--- title: "Proportionnalité et données" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 44 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/44-proportionnalite-et-donnees --- # Chapitre 44 — Proportionnalité et données Si trois cahiers coûtent $6$ euros, six cahiers coûtent $12$ : le double de cahiers, le double du prix. Les quantités qui se comportent ainsi sont *[proportionnelles](#def-g6-propdata-def)* — l’une des idées les plus utiles de toutes les mathématiques, développée plus loin dans [Chapitre 49](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/49-proportionnalite#ch-g7-prop). Le chapitre se termine par la lecture et le tracé de graphiques simples. ## 44.1 Quantités proportionnelles **Définition 44.1 (Proportionnalité).** Deux quantités sont *proportionnelles* lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent à partir des valeurs de l’autre en multipliant toujours par le *même* nombre, appelé *coefficient de proportionnalité*. **Exemple 44.2.** Cahiers à $2$ euros chacun : | cahiers | $3$ | $5$ | $8$ | $12$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | prix (euros) | $6$ | $10$ | $16$ | $24$ | Chaque prix est le nombre de cahiers $\times 2$ : le coefficient est $2$ (le prix unitaire). Un contrôle rapide qu’un tableau est proportionnel : tous les « [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) de colonnes » $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ doivent être égaux — ici ils valent tous $2$. **Exemple 44.3 (Un contre-exemple).** L’âge et la taille ne sont pas proportionnels : un enfant de $12$ ans n’est pas deux fois plus grand qu’un enfant de $6$ ans. Contrôle numérique : $1.50$ m à $12$ ans et $1.15$ m à $6$ ans donnent des [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $\frac{1.50}{12} = 0.125$ et $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — pas égaux. **Méthode 44.4 (Compléter un tableau de proportionnalité).** Trois façons, à choisir librement : 1. *coefficient* : trouver le multiplicateur à partir d’une colonne complète, l’appliquer aux autres ; 2. *colonnes* : une colonne peut être multipliée par un nombre, ou deux colonnes additionnées, pour produire une nouvelle colonne ; 3. *retour à l’unité* : trouver d’abord la valeur pour *un* article, puis multiplier. **Exemple 44.5.** Cinq mugs identiques coûtent $15$ euros ; que coûtent huit mugs ? *Retour à l’unité* : un mug coûte $15 \div 5 = 3$ euros, donc huit mugs coûtent $8 \times 3 = 24$ euros. *Colonnes* : $8 = 5 + 3$ ; trois mugs coûtent $\frac{3}{5}$ de $15$, c’est-à-dire $9$ ; donc huit mugs coûtent $15 + 9 = 24$ euros. Même réponse, comme il se doit. ## 44.2 Pourcentages **Définition 44.6 (Pourcentage).** « $t\,\%$ d’une quantité » signifie la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) $\frac{t}{100}$ de celle-ci : $25\,\%$ de $60$ est $\frac{25}{100} \times 60 = 15$. Un pourcentage est une [proportionnalité](#def-g6-propdata-def) de coefficient $\frac{t}{100}$. **Exemple 44.7.** Une classe de $30$ élèves contient $40\,\%$ de filles. Nombre de filles, étape par étape : $40\,\%$ signifie $\frac{40}{100} = 0.4$, et $0.4 \times 30 = 12$ filles. Repères utiles : $50\,\%$ est une [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), $25\,\%$ un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), $10\,\%$ un dixième — donc $10\,\%$ de $30$ est $3$, et $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ est $4 \times 3 = 12$ : même réponse, calculée mentalement. ## 44.3 Lire et tracer des graphiques **Méthode 44.8 (Lire un tableau ou un graphique).** Quelle que soit l’image — tableau, diagramme en barres, graphique en lignes : 1. lire d’abord le titre et les unités sur les deux axes ; 2. pour répondre à une question, localiser la bonne barre/colonne, puis lire la valeur soigneusement contre la graduation ; 3. pour comparer, comparer les barres par la hauteur — mais vérifier que l’axe commence à $0$ , sinon l’image peut tromper. **Exemple 44.9.