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title: "Périmètre et aire"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 34
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/34-perimetre-et-aire
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# Chapitre 34 — Périmètre et aire

L’année 4 comptait les carreaux du quadrillage ([Chapitre 28](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#ch-g4-measure)) ; ce chapitre gagne la première *formule* d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) — longueur fois largeur pour le rectangle — et apprend les unités cm$^2$ et m$^2$. Les formules pour les triangles et d’autres formes mûrissent dans [Chapitre 43](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#ch-g6-measure) et [Chapitre 53](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#ch-g7-areas).

## 34.1 Deux mesures différentes

**Exemple 34.1 (Bord contre surface).**

Un jardinier a besoin du *[périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter)* pour acheter la clôture et de l’*[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area)* pour acheter le gazon. Les deux ne se suivent pas : étirer un rectangle plus fin et plus long peut garder son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) tandis que son [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) grandit — comparer un $6 \times 2$ et un $4 \times 3$ (même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $12$, [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) $16$ et $14$).

## 34.2 La formule du rectangle

**Proposition 34.2 (Aire d’un rectangle).**

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ (dans la même unité) a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area)

$$
A = L \times \ell ,
$$

en unités d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) : cm$^2$ (carrés de côté $1$ cm), m$^2$ (carrés de côté $1$ m), …

**Pourquoi, par comptage.** Recouvrir le rectangle de carreaux unitaires : $\ell$ rangées de $L$ carreaux chacune, donc $L \times \ell$ carreaux en tout — exactement le rectangle de la multiplication de [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/16-multiplication#ch-g3-mult). ∎

![Trois rangées de six centimètres-carrés : la formule L × est le comptage, écrit une fois pour toutes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-areas/fig-7d3aa0dfedf3.svg)

*Trois rangées de six centimètres-carrés : la formule $L \times \ell$ est le comptage, écrit une fois pour toutes.*

**Exemple 34.3.**

Un tapis mesure $2.5$ m sur $2$ m : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $2.5 \times 2 = 5$ m$^2$. Un timbre mesure $3$ cm sur $2.4$ cm : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $3 \times 2.4 = 7.2$ cm$^2$. Même formule, n’importe quelle unité — tant que les deux côtés utilisent la *même*.

**Exemple 34.4 (Les unités d’aire se convertissent par 100).**

$1$ m $= 100$ cm, mais $1$ m$^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm$^2$ : un mètre carré est une grille $100$ par $100$ de centimètres carrés. Les unités d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) sautent par centaines, pas par dizaines.

## 34.3 Figures composées

**Méthode 34.5 (Couper, additionner, soustraire).**

Pour une figure faite de rectangles (un L, un T, un cadre) :

1. la découper en rectangles, ou la compléter en un grand rectangle ;
2. calculer chaque [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) rectangulaire avec la formule ;
3. additionner les morceaux — ou soustraire le trou du grand rectangle ;
4. vérifier par un comptage approximatif de carreaux.

**Exemple 34.6.**

Une pièce en L : un rectangle $6$ m $\times$ $4$ m avec un coin $2$ m $\times$ $2$ m manquant.

$$
\text{Aire} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .
$$

Ou découper le L en une bande $6 \times 2$ et une bande $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m$^2$ — deux chemins, une réponse.

**Exemple 34.7 (La moitié d’un rectangle).**

Couper un rectangle le long d’une diagonale donne deux triangles de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) : chacun est la *[moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)* du rectangle. Un triangle rectangle de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $6$ cm et $4$ cm a donc pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm$^2$ — une image à retenir pour [Chapitre 43](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#ch-g6-measure), où elle devient une formule.

![La diagonale coupe le rectangle 6 × 4 en deux triangles égaux de 12 carreaux chacun.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-areas/fig-51d271312c88.svg)

*La diagonale coupe le rectangle $6 \times 4$ en deux triangles égaux de $12$ carreaux chacun.*

## 34.4 Exercices

**Exercice 34.1 ★.**

Calculer l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) et le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) d’un rectangle $8$ cm $\times$ $5$ cm. Quelle réponse est en cm, laquelle en cm$^2$ ?

