--- title: "Cubes et pavés" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 35 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves --- # Chapitre 35 — Cubes et pavés Quitter la page plane : les [solides](#def-g5-solids-def) sont les formes du monde réel — dés, boîtes de céréales, boîtes de conserve, balles. Ce chapitre apprend à les nommer, compter leurs [faces](#def-g5-solids-def) et [arêtes](#def-g5-solids-def), les déplier en [patrons](#def-g5-solids-net), et mesurer leur [volume](#def-g5-solids-volume) en comptant de petits [cubes](#def-g5-solids-def). (Les formules de [volume](#def-g5-solids-volume) arrivent dans [Chapitre 43](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#ch-g6-measure).) ## 35.1 La famille des solides **Définition 35.1 (Solides et leur vocabulaire).** Un *solide* occupe de l’espace. Les côtés plats sont des *faces* ; les faces se rejoignent le long d’*arêtes* ; les arêtes se rejoignent en des *sommets*. Portraits de famille : - le *cube* : $6$ faces carrées, $12$ arêtes, $8$ sommets ; - le *pavé* (prisme droit à base rectangulaire) : $6$ faces rectangulaires, $12$ arêtes, $8$ sommets ; - le *cylindre* : deux faces disques et une face enroulée (une boîte de conserve) ; - la *pyramide* : une base polygonale et des triangles se rejoignant en un sommet ; - la *boule* (sphère) : une surface parfaitement ronde, pas de face, pas d’arête. ![La galerie des solides. Les traits en pointillés montrent les arêtes cachées — le dos du solide, vu à travers.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-ae350ad26600.svg) *La galerie des [solides](#def-g5-solids-def). Les traits en pointillés montrent les [arêtes](#def-g5-solids-def) cachées — le dos du [solide](#def-g5-solids-def), vu à travers.* **Exemple 35.2 (Compter sur le cube).** Vérifier sur un dé : $6$ [faces](#def-g5-solids-def) (les nombres $1$ à $6$), $8$ [sommets](#def-g5-solids-def) (les coins), $12$ [arêtes](#def-g5-solids-def) (passer un doigt le long : $4$ en haut, $4$ en bas, $4$ verticales). Et $6 + 8 = 12 + 2$ — le même motif curieux vaut pour le [pavé](#def-g5-solids-def) et la [pyramide](#def-g5-solids-def) ([Exemple 62.2](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#ex-g8-solids-count) y reviendra). ## 35.2 Patrons **Définition 35.3 (Patron).** Un *patron* d’un [solide](#def-g5-solids-def) est un dessin plat de toutes ses [faces](#def-g5-solids-def), attachées le long d’[arêtes](#def-g5-solids-def), qui se plie pour former le [solide](#def-g5-solids-def) — le [solide](#def-g5-solids-def) déplié comme une boîte en carton aplatie pour le recyclage. ![Trois arrangements de six carrés. Les deux premiers se plient en cube ; le troisième non — en pliant, deux carrés tombent sur la même face et le cube reste ouvert. Les découper et essayer !](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-877c1d1e60ee.svg) *Trois arrangements de six carrés. Les deux premiers se plient en [cube](#def-g5-solids-def) ; le troisième non — en pliant, deux carrés tombent sur la même [face](#def-g5-solids-def) et le [cube](#def-g5-solids-def) reste ouvert. Les découper et essayer !* **Exemple 35.4 (Lire un patron).** Sur un dé, les [faces](#def-g5-solids-def) opposées additionnent $7$. Sur un [patron](#def-g5-solids-net), les [faces](#def-g5-solids-def) opposées sont celles séparées par exactement un carré dans une rangée (ou autour d’un coin) — pas les voisines ! Marquer les paires sur le [patron](#def-g5-solids-net) avant de plier est un excellent exercice pour voir l’espace à plat. ## 35.3 Volume : compter les cubes **Définition 35.5 (Volume par comptage).