---
title: "Droites, cercles et angles"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 40
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles
---

# Chapitre 40 — Droites, cercles et angles

La géométrie commence avec une règle, une équerre et un compas. Ce chapitre fixe le vocabulaire — points, [segments](#def-g6-lines-objects), demi-droites, droites, cercles —, introduit les deux positions spéciales des droites ([parallèles](#def-g6-lines-perp) et [perpendiculaires](#def-g6-lines-perp)), et enseigne à mesurer et tracer des angles.

## 40.1 Points, segments, droites

**Définition 40.1 (Objets de base).**

Par deux points distincts $A$ et $B$ passent :

- le *segment* $[AB]$ : la partie de la droite entre $A$ et $B$ (il a une longueur, notée $AB$ ) ;
- la *demi-droite* $[AB)$ : part de $A$ , passe par $B$ et continue indéfiniment ;
- la *droite* $(AB)$ : s’étend indéfiniment des deux côtés. Deux points déterminent exactement une droite.

Des points sur la même droite sont dits *alignés*.

![Mêmes deux points, trois objets différents. Les crochets disent ce qui s’arrête et ce qui continue : ( s’arrête, ( continue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-f61f25b5da7e.svg)

*Mêmes deux points, trois objets différents. Les crochets disent ce qui s’arrête et ce qui continue : $[$ s’arrête, $($ continue.*

## 40.2 Droites parallèles et perpendiculaires

**Définition 40.2 (Perpendiculaires, parallèles).**

Deux droites sont *perpendiculaires* lorsqu’elles se croisent à [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ; on écrit $d_1 \perp d_2$ et on marque l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) d’un petit carré. Deux droites sont *parallèles* lorsqu’elles ne se rencontrent jamais, aussi loin qu’on les prolonge ; on écrit $d_1 \parallel d_2$.

![Un croisement à angle droit (marqué du petit carré) et deux parallèles : même direction, pas de point de croisement.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-cc8654014598.svg)

*Un croisement à [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) (marqué du petit carré) et deux [parallèles](#def-g6-lines-perp) : même direction, pas de point de croisement.*

**Proposition 40.3 (Deux faits utiles).**

1. Si deux droites sont toutes deux [perpendiculaires](#def-g6-lines-perp) à une troisième, elles sont [parallèles](#def-g6-lines-perp) entre elles.
2. Si deux droites sont [parallèles](#def-g6-lines-perp) , toute droite [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à l’une est [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à l’autre.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Méthode 40.4 (Tracer avec l’équerre).**

Pour tracer la [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à une droite $d$ passant par un point $P$ :

1. placer un côté de l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) de l’équerre le long de $d$ ;
2. glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que l’autre côté atteigne $P$ ;
3. tracer la droite le long de ce côté, et marquer l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) .

Pour une [parallèle](#def-g6-lines-perp) par $P$ : tracer une [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à $d$, puis la [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à *cette* droite par $P$ ([Proposition 40.3](#prop-g6-lines-facts)).

## 40.3 Cercles

**Définition 40.5 (Cercle).**

Le *cercle* de centre $O$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ est l’ensemble de tous les points situés à distance exactement $r$ de $O$. Un [segment](#def-g6-lines-objects) du centre au cercle est un *[rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes)* ; un [segment](#def-g6-lines-objects) joignant deux points du cercle en passant par le centre est un *[diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle)* — sa longueur est $2r$ ; un [segment](#def-g6-lines-objects) joignant deux points du cercle est une *corde*.

![Un cercle avec un rayon (OM), un diamètre (AB) (une corde passant par le centre, deux fois plus longue que le rayon) et une corde (CD).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-097b3b308e65.svg)

*Un cercle avec un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $[OM]$, un [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[AB]$ (une corde passant par le centre, deux fois plus longue que le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes)) et une corde $[CD]$.*

**Exemple 40.6.**

« Tracer le cercle de centre $O$ passant par $A$ » : ouvrir le compas de $O$ à $A$ — le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) est la distance $OA$ — et tourner. Tout point de ce cercle est à la même distance de $O$ que $A$.

## 40.4 Angles

**Définition 40.7 (Angle).**

Deux demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ de même origine $A$ forment l’*angle* $\widehat{BAC}$ ; le point $A$ est son *[sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)* (toujours la lettre du milieu !). Les angles se mesurent en *degrés* ($^\circ$), de $0^\circ$ à $360^\circ$ pour un tour complet. Un angle est :

- *droit* s’il mesure $90^\circ$ ;
- *aigu* s’il mesure moins de $90^\circ$ ;
- *obtus* s’il mesure entre $90^\circ$ et $180^\circ$ ;
- *plat* s’il mesure $180^\circ$ (les deux demi-droites forment une droite).

