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title: "La symétrie axiale"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 42
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale
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# Chapitre 42 — La symétrie axiale

Plier une feuille le long d’une droite : chaque point se pose sur un autre point, son image miroir. Ce pliage est la *[symétrie axiale](#def-g6-symmetry-def)* (ou réflexion), la première transformation géométrique du livre — la seconde, la symétrie centrale, arrive dans [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central).

## 42.1 Réflexions

**Définition 42.1 (Point symétrique).**

Soit $d$ une droite. Le *symétrique* d’un point $M$ par rapport à $d$ est le point $M'$ tel que $d$ est la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[MM']$ : le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[MM']$ est [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $d$, et $d$ le coupe en son milieu. Un point *sur* $d$ est son propre symétrique.

![Réfléchir par rapport à la droite d : l’axe est perpendiculaire à (MM') et passe par son milieu (marques égales). Un point P sur l’axe ne bouge pas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-c8d65390f364.svg)

*Réfléchir par rapport à la droite $d$ : l’axe est [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $[MM']$ et passe par son milieu (marques égales). Un point $P$ sur l’axe ne bouge pas.*

**Méthode 42.2 (Construire un point symétrique).**

Pour construire le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) $M'$ de $M$ par rapport à la droite $d$ :

1. tracer la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $d$ passant par $M$ (équerre) ; appeler $H$ le point où elle croise $d$ ;
2. mesurer $MH$ au compas ou à la règle ;
3. placer $M'$ sur la même [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) , de l’autre côté de $d$ , avec $HM' = MH$ .

Sur papier quadrillé, c’est plus rapide : compter les carreaux de $M$ à l’axe, et compter le même nombre de l’autre côté.

**Exemple 42.3 (Sur un quadrillage).**

Si l’axe est une ligne verticale du quadrillage et $M$ est à $3$ carreaux à sa gauche, alors $M'$ est à $3$ carreaux à sa droite, sur la même ligne. Pour un axe diagonal, le comptage se fait le long des diagonales — toujours perpendiculairement à l’axe.

![Une figure et sa réflexion par rapport à l’axe vertical : chaque sommet est réfléchi carreau par carreau, et gauche et droite sont échangées.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-5c87be96511e.svg)

*Une figure et sa réflexion par rapport à l’axe vertical : chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) est réfléchi carreau par carreau, et gauche et droite sont échangées.*

**Proposition 42.4 (Ce qu’une réflexion conserve).**

Le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) d’une figure par rapport à une droite est une figure de la *même forme et de la même taille* : longueurs, angles, [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) et [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-area) sont tous conservés. Le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) d’un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) est un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects), d’un cercle un cercle de même [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes), d’une droite une droite.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 42.5.**

Une chose n’est *pas* conservée : l’orientation. Un « b » réfléchi devient un « d » — l’écriture en miroir. Si calquer sa figure et retourner le calque reproduit l’image, la réflexion est correcte.

## 42.2 Axes de symétrie d’une figure

**Définition 42.6 (Axe de symétrie).**

Une droite $d$ est un *axe de symétrie* d’une figure lorsque la réflexion par rapport à $d$ envoie la figure exactement sur elle-même — plier le long de $d$ fait coïncider les deux [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half).

![Axes de symétrie de formes familières. Attention au rectangle : ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie (plier le long d’une diagonale — les moitiés ne coïncident pas, sauf si c’est un carré).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-f02a47b97cca.svg)

*[Axes de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) de formes familières. Attention au rectangle : ses diagonales ne sont *pas* des [axes de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) (plier le long d’une diagonale — les [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) ne coïncident pas, sauf si c’est un carré).*

**Exemple 42.7.**

Compter les [axes de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) :

- [triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : $1$ (par le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et le milieu de la base) ; [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : $3$ ;
- rectangle : $2$ (les deux « médianes », *pas* les diagonales) ; [losange](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-quadrilaterals) : $2$ (ses diagonales !) ; carré : $4$ ;
- cercle : toute droite passant par le centre — une infinité.

**Exemple 42.8 (La symétrie prouve des égalités).**

Pourquoi les deux angles à la base d’un [triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) sont-ils égaux ? Plier le triangle le long de son [axe de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) gauche se pose exactement sur la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) droite, donc l’angle de gauche se pose sur l’angle de droite — ils doivent avoir la même mesure ([Proposition 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved) : les réflexions conservent les angles).

## 42.3 Médiatrice

**Définition 42.9 (Médiatrice).**

La *médiatrice* d’un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ est la droite [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $[AB]$ passant par son milieu — c’est l’[axe de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) qui échange $A$ et $B$.

