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title: "Triangles et quadrilatères"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 41
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres
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# Chapitre 41 — Triangles et quadrilatères

Les triangles et les [quadrilatères](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) sont les formes de base de la géométrie. Le but de ce chapitre est de connaître leurs familles spéciales — [isocèles](#def-g6-shapes-triangles), équilatéraux, rectangles ; rectangles, [losanges](#def-g6-shapes-quadrilaterals), carrés — par leurs *propriétés définissantes*, et de les construire précisément à la règle et au compas.

## 41.1 Triangles

**Définition 41.1 (Triangles spéciaux).**

Un triangle $ABC$ a trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et trois côtés. Il est :

- *isocèle* en $A$ lorsque $AB = AC$ (deux côtés égaux) ;
- *équilatéral* lorsque $AB = BC = CA$ (trois côtés égaux) ;
- *rectangle* en $A$ lorsque l’angle $\widehat{BAC}$ est un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) . Le côté $[BC]$ opposé à l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) s’appelle l’ *hypoténuse* .

![Les trois triangles spéciaux. Les petites marques indiquent les côtés égaux ; le carré marque l’angle droit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-92f2978293b3.svg)

*Les trois triangles spéciaux. Les petites marques indiquent les côtés égaux ; le carré marque l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle).*

**Méthode 41.2 (Construire un triangle à partir de ses trois côtés).**

Pour construire $ABC$ avec $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm :

1. tracer le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $5$ cm à la règle ;
2. tracer un arc du cercle de centre $A$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm (tous les points à $4$ cm de $A$ ) ;
3. tracer un arc du cercle de centre $B$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm ;
4. le point $C$ est où les deux arcs se croisent ; le joindre à $A$ et $B$ .

![Construire un triangle au compas : le sommet C est le point de croisement de deux arcs. (Dans , on verra quand une telle construction est possible.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-df026e474b4b.svg)

*Construire un triangle au compas : le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $C$ est le point de croisement de deux arcs. (Dans [Chapitre 51](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#ch-g7-triangles), on verra quand une telle construction est possible.)*

## 41.2 Quadrilatères

**Définition 41.3 (Quadrilatères spéciaux).**

Un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) a quatre [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et quatre côtés. C’est un :

- *rectangle* lorsque ses quatre angles sont des [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ;
- *losange* lorsque ses quatre côtés ont la même longueur ;
- *carré* lorsqu’il est les deux : quatre [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) *et* quatre côtés égaux.

**Proposition 41.4 (Propriétés des diagonales).**

Dans ces [quadrilatères](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon), les deux diagonales se coupent en leur milieu commun, et de plus :

- dans un rectangle, les diagonales ont la *même longueur* ;
- dans un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) , les diagonales sont *[perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)* ;
- dans un carré, les deux à la fois.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Les trois quadrilatères spéciaux avec leurs diagonales (en rouge). Le carré hérite des propriétés du rectangle et du losange.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-b8c634f283f6.svg)

*Les trois [quadrilatères](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) spéciaux avec leurs diagonales (en rouge). Le carré hérite des propriétés du rectangle et du [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals).*

**Remarque 41.5.**

Un carré est automatiquement un rectangle (il a quatre [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle)) et automatiquement un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (quatre côtés égaux). Donc « rectangle » ne signifie pas « pas un carré » ! En mathématiques, la forme plus spéciale appartient à la famille plus générale.

**Exemple 41.6 (Reconnaître une forme d’après ses propriétés).**

Un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) a quatre côtés de longueur $4$ cm et un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle). Qu’est-ce ? Quatre côtés égaux en font un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals). Dans un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals), les angles opposés sont égaux et les quatre angles additionnent $360^\circ$ ; un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) force alors les quatre à être droits (ce sera prouvé avec les parallélogrammes dans [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central)). Donc la forme est un carré.