![Les quatre familles d’angles. L’angle droit (90) est la référence : aigu signifie plus petit, obtus signifie plus grand.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-a3b4360bd9d4.svg)

*Les quatre familles d’angles. L’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ($90^\circ$) est la référence : aigu signifie plus petit, obtus signifie plus grand.*

**Méthode 40.8 (Mesurer un angle avec un rapporteur).**

1. Placer le centre du rapporteur exactement sur le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de l’angle ;
2. aligner sa ligne $0^\circ$ avec un côté de l’angle ;
3. lire la graduation croisée par l’autre côté — en utilisant l’échelle qui commence à $0$ du côté aligné ;
4. vérifier à l’œil : un angle aigu doit lire moins de $90^\circ$ , un obtus plus.

**Exemple 40.9.**

Avant de mesurer, estimer ! Un angle un peu plus ouvert que le coin d’une feuille de papier est un peu plus de $90^\circ$ ; la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) est $45^\circ$ ; le tiers d’un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) est $30^\circ$. Si le rapporteur dit $150^\circ$ pour un angle qui semble aigu, on a lu la mauvaise échelle : la mesure correcte est $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

## 40.5 Exercices

**Exercice 40.1 ★.**

Tracer trois points $A$, $B$, $C$ non alignés. Tracer en couleurs différentes : le [segment](#def-g6-lines-objects) $[AB]$, la demi-droite $[CA)$, la droite $(BC)$.

**Solution de Exercice 40.1.**

Construction libre. Le [segment](#def-g6-lines-objects) s’arrête en $A$ et $B$ ; la demi-droite part de $C$ et continue au-delà de $A$ ; la droite continue des deux côtés de $B$ et $C$.

**Exercice 40.2 ★.**

Vrai ou faux ? « $[AB]$ et $[BA]$ sont le même [segment](#def-g6-lines-objects). » « $[AB)$ et $[BA)$ sont la même demi-droite. » « $(AB)$ et $(BA)$ sont la même droite. » Expliquer chaque réponse.

**Solution de Exercice 40.2.**

« $[AB] = [BA]$ » : *vrai* — la partie entre les deux points ne dépend pas de l’ordre.

« $[AB) = [BA)$ » : *faux* — $[AB)$ part de $A$, $[BA)$ part de $B$ ; elles pointent dans des directions opposées.

« $(AB) = (BA)$ » : *vrai* — les deux noms décrivent la même droite illimitée.

**Exercice 40.3 ★.**

Tracer une droite $d$ et un point $P$ hors de $d$. Construire avec l’équerre : la [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à $d$ par $P$, puis la [parallèle](#def-g6-lines-perp) à $d$ par $P$. Décrire les étapes.

**Solution de Exercice 40.3.**

Étapes : glisser l’équerre le long de $d$ jusqu’à ce que son côté [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) passe par $P$ ; tracer cette [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp), l’appeler $p$. Puis tracer la [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à $p$ passant par $P$ de la même façon : par [Proposition 40.3](#prop-g6-lines-facts), elle est [parallèle](#def-g6-lines-perp) à $d$.

**Exercice 40.4 ★.**

Les droites $a$ et $b$ sont toutes deux [perpendiculaires](#def-g6-lines-perp) à une droite $c$, et une quatrième droite $e$ est [perpendiculaire](#def-g6-lines-perp) à $a$. Que peut-on dire de $a$ et $b$ ? De $e$ et $c$ ? Justifier avec [Proposition 40.3](#prop-g6-lines-facts).

**Solution de Exercice 40.4.**

$a$ et $b$ sont toutes deux [perpendiculaires](#def-g6-lines-perp) à la même droite $c$, donc $a \parallel b$ (fait 1). Pour $e$ et $c$ : toutes deux sont [perpendiculaires](#def-g6-lines-perp) à la même droite $a$ (on nous dit $e \perp a$, et $a \perp c$ signifie aussi $c \perp a$), donc le fait 1 s’applique encore : $e \parallel c$.

**Exercice 40.5 ★.**

Tracer un cercle de centre $O$ de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Placer un point $M$ sur le cercle, un point $N$ à l’intérieur, un point $P$ à l’extérieur. Que peut-on dire des distances $OM$, $ON$, $OP$ par rapport à $3$ cm ?