** Le *volume* d’un [solide](#def-g5-solids-def) construit avec des [cubes](#def-g5-solids-def) unitaires est le nombre de [cubes](#def-g5-solids-def) qu’il contient. L’unité peut être le centimètre cube (cm$^3$) ou le mètre cube (m$^3$). **Exemple 35.6 (Compter un pavé couche par couche).** Un [pavé](#def-g5-solids-def) de $4$ [cubes](#def-g5-solids-def) de long, $3$ de large, $2$ de haut : la couche du bas contient $4 \times 3 = 12$ [cubes](#def-g5-solids-def), et il y a $2$ couches : $$ 12 \times 2 = 24 \text{ cubes} . $$ Compter par couches marche toujours — et prouve discrètement la formule $V = L \times \ell \times h$ de [Chapitre 43](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#ch-g6-measure). ![Un pavé 4 × 3 × 2 de cubes unitaires, compté couche par couche.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-1d31f46c374a.svg) *Un [pavé](#def-g5-solids-def) $4 \times 3 \times 2$ de [cubes](#def-g5-solids-def) unitaires, compté couche par couche.* **Exemple 35.7 (Mêmes cubes, formes différentes).** Huit [cubes](#def-g5-solids-def) unitaires peuvent construire un [cube](#def-g5-solids-def) $2 \times 2 \times 2$, un bâton $8 \times 1 \times 1$, ou une plaque $4 \times 2 \times 1$ : trois [solides](#def-g5-solids-def) différents, un [volume](#def-g5-solids-volume) ($8$ [cubes](#def-g5-solids-def)). Le [volume](#def-g5-solids-volume) compte la matière, pas la forme. ## 35.4 Exercices **Exercice 35.1 ★.** Nommer un objet réel en forme de : [cube](#def-g5-solids-def) ; [pavé](#def-g5-solids-def) ; [cylindre](#def-g5-solids-def) ; boule ; [pyramide](#def-g5-solids-def). **Solution de Exercice 35.1.** Par exemple : un dé ([cube](#def-g5-solids-def)) ; une boîte de céréales ([pavé](#def-g5-solids-def)) ; une boîte de conserve ([cylindre](#def-g5-solids-def)) ; un ballon de football (boule) ; certains toits ou les monuments d’Égypte ([pyramide](#def-g5-solids-def)). **Exercice 35.2 ★.** Combien de [faces](#def-g5-solids-def), d’[arêtes](#def-g5-solids-def) et de [sommets](#def-g5-solids-def) a un [pavé](#def-g5-solids-def) ? Vérifier le motif [faces](#def-g5-solids-def) $+$ [sommets](#def-g5-solids-def) $=$ [arêtes](#def-g5-solids-def) $+ 2$. **Solution de Exercice 35.2.** Un [pavé](#def-g5-solids-def) a $6$ [faces](#def-g5-solids-def), $12$ [arêtes](#def-g5-solids-def), $8$ [sommets](#def-g5-solids-def) — et $6 + 8 = 12 + 2$. ✓ **Exercice 35.3 ★.** Quelles [faces](#def-g5-solids-def) d’un [pavé](#def-g5-solids-def) sont identiques ? (Regrouper les six [faces](#def-g5-solids-def) par paires.) Qu’y a-t-il de spécial aux [faces](#def-g5-solids-def) du [cube](#def-g5-solids-def) ? **Solution de Exercice 35.3.** Les six [faces](#def-g5-solids-def) viennent en trois paires de [faces](#def-g5-solids-def) opposées identiques (haut–bas, avant–arrière, gauche–droite). Sur un [cube](#def-g5-solids-def), les six [faces](#def-g5-solids-def) sont des carrés identiques. **Exercice 35.4 ★.** Dessiner un [patron](#def-g5-solids-net) d’un [cube](#def-g5-solids-def) de côté $2$ cm (utiliser le modèle en croix du chapitre), le découper et le plier. **Solution de Exercice 35.4.** [Patron](#def-g5-solids-net) en croix : quatre carrés de $2$ cm en rangée, un au-dessus et un en dessous du deuxième carré. Plier l’anneau de quatre donne les côtés ; les deux carrés en plus ferment le haut et le bas. **Exercice 35.5 ★.