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title: "Priorités opératoires"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 45
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires
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# Chapitre 45 — Priorités opératoires

Que vaut $3 + 4 \times 5$ ? En calculant de gauche à droite on obtient $35$ ; en multipliant d’abord on obtient $23$. Les mathématiques n’admettent qu’une seule réponse, d’où des règles de circulation pour les calculs — les priorités. Ce chapitre les énonce et introduit une première identité algébrique, la distributivité.

## 45.1 Les règles de priorité

**Théorème 45.1 (Règles de priorité).**

Dans un calcul sans parenthèses :

1. les multiplications et divisions s’effectuent *avant* les additions et soustractions ;
2. les opérations de même niveau s’effectuent de gauche à droite.

Les parenthèses l’emportent sur tout : ce qui est entre parenthèses se calcule d’abord, en commençant par les plus intérieures.

**Exemple 45.2.**

Une opération par ligne, en soulignant (mentalement) ce que l’on calcule :

$$
\begin{align*}
3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23
&&\text{(multiplication d'abord)}\\
20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14
&&\text{(même niveau~: gauche à droite)}\\
18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12
&&\text{(même niveau~: gauche à droite)}\\
(3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35
&&\text{(parenthèses d'abord).}
\end{align*}
$$

Attention aux pièges : $20 - 8 + 2$ n’est *pas* $20 - 10$, et $18 \div 3 \times 2$ n’est *pas* $18 \div 6$.

**Exemple 45.3 (Parenthèses imbriquées).**

$$
\begin{align*}
50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr)
&= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(parenthèse intérieure)}\\
&= 50 - 2 \times 9 && \text{(parenthèse restante)}\\
&= 50 - 18 && \text{(multiplication)}\\
&= 32 .
\end{align*}
$$

**Remarque 45.4 (Les barres de fraction cachent des parenthèses).**

Une barre de [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) regroupe son [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et son [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def), comme s’il y avait des parenthèses invisibles :

$$
\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5,
\qquad\text{et non}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .
$$

**Méthode 45.5 (Calculer en sécurité).**

1. Repérer l’opération à faire en premier (parenthèses les plus intérieures, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ) ;
2. calculer *uniquement celle-là* , et réécrire toute l’expression avec le résultat à la place ;
3. recommencer jusqu’à ce qu’il reste un seul nombre — une opération par ligne, sans raccourci.

## 45.2 Distributivité

**Théorème 45.6 (Distributivité).**

Pour tous nombres $k$, $a$, $b$ :

$$
k \times (a + b) = k \times a + k \times b,
\qquad
k \times (a - b) = k \times a - k \times b .
$$

**Preuve par une figure.** Compter l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’un rectangle de largeur $k$ découpé en deux rectangles plus petits de longueurs $a$ et $b$ : en un seul morceau c’est $k \times (a+b)$ ; en deux parties c’est $k \times a + k \times b$. Même rectangle, même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area). ∎

![Distributivité vue comme aires : le grand rectangle k × (a + b) est la somme des deux plus petits.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-priorities/fig-20d5069e21cc.svg)

*Distributivité vue comme [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : le grand rectangle $k \times (a + b)$ est la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des deux plus petits.*

**Exemple 45.7 (Les deux sens).**

*Développer* (de gauche à droite) facilite le calcul mental :

$$
7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721,
\qquad
6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .
$$

*Factoriser* (de droite à gauche) regroupe un facteur commun :

$$
23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .
$$

**Exemple 45.8 (Traduire des mots en calcul).**

« La [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $8$ et du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de $5$ par $3$ » s’écrit $8 + 5 \times 3 = 23$. « Le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de $5$ par la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $8$ et $3$ » s’écrit $5 \times (8 + 3) = 55$ : les mots « le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de … par la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de … » placent des parenthèses autour de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def).

## 45.3 Exercices

**Exercice 45.1 ★.**

Calculer, une opération par ligne :

$$
5 + 3 \times 6, \qquad
(5 + 3) \times 6, \qquad
30 - 12 \div 4, \qquad
(30 - 12) \div 4 .
$$

**Solution de Exercice 45.1.**

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$.

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$.

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$.

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$.

**Exercice 45.2 ★.**

Calculer :

$$
24 - 6 + 2, \qquad
24 \div 6 \times 2, \qquad
24 - 6 \times 2, \qquad
24 \div (6 \times 2).
$$

**Solution de Exercice 45.2.**

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (gauche à droite).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (gauche à droite).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (multiplication d’abord).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$.