**Solution de Exercice 34.1.**

[Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) : $8 \times 5 = 40$ cm$^2$. [Périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) : $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

**Exercice 34.2 ★.**

Calculer les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) : un carré de côté $9$ cm ; un rectangle $12$ m $\times$ $7$ m ; un rectangle $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

**Solution de Exercice 34.2.**

$9 \times 9 = 81$ cm$^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m$^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm$^2$.

**Exercice 34.3 ★.**

Un rectangle a une [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) de $63$ cm$^2$ et une longueur de $9$ cm. Trouver sa largeur, puis son [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter).

**Solution de Exercice 34.3.**

Largeur : $63 \div 9 = 7$ cm. [Périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) : $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

**Exercice 34.4 ★.**

Dessiner deux rectangles différents d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $24$ carreaux sur papier quadrillé, et calculer les deux [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter). Même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) — même [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) ?

**Solution de Exercice 34.4.**

Par exemple $6 \times 4$ ([périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) $20$) et $8 \times 3$ ([périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) $22$) : même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $24$, [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) différents.

**Exercice 34.5 ★.**

Convertir : $3$ m$^2$ en cm$^2$ ; $50\,000$ cm$^2$ en m$^2$. (Rappeler [Exemple 34.4](#ex-g5-areas-units) : par centaines !)

**Solution de Exercice 34.5.**

$3$ m$^2 = 30\,000$ cm$^2$ ; $50\,000$ cm$^2 = 5$ m$^2$.

**Exercice 34.6 ★.**

Une figure en T est faite d’une barre horizontale $8 \times 2$ sur une barre verticale $2 \times 5$ (en cm). Calculer son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) en additionnant deux rectangles.

**Solution de Exercice 34.6.**

Barre : $8 \times 2 = 16$ cm$^2$ ; tige : $2 \times 5 = 10$ cm$^2$ ; total $26$ cm$^2$.

**Exercice 34.7 ★.**

Un cadre photo : un rectangle $30$ cm $\times$ $20$ cm avec une fenêtre rectangulaire $24$ cm $\times$ $14$ cm découpée. Quelle [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) de bois le cadre utilise-t-il ?

**Solution de Exercice 34.7.**

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm$^2$ de bois.

**Exercice 34.8 ★.**

Calculer l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) d’un triangle rectangle de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $8$ cm et $6$ cm ([moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un rectangle, [Exemple 34.7](#ex-g5-areas-halfrect)).

**Solution de Exercice 34.8.**

[Moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du rectangle $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ cm$^2$.

**Exercice 34.9 ★.**

Un potager rectangulaire mesure $7$ m sur $4$ m. Les graines coûtent $2$ par mètre carré, et la clôture $3$ par mètre. Calculer le coût des graines, puis celui de la clôture.

**Solution de Exercice 34.9.**

Graines : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $7 \times 4 = 28$ m$^2$, coût $28 \times 2 = 56$. Clôture : [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) $2 \times (7 + 4) = 22$ m, coût $22 \times 3 = 66$.

**Exercice 34.10 ★★.**

Le sol d’un couloir mesure $12$ m de long et $2$ m de large, et doit être recouvert de carreaux carrés de côté $50$ cm. Combien de carreaux faut-il ? (Convertir d’abord, ou compter les carreaux dans chaque direction.)

**Solution de Exercice 34.10.**

Deux carreaux de $50$ cm font un mètre : le long des $12$ m, $24$ carreaux ; le long des $2$ m, $4$ carreaux. Total : $24 \times 4 = 96$ carreaux.

**Exercice 34.11 ★★.**

Doubler les côtés d’un rectangle $4$ cm $\times$ $3$ cm. Que devient son [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) ? Son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) ? (Calculer les deux avant et après — les deux réponses diffèrent !)

**Solution de Exercice 34.11.**

Avant : [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $12$ cm$^2$. Après (côtés $8$ et $6$) : [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) $28$ cm, [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) $48$ cm$^2$. Le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) a *doublé* ; l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) a été multipliée par *quatre* ($2 \times 2$) : longueurs et [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) ne se mettent pas à l’échelle de la même façon.