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title: "Périmètre, aire, volume"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 43
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume
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# Chapitre 43 — Périmètre, aire, volume

Quelle longueur a la clôture, quelle taille a le champ, combien d’eau tient dans le réservoir ? Trois questions différentes, trois quantités différentes — [périmètre](#def-g6-measure-perimeter), [aire](#def-g6-measure-area), [volume](#def-g6-measure-volume) — chacune avec ses propres unités. Les confondre est l’erreur la plus courante en géométrie ; ce chapitre les démêle pour de bon.

## 43.1 Longueurs et périmètre

**Définition 43.1 (Périmètre).**

Le *périmètre* d’une figure est la longueur totale de son bord. Il se mesure en unités de longueur : millimètres (mm), centimètres (cm), mètres (m), kilomètres (km), avec

$$
1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad
1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad
1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.
$$

**Exemple 43.2.**

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ a pour [périmètre](#def-g6-measure-perimeter)

$$
P = L + \ell + L + \ell = 2 \times (L + \ell).
$$

Pour un rectangle de $7$ cm sur $4$ cm : $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 =
22$ cm. Un carré de côté $c$ a pour [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $4c$.

**Proposition 43.3 (Circonférence d’un cercle).**

Le [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) (ou *circonférence*) d’un cercle de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ est

$$
P = 2 \pi r ,
$$

où $\pi \approx 3.14$ est le même nombre pour tout cercle.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 43.4.**

Un étang circulaire a un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de $5$ m. Son bord mesure $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Garder la valeur exacte $10\pi$ aussi longtemps que possible ; n’[arrondir](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres#def-g4-numbers-round) qu’à la fin.

## 43.2 Aires

**Définition 43.5 (Aire).**

L’*aire* d’une figure mesure la surface qu’elle couvre : combien de carreaux unitaires tiennent à l’intérieur. Unités : cm$^2$ (un carré de côté $1$ cm), m$^2$, km$^2$, … Attention :

$$
1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2
$$

— un mètre carré est un carré de $100$ cm sur $100$ cm, donc chaque pas de l’échelle des unités vaut $100$, et non $10$.

![L’aire d’un rectangle : 7 colonnes de 4 carreaux unitaires chacune, donc 7 × 4 = 28 carreaux en tout. C’est pourquoi aire = longueur × largeur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-19266ff23b67.svg)

*L’[aire](#def-g6-measure-area) d’un rectangle : $7$ colonnes de $4$ carreaux unitaires chacune, donc $7 \times 4 = 28$ carreaux en tout. C’est pourquoi [aire](#def-g6-measure-area) $=$ longueur $\times$ largeur.*

**Proposition 43.6 (Formules d’aire de base).**

| figure | [aire](#def-g6-measure-area) |
| --- | --- |
| rectangle ($L \times \ell$) | $A = L \times \ell$ |
| carré (côté $c$) | $A = c^2$ |
| [4pt] [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) (côtés $a$, $b$) | $A = \dfrac{a \times b}{2}$ |
| [4pt] disque ([rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$) | $A = \pi r^2$ |

**Démonstration pour le triangle rectangle.** Deux copies d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés $a$ et $b$, collées le long de l’hypoténuse, forment un rectangle $a \times b$. Donc l’[aire](#def-g6-measure-area) du triangle est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de celle du rectangle : $\frac{ab}{2}$. (La formule du rectangle est le comptage de carreaux unitaires ci-dessus ; la formule du disque est admise, voir [Chapitre 53](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#ch-g7-areas).) ∎

![Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle : d’où la formule a× b/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-739da0c97245.svg)

*Un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un rectangle : d’où la formule $\frac{a\times b}{2}$.*

**Exemple 43.7 (Figures composées).**

Une pièce en L est un rectangle $6$ m $\times$ $4$ m avec un coin carré $2$ m $\times$ $2$ m enlevé. Son [aire](#def-g6-measure-area), étape par étape :

1. rectangle complet : $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
2. carré enlevé : $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
3. [aire](#def-g6-measure-area) restante : $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Son *[périmètre](#def-g6-measure-perimeter)* n’est pas $20$ de quoi que ce soit : en parcourant le L, le bord mesure encore $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — les deux coupes du coin remplacent deux morceaux de mur égaux. Même nombre par coïncidence, mais mètres carrés pour l’un, mètres pour l’autre !

