--- title: "Les nombres décimaux" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 38 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux --- # Chapitre 38 — Les nombres décimaux Entre $2$ et $3$, il y a plein de nombres : $2.5$, $2.71$, $2.999$ … Les nombres décimaux étendent le système de numération à droite des unités, et ils suivent les mêmes règles que les entiers — avec quelques pièges que ce chapitre apprend à éviter. ## 38.1 Écriture décimale **Définition 38.1 (Positions décimales).** Un *nombre décimal* a une partie entière et une partie décimale, séparées par la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point). Chaque place à droite de la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) vaut dix fois moins que la précédente : dixièmes, centièmes, millièmes. Par exemple $$ 13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000} = 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}. $$ ![Le tableau de numération de 13.407 : la virgule se place entre les unités et les dixièmes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-1c2977330e5d.svg) *Le tableau de numération de $13.407$ : la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) se place entre les unités et les dixièmes.* **Remarque 38.2 (Zéros qui comptent, zéros qui ne comptent pas).** Ajouter des [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) à la *fin* de la partie décimale ne change rien : $2.5 = 2.50 = 2.500$. Mais les [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) *entre* les chiffres sont essentiels : $13.407 \neq 13.47$. Et $0.5$ est très différent de $0.05$ ! **Méthode 38.3 (Comparer des nombres décimaux).** 1. Comparer d’abord les parties entières : $7.2 > 5.99$ car $7 > 5$ . 2. Si les parties entières sont égales, comparer les parties décimales chiffre par chiffre depuis la gauche — compléter avec des [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) finaux aide : pour comparer $3.4$ et $3.15$ , écrire $3.40$ et $3.15$ ; comme $40 > 15$ centièmes, $3.4 > 3.15$ . Attention : *plus long ne veut pas dire plus grand*. $3.15$ a plus de chiffres que $3.4$ mais est plus petit. ![Zoom sur la droite graduée entre 3 et 4 : chaque graduation est un dixième. Le point 3.15 se situe à mi-chemin entre 3.1 et 3.2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-d3c0370768d1.svg) *Zoom sur la droite graduée entre $3$ et $4$ : chaque graduation est un dixième. Le point $3.15$ se situe à mi-chemin entre $3.1$ et $3.2$.* ## 38.2 Additionner, soustraire, multiplier **Méthode 38.4 (Calculs en colonnes avec des décimaux).** Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, aligner les *[virgules](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point)* (ainsi les unités sont sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes), en complétant avec des [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) finaux si besoin ; puis calculer comme avec les entiers, et placer la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) du résultat sous les autres. **Exemple 38.5.** Calculer $13.7 + 2.85$, en alignant les [virgules](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) ($13.7 = 13.70$) : $$ \begin{array}{r} 1\,3.7\,0 \\ +\ \ \,2.8\,5 \\ \hline 1\,6.5\,5 \end{array} $$ Calculer $6 - 2.35$ (écrire $6 = 6.00$) : $6.00 - 2.35 = 3.65$. Vérif. : $3.65 + 2.35 = 6$. **Exemple 38.6 (Multiplier des décimaux).** Pour calculer $2.3 \times 1.4$ : multiplier comme des entiers, $23 \times 14 = 322$ ; puis compter les chiffres décimaux des facteurs ($1 + 1 = 2$), et placer la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) pour que le résultat en ait autant : $2.3 \times 1.4 = 3.22$. Vérification d’ordre de grandeur : $2.3 \times 1.4$ doit être un peu plus que $2.3 \times 1 = 2.3$ — et $3.22$ l’est. ## 38.3 Multiplier et diviser par 10, 100, 1000 **Proposition 38.7 (Décaler la virgule).