** Le diagramme en barres ci-dessous montre le nombre de livres empruntés à la bibliothèque de l’école pendant une semaine. ![Un diagramme en barres : une barre par jour, hauteur égale au compte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-propdata/fig-a54950c9f274.svg) *Un diagramme en barres : une barre par jour, hauteur égale au compte.* Lectures : le jour le plus chargé est mercredi ($17$ livres). Mardi et jeudi ensemble comptent pour $8 + 6 = 14$ livres — moins que vendredi seul ($15$). Total de la semaine : $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ livres. ![Les quantités proportionnelles ont un graphique très reconnaissable : les points s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici des cahiers à 3 euros chacun ; les pointillés lisent le prix de 6 cahiers : 18 euros).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-propdata/fig-21c2b05c7f46.svg) *Les quantités [proportionnelles](#def-g6-propdata-def) ont un graphique très reconnaissable : les points s’alignent sur une droite passant par l’origine (ici des cahiers à $3$ euros chacun ; les pointillés lisent le prix de $6$ cahiers : $18$ euros).* ## 44.4 Exercices **Exercice 44.1 ★.** Le tableau est-il proportionnel ? Justifier en calculant les [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder). | kg de pommes | $2$ | $3$ | $5$ | | --- | --- | --- | --- | | prix (euros) | $5$ | $7.5$ | $12.5$ | | âge (ans) | $2$ | $4$ | $8$ | | --- | --- | --- | --- | | taille (cm) | $85$ | $103$ | $130$ | **Solution de Exercice 44.1.** Pommes : [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $\frac52 = 2.5$, $\frac{7.5}{3} = 2.5$, $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — tous égaux : proportionnel (prix $2.50$ par kg). Âge/taille : $\frac{85}{2} = 42.5$ mais $\frac{103}{4} = 25.75$ — pas égaux : non proportionnel. **Exercice 44.2 ★.** Quatre croissants coûtent $4.80$ euros. Trouver le prix d’un croissant, puis de sept croissants. **Solution de Exercice 44.2.** Un croissant : $4.80 \div 4 = 1.20$ euros. Sept : $7 \times 1.20 = 8.40$ euros. **Exercice 44.3 ★.** Compléter le tableau de [proportionnalité](#def-g6-propdata-def) (coefficient d’abord !) : | litres de carburant | $10$ | $25$ | $?$ | $60$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | prix (euros) | $18$ | $?$ | $72$ | $?$ | **Solution de Exercice 44.3.** Coefficient : $18 \div 10 = 1.8$ euros par litre. Puis $25$ L coûtent $25 \times 1.8 = 45$ euros ; $72$ euros achètent $72 \div 1.8 = 40$ L ; $60$ L coûtent $60 \times 1.8 = 108$ euros. **Exercice 44.4 ★.** Une voiture consomme $6$ L de carburant pour $100$ km. Combien de carburant pour $250$ km ? Pour $350$ km ? Quelle distance peut-elle parcourir avec $27$ L ? **Solution de Exercice 44.4.** Pour $250$ km : $2.5$ fois le carburant de $100$ km, donc $2.5 \times 6 = 15$ L. Pour $350$ km : $3.5 \times 6 = 21$ L. Avec $27$ L : $27 \div 6 = 4.5$ centaines de km, c’est-à-dire $450$ km. **Exercice 44.5 ★.** Calculer mentalement, en utilisant les repères de [Exemple 44.7](#ex-g6-propdata-percent) : $50\,\%$ de $84$ ; $25\,\%$ de $200$ ; $10\,\%$ de $63$ ; $30\,\%$ de $70$. **Solution de Exercice 44.5.** $50\,\%$ de $84$ : [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), $42$. $25\,\%$ de $200$ : un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), $50$. $10\,\%$ de $63$ : un dixième, $6.3$. $30\,\%$ de $70$ : $3 \times 7 = 21$. **Exercice 44.6 ★.** Dans une école de $450$ élèves, $60\,\%$ mangent à la cantine. Combien d’élèves est-ce ? Combien n’y mangent pas ? **Solution de Exercice 44.6.** $60\,\%$ de $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ élèves mangent à la cantine ; $450 - 270 = 180$ n’y mangent pas. **Exercice 44.7 ★.