barres de chocolat, sans rien laisser ? Donner chaque part en décimal. Même question pour $7$ amis partageant $5$ barres — qu’est-ce qui change ? **Solution de Exercice 32.10.** $7 \div 5 = 1.4$ : chacun des $5$ amis obtient $1.4$ barres — possible en découpant les barres en dixièmes. Pour $5 \div 7$ : la division donne $0.714285\dots$, qui ne s’arrête jamais — aucune part décimale exacte n’existe ; seule la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $\frac57$ la nomme exactement. **Exercice 32.11 ★★.** En utilisant le critère de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres, trouver le plus petit chiffre $d$ qui rend $52d$ (un nombre à trois chiffres se terminant par $d$) divisible par $3$. Puis trouver tous ces chiffres $d$. **Solution de Exercice 32.11.** [Somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres : $5 + 2 + d = 7 + d$. Divisible par $3$ quand $7 + d$ vaut $9$, $12$ ou $15$ : $d = 2$, $5$ ou $8$. Le plus petit est $d = 2$ (donnant $522 = 3 \times 174$).