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title: "Constructions géométriques"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 33
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/33-constructions-geometriques
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# Chapitre 33 — Constructions géométriques

Règle, équerre, compas : avec ces trois outils et un peu de méthode, toute figure décrite en mots peut se construire exactement. Ce chapitre construit [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def), [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def), triangles et les [quadrilatères](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) spéciaux — d’abord le métier, la théorie plus tard (Chapitres [40](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#ch-g6-lines) et [41](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#ch-g6-shapes)).

## 33.1 Perpendiculaires et parallèles passant par un point

**Méthode 33.1 (Les deux constructions de base).**

*[Perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) à $d$ passant par $A$* : glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que son autre côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) atteigne $A$ ; tracer ; marquer l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle).

*[Parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) à $d$ passant par $A$* : appuyer une règle contre l’équerre comme un rail posé le long de $d$ ; glisser l’équerre jusqu’à $A$ ; tracer. (Vérifier : l’écart entre les deux droites est le même partout.)

**Exemple 33.2 (Enchaîner des constructions).**

Beaucoup de figures sont des chaînes de ces deux gestes. Un rectangle $ABCD$ avec $AB = 5$ cm et $BC = 3$ cm : tracer $[AB]$ ; [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) en $A$ ; [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) en $B$ ; marquer $D$ et $C$ à $3$ cm du même côté ; joindre. Chaque étape est une construction de base.

## 33.2 Triangles au compas

**Méthode 33.3 (Triangle à partir de trois côtés).**

Pour construire un triangle de côtés $6$ cm, $5$ cm, $4$ cm :

1. tracer le plus long côté, $[AB]$ avec $AB = 6$ cm ;
2. arc de centre $A$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm ;
3. arc de centre $B$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm ;
4. leur croisement est le troisième [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $C$ ; joindre.

Le compas garantit les longueurs : tout point du premier arc est exactement à $5$ cm de $A$.

![Deux arcs, un croisement : le triangle 6–5–4 construit au compas. (Si les deux petits côtés ensemble étaient plus courts que la base, les arcs ne se rencontreraient pas — plus sur ce point dans .)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-geometry/fig-b167d3504da4.svg)

*Deux arcs, un croisement : le triangle $6$–$5$–$4$ construit au compas. (Si les deux petits côtés ensemble étaient plus courts que la base, les arcs ne se rencontreraient pas — plus sur ce point dans [Chapitre 51](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#ch-g7-triangles).)*

**Exemple 33.4 (Isocèle et équilatéral gratuitement).**

Même ouverture de compas pour les deux arcs $\Rightarrow$ triangle isocèle. Ouverture égale à la base $\Rightarrow$ équilatéral. Le compas ne mesure pas : il *copie* les longueurs, ce qui est encore mieux.

## 33.3 Les quadrilatères spéciaux, par construction

**Méthode 33.5 (Construire la famille).**

1. *Rectangle* : deux paires de [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) se croisant à [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) — ou la chaîne de [Exemple 33.2](#ex-g5-geometry-chain) ;
2. *carré* : un rectangle dont les quatre côtés utilisent la même longueur — la reporter au compas ;
3. *losange* : quatre côtés égaux — tracer un côté, puis deux arcs de compas depuis ses extrémités avec la même ouverture fixent les deux autres [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) (un losange, c’est deux triangles isocèles collés le long d’une diagonale).

Après la construction, toujours *vérifier* avec les outils : équerre sur les coins, compas sur les côtés.

**Exemple 33.6 (Reconnaître d’après une description).**

« Un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) avec quatre côtés de $4$ cm et un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) » — le construire : les quatre côtés égaux forcent une forme de losange, et plaquer un coin à [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) redresse tous les autres : le résultat est un carré. Certaines descriptions décrivent secrètement une forme plus spéciale qu’elles ne l’annoncent. (Pourquoi l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) se propage aux quatre coins est expliqué dans [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central).)

## 33.4 Cercles dans les constructions

**Exemple 33.7 (Le cercle comme outil).**

« Trouver tous les points à $3$ cm de $A$ » : le cercle de centre $A$, [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. « Trouver tous les points à $3$ cm de $A$ *et* $4$ cm de $B$ » : tracer les deux cercles ; leurs croisements (deux, un ou [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) points) sont les réponses. Les cartes au trésor et les constructions de triangles utilisent exactement cette idée.

## 33.5 Exercices

**Exercice 33.1 ★.**

Tracer une droite $d$ et un point $A$ à environ $3$ cm d’elle. Construire la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) à $d$ passant par $A$, puis la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) à $d$ passant par $A$. Marquer les [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle).

**Solution de Exercice 33.1.**

Les deux constructions suivent [Méthode 33.1](#met-g5-geometry-basic) ; la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) et la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) par $A$ sont elles-mêmes [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) l’une à l’autre.

**Exercice 33.2 ★.**

Construire un rectangle $ABCD$ avec $AB = 7$ cm et $BC = 4$ cm, en suivant [Exemple 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Vérifier le quatrième angle avec l’équerre : si la construction est exacte, il est droit automatiquement.