** Avec le diagramme en barres de [Exemple 44.9](#ex-g6-propdata-chart) : quels jours a-t-on emprunté moins de $10$ livres ? Combien de livres de plus a-t-on empruntés mercredi que jeudi ? **Solution de Exercice 44.7.** Moins de $10$ livres : mardi ($8$) et jeudi ($6$). Mercredi moins jeudi : $17 - 6 = 11$ livres de plus. **Exercice 44.8 ★.** Les températures à midi de lundi à vendredi étaient $14$, $16$, $13$, $17$, $20$ degrés. Dessiner un diagramme en barres de ces données (choisir une graduation sensée), et lire le jour le plus chaud. **Solution de Exercice 44.8.** Diagramme en barres avec cinq barres de hauteurs $14$, $16$, $13$, $17$, $20$ (graduation tous les $2$ ou $5$ degrés convient). Jour le plus chaud : vendredi ($20$ degrés). **Exercice 44.9 ★★.** Une recette pour $6$ personnes demande $450$ g de farine et $3$ œufs. L’adapter pour $10$ personnes. (Pour les œufs, réfléchir avant d’écrire un [nombre décimal](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-places) d’œufs !) **Solution de Exercice 44.9.** Pour $10$ personnes, multiplier par $\frac{10}{6} = \frac53$ : farine $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Œufs : $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — heureusement un entier. (Si ce n’était pas le cas, on arrondirait *vers le haut* pour en avoir assez.) **Exercice 44.10 ★★.** À vitesse constante, une cycliste parcourt $24$ km en $1$ heure. 1. Quelle distance parcourt-elle en $2$ h ? En une demi-heure ? En $1$ h $30$ min ? 2. Combien de temps lui faut-il pour $60$ km ? **Solution de Exercice 44.10.** *1.* En $2$ h : $48$ km. En une demi-heure : $12$ km. En $1$ h $30$ : $24 + 12 = 36$ km. *2.* $60 \div 24 = 2.5$ heures, c’est-à-dire $2$ h $30$ min. **Exercice 44.11 ★★.** Un magasin offre « $20\,\%$ de réduction sur tout ». Calculer la réduction et le nouveau prix pour : un ballon à $15$ euros ; une raquette à $40$ euros. Le nouveau prix est-il proportionnel à l’ancien ? Quel est le coefficient ? **Solution de Exercice 44.11.** Ballon : réduction $20\,\%$ de $15 = 3$ euros, nouveau prix $12$ euros. Raquette : réduction $8$ euros, nouveau prix $32$ euros. Le nouveau prix est $80\,\%$ de l’ancien dans tous les cas : proportionnel, coefficient $0.8$. **Exercice 44.12 ★★★.** Deux bougies de même hauteur sont allumées en même temps. La grosse se consume entièrement en $6$ heures, la fine en $4$ heures, chacune à son rythme constant. Au bout de combien de temps la bougie fine est-elle exactement deux fois moins haute que la grosse ? (Exprimer les hauteurs restantes après $t$ heures comme [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de la hauteur initiale.) **Solution de Exercice 44.12.** Après $t$ heures, la grosse bougie a brûlé $\frac t6$ de sa hauteur : elle se dresse à $1 - \frac t6$ de la hauteur initiale ; la fine à $1 - \frac t4$. On veut $$ 1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{c'est-à-dire}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}. $$ Alors $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$, donc $t = 3$ heures. Vérif. : après $3$ h la grosse bougie se dresse à $1 - \frac36 = \frac12$ et la fine à $1 - \frac34 = \frac14$ — bien la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half). ## 44.5 Problème : cartes, plans, et l’art de mentir avec un diagramme **Problème 44.1.** Devoir maison — l’échelle d’une carte est une proportionnalité : les longueurs suivent le coefficient, les aires suivent son carré, et les diagrammes mal tracés trompent l’œil Toute carte, tout plan, toute maquette obéit à une seule règle : les longueurs réelles et les longueurs dessinées sont *[proportionnelles](#def-g6-propdata-def)* ([Définition 44.1](#def-g6-propdata-def)). Le coefficient porte un nom célèbre — l’*échelle* — et il cache deux pièges que ce problème déclenche exprès : les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) ne suivent *pas* l’échelle, et les pourcentages, comme les diagrammes, dépendent entièrement de ce à quoi on les rapporte. **Partie I — Lire une carte.