**Solution de Exercice 40.5.**

$OM = 3$ cm exactement ($M$ est sur le cercle) ; $ON < 3$ cm ($N$ à l’intérieur) ; $OP > 3$ cm ($P$ à l’extérieur).

**Exercice 40.6 ★.**

Un cercle a un [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) de $9$ cm. Quel est son [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) ? Un autre a un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de $2.6$ cm : quel est son [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) ?

**Solution de Exercice 40.6.**

[Rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. [Diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

**Exercice 40.7 ★.**

Nommer l’angle marqué en trois lettres, puis le classer (aigu, droit, obtus, plat) : un angle de $72^\circ$ au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $R$ entre les demi-droites vers $S$ et $T$ ; un angle de $148^\circ$ au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $B$ entre les demi-droites vers $A$ et $C$ ; un angle de $90^\circ$ au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $O$ entre les demi-droites vers $M$ et $N$.

**Solution de Exercice 40.7.**

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : aigu. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : obtus. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : droit. (Le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) est toujours la lettre du milieu.)

**Exercice 40.8 ★.**

Estimer, puis mesurer au rapporteur, les trois angles d’un triangle dessiné soi-même. Additionner les trois mesures : que trouve-t-on ? (Garder sa réponse pour [Chapitre 51](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#ch-g7-triangles).)

**Solution de Exercice 40.8.**

Les mesures dépendent du triangle dessiné, mais la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des trois angles est toujours (très proche de) $180^\circ$ — les petites [différences](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) viennent de l’imprécision de mesure. [Chapitre 51](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#ch-g7-triangles) prouve que la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) est exactement $180^\circ$.

**Exercice 40.9 ★.**

Tracer un angle $\widehat{xOy}$ de $65^\circ$ au rapporteur, puis un angle de $130^\circ$. Comment obtenir le second à partir du premier sans le rapporteur ?

**Solution de Exercice 40.9.**

Construction libre. Pour obtenir $130^\circ$ à partir de $65^\circ$ sans le rapporteur : copier l’angle de $65^\circ$ deux fois côte à côte ($65 + 65 = 130$), par exemple au papier calque ou par report d’angle à la règle et au compas.

**Exercice 40.10 ★★.**

Deux villages $A$ et $B$ sont dessinés sur une carte. Où sont les points situés à $3$ cm de $A$ *et* à $2$ cm de $B$ ? Dessiner une figure montrant combien de tels points il peut y avoir ($0$, $1$ ou $2$ selon la distance $AB$).

**Solution de Exercice 40.10.**

Les points à $3$ cm de $A$ forment le cercle de centre $A$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm ; ceux à $2$ cm de $B$ forment le cercle de centre $B$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm. Les points cherchés sont les intersections des deux cercles : deux points si les cercles se croisent ($AB$ strictement entre $1$ et $5$ cm), un s’ils se touchent ($AB = 5$ cm ou $AB = 1$ cm), aucun s’ils sont trop éloignés ou l’un à l’intérieur de l’autre.

**Exercice 40.11 ★★.**

Une horloge indique 3 heures : quel est l’angle entre les deux aiguilles ? Même question à 5 heures, et à 6 heures. (Un tour complet est $360^\circ$ pour $12$ heures.)

**Solution de Exercice 40.11.**

Les $12$ marques d’heures partagent le tour complet en $12$ angles de $360 \div 12 = 30^\circ$. À 3 heures, les aiguilles couvrent $3$ marques : $90^\circ$ (un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle)). À 5 heures : $5 \times 30 = 150^\circ$. À 6 heures : $180^\circ$ (un angle plat).

**Exercice 40.12 ★★★.**

Tracer un [segment](#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $6$ cm. Construire le point $C$ tel que $AC = BC = 6$ cm, en n’utilisant que le compas, et mesurer l’angle $\widehat{CAB}$. Quel triangle a-t-on construit, et que conjecture-t-on sur ses angles ?

**Solution de Exercice 40.12.**

Tracer deux arcs de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm centrés en $A$ et en $B$ ; leur point de croisement est $C$. Les trois côtés mesurent $6$ cm : le triangle est équilatéral, et chaque angle mesure $60^\circ$ (la mesure le confirme). Conjecture : un triangle équilatéral a trois angles égaux de $60^\circ$.