**Méthode 41.7 (Programmes de construction).**

Un *programme de construction* est une liste d’instructions que n’importe qui peut suivre pour reproduire une figure exactement. Écrire une instruction par ligne, nommer chaque point quand il est créé, et n’utiliser que : « tracer le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) / la droite / le cercle … », « placer le point où … se croisent ». Tester son programme en le suivant littéralement, mot pour mot.

**Exemple 41.8.**

Programme pour un carré $ABCD$ de côté $4$ cm :

1. Tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ avec $AB = 4$ cm.
2. Tracer la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AB)$ en $A$ ; dessus, placer $D$ à $4$ cm de $A$ (choisir un côté de la droite et s’y tenir).
3. Tracer la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AB)$ en $B$ ; dessus, placer $C$ à $4$ cm de $B$ , du même côté que $D$ .
4. Joindre $C$ et $D$ .

Vérifier à la règle : $DC$ doit aussi mesurer $4$ cm.

## 41.3 Exercices

**Exercice 41.1 ★.**

Construire un triangle $ABC$ avec $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm et $BC = 4$ cm, en suivant [Méthode 41.2](#met-g6-shapes-construct).

**Solution de Exercice 41.1.**

Suivre la méthode : [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $6$ cm, arc de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm centré en $A$, arc de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm centré en $B$ ; le point de croisement est $C$.

**Exercice 41.2 ★.**

Construire un [triangle isocèle](#def-g6-shapes-triangles) $DEF$ avec $DE = DF = 5$ cm et $EF = 3$ cm. Quels deux angles de ce triangle semblent égaux ? Les mesurer pour vérifier.

**Solution de Exercice 41.2.**

Base $[EF]$ de $3$ cm, puis deux arcs de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm centrés en $E$ et $F$ ; leur croisement est $D$. Les deux angles à la base $\widehat{DEF}$ et $\widehat{DFE}$ sont égaux (environ $72.5^\circ$ chacun) — symétrie du [triangle isocèle](#def-g6-shapes-triangles) ([Exemple 42.8](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#ex-g6-symmetry-proves)).

**Exercice 41.3 ★.**

Construire un [triangle équilatéral](#def-g6-shapes-triangles) de côté $4$ cm en n’utilisant que la règle et le compas. Mesurer un de ses angles.

**Solution de Exercice 41.3.**

[Segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de $4$ cm, puis deux arcs de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm centrés en ses extrémités. Chaque angle mesure $60^\circ$.

**Exercice 41.4 ★.**

Classer chaque triangle d’après ses données ([isocèle](#def-g6-shapes-triangles), [équilatéral](#def-g6-shapes-triangles), rectangle — plusieurs réponses peuvent s’appliquer) : (a) côtés $7$, $7$, $7$ ; (b) côtés $5$, $5$, $8$ ; (c) angles $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$ ; (d) angles $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$.

**Solution de Exercice 41.4.**

(a) [équilatéral](#def-g6-shapes-triangles) (donc aussi [isocèle](#def-g6-shapes-triangles)). (b) [isocèle](#def-g6-shapes-triangles) ($5 = 5$). (c) rectangle et [isocèle](#def-g6-shapes-triangles) (deux angles égaux de $45^\circ$ font face à deux côtés égaux). (d) [équilatéral](#def-g6-shapes-triangles) (trois angles égaux).

**Exercice 41.5 ★.**

Dans un [triangle rectangle](#def-g6-shapes-triangles), quel côté est l’hypoténuse ? Dessiner un triangle $MNP$ rectangle en $N$, et nommer son hypoténuse. Quel [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) l’hypoténuse ne touche-t-elle jamais ?

**Solution de Exercice 41.5.**

L’hypoténuse est le côté opposé à l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle), toujours le plus long côté. Dans $MNP$ rectangle en $N$, l’hypoténuse est $[MP]$ : elle ne touche jamais le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle), $N$.

**Exercice 41.6 ★.**

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse en une phrase.

