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title: "Fractions : premiers pas"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 39
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas
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# Chapitre 39 — Fractions : premiers pas

Partager équitablement trois pizzas entre quatre personnes donne à chacun … pas un nombre entier de pizzas. Les [fractions](#def-g6-fractions-def) sont les nombres inventés pour le partage. Ce chapitre construit le tableau : une [fraction](#def-g6-fractions-def) comme part d’un tout, comme point sur la droite graduée, et comme résultat exact d’une division.

## 39.1 Ce qu’une fraction signifie

**Définition 39.1 (Fraction).**

On découpe une unité en $b$ parts égales, et on en prend $a$ : la quantité obtenue est la *fraction*

$$
\frac{a}{b}
\qquad
\begin{array}{l}
a \text{~: le \emph{numérateur} --- combien de parts on prend~;}\\
b \text{~: le \emph{dénominateur} --- en combien de parts l'unité est découpée.}
\end{array}
$$

![Deux fractions de la même barre. Le dénominateur dit à quel point le découpage est fin, le numérateur combien on en prend.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-8e367a49644d.svg)

*Deux [fractions](#def-g6-fractions-def) de la même barre. Le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) dit à quel point le découpage est fin, le [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) combien on en prend.*

**Exemple 39.2.**

Une [fraction](#def-g6-fractions-def) peut être plus grande que $1$ : $\frac74$ signifie sept [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) — une unité entière (quatre [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)) et trois [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de plus :

$$
\frac74 = 1 + \frac34 .
$$

**Proposition 39.3 (Fractions sur la droite graduée).**

Pour placer $\frac ab$ sur la droite graduée, on découpe chaque intervalle unitaire en $b$ parts égales et on compte $a$ parts depuis $0$.

![La droite graduée en quarts : 3/4 est avant 1, 7/4 est entre 1 et 2, et 22/4 = 5 + 2/4 est à mi-chemin entre 5 et 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-b24e42c46fdc.svg)

*La droite graduée en [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) : $\frac34$ est avant $1$, $\frac74$ est entre $1$ et $2$, et $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ est à mi-chemin entre $5$ et $6$.*

**Théorème 39.4 (Une fraction est une division).**

La [fraction](#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ :

$$
\frac ab \times b = a .
$$

Autrement dit, $\frac ab$ est le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) exact de $a$ par $b$ — même quand la division « ne tombe pas juste ».

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 39.5.**

Trois pizzas pour quatre personnes : chacune obtient $\frac34$ d’une pizza. Vérification avec le théorème : $4$ parts de $\frac34$ font $\frac34 \times 4 = 3$ pizzas. Certaines [fractions](#def-g6-fractions-def) sont des nombres décimaux ($\frac34 = 0.75$), d’autres non : $\frac13 = 0.333\dots$ ne s’arrête jamais. La [fraction](#def-g6-fractions-def) est la valeur *exacte* ; $0.33$ n’est qu’une approximation.

## 39.2 Fractions égales

**Proposition 39.6 (Fractions équivalentes).**

Une [fraction](#def-g6-fractions-def) ne change pas lorsque son [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et son [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) sont tous deux multipliés (ou divisés) par le même nombre non nul :

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**Idée de démonstration.** Découper chaque part du partage en $k$ plus petites pièces multiplie à la fois le nombre de pièces prises et le nombre total de pièces par $k$, mais la quantité prise [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) la même. Un dessin le dit le mieux : ∎

![2/3 = 4/6 : découper chaque tiers en deux double les comptes, en haut et en bas, sans changer la quantité coloriée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-1cfba25eec39.svg)

*$\frac23 = \frac46$ : découper chaque tiers en deux double les comptes, en haut et en bas, sans changer la quantité coloriée.*

**Méthode 39.7 (Simplifier une fraction).**

Chercher un nombre divisant le [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) *et* le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def), et diviser les deux. Répéter jusqu’à ce qu’il ne reste plus de [diviseur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) commun :

$$
\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}
= \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.
$$

## 39.3 Prendre une fraction d’une quantité

**Méthode 39.8 (Fraction d’une quantité).**

Pour calculer $\frac ab$ d’une quantité, diviser la quantité par $b$ (une part), puis multiplier par $a$ (le nombre de parts) :

$$
\frac ab \text{ de } Q = (Q \div b) \times a .
$$

(Multiplier d’abord par $a$ puis diviser par $b$ donne le même résultat — choisir l’ordre qui rend les nombres plus jolis.)