** Multiplier un [nombre décimal](#def-g6-decimals-places) par $10$, $100$, $1000$ déplace sa [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) de $1$, $2$, $3$ places vers la *droite* ; diviser la déplace vers la *gauche* (en complétant avec des [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) au besoin) : $$ 3.75 \times 100 = 375, \qquad 42.1 \div 1000 = 0.0421 . $$ **Démonstration.** Multiplier par $10$ fait valoir chaque chiffre dix fois plus : les dixièmes deviennent des unités, les unités des dizaines, et ainsi de suite — chaque chiffre se déplace d’une colonne à gauche dans le tableau de numération, ce qui revient à déplacer la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) d’une place à droite. Diviser inverse ce mouvement. ∎ **Exemple 38.8 (Unités de mesure).** Convertir des unités, c’est exactement ce jeu : comme $1$ m $= 100$ cm, $$ 3.75 \text{ m} = 3.75 \times 100 \text{ cm} = 375 \text{ cm}, \qquad 42 \text{ mm} = 42 \div 10 \text{ cm} = 4.2 \text{ cm}. $$ ## 38.4 Arrondi **Définition 38.9 (Arrondi).** L’*arrondi* d’un nombre à l’unité (ou au dixième, au centième, …) est le nombre le plus proche avec cette précision. On regarde le chiffre suivant : s’il vaut $0,1,2,3,4$, on arrondit vers le bas (on garde) ; s’il vaut $5,6,7,8,9$, on arrondit vers le haut. **Exemple 38.10.** $7.38$ [arrondi](#def-g6-decimals-rounding) à l’unité est $7$ (chiffre suivant $3$ : on garde) ; [arrondi](#def-g6-decimals-rounding) au dixième, c’est $7.4$ (chiffre suivant $8$ : on arrondit vers le haut). Le prix $4.996$ [arrondi](#def-g6-decimals-rounding) au centième est $5.00$ — l’[arrondi](#def-g6-decimals-rounding) peut changer tous les chiffres ! ## 38.5 Exercices **Exercice 38.1 ★.** Écrire comme un [nombre décimal](#def-g6-decimals-places) : $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$ ; $\dfrac{9}{10}$ ; $12 + \dfrac{4}{1000}$ ; « huit unités et cinq centièmes ». **Solution de Exercice 38.1.** $5.37$ ; $0.9$ ; $12.004$ ; $8.05$. **Exercice 38.2 ★.** Dans $86.354$ : quel est le chiffre des dixièmes ? Des centièmes ? Que compte le chiffre $8$ ? Écrire ce nombre comme dans [Définition 38.1](#def-g6-decimals-places). **Solution de Exercice 38.2.** Chiffre des dixièmes : $3$ ; chiffre des centièmes : $5$ ; le $8$ compte les dizaines. $$ 86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}. $$ **Exercice 38.3 ★.** Recopier et compléter avec $<$, $>$ ou $=$ : $$ 5.3 \;?\; 5.29, \qquad 0.7 \;?\; 0.70, \qquad 2.09 \;?\; 2.9, \qquad 14.5 \;?\; 14.49 . $$ **Solution de Exercice 38.3.** $5.3 > 5.29$ (comparer $5.30$ avec $5.29$) ; $0.7 = 0.70$ (les [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) finaux ne changent rien) ; $2.09 < 2.9$ (dixièmes : $0 < 9$) ; $14.5 > 14.49$. **Exercice 38.4 ★.** Ranger du plus petit au plus grand : $4.2$ ; $4.05$ ; $4.51$ ; $4.15$ ; $4.5$. **Solution de Exercice 38.4.** Compléter à deux décimales : $4.20$ ; $4.05$ ; $4.51$ ; $4.15$ ; $4.50$. Ordre : $$ 4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 . $$ **Exercice 38.5 ★.** Quels nombres décimaux correspondent aux points $A$, $B$, $C$ sur une droite graduée en dixièmes, si $A$ est $3$ graduations après $6$, $B$ est $7$ graduations après $6$, et $C$ est $2$ graduations après $7$ ? **Solution de Exercice 38.5.** Chaque graduation est un dixième. $A$ : $6.3$ ; $B$ : $6.7$ ; $C$ : $7.2$. **Exercice 38.6 ★.** Calculer en colonnes : $45.8 + 7.65$ ; $23.4 - 8.72$ ; $5.6 \times 2.4$ (compter les chiffres décimaux !). **Solution de Exercice 38.6.** $45.80 + 7.65 = 53.45$. $23.40 - 8.72 = 14.68$ (vérif. : $14.68 + 8.72 = 23.4$). $56 \times 24 = 1344$, et deux chiffres décimaux dans les facteurs : $5.6 \times 2.4 = 13.44$. **Exercice 38.7 ★.** Calculer sans aucun calcul écrit : $$ 6.42 \times 10, \qquad 0.35 \times 1000, \qquad 78.1 \div 100, \qquad 5 \div 1000 . $$ **Solution de Exercice 38.7.** $6.42 \times 10 = 64.2$ ; $0.35 \times 1000 = 350$ ; $78.1 \div 100 = 0.781$ ; $5 \div 1000 = 0.005$. **Exercice 38.8 ★.