**Proposition 42.10 (Équidistance).**

Un point $M$ est sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ exactement quand il est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MA = MB$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Méthode 42.11 (Construction au compas).**

Pour tracer la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ sans mesurer :

1. ouvrir le compas à plus de la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $AB$ ;
2. tracer deux arcs centrés en $A$ , au-dessus et en dessous du [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) ;
3. avec la *même* ouverture, tracer deux arcs centrés en $B$ ;
4. joindre les deux points de croisement : cette droite est la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) (chaque point de croisement est équidistant de $A$ et de $B$ ).

## 42.4 Exercices

**Exercice 42.1 ★.**

Recopier sur papier quadrillé : un axe vertical $d$, un point $A$ à deux carreaux à sa gauche, un point $B$ à cinq carreaux à sa gauche et un carreau plus haut. Construire leurs points [symétriques](#def-g6-symmetry-def) $A'$ et $B'$ par rapport à $d$.

**Solution de Exercice 42.1.**

$A'$ est à deux carreaux à *droite* de $d$, sur la même ligne que $A$ ; $B'$ est à cinq carreaux à droite, un carreau plus haut — positions miroir.

**Exercice 42.2 ★.**

Tracer une droite $d$ et un point $M$ à $3$ cm de $d$ (pas sur papier quadrillé). Construire le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) $M'$ de $M$ par rapport à $d$ avec équerre et règle, en suivant [Méthode 42.2](#met-g6-symmetry-construct). Quelle distance sépare $M$ et $M'$ ?

**Solution de Exercice 42.2.**

[Perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $d$ par $M$, pied $H$ ; puis $M'$ de l’autre côté avec $HM' = MH = 3$ cm. La distance $MM'$ est $3 + 3 = 6$ cm.

**Exercice 42.3 ★.**

Quelles lettres capitales de l’alphabet, écrites sous leur forme la plus simple, ont un [axe de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) vertical (comme A) ? Un horizontal (comme B) ? Les deux ?

**Solution de Exercice 42.3.**

Axe vertical (comme A) : A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Axe horizontal (comme B) : B, C, D, E, H, I, K, O, X. Les deux : H, I, O, X. (Les réponses exactes dépendent un peu de la façon dont les lettres sont dessinées.)

**Exercice 42.4 ★.**

Combien d’[axes de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) a : un [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) ? un rectangle (qui n’est pas un carré) ? un [losange](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-quadrilaterals) (pas un carré) ? un carré ? un cercle ? Dessiner chaque figure avec ses axes.

**Solution de Exercice 42.4.**

[Triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : $3$ axes. Rectangle : $2$ (les [médiatrices](#def-g6-symmetry-bisector) de ses côtés). [Losange](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-quadrilaterals) : $2$ (ses diagonales). Carré : $4$. Cercle : une infinité (toute droite passant par le centre).

**Exercice 42.5 ★.**

Vrai ou faux ? « Les diagonales d’un rectangle sont des [axes de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) du rectangle. » Expliquer avec un argument de pliage ou un dessin.

**Solution de Exercice 42.5.**

*Faux.* Plier un rectangle (non carré) le long d’une diagonale ne fait pas coïncider les deux [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) : les deux triangles ont la même forme mais se placent différemment — essayer avec une feuille de papier. Seul pour un carré les diagonales fonctionnent comme axes.

**Exercice 42.6 ★.**

Un triangle $ABC$ est réfléchi par rapport à une droite $d$ en $A'B'C'$. Sachant $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ et le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) de $ABC$ est $12$ cm : donner, sans aucune construction, $A'B'$, $\widehat{B'A'C'}$ et le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) de $A'B'C'$.

**Solution de Exercice 42.6.**

Les réflexions conservent les longueurs, les angles et les [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) ([Proposition 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved)) : $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$, [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/28-mesures-et-perimetre#def-g4-measure-perimeter) de $A'B'C' = 12$ cm.

**Exercice 42.7 ★.**

Tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $7$ cm et construire sa [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) au compas ([Méthode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector)). Choisir un point $M$ quelconque dessus et vérifier à la règle que $MA = MB$.

**Solution de Exercice 42.7.**

Construction au compas comme dans [Méthode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector). Pour tout $M$ sur la droite, la règle confirme $MA = MB$ ([Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**Exercice 42.8 ★★.**

Deux arbres se dressent aux points $A$ et $B$ d’un jardin (plat). Où peut-on planter une fontaine pour qu’elle soit à la même distance des deux arbres ? Décrire *tous* les emplacements possibles.