**Remarque 43.8 (Même périmètre, aires différentes).**

Deux figures peuvent avoir le même [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) et des [aires](#def-g6-measure-area) très différentes : un carré $5 \times 5$ et un rectangle $9 \times 1$ ont tous deux un [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) de $20$, mais des [aires](#def-g6-measure-area) de $25$ et $9$. [Périmètre](#def-g6-measure-perimeter) et [aire](#def-g6-measure-area) sont vraiment des quantités indépendantes.

## 43.3 Volumes

**Définition 43.9 (Volume).**

Le *volume* d’un [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) mesure l’espace qu’il remplit : combien de [cubes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) unitaires tiennent à l’intérieur. Unités : cm$^3$, m$^3$, … avec $1$ m$^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$ (chaque pas de l’échelle vaut $1000$). Pour les liquides, on utilise aussi le *litre* :

$$
1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3,
\qquad
1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.
$$

**Proposition 43.10 (Volume d’un pavé).**

Un [pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) (un *prisme droit à base rectangulaire*) de longueur $L$, de largeur $\ell$ et de hauteur $h$ a pour [volume](#def-g6-measure-volume)

$$
V = L \times \ell \times h .
$$

**Démonstration.** La couche du bas contient $L \times \ell$ [cubes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) unitaires (image de [Définition 43.5](#def-g6-measure-area), avec des [cubes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)), et il y a $h$ telles couches. ∎

![Un pavé rempli de cubes unitaires : 4 × 2 cubes par couche, deux couches.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-01f4054c37f1.svg)

*Un [pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) rempli de [cubes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) unitaires : $4 \times 2$ [cubes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) par couche, deux couches.*

**Exemple 43.11.**

Un aquarium mesure $60$ cm sur $30$ cm sur $40$ cm (hauteur). [Volume](#def-g6-measure-volume) :

$$
V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3
= 72 \text{ L}.
$$

Étape par étape pour la conversion : $1000$ cm$^3$ font un litre, et $72\,000 \div 1000 = 72$.

## 43.4 Exercices

**Exercice 43.1 ★.**

Convertir : $3.5$ m en cm ; $420$ mm en cm ; $0.8$ km en m ; $25\,000$ m en km.

**Solution de Exercice 43.1.**

$3.5$ m $= 350$ cm ; $420$ mm $= 42$ cm ; $0.8$ km $= 800$ m ; $25\,000$ m $= 25$ km.

**Exercice 43.2 ★.**

Calculer le [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) de : un rectangle $8$ cm $\times$ $3.5$ cm ; un carré de côté $6.2$ cm ; un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm.

**Solution de Exercice 43.2.**

Rectangle : $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Carré : $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triangle : $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

**Exercice 43.3 ★.**

Une piste de course circulaire a un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de $50$ m. Quelle longueur a un tour (valeur exacte avec $\pi$, puis arrondie au mètre) ? Combien de tours font au moins $2$ km ?

**Solution de Exercice 43.3.**

Un tour : $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Pour $2$ km $= 2000$ m : $2000 \div 314 \approx 6.4$, donc $7$ tours complets sont nécessaires ($6$ tours ne font qu’environ $1\,885$ m).

**Exercice 43.4 ★.**

Calculer l’[aire](#def-g6-measure-area) de : un rectangle $9$ cm $\times$ $4$ cm ; un carré de côté $7$ m ; un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés $6$ cm et $10$ cm ; un disque de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm (valeur exacte, puis arrondie au cm$^2$).

**Solution de Exercice 43.4.**

Rectangle : $9 \times 4 = 36$ cm$^2$. Carré : $7^2 = 49$ m$^2$. [Triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm$^2$. Disque : $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm$^2$.

**Exercice 43.5 ★.**

Convertir : $3$ m$^2$ en cm$^2$ ; $45\,000$ cm$^2$ en m$^2$ ; $2.5$ L en cm$^3$ ; $4\,500$ L en m$^3$.

**Solution de Exercice 43.5.**

$3$ m$^2 = 30\,000$ cm$^2$ ; $45\,000$ cm$^2 = 4.5$ m$^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm$^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m$^3$.