** Convertir : $2.4$ m en cm ; $370$ g en kg ; $0.85$ km en m ; $56$ mm en m. **Solution de Exercice 38.8.** $2.4$ m $= 240$ cm ; $370$ g $= 0.37$ kg (diviser par $1000$) ; $0.85$ km $= 850$ m ; $56$ mm $= 0.056$ m. **Exercice 38.9 ★.** Arrondir $23.867$ : à l’unité ; au dixième ; au centième. Arrondir $9.97$ au dixième. **Solution de Exercice 38.9.** À l’unité : $24$ (chiffre suivant $8$ : [arrondir](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres#def-g4-numbers-round) vers le haut). Au dixième : $23.9$. Au centième : $23.87$. Et $9.97$ au dixième : le chiffre suivant est $7$, donc on arrondit vers le haut les $9$ dixièmes — $10.0$. **Exercice 38.10 ★★.** Une baguette coûte $1.15$. Léna en achète trois et paie avec un billet de $5$. Écrire les deux calculs nécessaires, et donner sa monnaie. **Solution de Exercice 38.10.** Prix des baguettes : $3 \times 1.15 = 3.45$. Monnaie : $5 - 3.45 = 1.55$. **Exercice 38.11 ★★.** Trouver un [nombre décimal](#def-g6-decimals-places) strictement entre $7.4$ et $7.5$ ; puis entre $3.99$ et $4$. Combien de tels nombres y a-t-il dans chaque cas ? **Solution de Exercice 38.11.** Entre $7.4$ et $7.5$ : par exemple $7.45$ (ou $7.41$, $7.499$, …). Entre $3.99$ et $4$ : par exemple $3.995$. Dans les deux cas il y a *infiniment* de tels nombres : on peut toujours ajouter des décimales. **Exercice 38.12 ★★★.** En utilisant chacun des chiffres $2$, $5$, $8$ exactement une fois et une [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point), écrire le plus grand nombre possible, puis le plus petit. (Les nombres comme $.58$ ne sont pas autorisés : la partie entière doit contenir au moins un chiffre.) **Solution de Exercice 38.12.** Le plus grand : mettre les plus grands chiffres en premier et la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) le plus tard possible : $85.2$. Le plus petit : les plus petits chiffres en premier et la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) le plus tôt possible : $2.58$. ## 38.6 Problème : le nombre juste après 3 n’existe pas **Problème 38.1.** Devoir maison — entre deux nombres décimaux il y en a toujours un autre : zoomer sur la droite graduée Sur l’échelle des nombres entiers, chaque nombre a un voisin de palier : juste après $7$ vient $8$, et rien n’habite entre les deux. Les nombres décimaux forment un monde tout différent. Quel est le nombre juste après $3$ ? Est-ce $3.1$ ? $3.01$ ? $3.001$ ? Ce problème met au point une technique de *zoom* sur la droite graduée (dans le prolongement de l’[Exercice 38.11](#exo-g6-decimals-11)) et aboutit à une conclusion célèbre : le nombre juste après $3$ *n’existe pas* — entre deux nombres décimaux, si proches soient-ils, il reste toujours de la place. **Partie I — Zoomer.** 1. Lequel est le plus grand, $2.999$ ou $3$ ? Calculer leur [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) . 2. Tracer une droite graduée de $7.4$ à $7.5$ , graduée en centièmes, et y placer $7.42$ , $7.45$ et $7.48$ . Dresser la liste de *tous* les nombres à deux chiffres après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) situés strictement entre $7.4$ et $7.5$ . Combien y en a-t-il ? 3. Zoomer encore : entre $7.44$ et $7.45$ , dresser la liste de tous les nombres à trois chiffres après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) . Combien y en a-t-il cette fois ? 4. Avec la même idée, expliquer comment compter les nombres ayant exactement trois chiffres après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) situés strictement entre $7.4$ et $7.5$ , et donner ce nombre. 5. Décrire la recette cachée derrière les questions 2 à 4 (le *zoom* ) : étant donné deux nombres qui ont l’air voisins, comme $5.67$ et $5.68$ , pourquoi le fait d’écrire un chiffre de plus après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) fait-il toujours apparaître un nombre strictement compris entre les deux ? Appliquer cette recette à $5.67$ et $5.68$ , puis à $0.1999$ et $0.2$ . **Partie II — Le voisin manquant.