**Exemple 39.9.**

Calculer $\frac35$ de $40$ euros, étape par étape :

1. un cinquième de $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
2. trois cinquièmes : $8 \times 3 = 24$ .

Donc $\frac35$ de $40$ euros, c’est $24$ euros. Vérif. : les $\frac25$ restants font $16$ euros, et $24 + 16 = 40$.

## 39.4 Exercices

**Exercice 39.1 ★.**

Pour chaque description d’image, écrire la [fraction](#def-g6-fractions-def) : un gâteau découpé en $8$ parts, $3$ mangées ; une tablette de chocolat de $12$ carrés, $7$ mangés ; une tarte découpée en $6$, les $6$ mangées.

**Solution de Exercice 39.1.**

Gâteau : $\frac38$ mangés. Chocolat : $\frac{7}{12}$. Tarte : $\frac66 = 1$ (toute la tarte).

**Exercice 39.2 ★.**

Dessiner une barre découpée en $5$ parts égales et colorier $\frac45$. $\frac45$ est-elle plus petite ou plus grande que $1$ ? Et $\frac65$ ?

**Solution de Exercice 39.2.**

Quatre parts sur cinq sont coloriées. $\frac45 < 1$ (quatre parts sur cinq, c’est moins que la barre entière) ; $\frac65 > 1$ (six cinquièmes, c’est une barre entière et un cinquième de plus).

**Exercice 39.3 ★.**

Placer sur une droite graduée en tiers : $\frac13$ ; $\frac53$ ; $2$ ; $\frac73$. Lesquels de ces nombres sont à égale distance de $2$ ?

**Solution de Exercice 39.3.**

Sur la droite graduée en tiers : $\frac13$ est une graduation après $0$ ; $\frac53$ est une graduation avant $2$ (car $2 = \frac63$) ; $\frac73$ est une graduation après $2$. Donc $\frac53$ et $\frac73$ sont tous deux à distance $\frac13$ de $2$.

**Exercice 39.4 ★.**

Écrire chaque [fraction](#def-g6-fractions-def) comme un entier plus une [fraction](#def-g6-fractions-def) plus petite que $1$ (comme dans $\frac74 = 1 + \frac34$) :

$$
\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad
\frac{25}{8} .
$$

**Solution de Exercice 39.4.**

$\frac94 = 2 + \frac14$ ; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$ ; $\frac{12}{6} = 2$ (exactement) ; $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$.

**Exercice 39.5 ★.**

Compléter pour que les [fractions](#def-g6-fractions-def) soient égales :

$$
\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad
\frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad
\frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad
\frac{?}{6} = \frac{10}{12}.
$$

**Solution de Exercice 39.5.**

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (multiplier par $4$) ; $\frac{15}{20} = \frac34$ (diviser par $5$) ; $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (multiplier par $3$) ; $\frac56 = \frac{10}{12}$ (diviser par $2$).

**Exercice 39.6 ★.**

Simplifier au maximum : $\dfrac{6}{8}$ ; $\dfrac{15}{25}$ ; $\dfrac{18}{24}$ ; $\dfrac{35}{7}$.

**Solution de Exercice 39.6.**

$\frac68 = \frac34$ ; $\frac{15}{25} = \frac35$ ; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$ ; $\frac{35}{7} = 5$ (un entier).

**Exercice 39.7 ★.**

Calculer : $\frac12$ de $86$ ; $\frac34$ de $60$ ; $\frac25$ de $35$ ; $\frac{7}{10}$ de $250$.

**Solution de Exercice 39.7.**

$\frac12$ de $86$ : $86 \div 2 = 43$.

$\frac34$ de $60$ : $60 \div 4 = 15$, puis $15 \times 3 = 45$.

$\frac25$ de $35$ : $35 \div 5 = 7$, puis $7 \times 2 = 14$.

$\frac{7}{10}$ de $250$ : $250 \div 10 = 25$, puis $25 \times 7 = 175$.

**Exercice 39.8 ★.**

Laquelle est la plus grande : $\frac12$ ou $\frac13$ (du même gâteau) ? $\frac25$ ou $\frac35$ ? $\frac34$ ou $\frac78$ (écrire les deux avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $8$) ?

**Solution de Exercice 39.8.**

$\frac12 > \frac13$ : les [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) sont des parts plus grandes que les tiers. $\frac35 > \frac25$ : mêmes parts, plus d’entre elles. $\frac34 = \frac68 < \frac78$ : sept huitièmes battent six huitièmes.