**Exercice 43.6 ★.**

Un champ rectangulaire mesure $120$ m de long et $85$ m de large. Combien de mètres de clôture faut-il pour l’entourer ? Quelle est son [aire](#def-g6-measure-area) ?

**Solution de Exercice 43.6.**

Clôture ([périmètre](#def-g6-measure-perimeter)) : $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. [Aire](#def-g6-measure-area) : $120 \times 85 = 10\,200$ m$^2$.

**Exercice 43.7 ★.**

Calculer le [volume](#def-g6-measure-volume) d’un [pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, et d’un [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’[arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $3$ cm.

**Solution de Exercice 43.7.**

[Pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm$^3$. [Cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm$^3$.

**Exercice 43.8 ★.**

Dessiner deux rectangles différents de [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm, et calculer leurs [aires](#def-g6-measure-area). Lequel de vos rectangles a la plus grande [aire](#def-g6-measure-area) ?

**Solution de Exercice 43.8.**

[Périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm signifie longueur $+$ largeur $= 8$ cm. Par exemple $6 \times 2$ ([aire](#def-g6-measure-area) $12$ cm$^2$) et $5 \times 3$ ([aire](#def-g6-measure-area) $15$ cm$^2$) — ou le carré $4 \times 4$ ([aire](#def-g6-measure-area) $16$ cm$^2$). Plus on se rapproche d’un carré, plus l’[aire](#def-g6-measure-area) est grande.

**Exercice 43.9 ★★.**

Une figure en T est faite d’un rectangle horizontal $10 \times 2$ sur un vertical $2 \times 6$ (mesures en cm). Calculer son [aire](#def-g6-measure-area), puis son [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) (parcourir le bord soigneusement, en additionnant chaque [arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)).

**Solution de Exercice 43.9.**

[Aire](#def-g6-measure-area) : $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm$^2$.

[Périmètre](#def-g6-measure-perimeter) (tige centrée sous la barre) : en parcourant le bord,

$$
10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}
$$

(haut ; extrémité droite de la barre ; dessous droit ; droite de la tige ; bas de la tige ; gauche de la tige ; dessous gauche ; extrémité gauche de la barre).

**Exercice 43.10 ★★.**

Une piscine est un [pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de $25$ m de long, $10$ m de large et $2$ m de profond.

1. Combien de mètres cubes d’eau tient-elle quand elle est pleine ?
2. Combien de litres cela fait-il ?
3. La piscine est remplie à $50\,000$ L par heure. Combien de temps dure le remplissage ?

**Solution de Exercice 43.10.**

*1.* $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m$^3$.

*2.* $500$ m$^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

*3.* $500\,000 \div 50\,000 = 10$ heures.

**Exercice 43.11 ★★.**

Un jardin est un carré de côté $20$ m contenant un étang circulaire de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ m. Quelle [aire](#def-g6-measure-area) de gazon y a-t-il (valeur exacte, puis arrondie au m$^2$) ?

**Solution de Exercice 43.11.**

Jardin : $20^2 = 400$ m$^2$. Étang : $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m$^2$. Gazon : $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m$^2$.

**Exercice 43.12 ★★★.**

Une tablette de chocolat mesure $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. Le fabricant double *les trois* dimensions.

1. Par combien le [volume](#def-g6-measure-volume) est-il multiplié ? Vérifier en calculant les deux [volumes](#def-g6-measure-volume) .
2. Le prix est multiplié par $4$ . La grande tablette est-elle une meilleure affaire que la petite ?

**Solution de Exercice 43.12.**

*1.* Petite tablette : $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm$^3$. Grande : $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm$^3$. Le [volume](#def-g6-measure-volume) est multiplié par $720 \div 90 = 8$ — doubler chacune des trois dimensions multiplie le [volume](#def-g6-measure-volume) par $2 \times 2 \times 2 = 8$.

*2.* Huit fois le chocolat pour quatre fois le prix : oui, la grande tablette est deux fois plus avantageuse au gramme.