** 6. Tom affirme : « le nombre juste après $3$ , c’est $3.1$ ». Lui donner tort en nommant un nombre strictement compris entre $3$ et $3.1$ . Tom se replie sur $3.01$ , puis sur $3.001$ . Battre chacun de ses candidats. 7. Expliquer pourquoi *personne* ne peut gagner ce jeu contre nous : quel que soit le nombre strictement plus grand que $3$ que Tom propose, la recette du zoom de la question 5 fabrique un nombre strictement compris entre $3$ et sa proposition. Que cela prouve-t-il au sujet du « nombre juste après $3$ » ? 8. Passer maintenant de l’autre côté : Tom cherche le nombre juste *avant* $3$ et essaie $2.9$ , puis $2.99$ , puis $2.999$ . Battre ses trois candidats. Calculer ensuite $3 - 2.999$ , et décrire (sans poser l’opération) la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) entre $3$ et le nombre écrit avec un $2$ , une [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) et vingt chiffres $9$ . 9. Pourquoi rien de tout cela ne fonctionne-t-il pour les nombres *entiers* ? Expliquer en une ou deux phrases pourquoi il n’y a aucun nombre entier strictement compris entre $7$ et $8$ , alors qu’il s’y trouve quantité de nombres décimaux. 10. Une longueur est annoncée comme « $3.7$ cm, [arrondi](#def-g6-decimals-rounding) au dixième » ( [Définition 38.9](#def-g6-decimals-rounding) ). Donner la plus petite longueur qui s’arrondit en $3.7$ cm, et expliquer pourquoi une longueur de $3.75$ cm ne s’arrondit *pas* en $3.7$ — la longueur véritable vaut donc au moins $3.65$ cm et strictement moins que $3.75$ cm. **Partie III — Jeux de chiffres et de [virgules](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point).** 11. Ranger du plus petit au plus grand : $0.6$ ; $0.58$ ; $0.123$ ; $0.0999$ . Expliquer ensuite à un camarade, en une phrase, pourquoi $0.0999 < 0.6$ alors qu’il s’écrit avec plus de chiffres ( [Méthode 38.3](#met-g6-decimals-compare) ). 12. Dans un magasin, les prix ont toujours exactement deux chiffres après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) . Existe-t-il un *prix* strictement compris entre $4.99$ et $5$ ? Comparer avec la question 9 : qu’ont en commun les prix et les nombres entiers ? 13. En utilisant chacun des chiffres $2$ , $5$ , $8$ exactement une fois et une [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) (partie entière non vide, comme dans [Exercice 38.12](#exo-g6-decimals-12) ), trouver le nombre le plus proche de $6$ . Justifier en calculant la distance à $6$ des meilleurs candidats. 14. Le nombre le plus célèbre des mathématiques, $\pi$ , vérifie $3.141 < \pi < 3.142$ . Nommer un [nombre décimal](#def-g6-decimals-places) strictement compris entre $3.141$ et $3.142$ ; puis un nombre strictement compris entre $3.1415$ et $3.1416$ . (Les mathématiciens encadrent $\pi$ exactement ainsi — chaque nouvelle décimale est un zoom de plus. On verra $\pi$ à l’œuvre au [Chapitre 43](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#ch-g6-measure) .) 15. Le bouquet final : expliquer pourquoi il y a *plus de nombres décimaux entre $0$ et $1$ que n’importe quel nombre que l’on puisse nommer* . (Combien un zoom en produit-il ? Le zoom peut-il s’arrêter ?) **Solution de Problème 38.1.** **1.** $3$ est le plus grand : en complétant, $3.000 > 2.999$. La [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) vaut $3.000 - 2.999 = 0.001$, un millième. **2.** Strictement entre $7.4 = 7.40$ et $7.5 = 7.50$ se trouvent $$ 7.41,\ 7.42,\ 7.43,\ 7.44,\ 7.45,\ 7.46,\ 7.47,\ 7.48,\ 7.49 : $$ neuf nombres, un par nouvelle graduation. **3.** La même image, dix fois plus petite : entre $7.440$ et $7.450$ se trouvent $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — neuf nombres à nouveau. **4.** Entre $7.400$ et $7.500$, les nombres à trois chiffres après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) sont $7.401, 7.402, \dots, 7.499$ : tous les millièmes de $401$ à $499$, soit $99$ nombres. **5.