**Exercice 39.9 ★★.**

Donner la valeur décimale des [fractions](#def-g6-fractions-def) qui en ont une, et dire laquelle n’en a pas : $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac13$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{9}{4}$.

**Solution de Exercice 39.9.**

$\frac12 = 0.5$ ; $\frac34 = 0.75$ ; $\frac{7}{10} = 0.7$ ; $\frac94 = 2.25$. L’intrus est $\frac13 = 0.333\dots$, dont l’écriture décimale ne s’arrête jamais : ce n’est pas un [nombre décimal](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-places).

**Exercice 39.10 ★★.**

Une classe a $28$ élèves. Les trois [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) viennent à l’école en bus, et le reste à pied. Combien d’élèves viennent à pied ? Résoudre étape par étape, et vérifier que les tailles des deux groupes additionnent $28$.

**Solution de Exercice 39.10.**

Usagers du bus : $\frac34$ de $28$ : $28 \div 4 = 7$, puis $7 \times 3 = 21$ élèves. À pied : $28 - 21 = 7$ élèves (c’est le [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) restant : $28 \div 4 = 7$). Vérif. : $21 + 7 = 28$.

**Exercice 39.11 ★★.**

Léo a dépensé $\frac23$ de ses économies pour un jeu qui a coûté $18$ euros. Combien d’argent Léo avait-il avant ? (Un tiers de ses économies est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $18$ … réfléchir pourquoi, ou trouver d’abord la taille d’une part.)

**Solution de Exercice 39.11.**

Les deux tiers des économies valent $18$ euros, donc *un* tiers vaut $18 \div 2 = 9$ euros, et les économies entières (trois tiers) étaient $9 \times 3 = 27$ euros. Vérif. : $\frac23$ de $27$ est $18$.

**Exercice 39.12 ★★★.**

Un réservoir est rempli aux $\frac58$ de sa capacité. Après avoir utilisé $10$ litres, il est à [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) plein. Quelle est la capacité du réservoir ? (Quelle [fraction](#def-g6-fractions-def) du réservoir les $10$ litres représentent-ils ?)

**Solution de Exercice 39.12.**

L’eau utilisée est passée de $\frac58$ à $\frac48$ (une [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), c’est quatre huitièmes) du réservoir : les $10$ litres représentent $\frac58 - \frac48 = \frac18$ de la capacité. Donc le réservoir plein tient $10 \times 8 = 80$ litres. Vérif. : $\frac58$ de $80$ est $50$, moins $10$ laisse $40$, qui est bien la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $80$.

## 39.5 Problème : la tablette de chocolat qu’on ne finit jamais

**Problème 39.1.**

Devoir maison — des moitiés de moitiés : la somme $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ grimpe vers $1$ sans jamais l’atteindre

Prendre une tablette de chocolat. En manger la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half). Puis manger la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de *ce qui reste*. Puis encore la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de ce qui reste, et ainsi de suite. Deux choses semblent vraies en même temps : on ne finit jamais la tablette (il reste toujours quelque chose), et pourtant on la mange presque entièrement. Ce problème transforme ces deux impressions en énoncés exacts sur les [fractions](#def-g6-fractions-def) — et croise en chemin un coureur de la Grèce antique et un partage qui se règle avec un couteau ne sachant que couper en deux.

**Partie I — Des [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half).** La tablette est un rectangle de $16$ carrés égaux.

1. Première bouchée : on mange la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la tablette. Cela fait combien de carrés ? Écrire cette bouchée comme une [fraction](#def-g6-fractions-def) de la tablette de deux façons, avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $2$ puis avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $16$ ( [Proposition 39.6](#prop-g6-fractions-equal) ).
2. Deuxième bouchée : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de ce qui reste. Combien de carrés ? Montrer, sur le dessin ou avec des [fractions](#def-g6-fractions-def) égales, que cette bouchée vaut $\frac14$ de la tablette entière : *la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’une [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) est un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)* .
3. Troisième et quatrième bouchées, même règle : donner chacune en carrés et en [fraction](#def-g6-fractions-def) de la tablette. Qu’arrive-t-il au [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) d’une bouchée à la suivante ?
4. Après les quatre bouchées, combien de carrés ont été mangés en tout ? Quelle [fraction](#def-g6-fractions-def) de la tablette cela représente-t-il, et quelle fraction reste-t-il ?
5. La question 4 s’écrit, en seizièmes : $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16},  \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad  \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16} .$$ Vérifier chacune des quatre réécritures ($\frac12 = \frac{8}{16}$, et ainsi de suite).