1. Tout carré est un rectangle.
2. Tout rectangle est un carré.
3. Tout carré est un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) .
4. Un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) avec un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) est un carré.

**Solution de Exercice 41.6.**

*1. Vrai* : un carré a quatre [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle), ce qui est la définition d’un rectangle.

*2. Faux* : un rectangle $5 \times 3$ a des côtés inégaux.

*3. Vrai* : un carré a quatre côtés égaux, définition d’un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

*4. Vrai* : voir [Exemple 41.6](#ex-g6-shapes-recognize).

**Exercice 41.7 ★.**

Construire un rectangle $ABCD$ avec $AB = 5$ cm et $BC = 3$ cm. Mesurer ses deux diagonales : que remarque-t-on ?

**Solution de Exercice 41.7.**

Construction avec des [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), comme dans [Exemple 41.8](#ex-g6-shapes-program). Les deux diagonales mesurent environ $5.8$ cm : les diagonales d’un rectangle ont la même longueur ([Proposition 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)).

**Exercice 41.8 ★.**

Construire un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) de diagonales $6$ cm et $4$ cm. (Utiliser [Proposition 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) : tracer d’abord les deux diagonales — [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), se croisant en leurs milieux — puis joindre les quatre extrémités.)

**Solution de Exercice 41.8.**

Tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de $6$ cm ; son milieu $O$ ; la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) en $O$ ; dessus, deux points à $2$ cm de $O$ de chaque côté. Joindre les quatre extrémités donne le [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (les quatre [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sont aux distances $3$ cm et $2$ cm de $O$ le long de [droites perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), donc les quatre côtés sont égaux par symétrie).

**Exercice 41.9 ★★.**

Écrire un programme de construction pour un [triangle isocèle](#def-g6-shapes-triangles) de base $4$ cm et de côtés égaux $6$ cm, dans le style de [Exemple 41.8](#ex-g6-shapes-program). Échanger avec un camarade : peut-il le suivre sans voir la figure ?

**Solution de Exercice 41.9.**

Un programme correct : 1. tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$ avec $BC = 4$ cm ; 2. tracer l’arc de centre $B$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm au-dessus de $[BC]$ ; 3. tracer l’arc de centre $C$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm au-dessus de $[BC]$ ; 4. nommer $A$ le point de croisement des deux arcs ; 5. tracer les [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ et $[AC]$.

**Exercice 41.10 ★★.**

Tracer un cercle de centre $O$ et un de ses [diamètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[AB]$. Placer un point $M$ quelconque sur le cercle et tracer le triangle $AMB$. Mesurer l’angle $\widehat{AMB}$. Déplacer $M$ et mesurer encore. Que conjecture-t-on ? (Ce fait surprenant est prouvé dans [Chapitre 60](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/60-le-triangle-rectangle-et-le-cosinus#ch-g8-cosine).)

**Solution de Exercice 41.10.**

Quelle que soit la position de $M$ sur le cercle, l’angle $\widehat{AMB}$ mesure $90^\circ$ : le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ dès que $[AB]$ est un [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle). La démonstration attend [Chapitre 60](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/60-le-triangle-rectangle-et-le-cosinus#ch-g8-cosine).

**Exercice 41.11 ★★.**

Un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) a des diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu commun. Déterminer quelle forme ce doit être, en utilisant [Proposition 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) : rectangle, [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) ou carré ? (Attention : une seule propriété est donnée.)

**Solution de Exercice 41.11.**

Des diagonales qui se coupent en leur milieu et ont des longueurs égales : c’est la liste des propriétés du *rectangle* ([Proposition 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)). Rien n’oblige les diagonales à être [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), donc ce n’est pas forcément un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) ou un carré — un rectangle est la bonne réponse (un carré la satisferait aussi, mais n’est pas forcé).