**Solution de Exercice 42.8.**

Tous les points à égale distance de $A$ et de $B$ forment la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ ([Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)). La fontaine peut se placer n’importe où sur cette droite (dans le jardin).

**Exercice 42.9 ★★.**

Sur papier quadrillé, tracer l’axe $d$ (une diagonale du quadrillage à $45^\circ$) et une petite figure en L d’un côté. Construire sa figure [symétrique](#def-g6-symmetry-def) par rapport à $d$. (Réfléchir chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : pour un axe à $45^\circ$, un point à $2$ carreaux à droite de l’axe se pose à $2$ carreaux au-dessus.)

**Solution de Exercice 42.9.**

Chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) est réfléchi perpendiculairement à l’axe : pour l’axe à $45^\circ$, un point à $k$ carreaux à droite de l’axe se pose à $k$ carreaux au-dessus (et inversement) — les déplacements horizontaux et verticaux sont échangés. Réfléchir les [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) un par un, puis les joindre dans l’ordre.

**Exercice 42.10 ★★.**

Tracer un cercle de centre $O$, une droite $d$ passant par $O$, et un point $M$ sur le cercle. Où se trouve le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) de $M$ par rapport à $d$ ? Expliquer pourquoi la réflexion envoie le cercle sur lui-même.

**Solution de Exercice 42.10.**

Le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) de $M$ est la seconde intersection du cercle avec la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $d$ par $M$ — il est sur le cercle. Raison : la réflexion conserve les distances et fixe $O$ (qui est sur $d$), donc l’image de tout point à distance $r$ de $O$ est encore à distance $r$ de $O$ : le cercle se transforme en lui-même.

**Exercice 42.11 ★★.**

En utilisant la propriété d’équidistance ([Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)), expliquer pourquoi les deux points de croisement des arcs dans [Méthode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) se trouvent bien sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$.

**Solution de Exercice 42.11.**

Chaque point de croisement $P$ a été tracé avec la même ouverture de compas $\rho$ depuis $A$ et depuis $B$ : donc $PA = \rho = PB$. Par [Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), un point équidistant de $A$ et de $B$ se trouve sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ ; deux tels points déterminent la droite.

**Exercice 42.12 ★★★.**

Une bille de billard au point $A$ doit rebondir sur un mur droit $d$ et atteindre le point $B$ (tous deux du même côté du mur). Réfléchir $B$ par rapport à $d$ en $B'$, et tracer le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Expliquer pourquoi le meilleur point de rebond est où $[AB']$ croise le mur. (Idée : le chemin $A \to P \to B$ a la même longueur que $A \to P \to B'$.)

**Solution de Exercice 42.12.**

Pour tout point de rebond $P$ sur le mur, $PB = PB'$ (la réflexion par rapport à $d$ conserve les distances), donc la longueur du chemin $AP + PB = AP + PB'$. La ligne brisée $A \to P \to B'$ est la plus courte quand elle est droite, c’est-à-dire quand $P$ est sur le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Donc le meilleur point de rebond est l’intersection de $[AB']$ avec le mur.

## 42.5 Problème : la fontaine, l’assiette brisée et le miroir qui marche

**Problème 42.1.**

Devoir maison — les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point : le cercle passant par trois points, et ce que font deux miroirs ensemble

Dans [Exercice 42.8](#exo-g6-symmetry-8), une fontaine devait se trouver à égale distance de *deux* arbres, et la réponse était toute une ligne d’emplacements. Ce problème plante un *troisième* arbre — et toute la ligne se réduit à un point unique, parfaitement déterminé. Ce point cache un trésor de géométrie : il permet de tracer l’unique cercle passant par trois points donnés, de reconstituer une assiette entière à partir d’un tesson, et il appartient à tout triangle. La dernière partie mène une expérience à deux miroirs dont le résultat annonce la géométrie de l’an prochain.