## 43.5 Problème : la clôture de la reine Didon

**Problème 43.1.**

Devoir maison — avec une longueur de clôture fixée, quelle forme enferme le plus de terrain ? Le carré bat tous les rectangles, le cercle bat le carré, et un mur de grange change tout

La légende raconte que la reine Didon, débarquant sur la côte d’Afrique, se vit accorder « autant de terre qu’une peau de bœuf peut en entourer » — elle découpa donc la peau en une seule lanière immensément longue et fine, et enferma assez de terrain pour fonder la ville de Carthage. Son problème devient le nôtre : un fermier possède exactement $20$ m de clôture. [Exercice 43.8](#exo-g6-measure-8) a montré que deux enclos de même [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) peuvent avoir des [aires](#def-g6-measure-area) différentes ; ce problème cherche le *meilleur* enclos — et découvre que la réponse change du tout au tout lorsqu’un mur de grange offre un côté gratuit.

**Partie I — Vingt mètres de clôture.**

1. L’enclos doit être un rectangle utilisant les $20$ m de clôture. Vérifier qu’un enclos $1 \times 9$ et un enclos $2 \times 8$ conviennent tous deux, et calculer leurs [aires](#def-g6-measure-area) .
2. Expliquer pourquoi la longueur et la largeur de tout enclos convenable ont pour [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $10$ m. Dresser ensuite le tableau complet des enclos à côtés entiers (de $1 \times 9$ à $5 \times 5$ ) avec leurs [aires](#def-g6-measure-area) . Lequel est le meilleur ?
3. Vaut-il la peine d’essayer des côtés décimaux ? Calculer les [aires](#def-g6-measure-area) de l’enclos $4.5 \times 5.5$ et de l’enclos $4.9 \times 5.1$ , et les comparer au carré $5 \times 5$ . Que conjecture-t-on ?
4. La question 2 a transformé le problème de clôture en une pure question sur les nombres : *parmi tous les couples de nombres de [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $10$, lequel a le plus grand [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) ?* Y répondre à l’aide du tableau, et énoncer la règle générale que l’on observe.
5. Voici pourquoi s’écarter du carré fait toujours perdre, avec des ciseaux plutôt qu’avec de l’algèbre : partir de l’enclos $5 \times 5$ et le transformer en l’enclos $6 \times 4$ en retirant une bande et en en recollant une autre. Quelle bande est retirée, laquelle est ajoutée, et pourquoi l’échange fait-il perdre exactement un mètre carré ? Expliquer pourquoi une étape de plus (vers $7 \times 3$ ) fait perdre davantage encore.

**Partie II — La grange, et le cercle.**

6. L’enclos est maintenant adossé au long mur d’une grange : le mur remplace une longueur de l’enclos, et les $20$ m de clôture ne couvrent que les trois autres côtés. Dresser le tableau des enclos à côtés entiers (largeur $w$ , longueur $L$ le long du mur, $w + L + w = 20$ ) et de leurs [aires](#def-g6-measure-area) . Quel enclos l’emporte à présent — et est-ce un carré ?
7. Expliquer le gagnant à l’aide d’un miroir ( [Chapitre 42](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#ch-g6-symmetry) ) : construire le [symétrique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#def-g6-symmetry-def) de l’enclos par rapport au mur de la grange et considérer l’enclos doublé. Quelle longueur de clôture l’enclos doublé utilise-t-il, quel enclos doublé est le meilleur d’après la partie I, et qu’est-ce que cela fait de l’enclos initial ?
8. Didon n’a pas construit un rectangle. Courber les $20$ m de clôture en un cercle : avec $\pi \approx 3.14$ , calculer son [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) (au cm près), puis son [aire](#def-g6-measure-area) (au m $^2$ près) ( [Proposition 43.3](#prop-g6-measure-circle) , [Proposition 43.6](#prop-g6-measure-formulas) ). Comparer avec le carré $5 \times 5$ .
9. Le problème inverse : on veut un enclos d’ [aire](#def-g6-measure-area) exactement $36$ m $^2$ , avec le moins de clôture possible. Comparer les rectangles $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ et $6 \times 6$ : quels [périmètres](#def-g6-measure-perimeter) ? Quelle forme est la moins coûteuse, et en quoi cette question est-elle l’image dans le miroir de la partie I ?
10. En une phrase : pourquoi les boîtes de conserve, les tuyaux et les citernes sont-ils si souvent *ronds* ?