**Exercice 41.12 ★★★.**

Sur un quadrillage pointé $4 \times 4$, combien de carrés différents peut-on dessiner dont les coins sont des points du quadrillage — en comptant aussi les carrés « penchés » ? Dessiner au moins un carré penché et expliquer pourquoi ses côtés sont égaux.

**Solution de Exercice 41.12.**

Avec $4 \times 4$ points, il y a $3 \times 3$ cellules de quadrillage. Carrés alignés : côtés $1$, $2$ ou $3$ donnent $9 + 4 + 1 = 14$ carrés. Des carrés penchés existent aussi : les petits dont les côtés sont des diagonales de cellules $1 \times 1$ (comme $(1,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0,1)$) — quatre d’entre eux ; et les plus grands dont les côtés sont des diagonales de rectangles $2 \times 1$, comme $(1,0)$, $(3,1)$, $(2,3)$, $(0,2)$ — deux d’entre eux. Les quatre côtés d’un tel carré sont égaux parce qu’ils sont des diagonales de rectangles identiques. Total : $14 + 4 + 2 = 20$ carrés. (Tout compte avec un exemple penché correct et les $14$ alignés est une réussite à ce niveau.)

## 41.4 Problème : ce que savent les diagonales

**Problème 41.1.**

Devoir maison — reconstruire chaque quadrilatère particulier à partir de ses seules diagonales, et compter les diagonales d’un polygone quelconque

[Proposition 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) lit une figure et renseigne sur ses diagonales. Ce problème joue le jeu *à l’envers* : à partir de deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) sécants seulement — les futures diagonales — quelle figure apparaît lorsqu’on joint leurs quatre extrémités ? On y construira un « dictionnaire des diagonales » complet, on comprendra *pourquoi* la construction du [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) de l’[Exercice 41.8](#exo-g6-shapes-8) fonctionne, on rencontrera une figure encore sans nom, et on terminera en comptant les diagonales de [polygones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) à bien plus de quatre côtés.

**Partie I — Le dictionnaire des diagonales.** Pour chaque question, tracer les deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) décrits, joindre leurs quatre extrémités dans l’ordre, et reconnaître le [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) obtenu.

1. Deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de $6$ cm chacun, [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) , se coupant en leur milieu commun. Mesurer les quatre côtés et les quatre angles de la figure obtenue : qu’est-ce que c’est ?
2. Deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de $8$ cm et $5$ cm, [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) , se coupant en leur milieu commun. Quelle figure apparaît ( [Exercice 41.8](#exo-g6-shapes-8) ) ?
3. Deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de $7$ cm chacun — égaux mais *non* [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) — se coupant en leur milieu commun. Mesurer les côtés et les angles : quelle figure conjecture-t-on ?
4. Deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de $8$ cm et $5$ cm, non [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) , se coupant en leur milieu commun. La figure obtenue n’est aucune des trois de la [Définition 41.3](#def-g6-shapes-quadrilaterals) — décrire ce que l’on voit (quels côtés semblent égaux ? [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ?). Ce [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) reçoit son nom au [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central) .
5. Résumer les questions 1 à 4 dans un dictionnaire à quatre entrées : diagonales *égales / [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) / les deux / ni l’un ni l’autre* (se coupant toujours en leur milieu) $\rightarrow$ nom (ou description) de la figure.