**Partie I — Deux arbres, puis une carte de territoires.**

1. Placer deux points $A$ et $B$ avec $AB = 6$ cm et construire la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ au compas ( [Méthode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) ). Choisir un point $M$ dessus et vérifier à la règle que $MA = MB$ .
2. [Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector) dit deux choses à la fois : tout point *situé sur* la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) est à égale distance de $A$ et de $B$ , et tout point équidistant *est sur* la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) . Laquelle des deux répond à la question de la fontaine de l’ [Exercice 42.8](#exo-g6-symmetry-8) ? Que dit la proposition d’un point qui n’est *pas* sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) ?
3. Prendre un point $M$ du même côté de la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) que $A$ . Le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[MB]$ coupe la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) en un point $P$ . Comparer le trajet $M \to P \to B$ au trajet $M \to P \to A$ , et expliquer pourquoi $M$ est plus proche de $A$ que de $B$ : la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) partage la feuille en un « côté $A$ » et un « côté $B$ ».
4. Deux écoles $A$ et $B$ desservent une ville. Chaque enfant va à pied à l’école la plus proche. Dessiner un petit plan avec $A$ et $B$ , et colorier la région exacte de la ville desservie par l’école $A$ . Quelle ligne forme la frontière ?
5. Une troisième école $C$ ouvre (la placer de sorte que les trois écoles forment un triangle). Construire la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ et la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[BC]$ , et appeler $O$ leur point d’intersection. Quelles deux égalités de distances $O$ vérifie-t-il, et pourquoi ?

**Partie II — Trois arbres, un point, un cercle.**

6. Déduire de la question 5 que $OA = OC$ — et donc que $O$ est aussi sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AC]$ , qui n’a jamais été tracée. Conclure : *les trois [médiatrices](#def-g6-symmetry-bisector) des côtés d’un triangle passent toutes par un même point.*
7. Expliquer pourquoi le cercle de centre $O$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $OA$ passe aussi par $B$ et par $C$ : c’est *le* cercle passant par les trois points — le *cercle circonscrit* du triangle $ABC$ .
8. Construire un triangle de côtés $6$ cm, $5$ cm et $4$ cm ( [Méthode 41.2](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#met-g6-shapes-construct) ), puis son [cercle circonscrit](#pb-g6-symmetry-1) . Pourquoi suffit-il de tracer *deux* [médiatrices](#def-g6-symmetry-bisector) pour en trouver le centre ?
9. L’assiette brisée : un archéologue exhume un tesson dont la seule partie intacte est un morceau du bord circulaire de l’assiette. Décrire une recette qui retrouve le centre et le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de l’assiette d’origine — puis la tester : tracer un arc de cercle au compas, « oublier » le centre, marquer trois points sur l’arc, et le reconstituer.
10. Trois points pourraient-ils n’avoir *aucun* cercle qui passe par eux ? Supposer $A$ , $B$ , $C$ alignés. Que dire des [médiatrices](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ et de $[BC]$ ( [Proposition 40.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#prop-g6-lines-facts) ) ? Conclure.

**Partie III — Des axes partout, et le miroir qui marche.**

11. [Exemple 42.7](#ex-g6-symmetry-shapes) a compté $3$ axes pour le [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) et $4$ pour le carré. Conjecturer le compte pour un [pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier et un [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier, et décrire où passent les axes dans chaque cas ( [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de côtés contre [nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : les deux situations diffèrent).
12. Plier une feuille de papier une fois et découper une forme à travers les deux épaisseurs ; déplier. Pourquoi le trou a-t-il *toujours* un [axe de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) , quelle que soit la découpe, et quelle droite est cet axe ?
13. Plier la feuille deux fois — le second pli [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) au premier — découper, et déplier. Combien le trou a-t-il d’ [axes de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) au moins, et combien de copies de la découpe voit-on ? (Les flocons en papier sont cette idée pliée davantage.)
14. Le miroir qui marche : sur du papier quadrillé, tracer un axe vertical $d_1$ , un petit drapeau $F$ à sa gauche, et un second axe vertical $d_2$ , $4$ carreaux à droite de $d_1$ . Construire le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) de $F$ par rapport à $d_1$ (image $F'$ ), puis le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) de $F'$ par rapport à $d_2$ (image $F''$ ). Comparer $F$ et $F''$ : même orientation ou image renversée ? De combien de carreaux la figure s’est-elle déplacée ? Comparer avec la distance entre les axes.
15. Même expérience avec $d_2$ *[perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)* à $d_1$ : construire le [symétrique](#def-g6-symmetry-def) du drapeau par rapport à l’axe vertical, puis celui de l’image par rapport à l’axe horizontal. Décrire la position de $F''$ par rapport à $F$ et au point d’intersection des deux axes. (On vient de découvrir la transformation de l’an prochain : [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central) .)

**Solution de Problème 42.1.**

**1.** Construction comme dans [Méthode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) ; pour tout $M$ de la droite, la règle confirme $MA = MB$ ([Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**2.** La question de la fontaine a besoin du second sens : *tous* les points équidistants sont sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector), donc les emplacements possibles sont exactement cette droite et rien d’autre. Et un point qui n’est pas sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) n’est donc *pas* équidistant : il est strictement plus proche de l’un des deux arbres.