**Partie III — [Périmètre](#def-g6-measure-perimeter) et [aire](#def-g6-measure-area) sont deux étrangers.**

11. Trouver un rectangle dont le [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) dépasse $100$ m mais dont l’ [aire](#def-g6-measure-area) est inférieure à $1$ m $^2$ . (Très long et très fin. Les décimaux sont autorisés.)
12. Vrai ou faux : « de deux figures, celle qui a le plus grand [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) a la plus grande [aire](#def-g6-measure-area) ». Donner un contre-exemple tiré de ce problème.
13. Prendre le rectangle $6 \times 4$ et découper une encoche carrée $1 \times 1$ au milieu d’un grand côté (l’encoche s’ouvre vers l’extérieur, comme une dent manquante). Calculer l’ [aire](#def-g6-measure-area) et le [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) de la figure encochée, et comparer les deux à la figure de départ. Qu’est-il arrivé à chacun ?
14. Les cartographes connaissent un fait étrange : plus la carte est détaillée, plus le littoral est *long* — chaque zoom révèle de nouvelles petites encoches, et la question 13 montre ce que fait chaque encoche. Expliquer en une ou deux phrases pourquoi « la longueur de la côte de Bretagne » est un nombre glissant, alors que « l’ [aire](#def-g6-measure-area) de la Bretagne » ne l’est pas.
15. L’examen du fermier. Avec $36$ m de clôture et le mur de la grange à disposition, trouver le meilleur enclos rectangulaire (utiliser le miroir de la question 7), donner son [aire](#def-g6-measure-area) , et la comparer à celle du meilleur enclos construit avec $36$ m en plein champ. Combien le mur de la grange rapporte-t-il au fermier ?

**Solution de Problème 43.1.**

**1.** $1 \times 9$ : [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (1 + 9) = 20$ m, [aire](#def-g6-measure-area) $9$ m$^2$. $2 \times 8$ : [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times 10 = 20$ m, [aire](#def-g6-measure-area) $16$ m$^2$.

**2.** Le [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) vaut deux fois (longueur $+$ largeur) ([Exemple 43.2](#ex-g6-measure-perimeter)), donc longueur $+$ largeur $= 20 \div 2 = 10$ m. Le tableau :

| enclos | $1 \times 9$ | $2 \times 8$ | $3 \times 7$ | $4 \times 6$ | $5 \times 5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [aire](#def-g6-measure-area) (m$^2$) | $9$ | $16$ | $21$ | $24$ | $25$ |

Le carré $5 \times 5$ est le meilleur.

**3.** $4.5 \times 5.5 = 24.75$ et $4.9 \times 5.1 = 24.99$ : de plus en plus proche de $25$, mais toujours en dessous. Conjecture : le carré bat *tous* les rectangles de [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $20$, côtés décimaux compris.

**4.** D’après le tableau : le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de deux nombres de [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $10$ est le plus grand quand les deux nombres sont *égaux* ($5$ et $5$). Règle générale : à [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) fixée, le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) est le plus grand pour des parts égales — plus le couple est déséquilibré, plus le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) est petit.

**5.** Partir du carré $5 \times 5$ et retirer la rangée du haut — une bande de $5$ carreaux — ce qui laisse un enclos $5 \times 4$ ; puis recoller une colonne de $4$ carreaux à une extrémité, ce qui donne l’enclos $6 \times 4$. Cinq carreaux ont été enlevés et quatre seulement sont revenus : la bande ajoutée se pose le long du côté $4$, plus court que le côté $5$ que couvrait la bande retirée. Perte nette : un mètre carré ($25 \to 24$). L’étape suivante, de $6 \times 4$ à $7 \times 3$, échange une rangée de $6$ contre une colonne de $3$ et perd trois de plus ($24 \to 21$) : plus l’enclos s’éloigne du carré, plus longue est la bande qu’il cède et plus courte celle qu’il récupère.

**6.** Avec $w + L + w = 20$, c’est-à-dire $L = 20 - 2w$ :

| $w$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $L$ | $18$ | $16$ | $14$ | $12$ | $10$ | $8$ | $6$ |
| [aire](#def-g6-measure-area) | $18$ | $32$ | $42$ | $48$ | $50$ | $48$ | $42$ |

Le gagnant est $5 \times 10$, d’[aire](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — deux fois plus long (le long du mur) que large : ce n’est *pas* un carré.