**Partie II — Pourquoi les constructions fonctionnent.**

6. À la question 2, les deux diagonales découpent la figure en quatre [triangles rectangles](#def-g6-shapes-triangles) autour du point d’intersection. Quelles sont les longueurs des deux côtés de l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) de chacun de ces triangles ? Expliquer pourquoi les quatre triangles sont des copies exactes les uns des autres, et en déduire pourquoi les quatre côtés de la figure sont égaux — le secret de l’ [Exercice 41.8](#exo-g6-shapes-8) .
7. En déduire un test au compas seul : après avoir construit une figure à partir de ses diagonales, comment vérifier au compas seul (sans mesure à la règle) que les quatre côtés sont égaux ?
8. Rédiger un programme de construction ( [Méthode 41.7](#met-g6-shapes-program) ) pour un carré dont les *diagonales* mesurent $6$ cm — et non les côtés.
9. Dans le carré de la question 8, le côté est-il plus long ou plus court que $3$ cm — la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la diagonale ? Mesurer pour le savoir. La [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la réponse peut déjà se *démontrer* : aller d’un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au suivant en passant par le centre est un détour de $3 + 3$ cm, et un chemin droit est toujours plus court qu’un détour — le côté mesure donc moins de $6$ cm. (Prouver qu’il dépasse aussi $3$ cm, et le calculer exactement, sera l’affaire du [Chapitre 58](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ch-g8-pythagoras) .)
10. Une nouvelle entrée pour le dictionnaire : tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AC]$ de $8$ cm ; y marquer le point $H$ à $3$ cm de $A$ ; tracer par $H$ le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) $[BD]$ de $5$ cm dont $H$ est *le* milieu. Joindre $ABCD$ . Cette figure est un *cerf-volant* (une diagonale coupe l’autre en son milieu, à [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ). En utilisant les triangles des coins comme à la question 6, déterminer quels côtés d’un [cerf-volant](#pb-g6-shapes-1) sont égaux entre eux.

**Partie III — Compter les diagonales.** Une *diagonale* d’un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) joint deux [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) qui ne sont pas voisins.

11. Tracer un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) , un [pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) (cinq [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ) et un [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) (six [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ), et tracer toutes leurs diagonales. Les compter : combien y en a-t-il dans chaque cas ?
12. Compter sans dessiner, pour l’ [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) : d’un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , combien de diagonales partent-elles ? (À combien des six [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ce [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ne peut-il *pas* être joint par une diagonale ?) En multipliant par les six [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , on compte chaque diagonale exactement deux fois — pourquoi ? Retrouver le compte de la question 11. (Le même double comptage est apparu avec les poignées de main du [Problème 37.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#pb-g6-wholes-1) .)
13. Utiliser la méthode de la question 12 pour compter les diagonales d’un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) à $10$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , puis à $20$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) .
14. Un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) a exactement $44$ diagonales. Combien a-t-il de [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ? (Essayer la méthode de la question 13 sur quelques candidats.)
15. Vérifier la méthode sur le plus petit [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) de tous : combien de diagonales a un triangle, et que répond la méthode de comptage de la question 12 ? Conclure par une phrase sur ce que les poignées de main et les diagonales ont en commun.

**Solution de Problème 41.1.**

**1.** Les quatre côtés mesurent tous la même chose (environ $4.2$ cm) et les quatre angles sont droits : la figure est un *carré*. (Des diagonales égales donnent les [angles droits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle), comme dans le rectangle ; [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), elles donnent les côtés égaux, comme dans le [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) ; les deux à la fois donnent le carré — c’est [Proposition 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) lue à l’envers.)

**2.** Un *[losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals)* : quatre côtés égaux (environ $4.7$ cm), mais aucun [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) — exactement la construction de l’[Exercice 41.8](#exo-g6-shapes-8).

**3.** Les quatre angles sont droits, mais les côtés viennent en deux longueurs différentes : un *rectangle* — c’est la situation de l’[Exercice 41.11](#exo-g6-shapes-11).

**4.** Aucune égalité de longueur ne résiste à la mesure et aucun [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) n’apparaît ; en revanche les côtés opposés sont égaux deux à deux et semblent [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp). C’est le « rectangle penché » général, dont les diagonales se coupent simplement en leur milieu — le *parallélogramme*, nommé et étudié au [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central).