** Sur le [patron](#def-g5-solids-net) en croix d’un dé, placer les nombres $1$ à $6$ de sorte que les [faces](#def-g5-solids-def) opposées additionnent $7$. (Utiliser [Exemple 35.4](#ex-g5-solids-read) pour trouver d’abord les paires opposées.) **Solution de Exercice 35.5.** Sur le [patron](#def-g5-solids-net) en croix (quatre carrés en rangée, un au-dessus, un en dessous du deuxième), les paires opposées sont : les carrés $1$ et $3$ de la rangée ; les carrés $2$ et $4$ de la rangée ; les carrés du haut et du bas. Un étiquetage correct : rangée $= 1, 2, 6, 5$ ; haut $= 3$ ; bas $= 4$ — alors $1{+}6$, $2{+}5$, $3{+}4$ font tous $7$. **Exercice 35.6 ★.** Compter les [cubes](#def-g5-solids-def) unitaires : un [pavé](#def-g5-solids-def) de $5$ de long, $2$ de large, $3$ de haut ; un [cube](#def-g5-solids-def) de côté $3$ ; un empilement en L fait d’une plaque $3 \times 2 \times 1$ avec une plaque $1 \times 2 \times 1$ dessus. **Solution de Exercice 35.6.** [Pavé](#def-g5-solids-def) : $5 \times 2 = 10$ par couche, $3$ couches : $30$ [cubes](#def-g5-solids-def). [Cube](#def-g5-solids-def) : $3 \times 3 \times 3 = 27$. Empilement en L : $3 \times 2 \times 1 = 6$ plus $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ [cubes](#def-g5-solids-def). **Exercice 35.7 ★.** Un [pavé](#def-g5-solids-def) contient exactement $12$ [cubes](#def-g5-solids-def) unitaires en une couche. Donner deux formes de couche possibles ($L \times \ell$), et pour chacune, le [volume](#def-g5-solids-volume) du [pavé](#def-g5-solids-def) s’il a $3$ telles couches. **Solution de Exercice 35.7.** Couches de $12$ : par exemple $4 \times 3$ ou $6 \times 2$ (ou $12 \times 1$). Avec $3$ couches, le [volume](#def-g5-solids-volume) est $12 \times 3 = 36$ [cubes](#def-g5-solids-def) dans tous les cas. **Exercice 35.8 ★.** Avec $27$ [cubes](#def-g5-solids-def) unitaires, quel [cube](#def-g5-solids-def) peut-on construire ? Avec $64$ ? (Penser au comptage par couches à l’envers.) **Solution de Exercice 35.8.** $27 = 3 \times 3 \times 3$ : un [cube](#def-g5-solids-def) de côté $3$. $64 = 4 \times 4 \times 4$ : un [cube](#def-g5-solids-def) de côté $4$. **Exercice 35.9 ★★.** Des morceaux de sucre de côté $1$ cm viennent dans une boîte de $10$ cm de long, $5$ cm de large, $4$ cm de haut (dimensions intérieures). Combien de morceaux de sucre tiennent ? Si une famille en utilise $6$ par jour, pendant combien de jours une boîte suffit-elle ([arrondir](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres#def-g4-numbers-round) sensément) ? **Solution de Exercice 35.9.** La boîte contient $10 \times 5 \times 4 = 200$ morceaux de sucre. À $6$ par jour : $200 = 6 \times 33 + 2$, donc la boîte dure $33$ jours complets (et $2$ morceaux restent pour le matin du jour $34$). **Exercice 35.10 ★★.** Un [cube](#def-g5-solids-def) $3 \times 3 \times 3$ est peint en rouge à l’extérieur, puis découpé en $27$ [cubes](#def-g5-solids-def) unitaires. Combien de petits [cubes](#def-g5-solids-def) ont de la peinture sur exactement $3$ [faces](#def-g5-solids-def) ? Sur $2$ ? Sur $1$ ? Sur aucune ? (Vérifier : les quatre comptes doivent additionner $27$.) **Solution de Exercice 35.10.** Peinture sur $3$ [faces](#def-g5-solids-def) : les $8$ [cubes](#def-g5-solids-def) des coins. Sur $2$ [faces](#def-g5-solids-def) : les milieux des $12$ [arêtes](#def-g5-solids-def) : $12$ [cubes](#def-g5-solids-def). Sur $1$ [face](#def-g5-solids-def) : les centres des $6$ [faces](#def-g5-solids-def) : $6$ [cubes](#def-g5-solids-def). Sur aucune : le seul [cube](#def-g5-solids-def) caché au centre : $1$. Vérif. : $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. ✓