## 40.6 Problème : la géométrie du cadran d’une horloge

**Problème 40.1.**

Devoir maison — les angles comme fractions d’un tour : les lire sur une horloge, traquer les instants où les aiguilles se rejoignent, et découper une journée en camembert

Une horloge est un rapporteur qui donne l’heure : son cadran est un tour complet de $360^\circ$, découpé par les douze repères des heures en douze angles égaux. [Exercice 40.11](#exo-g6-lines-11) a mesuré l’écart des aiguilles à 3 h et à 6 h ; ce problème en construit la théorie complète — y compris les instants où *aucune* aiguille ne pointe vers un repère — répond à une question que peu d’adultes tranchent correctement (« combien de fois les deux aiguilles sont-elles exactement l’une sur l’autre ? »), et se termine en découpant une journée entière en diagramme circulaire.

**Partie I — Des [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de tour.**

1. Un tour complet mesure $360^\circ$ . Combien de degrés font un demi-tour, un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de tour, un douzième de tour ?
2. Les douze repères des heures découpent le cadran en douze angles égaux de [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) le centre. Combien de degrés séparent deux repères voisins ? Retrouver la réponse de l’ [Exercice 40.11](#exo-g6-lines-11) pour 3 h en comptant les repères.
3. Donner l’angle entre les aiguilles à 1 h, à 4 h et à 7 h. (À 7 h les aiguilles partagent le cadran en deux angles ; « l’angle entre les aiguilles » désigne toujours le *plus petit* des deux.)
4. La grande aiguille fait un tour complet en $60$ minutes. Combien de degrés balaie-t-elle par minute ?
5. La petite aiguille passe d’un repère au suivant — $30^\circ$ — en $60$ minutes. Combien de degrés balaie-t- *elle* par minute ? (Un [nombre décimal](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-places) , [Chapitre 38](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#ch-g6-decimals) .)

**Partie II — Les instants où rien ne pointe vers un repère.**

6. À 3 h 30, la grande aiguille pointe vers le $6$ . Où se trouve exactement la petite ? Calculer l’angle de chaque aiguille à partir du $12$ (en mesurant dans le sens des aiguilles d’une montre), et en déduire l’angle entre les aiguilles.
7. À 6 h 30, beaucoup de gens croient que les aiguilles sont l’une sur l’autre. Deviner d’abord, puis calculer l’angle comme à la question 6. Qui avait raison ?
8. Calculer l’angle entre les aiguilles à 9 h 15.
9. Expliquer pourquoi, quelque part entre 1 h 00 et 1 h 10, les deux aiguilles sont forcément exactement l’une sur l’autre : où est la grande aiguille par rapport à la petite à 1 h 00, et où à 1 h 10 ? Laquelle va le plus vite, et pourquoi cela règle-t-il la question ?
10. En douze heures, combien de fois les deux aiguilles sont-elles exactement l’une sur l’autre ? (Il y a une rencontre dans chaque intervalle entre deux heures successives — à une exception près : que se passe-t-il entre 11 h et 12 h ? Dresser la liste des heures approximatives de rencontre, puis compter.) Et sur une journée entière ?

**Partie III — Les angles autour d’un point : les diagrammes circulaires.**

11. Les douze secteurs du cadran remplissent ensemble le cadran : leurs angles totalisent $360^\circ$ . Expliquer pourquoi c’est vrai pour *n’importe quelle* collection d’angles de même [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) qui remplissent un tour complet autour de ce [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , sans chevauchement ni trou.
12. Zoé note l’emploi du temps de sa journée de $24$ heures : sommeil $9$ h, école $6$ h, jeu $3$ h, repas $2$ h, tout le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $4$ h. Elle veut un *diagramme circulaire* : un disque où chaque activité reçoit un secteur, avec des angles proportionnels aux durées. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de la journée représente chaque activité, et combien de degrés reçoit son secteur ? Vérifier que les cinq angles totalisent $360^\circ$ .
13. Décrire, étape par étape, comment tracer le diagramme de Zoé au compas et au rapporteur ( [Méthode 40.8](#met-g6-lines-protractor) ) : où placer le premier [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) , et comment chaque nouveau secteur démarre là où le précédent s’achève.
14. Dans un autre diagramme circulaire d’une journée, un secteur mesure exactement $90^\circ$ . Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) du disque cela représente-t-il, et combien d’heures ?
15. Le bouquet final, retour à l’horloge : en $24$ heures, combien de tours complets fait la petite aiguille ? La grande aiguille ? La trotteuse ? (L’une de ces réponses dépasse le millier.)

**Solution de Problème 40.1.**

**1.** Un demi-tour : $360 \div 2 = 180^\circ$. Un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) : $360 \div 4 = 90^\circ$. Un douzième : $360 \div 12 = 30^\circ$.

