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title: "Nombres relatifs"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 46
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs
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# Chapitre 46 — Nombres relatifs

Températures sous [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero), étages sous le sol, dettes : bien des grandeurs passent sous $0$. Les nombres négatifs prolongent la droite numérique à gauche de [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero). Ce chapitre enseigne à les comparer et à les additionner et soustraire — leur multiplication attend le [Chapitre 54](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#ch-g8-negprod).

## 46.1 Nombres relatifs

**Définition 46.1 (Nombres relatifs).**

Un *nombre relatif* est formé d’un signe ($+$ ou $-$) et d’une *distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero)* : $+3$ et $-3$ sont tous deux à distance $3$ de $0$, de part et d’autre. Les nombres positifs s’écrivent d’ordinaire sans leur signe : $+3 = 3$. Les nombres $+3$ et $-3$ sont *opposés* l’un de l’autre.

![La droite numérique prolongée à gauche : -3 et +3 sont des nombres opposés, à la même distance de 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-d11f9c05fe48.svg)

*La droite numérique prolongée à gauche : $-3$ et $+3$ sont des nombres opposés, à la même distance de $0$.*

**Méthode 46.2 (Comparer des nombres relatifs).**

Sur la droite numérique, plus petit signifie plus à gauche. En pratique :

1. un nombre négatif est toujours plus petit qu’un positif : $-7 < 2$ ;
2. entre deux positifs, l’ordre habituel ;
3. entre deux négatifs, celui de plus *grande* distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) est le plus *petit* : $-7 < -2$ .

**Exemple 46.3.**

Ranger du plus petit au plus grand : $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$. Les négatifs d’abord, le plus négatif en tête :

$$
-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .
$$

## 46.2 Additionner des nombres relatifs

Penser un [nombre relatif](#def-g7-negatives-def) comme un déplacement sur la droite : $+5$ signifie « avancer de $5$ pas à droite », $-3$ signifie « avancer de $3$ pas à gauche ». Additionner des nombres, c’est enchaîner les déplacements.

**Méthode 46.4 (Additionner deux nombres relatifs).**

1. *Même signe* : ajouter les distances, garder le signe commun : $(-3) + (-4) = -7$ .
2. *Signes contraires* : soustraire la plus petite distance de la plus grande, prendre le signe de la plus grande : $(-7) + (+2) = -5$ et $(+7) + (-2) = +5$ .
3. Les opposés s’annulent : $(+4) + (-4) = 0$ .

![Additionner comme se déplacer : partant de 0, le déplacement -3.5 puis le déplacement +2 aboutit à (-3.5) + 2 = -1.5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-c6e3d0f5b921.svg)

*Additionner comme se déplacer : partant de $0$, le déplacement $-3.5$ puis le déplacement $+2$ aboutit à $(-3.5) + 2 = -1.5$.*

**Exemple 46.5.**

Étape par étape, en regroupant à convenance :

$$
\begin{align*}
(-8) + (+3) &= -5 && \text{(signes contraires~: } 8 - 3 = 5,
\text{ signe de } 8)\\
(-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(même signe~: ajouter les distances)}\\
(+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 .
\end{align*}
$$

## 46.3 Soustraire des nombres relatifs

**Théorème 46.6 (Règle de soustraction).**

Soustraire un [nombre relatif](#def-g7-negatives-def) revient à *ajouter son opposé* :

$$
a - b = a + (-b) .
$$

**Pourquoi cela fonctionne.** $a - b$ est le nombre qui, ajouté à $b$, donne $a$. Vérifier que $a + (-b)$ fait le travail : $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$. ∎

**Exemple 46.7.**

Toute soustraction devient une addition, puis [Méthode 46.4](#met-g7-negatives-add) s’applique :

$$
\begin{align*}
5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\
(-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\
(-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 .
\end{align*}
$$

La dernière ligne est la célèbre : *soustraire un négatif, c’est ajouter*. Supprimer une dette vous enrichit !

**Exemple 46.8 (Écarts de température).**

En une journée, la température est passée de $-6$ degrés à $+9$ degrés. La hausse est la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference)

$$
9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ degrés}.
$$

Sur la droite numérique : de $-6$ jusqu’à $0$ c’est $6$ degrés, de $0$ à $9$ c’est $9$ de plus.

## 46.4 Coordonnées dans tout le plan

**Définition 46.9 (Coordonnées avec signes).**

Avec deux axes gradués [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) se croisant à l’origine $O$, tout point du plan reçoit deux coordonnées relatives $(x, y)$ : un $x$ négatif signifie à gauche de l’axe vertical, un $y$ négatif signifie au-dessous de l’axe horizontal.

![Un point dans chaque quart du plan. Toujours lire d’abord la coordonnée horizontale.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-e9a527c0178e.svg)

*Un point dans chaque [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du plan. Toujours lire d’abord la coordonnée horizontale.*

## 46.5 Exercices

**Exercice 46.1 ★.**

Donner l’opposé de : $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$. Puis compléter : « deux nombres sont opposés lorsque leur [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) vaut ? ».

**Solution de Exercice 46.1.**

Opposés : $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (son propre opposé) ; $-12$. Deux nombres sont opposés lorsque leur [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) vaut $0$.

**Exercice 46.2 ★.**

Recopier et compléter avec $<$ ou $>$ :

$$
-4 \;?\; 1, \qquad
-4 \;?\; -7, \qquad
-2.5 \;?\; -2.4, \qquad
0 \;?\; -0.1 .
$$

**Solution de Exercice 46.2.**

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$.