** Une carte de randonnée est à l’échelle $1:100\,000$ : chaque centimètre sur la carte représente $100\,000$ centimètres sur le terrain. 1. Convertir $100\,000$ cm en kilomètres. Que représente $1$ cm de cette carte, en km ? 2. Deux villages sont distants de $7.5$ cm sur la carte ; la rive d’un lac y forme une courbe de $12$ cm. Donner les distances réelles. 3. Une voie romaine parfaitement rectiligne mesure $20$ km. Quelle est sa longueur sur la carte ? 4. Une seconde carte annonce « $1$ cm pour $5$ km ». Écrire son échelle sous la forme $1: \,?$ . Laquelle des deux cartes montre le plus de détails pour une même région ? 5. Dresser un petit tableau (distance sur la carte $1$ , $2$ , $7.5$ cm en regard de la distance réelle) pour la carte de randonnée, et expliquer pourquoi une échelle est exactement une [proportionnalité](#def-g6-propdata-def) au sens de la [Définition 44.1](#def-g6-propdata-def) . Quel est le coefficient qui transforme les centimètres sur la carte en kilomètres ? **Partie II — Le plan de la chambre de Zoé.** Zoé dessine le plan de sa chambre — un rectangle de $4$ m sur $3$ m — à l’échelle $1:50$. 6. Quelles sont les dimensions de la pièce sur le plan ? 7. Son lit mesure $2$ m sur $0.9$ m, et l’ouverture de la porte fait $80$ cm de large. Donner les trois mesures sur le plan. 8. Voici le piège. Calculer l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) réelle de la pièce en m $^2$ , puis l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de son plan en cm $^2$ . Convertir l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) réelle en cm $^2$ ( [Définition 43.5](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) ) et la diviser par l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du plan : le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) vaut-il $50$ ? 9. Expliquer le nombre trouvé : sur un plan au $1:50$ , chaque centimètre carré de papier représente un carré réel de $50$ cm sur $50$ cm. Combien cela fait-il de cm $^2$ réels ? Énoncer la règle : quand les longueurs sont divisées par $50$ , les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) sont divisées par … 10. Un tapis rond couvre $6$ cm $^2$ sur le plan. Quelle [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) réelle couvre-t-il, en cm $^2$ puis en m $^2$ ? **Partie III — Comment mentir avec un diagramme (et avec un pourcentage).** 11. Un magasin a vendu pour $105$ euros le samedi et pour $110$ le dimanche. Le gérant trace un diagramme en barres dont l’axe vertical commence à $100$ : la barre du samedi monte de $5$ petites unités, celle du dimanche de $10$ . Que suggère l’image au sujet du dimanche, et quelle est la vérité ? (Calculer la hausse du dimanche en pourcentage du samedi, au pour cent près.) Quelle mise en garde de la [Méthode 44.8](#met-g6-propdata-read) le gérant a-t-il ignorée ? 12. Retracer (ou décrire) le diagramme honnête, avec un axe partant de $0$ : comment les deux barres se comparent-elles alors ? 13. Une collection passe de $40$ à $60$ timbres : calculer la hausse en pourcentage de la valeur de départ. Elle redescend ensuite de $60$ à $40$ : calculer la baisse en pourcentage de *sa* valeur de départ. Pourquoi les deux réponses diffèrent-elles, pour les mêmes $20$ timbres ? 14. Période de soldes : un manteau à $100$ euros est affiché à « $-20\,\%$ », et à la caisse on annonce « $10\,\%$ de plus sur le prix soldé ». Calculer le prix final étape par étape. La remise totale est-elle de $30\,\%$ ? Expliquer au client ce qu’elle vaut réellement. 