**Solution de Exercice 33.2.**

Chaîne de [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) comme dans [Exemple 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Si les trois angles construits sont exactement droits et les longueurs exactes, le quatrième angle n’a d’autre choix que d’être droit aussi — un rectangle bien construit se vérifie tout seul.

**Exercice 33.3 ★.**

Construire un triangle de côtés $7$ cm, $6$ cm et $3$ cm ([Méthode 33.3](#met-g5-geometry-triangle)).

**Solution de Exercice 33.3.**

Base $[AB]$ de $7$ cm ; arcs de [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm (depuis $A$) et $3$ cm (depuis $B$) ; le croisement est $C$.

**Exercice 33.4 ★.**

Construire un triangle isocèle de base $5$ cm et de côtés égaux $7$ cm ; puis un triangle équilatéral de côté $6$ cm.

**Solution de Exercice 33.4.**

Isocèle : base $5$ cm, les deux arcs avec la même ouverture de $7$ cm. Équilatéral : base $6$ cm, les deux arcs avec l’ouverture de $6$ cm.

**Exercice 33.5 ★.**

Construire un carré de côté $5$ cm. Quels outils garantissent les [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ? Lesquels garantissent les côtés égaux ?

**Solution de Exercice 33.5.**

L’équerre garantit les [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ; le compas (ou la règle) reporte le côté de $5$ cm sur les quatre côtés.

**Exercice 33.6 ★.**

Construire un losange de côté $4$ cm qui n’est pas un carré (choisir sa propre ouverture pour le premier coin). Vérifier les quatre côtés au compas.

**Solution de Exercice 33.6.**

Tracer un côté $[AB]$ de $4$ cm, choisir une direction pour $[AD]$ (pas [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def), pour éviter le carré), $AD = 4$ cm ; puis des arcs de $4$ cm depuis $B$ et depuis $D$ se croisent en $C$. Le compas confirme les quatre côtés égaux.

**Exercice 33.7 ★.**

Tracer deux points $A$ et $B$ avec $AB = 5$ cm. Construire tous les points situés à $4$ cm de $A$ et à $3$ cm de $B$. Combien y en a-t-il ?

**Solution de Exercice 33.7.**

Le cercle de centre $A$, [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm, et le cercle de centre $B$, [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm, se croisent en *deux* points (un au-dessus, un au-dessous de la droite $(AB)$), car $4 + 3 > 5$ et les cercles se chevauchent.

**Exercice 33.8 ★.**

Écrire un programme de construction (étapes numérotées, points nommés) pour un rectangle $6$ cm $\times$ $2$ cm surmonté d’un triangle isocèle de côtés égaux $4$ cm (une forme de crayon). Faire exécuter le programme par un camarade.

**Solution de Exercice 33.8.**

Un programme correct : « 1. Tracer un rectangle $ABCD$ avec $AB = 6$ cm (bas) et $BC = 2$ cm. 2. Tracer deux arcs de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm centrés en $D$ et en $C$ (les coins du haut) ; nommer $S$ leur croisement au-dessus du rectangle. 3. Tracer $[DS]$ et $[CS]$. » (La pointe du crayon est le triangle isocèle $DSC$.)

**Exercice 33.9 ★★.**

Essayer de construire un triangle de côtés $8$ cm, $3$ cm et $4$ cm. Que se passe-t-il avec les arcs ? Expliquer en une phrase pourquoi ce triangle ne peut pas exister.

**Solution de Exercice 33.9.**

Les arcs de [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm et $4$ cm, tracés depuis les deux extrémités de la base de $8$ cm, ne se rencontrent jamais : même bout à bout, $3 + 4 = 7$ cm ne peut pas couvrir $8$ cm. Deux côtés ensemble doivent toujours être plus longs que le troisième — sinon le triangle ne peut pas se fermer.

**Exercice 33.10 ★★.**

Construire un losange dont les diagonales mesurent $6$ cm et $4$ cm, sachant que les diagonales d’un losange se croisent en leur milieu à [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) : tracer les diagonales *d’abord*, puis joindre leurs quatre extrémités.

**Solution de Exercice 33.10.**

Tracer un segment de $6$ cm et son milieu $O$ ; tracer la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-def) en $O$ ; marquer dessus deux points à $2$ cm de $O$ (un de chaque côté) ; joindre les quatre extrémités dans l’ordre. Le compas confirme les quatre côtés égaux.

**Exercice 33.11 ★★.**

Une chèvre est attachée à un piquet $A$ par une corde de $4$ m, dans un pré plat avec une clôture droite passant à $3$ m de $A$. Dessiner un plan (1 cm par mètre) : quelle région la chèvre peut-elle atteindre ? Où la clôture la limite-t-elle ?

**Solution de Exercice 33.11.**

Sur le plan, la chèvre atteint le disque de centre $A$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm, coupé par la ligne de clôture à $3$ cm de $A$ : sa région est le disque moins la tranche au-delà de la clôture. Le long de la clôture, elle peut brouter sur un segment (où le cercle croise la ligne de clôture) ; au-delà, rien.