**3.** Les deux trajets ont en commun le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[MP]$, et $PB = PA$ puisque $P$ est sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector). Le trajet $M \to P \to B$ a donc la même longueur que le trajet $M \to P \to A$, à savoir $MP + PA$. Or $MB$ est le chemin droit vers $B$ — ici c’est justement le trajet par $P$, donc $MB = MP + PA$ ; et le chemin droit vers $A$ est plus court que le détour par $P$ : $MA < MP + PA = MB$. Tout point du côté de $A$ est plus proche de $A$.

**4.** La frontière est la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ : l’école $A$ dessert exactement la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la ville située de son côté de cette droite (question 3), l’école $B$ l’autre [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), et les enfants habitant sur la droite elle-même peuvent choisir.

**5.** $O$ est sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$, donc $OA = OB$ ; et sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[BC]$, donc $OB = OC$ ([Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**6.** De $OA = OB$ et $OB = OC$ on tire $OA = OC$. D’après le second sens de la [Proposition 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), un point équidistant de $A$ et de $C$ est sur la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AC]$ : la troisième [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) passe par $O$ sans qu’on le lui ait demandé. Les trois [médiatrices](#def-g6-symmetry-bisector) d’un triangle quelconque sont *concourantes*.

**7.** Le cercle de centre $O$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $OA$ est formé de tous les points situés à la distance $OA$ de $O$ ([Définition 40.5](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-circle)) ; comme $OB = OA$ et $OC = OA$, les points $B$ et $C$ sont dessus. Un centre, un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes), trois points desservis : c’est le cercle passant par $A$, $B$ et $C$.

**8.** Deux [médiatrices](#def-g6-symmetry-bisector) suffisent parce que la troisième est automatique (question 6) : leur point d’intersection vérifie déjà les trois égalités de distances. Le cercle se trace de centre $O$, le compas ouvert de $O$ à l’un quelconque des trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

**9.** Recette : marquer trois points $A$, $B$, $C$ sur l’arc subsistant ; tracer les [médiatrices](#def-g6-symmetry-bisector) des cordes $[AB]$ et $[BC]$ ; leur point d’intersection est le centre de l’assiette, et sa distance à $A$ en est le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes). Cela marche parce que le bord de l’assiette est un cercle passant par les trois points marqués — et la question 8 trouve *le* cercle qui passe par eux. L’arc d’essai se reconstitue exactement.

**10.** Si $A$, $B$, $C$ sont alignés, la [médiatrice](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ et celle de $[BC]$ sont toutes deux [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la même droite $(AB) = (BC)$ — elles sont donc [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) entre elles ([Proposition 40.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#prop-g6-lines-facts)) et, étant distinctes, ne se coupent jamais. Aucun point n’est équidistant des trois, et aucun cercle ne passe par trois points alignés.

**11.** [Pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier : $5$ axes, chacun passant par un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et le milieu du côté opposé ([nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : tous les axes sont de cette seule espèce). [Hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier : $6$ axes — trois par des [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) opposés et trois par les milieux de côtés opposés ([nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : deux espèces, [moitié-moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)). La régularité : un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier à $n$ côtés a $n$ axes.

**12.** La découpe traverse les deux épaisseurs à la fois : les deux épaisseurs perdent donc des morceaux exactement identiques ; et déplier, c’est effectuer la symétrie par rapport au pli, qui envoie le bord de chaque épaisseur sur celui de l’autre. Le trou est son propre [symétrique](#def-g6-symmetry-def) : le pli en est un [axe de symétrie](#def-g6-symmetry-axis) — quelle que soit la découpe.

**13.** Le trou déplié a au moins $2$ [axes de symétrie](#def-g6-symmetry-axis), les deux plis, et la découpe apparaît en $4$ exemplaires (chaque dépliage double l’image : $1 \to 2 \to 4$). Plier davantage, à la manière des flocons, multiplie encore les copies et les axes.

**14.** $F''$ a la *même* orientation que $F$ (les deux retournements se compensent), la même taille et la même hauteur — c’est simplement $F$ glissé vers la droite. Le glissement mesure $8$ carreaux : exactement le *double* de la distance entre les deux axes. Deux miroirs [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ne renversent pas du tout : ils *translatent*.

**15.** $F''$ a de nouveau la même taille, mais il apparaît maintenant *à l’envers*, tourné d’un demi-tour autour du point d’intersection des deux axes : chaque point de $F''$ est diamétralement opposé au point correspondant de $F$ par rapport à ce centre. Deux miroirs [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) se composent en un *demi-tour* — la symétrie centrale du [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central).