**Exercice 45.3 ★.**

Calculer étape par étape :

$$
7 + 3 \times (10 - 6), \qquad
40 - (2 + 3) \times 4, \qquad
60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).
$$

**Solution de Exercice 45.3.**

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$.

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$.

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3)
= 60 \div 6 = 10$.

**Exercice 45.4 ★.**

Calculer les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) (parenthèses invisibles !) :

$$
\frac{18 + 6}{8}, \qquad
\frac{30}{7 - 2}, \qquad
\frac{5 \times 8}{4 + 6} .
$$

**Solution de Exercice 45.4.**

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$.

**Exercice 45.5 ★.**

Utiliser la distributivité pour calculer mentalement :

$$
8 \times 102, \qquad
25 \times 99, \qquad
14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad
37 \times 45 - 37 \times 35 .
$$

**Solution de Exercice 45.5.**

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$.

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$.

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$.

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 =
370$.

**Exercice 45.6 ★.**

Écrire le calcul en une ligne, avec des parenthèses si besoin, puis calculer : « la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de $50$ et du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de $6$ par $7$ » ; « le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $4$ et $5$ par la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de $10$ et $8$ ».

**Solution de Exercice 45.6.**

« La [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de $50$ et du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de $6$ par $7$ » : $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (pas de parenthèses nécessaires, la priorité fait le travail).

« Le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $4$ et $5$ par la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de $10$ et $8$ » : $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$.

**Exercice 45.7 ★.**

Amir a acheté $3$ cahiers à $2.50$ chacun et $2$ stylos à $1.20$ chacun. Écrire son total en une seule expression, puis le calculer.

**Solution de Exercice 45.7.**

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euros.

**Exercice 45.8 ★★.**

Placer des parenthèses dans $4 + 2 \times 5 - 1$ pour obtenir : (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$. (L’un des trois n’a besoin d’aucune parenthèse — lequel ?)

**Solution de Exercice 45.8.**

(a) sans parenthèses : $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$.

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$.

(c) $(4 + 2) \times (5 - 1) = 6 \times 4 = 24$.

**Exercice 45.9 ★★.**

Les expressions $12 + 4 \times k$ et $16 \times k$ sont-elles les mêmes pour tout nombre $k$ ? Tester avec $k = 1$ et $k = 2$, et conclure. Quelle erreur de priorité ferait passer de l’une à l’autre ?

**Solution de Exercice 45.9.**

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ et $16 \times 1 = 16$ — elles coïncident (c’est pourquoi $k = 1$ est un mauvais test !). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ mais $16 \times 2 = 32$ : différentes. Donc les deux expressions ne sont *pas* égales en général. L’erreur $12 + 4 \times k = 16 \times k$ vient d’additionner $12 + 4$ d’abord, en ignorant la priorité de $\times$.

**Exercice 45.10 ★★.**

Un billet de cinéma coûte $9$ euros, mais un groupe de $n$ personnes paie un forfait de $12$ euros plus $6$ euros par personne.

1. Écrire une expression pour le prix du groupe, et la calculer pour $n = 5$ .
2. À partir de combien de personnes le tarif groupe est-il plus avantageux que $n$ billets individuels ? (Essayer quelques valeurs de $n$ .)

**Solution de Exercice 45.10.**

*1.* Prix du groupe : $12 + 6 \times n$. Pour $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euros.

*2.* Prix individuel : $9n$. Comparer : $n = 3$ : $30$ contre $27$ (individuel moins cher) ; $n = 4$ : $36$ contre $36$ (égalité) ; $n = 5$ : $42$ contre $45$ (groupe moins cher). À partir de $5$ personnes, le tarif groupe l’emporte (chaque personne supplémentaire coûte $6$ au lieu de $9$, donc l’écart ne fait qu’augmenter).

**Exercice 45.11 ★★★.**

En utilisant chacun des chiffres $1$, $2$, $3$, $4$ exactement une fois, les quatre opérations et des parenthèses à volonté, écrire des expressions égales à $24$, à $10$, et à $1$.

**Solution de Exercice 45.11.**

Réponses possibles (il en existe beaucoup) :

$$
24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad
10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad
1 = (4 - 3) \times (2 - 1).
$$

## 45.4 Problème : multiplier comme un scribe égyptien

**Problème 45.1.**

Devoir maison — des astuces de calcul mental issues de la distributivité, et la multiplication par doublements et moitiés utilisée depuis quatre mille ans

Bien avant les calculatrices — et avant que les tables de multiplication ne s’apprennent à l’école — les scribes égyptiens et les paysans russes multipliaient deux nombres quelconques en ne se servant que de *doublements, de [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) et d’additions*. Leur méthode a l’air magique ; c’est en réalité la distributivité ([Théorème 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)) déployée à pleine puissance. Ce problème aiguise d’abord le calcul mental, enseigne ensuite la méthode antique, puis ouvre le capot pour voir exactement pourquoi elle fonctionne.