**7.** Construire le [symétrique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#def-g6-symmetry-def) de l’enclos par rapport au mur : l’enclos et son image forment un enclos doublé qui utilise la clôture deux fois, soit $40$ m de clôture tout autour (le côté du mur est devenu intérieur). D’après la partie I, le meilleur rectangle de [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $40$ est le carré $10 \times 10$, d’[aire](#def-g6-measure-area) $100$ m$^2$. Le meilleur enclos réel est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de ce meilleur enclos doublé : $10$ m le long du mur, $5$ m de profondeur, [aire](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — exactement le gagnant du tableau, désormais expliqué.

**8.** Circonférence $20 = 2 \times \pi \times r$, donc $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. [Aire](#def-g6-measure-area) : $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m$^2$ — confortablement plus que les $25$ m$^2$ du carré. Didon savait ce qu’elle faisait : à longueur de bordure donnée, c’est le cercle qui enferme le plus.

**9.** [Périmètres](#def-g6-measure-perimeter) : $1 \times 36$ : $74$ m ; $2 \times 18$ : $40$ m ; $3 \times 12$ : $30$ m ; $4 \times 9$ : $26$ m ; $6 \times 6$ : $24$ m. Le carré à nouveau — le moins de clôture pour l’[aire](#def-g6-measure-area) demandée. C’est la partie I à l’envers : [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) fixé et [aire](#def-g6-measure-area) maximale, ou [aire](#def-g6-measure-area) fixée et [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) minimal, les deux couronnent le carré (et, au-delà de tous les rectangles, le cercle).

**10.** Une paroi ronde est la bordure la plus courte pour l’espace qu’elle enferme (question 8) : une boîte, un tuyau ou une citerne ronds contiennent donc le plus pour le moins de métal — et la matière, c’est de l’argent.

**11.** Par exemple $50$ m $\times$ $0.01$ m : [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, [aire](#def-g6-measure-area) $50 \times 0.01 = 0.5$ m$^2$. Long et fin : des kilomètres de bordure, presque pas de terrain.

**12.** Faux. L’enclos de la question 11 a un [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) de $100.02$ m et une [aire](#def-g6-measure-area) de $0.5$ m$^2$, tandis que l’enclos $5 \times 5$ a un [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) de $20$ m et une [aire](#def-g6-measure-area) de $25$ m$^2$ : [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) plus grand, [aire](#def-g6-measure-area) bien plus petite.

**13.** [Aire](#def-g6-measure-area) : il manque un carreau unité, $24 - 1 = 23$ cm$^2$. [Périmètre](#def-g6-measure-perimeter) : en faisant le tour, l’encoche remplace $1$ cm de paroi droite par trois côtés du petit carré, $1 + 1 + 1 = 3$ cm : le [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) passe de $20$ cm à $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Enlever de la matière a *allongé* la bordure.

**14.** Chaque zoom sur une côte réelle révèle de nouvelles baies, de nouveaux rochers et de nouvelles criques — des encoches sur des encoches, et la question 13 montre que chaque encoche allonge la bordure sans presque rien changer à l’[aire](#def-g6-measure-area). La longueur mesurée ne cesse donc de croître avec le niveau de détail (le « paradoxe du littoral »), alors que l’[aire](#def-g6-measure-area) mesurée se stabilise : [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) et [aire](#def-g6-measure-area) sont vraiment deux grandeurs indépendantes.

**15.** Argument du miroir : l’enclos doublé utiliserait $2 \times 36 = 72$ m de clôture, et le meilleur rectangle de [périmètre](#def-g6-measure-perimeter) $72$ est le carré $18 \times 18$. Le meilleur enclos est donc $18$ m le long du mur et $9$ m de profondeur : vérification de la clôture $9 + 18 + 9 = 36$ m, [aire](#def-g6-measure-area) $18 \times 9 = 162$ m$^2$. En plein champ, le meilleur est le carré $9 \times 9$, d’[aire](#def-g6-measure-area) $81$ m$^2$. Le mur de la grange *double* exactement le terrain du fermier.