**2.** Douze angles égaux remplissant $360^\circ$ : $30^\circ$ entre deux repères voisins. À 3 h les aiguilles enjambent $3$ repères : $3 \times 30 = 90^\circ$ — un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle), comme trouvé en [Exercice 40.11](#exo-g6-lines-11).

**3.** À 1 h : $1 \times 30 = 30^\circ$. À 4 h : $4 \times 30 = 120^\circ$. À 7 h les aiguilles enjambent $7$ repères d’un côté, $7 \times 30 = 210^\circ$ : l’angle entre les aiguilles est donc celui de l’autre côté, $360 - 210 = 150^\circ$.

**4.** $360^\circ$ en $60$ minutes : $360 \div 60 = 6^\circ$ par minute.

**5.** $30^\circ$ en $60$ minutes : $30 \div 60 = 0.5^\circ$ par minute — un demi-degré. La petite aiguille rampe, la grande avance à grandes enjambées.

**6.** Depuis 3 h 00, en $30$ minutes, la petite aiguille a avancé de $30 \times 0.5 = 15^\circ$ au-delà du $3$ : elle se trouve exactement à mi-chemin entre le $3$ et le $4$, à $90 + 15 = 105^\circ$ du $12$. La grande aiguille pointe vers le $6$ : $180^\circ$. Angle entre les aiguilles : $180 - 105 = 75^\circ$.

**7.** Le calcul l’emporte sur l’intuition : la grande aiguille est à $180^\circ$, mais la petite a quitté le $6$ — elle est à $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$. L’angle entre les aiguilles vaut $195 - 180 = 15^\circ$ : c’est proche, mais elles ne sont pas l’une sur l’autre.

**8.** Grande aiguille sur le $3$ : $90^\circ$. Petite aiguille : $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$. [Différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) : $277.5 - 90 = 187.5^\circ$, donc l’angle entre les aiguilles vaut $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — presque un angle plat.

**9.** À 1 h 00 la grande aiguille ($0^\circ$) est *derrière* la petite ($30^\circ$). À 1 h 10 la grande ($60^\circ$) est *devant* elle ($30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$). La grande aiguille va plus vite ($6^\circ$ par minute contre $0.5^\circ$) : entre 1 h 00 et 1 h 10 elle rattrape puis dépasse la petite — et à l’instant du dépassement, les deux aiguilles sont exactement l’une sur l’autre.

**10.** Ce rattrapage se reproduit encore et encore : les aiguilles se rejoignent à 12 h 00 exactement, puis vers 1 h 05, 2 h 11, 3 h 16, 4 h 22, 5 h 27, 6 h 33, 7 h 38, 8 h 44, 9 h 49 et 10 h 55. La rencontre que l’on attendrait entre 11 h et 12 h tombe exactement *à* 12 h 00, qui ouvre déjà le tour suivant — en douze heures les aiguilles coïncident donc $11$ fois, et non $12$. Sur une journée entière : $22$ fois.

**11.** Des angles de même [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), sans chevauchement ni trou, pavent le tour complet autour de ce [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : en tournant une fois autour du point, on traverse chaque angle exactement une fois, et un tour complet vaut $360^\circ$. Les mesures totalisent donc $360^\circ$ — quels que soient le nombre d’angles et leurs tailles.

**12.** Chaque heure de la journée vaut $360 \div 24 = 15^\circ$. Donc :

$$
\text{sommeil } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad
\text{école } 90^\circ, \quad
\text{jeu } 45^\circ, \quad
\text{repas } 30^\circ, \quad
\text{reste } 60^\circ,
$$

et $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : le disque est rempli, sans trou ni chevauchement (question 11).

**13.** Tracer un cercle au compas et un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) (la ligne de départ). Poser le centre du rapporteur sur le centre du cercle, sa graduation $0^\circ$ sur ce [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes), et marquer $135^\circ$ ; tracer le nouveau [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) : le secteur du sommeil est fait. Poser ensuite la graduation $0^\circ$ sur *ce* [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) et marquer $90^\circ$ pour l’école, et ainsi de suite — chaque secteur démarre là où le précédent s’achève. Après le dernier secteur, le tracé se referme exactement sur le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de départ.

**14.** $90^\circ$, c’est $\frac{90}{360} = \frac14$ du disque ([Méthode 39.7](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#met-g6-fractions-simplify)) : cela représente donc un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la journée, soit $24 \div 4 = 6$ heures.

**15.** La petite aiguille fait un tour en $12$ heures : $2$ tours par jour. La grande aiguille, un tour par heure : $24$ tours. La trotteuse, un tour par minute : $24 \times 60 = 1\,440$ tours par jour.