**Partie I — L’art de ne pas calculer.**

1. Calculer mentalement, en développant comme dans [Exemple 45.7](#ex-g7-priorities-distributivity) : $7 \times 102$ et $9 \times 98$ .
2. Calculer mentalement, en factorisant : $17 \times 13 + 17 \times 7$ et $45 \times 101 - 45$ .
3. L’astuce du « fois $5$ » : pour multiplier par $5$ , multiplier par $10$ et prendre la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) . Calculer $5 \times 87$ de cette façon, et expliquer pourquoi l’astuce est légitime.
4. Deux autres astuces à justifier et à utiliser : multiplier par $25$ en multipliant par $100$ et en divisant par $4$ (calculer $25 \times 32$ ) ; multiplier par $99$ en multipliant par $100$ et en retranchant une fois (calculer $99 \times 47$ ).
5. Un coup de semonce : la distributivité répartit un facteur sur une *[somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def)* , jamais sur un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) . Comparer $8 \times (5 + 3)$ avec $8 \times 5 + 8 \times 3$ , puis $8 \times (5 \times 3)$ avec $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : quel couple concorde, quel couple ne concorde pas ?

**Partie II — La méthode des doublements et des [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half).** Voici la recette pour $13 \times 24$. Écrire deux colonnes. Colonne de gauche : partir de $13$ et prendre la *[moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)*, en laissant tomber tout [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder), jusqu’à $1$ : $13,\ 6,\ 3,\ 1$. Colonne de droite : partir de $24$ et *doubler* autant de fois : $24,\ 48,\ 96,\ 192$. Barrer toute ligne dont le nombre de *gauche* est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), et additionner les nombres de droite survivants.

6. Appliquer la recette à $13 \times 24$ : quelle ligne est barrée, quelle [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) reste-t-il, et vaut-elle bien $13 \times 24$ ?
7. Multiplier $21 \times 17$ par la méthode ( [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $21$ , doublements de $17$ ), et vérifier le résultat par une multiplication ordinaire.
8. Multiplier $16 \times 25$ par la méthode. Combien de lignes survivent, et qu’a de particulier une colonne de gauche qui démarre à $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
9. Voyons maintenant *pourquoi* cela marche, une étape à la fois. Justifier chaque égalité par la distributivité : $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24  = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$ Morale : prendre la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) à gauche et doubler à droite conserve le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) — mais lorsque le nombre de gauche est *[impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*, un exemplaire du nombre de droite se détache et doit être mis de côté. Quel nombre la première ligne du tableau met-elle de côté ?
10. Poursuivre la comptabilité en descendant le tableau : $6 \times 48 = 3 \times 96$ , puis $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , puis $1 \times 192 = 192$ . Rassembler tout ce qui a été mis de côté en chemin, et expliquer pourquoi les nombres mis de côté sont exactement les nombres de droite des lignes dont la gauche est impaire — les lignes que la recette conserve.

**Partie III — Sous le capot : des [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de doublements.**

11. À la question 6, les lignes survivantes valaient $1$ , $4$ et $8$ doublements de $24$ : la méthode a écrit en silence $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Vérifier que $1 + 4 + 8 = 13$ , et trouver quels doublements ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) la méthode a retenus pour $21$ à la question 7.
12. Écrire $25$ et $42$ comme [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de nombres de la liste des doublements $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , en utilisant chacun au plus une fois.
13. Expliquer pourquoi *tout* nombre entier peut s’écrire ainsi : prendre le plus grand doublement qui tient, soustraire, recommencer — pourquoi cela s’arrête-t-il forcément ? Écrire $100$ sous cette forme.
14. Les scribes d’Égypte faisaient exactement cela, il y a quatre mille ans : pour multiplier $19 \times 35$ , ils dressaient un tableau de doublements de $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), choisissaient les lignes dont la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) vaut $19$ , et additionnaient. Mener le calcul à leur manière.
15. Bouquet final : les ordinateurs modernes, qui comptent avec des $0$ et des $1$ , multiplient essentiellement comme les scribes — par doublements et additions. Quelles trois additions un ordinateur ferait-il pour $13 \times 24$ ? (Pourquoi tout nombre se décompose en doublements, et ce que les $0$ et les $1$ viennent y faire, est le devoir maison du chapitre sur les puissances : [Problème 56.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#pb-g8-powers-1) .)