15. Bouquet final, retour à la carte de la question 4 ( $1$ cm pour $5$ km) : une forêt occupe $3$ cm $^2$ de cette carte. Quelle est son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) réelle, en km $^2$ ? Conclure par la règle de tout ce problème : les longueurs suivent l’échelle, les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) suivent son … **Solution de Problème 44.1.** **1.** $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km : un centimètre sur la carte, c’est un kilomètre sur le terrain. **2.** $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km entre les villages ; $12$ cm $\rightarrow 12$ km de rive. **3.** $20$ km $\rightarrow 20$ cm sur la carte. **4.** $5$ km $= 500\,000$ cm, donc l’échelle est $1:500\,000$. La carte de randonnée ($1:100\,000$) est la plus détaillée : elle emploie $5$ cm de papier là où l’autre n’en dépense qu’$1$. **5.** | carte (cm) | $1$ | $2$ | $7.5$ | | --- | --- | --- | --- | | réel (km) | $1$ | $2$ | $7.5$ | Distance réelle $=$ distance sur la carte $\times 1$ (dans ces unités) : toujours le *même* multiplicateur, ce qui est exactement la définition de la [proportionnalité](#def-g6-propdata-def) ([Définition 44.1](#def-g6-propdata-def)). Le coefficient vaut ici $1$ kilomètre par centimètre. **6.** $4$ m $= 400$ cm et $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm et $300 \div 50 = 6$ : le plan montre un rectangle de $8$ cm $\times$ $6$ cm. **7.** Lit : $200 \div 50 = 4$ cm sur $90 \div 50 = 1.8$ cm. Ouverture de la porte : $80 \div 50 = 1.6$ cm. **8.** [Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) réelle : $4 \times 3 = 12$ m$^2$. [Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du plan : $8 \times 6 = 48$ cm$^2$. En convertissant : $12$ m$^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm$^2$, et $$ 120\,000 \div 48 = 2\,500 . $$ Le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) ne vaut pas $50$ mais $2\,500 = 50 \times 50$. **9.** Un cm$^2$ de papier représente un carré réel de $50$ cm sur $50$ cm, qui contient $50 \times 50 = 2\,500$ cm$^2$. Ainsi, quand les longueurs sont divisées par $50$, les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) sont divisées par $50 \times 50 = 2\,500$ : les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) suivent le *carré* de l’échelle. **10.** $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm$^2$, et $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m$^2$. **11.** L’image suggère que le dimanche a vendu *deux fois* plus (une barre deux fois plus haute). La vérité : la hausse est de $5$ euros sur $105$, et $5 \div 105 \approx 0.048$ : environ $5\,\%$ de plus, et non $100\,\%$ de plus. Le gérant a ignoré la mise en garde qui demande de vérifier que l’axe part de $0$ ([Méthode 44.8](#met-g6-propdata-read)). **12.** Avec un axe partant de $0$, les barres montent à $105$ et $110$ petites unités : deux barres de hauteurs presque égales, l’image honnête d’un écart de $5\,\%$. **13.** À la hausse : l’augmentation est de $20$ timbres à partir de $40$ : $\frac{20}{40} = 50\,\%$. À la baisse : la diminution est de $20$ timbres à partir de $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$. Les mêmes $20$ timbres, mais des valeurs de départ différentes — un pourcentage est toujours une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) *de quelque chose*, et ce « quelque chose » a changé. **14.** Après la remise de $20\,\%$ : $100 - 20 = 80$ euros. Les $10\,\%$ supplémentaires s’appliquent à $80$ : remise de $8$ euros, prix final $72$ euros. Remise totale : $28$ euros sur $100$, soit $28\,\%$ — et non $30\,\%$. La seconde remise a agi sur le prix déjà soldé, donc ses euros sont plus petits : des pourcentages de quantités différentes ne s’additionnent pas. **15.** Sur cette carte, $1$ cm représente $5$ km, donc $1$ cm$^2$ représente $5 \times 5 = 25$ km$^2$ (règle de la question 9). La forêt : $3 \times 25 = 75$ km$^2$. Les longueurs suivent l’échelle ; les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) suivent son *carré*.