**Partie II — L’escalier vers $1$.** Pour continuer à mordre, imaginer une tablette plus fine, de $64$ carrés.

6. Donner la taille des six premières bouchées, en carrés ( $32$ , puis …), et vérifier qu’après la sixième bouchée il reste exactement un carré. Quelle [fraction](#def-g6-fractions-def) de la tablette reste-t-il ?
7. Après chaque bouchée, quelle [fraction](#def-g6-fractions-def) de la tablette reste-t-il ? Écrire la liste ( $\frac12$ , $\frac14$ , …) jusqu’à la sixième bouchée, et décrire la régularité. Si un couteau imaginaire pouvait couper en deux jusqu’au dernier carré, que resterait-il après une septième bouchée ?
8. Expliquer pourquoi le total mangé ne peut *jamais* atteindre $1$ , quel que soit le nombre de bouchées. (Comparer avec les vingt neufs du [Problème 38.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#pb-g6-decimals-1) : est-ce la même histoire ?)
9. Pourtant le total dépasse n’importe quel objectif inférieur à $1$ . Un camarade nous met au défi de manger plus des $\frac{99}{100}$ de la tablette. Lequel est le plus petit, $\frac{1}{128}$ ou $\frac{1}{100}$ — et après quelle bouchée le défi est-il gagné ?
10. Sur une droite graduée de $0$ à $1$ en seizièmes, placer les totaux mangés après chacune des quatre premières bouchées : $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ . Où tombe chaque nouveau total, par rapport au précédent et par rapport à $1$ ?

**Partie III — Le coureur de Zénon, et un couteau qui ne sait que couper en deux.**

11. Il y a vingt-quatre siècles, le philosophe grec Zénon racontait ceci : pour atteindre un mur, un coureur doit d’abord parcourir la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la distance, puis la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de ce qui reste, puis encore la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de ce qui reste … « donc le coureur n’atteint jamais le mur ! » À l’aide des questions 8 et 9, dire ce qui est *juste* dans l’histoire de Zénon, et où se cache le piège. (Le coureur a-t-il vraiment besoin d’un temps infini pour franchir toutes ces étapes ?)
12. Le partage : partager équitablement $15$ tablettes identiques entre $16$ enfants, en n’utilisant que des coupes en deux (d’une tablette, d’une demi-tablette, d’un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de tablette …). Décrire les coupes : combien de tablettes sont coupées en deux, combien en quatre, en huit, en seize, pour que chaque enfant reçoive un morceau de chaque taille ?
13. Vérifier ce partage : écrire la part de chaque enfant comme une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de [fractions](#def-g6-fractions-def) , la calculer en seizièmes, et vérifier que les $16$ parts épuisent exactement les $15$ tablettes.
14. Dans la classe voisine, $7$ tablettes sont partagées équitablement entre $8$ enfants. Quel enfant reçoit le plus de chocolat — l’un des $16$ , ou l’un des $8$ ? (Écrire les deux parts avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $16$ , [Exercice 39.8](#exo-g6-fractions-8) .)
15. Le bouquet final : un camarade prétend qu’avec une infinité de bouchées on mangerait *exactement* toute la tablette. Dessiner un carré et colorier les bouchées à l’intérieur : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du carré, puis un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) , puis un huitième … Que constate-t-on sur le coin non colorié ? Énoncer soigneusement les deux faits vrais de tout ce problème : ce qui reste après tout nombre fini de bouchées, et à quel point ce [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) devient petit. (Ce que signifie exactement une « [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) infinie » est une histoire pour le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-volume) suivant.)

**Solution de Problème 39.1.**

**1.** La [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $16$ carrés, c’est $8$ carrés. En [fraction](#def-g6-fractions-def) : $\frac12$ de la tablette, et comme chaque [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) fait $8$ carrés sur $16$, aussi $\frac{8}{16}$ — la même [fraction](#def-g6-fractions-def) écrite de deux façons ([Proposition 39.6](#prop-g6-fractions-equal)).

**2.** La [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) des $8$ carrés restants, c’est $4$ carrés, soit $\frac{4}{16}$ de la tablette. En simplifiant par $4$ : $\frac{4}{16} = \frac14$. Sur le dessin : couper en deux la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) restante donne deux [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la tablette de départ — la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’une [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) est un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half).