**Solution de Problème 45.1.**

**1.** $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ ; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$.

**2.** $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) =
17 \times 20 = 340$ ; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101
- 1) = 45 \times 100 = 4\,500$.

**3.** $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$. Légitimité : $5 = 10 \div 2$, donc multiplier par $5$ revient à multiplier par $10$ puis à diviser par $2$ (l’ordre de $\times$ et de $\div$, de même priorité, de la gauche vers la droite, fait le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder)).

**4.** $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$, car $25 = 100 \div 4$. Et $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ : distributivité sur la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) ([Théorème 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)).

**5.** $8 \times (5 + 3) = 64$ et $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$ : cela concorde — c’est la distributivité. Mais $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$, alors que $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$ : aucune concordance. Le facteur se répartit sur les *termes d’une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def)*, pas sur les facteurs d’un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def).

**6.**

| $13$ | $24$ | conservée ($13$ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)) |
| --- | --- | --- |
| $6$ | $48$ | barrée ($6$ [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)) |
| $3$ | $96$ | conservée |
| $1$ | $192$ | conservée |

[Somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des nombres de droite survivants : $24 + 96 + 192 = 312$, et l’on a bien $13 \times 24 = 312$.

**7.** [Moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $21$ : $21, 10, 5, 2, 1$ ; doublements de $17$ : $17, 34, 68, 136, 272$. Les gauches paires $10$ et $2$ sont barrées ; survivants $17 + 68 + 272 = 357$. Vérification : $21 \times 17 = 357$.

**8.** [Moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $16$ : $16, 8, 4, 2, 1$ ; doublements de $25$ : $25, 50, 100, 200, 400$. Tous les nombres de gauche sauf le dernier $1$ sont [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : une seule ligne survit, et la réponse est $400$. Une colonne de gauche formée de doublements purs ne conserve que sa dernière ligne — la méthode se réduit au doublement seul.

**9.** $13 = 12 + 1$, donc par distributivité $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$ ; et $12 \times 24 = 6 \times 48$ puisque prendre la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un facteur en doublant l’autre laisse le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) inchangé ($12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$). Le nombre de gauche [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $13$ a détaché un exemplaire du nombre de droite : la première ligne met $24$ de côté.

**10.** $6 \times 48 = 3 \times 96$ (moitié–double, rien à mettre de côté : $6$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 =
1 \times 192 + 96$ : le $3$ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) met $96$ de côté. Enfin $1 \times 192 = 192$ : le $1$ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) met $192$ de côté et le tableau s’achève. Total mis de côté : $24 + 96 + 192 = 312$. Une ligne met son nombre de droite de côté exactement lorsque son nombre de gauche est [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — la recette « garder les lignes de gauche impaire et additionner » est donc précisément la comptabilité de la distributivité.

**11.** $1 + 4 + 8 = 13$. Pour $21$, les lignes survivantes étaient celles de $17$, de $68 = 4 \times 17$ et de $272 = 16 \times 17$ : les doublements $1 + 4 + 16 = 21$.

**12.** $25 = 16 + 8 + 1$ et $42 = 32 + 8 + 2$.

**13.** Prendre le plus grand doublement ne dépassant pas l’objectif et le soustraire ; ce qui reste est plus petit, et plus petit que le doublement qui vient d’être utilisé (sinon un plus grand aurait tenu). En recommençant, le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) diminue strictement et doit atteindre $0$ : le procédé s’arrête, et les doublements utilisés sont tous différents. Pour $100$ : $64$ tient (il reste $36$), $32$ tient (il reste $4$), $4$ tient (il reste $0$) : $100 = 64 + 32 + 4$.

**14.** Tableau des doublements de $35$ : $1 \to 35$, $2 \to 70$, $4 \to 140$, $8 \to 280$, $16 \to 560$. Comme $19 = 16 + 2 + 1$, on retient ces lignes : $560 + 70 + 35 = 665$. Vérification : $19 \times 35 = 665$.

**15.** Les trois mêmes que le scribe et le paysan : $24 + 96 + 192$ — les doublements de $24$ sélectionnés par $13 = 1 + 4 + 8$. Écrire les nombres comme [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de doublements, c’est exactement les écrire avec des $0$ et des $1$ ; toute l’histoire est racontée dans [Problème 56.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#pb-g8-powers-1).