**5.** Diagonales se coupant en leur milieu commun :

| diagonales… | figure |
| --- | --- |
| égales et [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) | carré |
| [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) seulement | [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) |
| égales seulement | rectangle |
| ni l’un ni l’autre | la figure sans nom (voir [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central)) |

**6.** Chaque triangle de coin a un côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) sur chaque diagonale : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $8$ cm et la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $5$ cm, soit des côtés de $4$ cm et $2.5$ cm, avec un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) entre eux — les mêmes données pour les quatre. Des triangles construits sur les deux mêmes côtés et l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) qu’ils forment sont des copies exactes les uns des autres (les construire : les écartements de compas sont identiques). Leurs quatre hypoténuses — les côtés de la figure — sont donc égales : la figure est un [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

**7.** Ouvrir le compas à la longueur d’un côté, puis le promener autour de la figure : si la pointe et la mine tombent exactement sur chaque paire de [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) voisins, les quatre côtés valent cet écartement. Aucune règle n’est nécessaire.

**8.** Programme :

1. Tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AC]$ avec $AC = 6$ cm et placer son milieu $O$ (mesurer $3$ cm depuis $A$ ).
2. Tracer la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AC)$ passant par $O$ .
3. Y placer $B$ et $D$ à $3$ cm de $O$ , un de chaque côté.
4. Joindre $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Diagonales égales ($6$ cm), [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), se coupant en leur milieu : d’après le dictionnaire, $ABCD$ est un carré.

**9.** La mesure donne environ $4.2$ cm : *plus* que $3$ cm — l’intuition courante « la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la diagonale » est fausse. La [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) démontrable : pour aller du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $A$ au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) voisin $B$, on peut suivre le côté $[AB]$ en ligne droite, ou faire le détour $A \to O \to B$ par le centre, qui coûte $3 + 3 = 6$ cm ; le côté droit est plus court, donc il mesure moins de $6$ cm. Qu’il dépasse aussi $3$ cm, c’est ce que montre la règle ; le [Chapitre 58](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ch-g8-pythagoras) le prouvera et en donnera la valeur exacte ($3$ cm multipliés par la racine carrée de $2$, soit environ $4.24$ cm).

**10.** Les quatre triangles de coin en $H$ vont maintenant par *deux* paires : deux de côtés $3$ cm et $2.5$ cm (hypoténuses $[AB]$ et $[AD]$), deux de côtés $5$ cm et $2.5$ cm (hypoténuses $[CB]$ et $[CD]$). Donc $AB = AD$ et $CB = CD$ : un [cerf-volant](#pb-g6-shapes-1) a deux paires de côtés *voisins* égaux (le [losange](#def-g6-shapes-quadrilaterals) est le [cerf-volant](#pb-g6-shapes-1) particulier où les quatre coïncident).

**11.** [Quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) : $2$ diagonales. [Pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) : $5$. [Hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) : $9$.

**12.** D’un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de l’[hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon), les diagonales vont vers tous les [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sauf lui-même et ses deux voisins : $6 - 3 = 3$ diagonales. Les six [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) lancent $6 \times 3 = 18$ extrémités de diagonales — mais chaque diagonale a été comptée à ses *deux* extrémités, une fois depuis chaque bout, exactement comme une poignée de main comptée par les deux personnes ([Problème 37.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#pb-g6-wholes-1)). Compte véritable : $18 \div 2 = 9$. Cela correspond au dessin.

**13.** Dix [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : $10 - 3 = 7$ depuis chacun, donc $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonales. Vingt [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonales.

**14.** Essayons des candidats : $10$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) donnent $35$ (question 13) ; $11$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) donnent $11 \times 8 \div 2 = 44$. Trouvé : le [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) a $11$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

**15.** Un triangle n’a aucune diagonale : les « non-voisins » de chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sont … personne, puisque les deux autres [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sont tous deux ses voisins. La méthode est d’accord : $3 - 3 = 0$ depuis chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), total $0$. Poignées de main et diagonales sont le même comptage sous des habits différents : des paires choisies dans un groupe, chaque paire comptée une fois — les mathématiques recyclent leurs bonnes idées.