** La recette du zoom : écrire les deux nombres avec le même nombre de décimales, puis *ajouter une décimale de plus* — le plus petit des deux suivi d’un chiffre de $1$ à $9$ tombe strictement entre les deux. En effet $5.67 = 5.670$ et $5.68 = 5.680$, et $$ 5.670 < 5.675 < 5.680 ; $$ de même $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Entre deux graduations voisines, il y a toujours tout un nouvel étage de neuf graduations plus fines. **6.** $3 < 3.05 < 3.1$ ; puis $3 < 3.005 < 3.01$ ; puis $3 < 3.0005 < 3.001$. Chaque candidat est battu par un zoom de plus. **7.** Quel que soit le nombre proposé par Tom — son candidat, strictement plus grand que $3$ — la question 5 fabrique un nombre strictement compris entre $3$ et ce candidat. Le candidat n’était donc *pas* le nombre le plus proche de $3$ : il en existe un encore plus proche. Comme cela arrive à tous les candidats sans exception, aucun nombre ne peut être « le nombre juste après $3$ » : il n’existe tout simplement pas. **8.** $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. Et $3 - 2.999 = 0.001$. Avec vingt neufs, la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) est une [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) suivie de dix-neuf [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) et d’un $1$ — une unité de la vingtième décimale : minuscule, mais pas nulle. Quel que soit le nombre de neufs que Tom écrit, il n’atteint jamais $3$. **9.** Les nombres entiers montent par pas de $1$ : être plus grand que $7$ et plus petit que $8$ demanderait un nombre entier d’unités strictement compris entre $7$ et $8$ unités, et il n’y en a pas. Le zoom n’y échappe qu’en écrivant des chiffres *après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point)* — précisément ce que les nombres entiers n’ont pas. **10.** La plus petite longueur qui s’arrondit en $3.7$ est $3.65$ cm : son chiffre suivant est $5$, donc on arrondit *vers le haut* ([Définition 38.9](#def-g6-decimals-rounding)). Et $3.75$ s’arrondit en $3.8$ pour la même raison. Ainsi « $3.7$ cm au dixième près » signifie : au moins $3.65$ cm, et strictement moins que $3.75$ cm — tout un segment de longueurs possibles se cache derrière une seule valeur arrondie. **11.** $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. En une phrase : en comparant chiffre par chiffre depuis la gauche, $0.0999$ a $0$ dixième alors que $0.6$ en a $6$, et la comparaison est réglée dès là — le nombre de chiffres écrits ne dit rien de la taille ([Méthode 38.3](#met-g6-decimals-compare)). **12.** Non : en centimes, $4.99$ euros font $499$ centimes et $5$ euros font $500$ centimes — deux nombres *entiers* consécutifs, sans rien entre eux. Les prix, qui ont exactement deux décimales, sont en réalité des nombres entiers de centimes déguisés : comme les nombres entiers de la question 9, ils ont bel et bien des voisins de palier. Le zoom sans fin exige le droit d’écrire toujours plus de décimales. **13.** Les candidats proches de $6$ sont $5.82$ et $8.25$ (un nombre commençant par $2$, ou par $58$, $25$, $82$, $85$, est loin de $6$). Distances : $6 - 5.82 = 0.18$ et $8.25 - 6 = 2.25$. Le plus proche est $5.82$. **14.** Par exemple $3.1415$, puisque $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$ ; puis $3.14159$, puisque $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Ce sont deux étapes réelles de la chasse à $\pi = 3.14159\dots$) **15.** Supposons que quelqu’un nomme un nombre, aussi grand qu’il le veut. Un zoom transforme chaque couple de graduations voisines entre $0$ et $1$ en neuf nouveaux nombres, et le zoom peut se répéter indéfiniment — les questions 2, 3 et 4 n’étaient que les deux premiers étages. En le répétant assez de fois, on [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) plus de nombres décimaux entre $0$ et $1$ que le nombre annoncé. Aucun nombre n’est donc assez grand pour les compter : il y en a une infinité.