**3.** Troisième bouchée : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $4$ carrés, soit $2$ carrés, c’est-à-dire $\frac{2}{16} = \frac18$ de la tablette. Quatrième bouchée : $1$ carré, c’est-à-dire $\frac{1}{16}$. D’une bouchée à la suivante, le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) *double* : $2$, $4$, $8$, $16$.

**4.** Mangés : $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ carrés sur $16$, soit $\frac{15}{16}$ de la tablette. [Reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) : $1$ carré, $\frac{1}{16}$.

**5.** $\frac12 = \frac{8}{16}$ (multiplier en haut et en bas par $8$), $\frac14 = \frac{4}{16}$ (par $4$), $\frac18 = \frac{2}{16}$ (par $2$), et $\frac{1}{16}$ [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) tel quel. En comptant les seizièmes : $8 + 4 + 2 + 1 = 15$, donc le total vaut $\frac{15}{16}$.

**6.** Bouchées : $32$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$ carrés. Total mangé : $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ carrés, il reste donc $1$ carré : $\frac{1}{64}$ de la tablette.

**7.** Après chaque bouchée il reste

$$
\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad
\frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :
$$

le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est divisé par deux à chaque fois — son [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) double. Une septième bouchée, imaginaire, laisserait $\frac{1}{128}$.

**8.** Chaque bouchée ne mange que la *[moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)* de ce qui reste : l’autre [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est donc toujours là. Après un nombre quelconque de bouchées, il reste toujours quelque chose. Le total mangé est donc toujours inférieur à $1$ — exactement comme les vingt neufs du [Problème 38.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#pb-g6-decimals-1), qui s’approchent indéfiniment de $3$ sans l’atteindre.

**9.** Les deux [fractions](#def-g6-fractions-def) ont le [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $1$, et couper en $128$ parts donne des parts plus petites que couper en $100$ : donc $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$. Après la septième bouchée, le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) vaut $\frac{1}{128}$, donc la part mangée dépasse $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ : le défi est gagné à la septième bouchée.

**10.** En seizièmes, les totaux sont $\frac{8}{16}$, $\frac{12}{16}$, $\frac{14}{16}$, $\frac{15}{16}$. Chaque nouveau total tombe exactement *au milieu* entre le total précédent et $1$ : l’escalier réduit de [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), à chaque marche, la distance qui lui [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) jusqu’à $1$, sans jamais poser le pied dessus.

**11.** Ce qui est juste : à chaque étape de la description de Zénon, il reste bel et bien une distance (question 8) — la liste des étapes ne s’arrête jamais. Le piège : les étapes deviennent extrêmement courtes, en distance *et* en durée ; le coureur ne passe pas le même temps sur chacune. Décrire la course en une infinité de morceaux de plus en plus petits ne rend pas la course elle-même sans fin : le coureur atteint le mur, et la question 9 montre que la description dépasse tout point situé avant lui.

**12.** Couper $8$ tablettes en deux : $16$ demi-morceaux. Couper $4$ tablettes en quatre : $16$ [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half). Couper $2$ tablettes en huit : $16$ huitièmes. Couper la dernière tablette en seize : $16$ petits morceaux. Cela utilise $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ tablettes, et chaque enfant reçoit un morceau de chaque taille.

**13.** La part de chaque enfant vaut

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
$$

de tablette (question 5). Seize parts pareilles font $16 \times \frac{15}{16} = 15$ tablettes ([Théorème 39.4](#thm-g6-fractions-quotient)) : exactement ce qui a été coupé, sans rien en trop — un partage équitable de $15$ tablettes entre $16$ enfants, rien qu’en coupant en deux.

**14.** Les voisins reçoivent $\frac78$ de tablette chacun. Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $16$ : $\frac78 = \frac{14}{16}$, alors que nos enfants reçoivent $\frac{15}{16}$. Un enfant des $16$ reçoit donc davantage : $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$, d’un seizième de tablette.

**15.** Sur le dessin du carré, chaque bouchée coloriée remplit la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du coin encore blanc, et ce coin blanc ne cesse de rétrécir : après chaque bouchée il est deux fois plus petit qu’avant, et il ne disparaît jamais. Les deux faits vrais : (i) après tout nombre fini de bouchées, il reste quelque chose — le total mangé est toujours strictement inférieur à $1$ ; (ii) ce [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) devient plus petit que n’importe quelle [fraction](#def-g6-fractions-def) que l’on voudra nommer ($\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$, …), pourvu qu’on morde assez longtemps. Donner leur sens exact aux mots « la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) infinie vaut $1$ » est le travail des *limites*, dans le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-volume) suivant.