**Exercice 46.3 ★.**

Ranger du plus petit au plus grand : $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$.

**Solution de Exercice 46.3.**

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$.

**Exercice 46.4 ★.**

Calculer :

$$
(-5) + (-9), \qquad
(-12) + (+7), \qquad
(+3.5) + (-1.5), \qquad
(-6) + (+6).
$$

**Solution de Exercice 46.4.**

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$.

**Exercice 46.5 ★.**

Transformer en additions, puis calculer :

$$
4 - 11, \qquad
(-5) - (+3), \qquad
(-7) - (-10), \qquad
0 - (-8).
$$

**Solution de Exercice 46.5.**

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$.

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$.

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$.

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$.

**Exercice 46.6 ★.**

Calculer en regroupant astucieusement (les opposés d’abord) :

$$
(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad
(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).
$$

**Solution de Exercice 46.6.**

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (positifs ensemble, négatifs ensemble).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$.

**Exercice 46.7 ★.**

La température était de $-3$ degrés ce matin ; elle a monté de $8$ degrés dans la journée, puis baissé de $12$ degrés la nuit. Écrire un seul calcul donnant la température finale, et le mener.

**Solution de Exercice 46.7.**

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : il fait $-7$ degrés la nuit.

**Exercice 46.8 ★.**

Placer dans un repère : $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$. Quel point est sur un axe ?

**Solution de Exercice 46.8.**

Tracé libre ; $E(0, -3)$ est sur l’axe vertical (sa première coordonnée est $0$).

**Exercice 46.9 ★★.**

Calculer l’écart entre la température la plus haute et la plus basse : Moscou en janvier, max $-4$ degrés, min $-13$ degrés ; Helsinki, max $2$, min $-9$.

**Solution de Exercice 46.9.**

Moscou : $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ degrés d’écart. Helsinki : $2 - (-9) = 11$ degrés.

**Exercice 46.10 ★★.**

Une plongeuse est à l’altitude $-12$ m (douze mètres sous la surface). Elle remonte de $7$ m, puis descend de $4$ m. À quelle altitude est-elle ? De combien doit-elle encore remonter pour atteindre la surface ?

**Solution de Exercice 46.10.**

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : elle est à $-9$ m. Pour atteindre la surface (altitude $0$) elle doit remonter $0 - (-9) = 9$ m.

**Exercice 46.11 ★★.**

Placer $A(-2, 1)$, $B(2, 1)$, $C(2, -2)$. Trouver les coordonnées du point $D$ pour que $ABCD$ soit un rectangle, et calculer son [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) (compter les carreaux pour les longueurs des côtés).

**Solution de Exercice 46.11.**

$D(-2, -2)$ : même première coordonnée que $A$, même seconde coordonnée que $C$. Côtés : $AB = 4$ (de $-2$ à $2$) et $BC = 3$ (de $1$ jusqu’à $-2$), donc le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) est $2 \times (4 + 3) = 14$.

**Exercice 46.12 ★★★.**

Dans le carré magique ci-dessous, chaque ligne, colonne et diagonale doit avoir la même [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def). Recopier et le compléter :

| $?$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $?$ |
| $-4$ | $?$ | $?$ |

(Commencer par trouver la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) magique à l’aide de la diagonale presque complète.)

**Solution de Exercice 46.12.**

La diagonale complète $0$, $-2$, $-4$ donne la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) magique $0 + (-2) + (-4) = -6$. Puis, case par case : en haut à gauche $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; au milieu à droite $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; en bas à droite $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; en bas au milieu $= -6 - (-7) - (-2) = 3$.

| $1$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $-4$ | $3$ | $-5$ |

Chaque ligne, colonne et diagonale a pour [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $-6$.

## 46.6 Problème : l’an zéro qui n’a jamais existé

**Problème 46.1.**

Devoir maison — les nombres relatifs sur la frise de l’histoire : des durées à cheval sur le changement d’ère, l’astuce des astronomes, et le principe de la variation totale

La droite graduée de ce chapitre a un célèbre jumeau dans le monde réel : la frise de l’histoire, avec les années av. J.-C. qui s’étirent vers la gauche et les années apr. J.-C. vers la droite. Mais la frise des historiens cache un piège qui a gâché bien des calculs : *il n’y a pas d’an [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero)* — l’an $1$ av. J.-C. est immédiatement suivi de l’an $1$ apr. J.-C. Ce problème calcule d’abord sur des températures, des ascenseurs et des comptes en banque, puis répare le [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) cassé de l’histoire comme le font les astronomes : avec des [nombres relatifs](#def-g7-negatives-def).

**Partie I — Échauffements, et un premier piège.**

1. Le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) du mont Blanc est à l’altitude $+4\,808$ m ; la rive de la mer Morte à $-430$ m. Calculer leur [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) d’altitude.
2. Un compte en banque affiche $-45$ euros (un découvert). Son titulaire dépose $120$ euros, règle une facture de $60$ euros, puis dépose $15$ euros. Écrire le solde comme une seule chaîne d’additions et le calculer. Quel dépôt unique aurait ramené le $-45$ initial exactement à $0$ ?
3. Jules César est né en $100$ av. J.-C. et mort en $44$ av. J.-C. En comptant les années av. J.-C. comme des nombres négatifs ( $100$ av. J.-C. pour $-100$ , $44$ av. J.-C. pour $-44$ ), calculer $(-44) - (-100)$ : combien d’années César a-t-il vécu ?
4. L’empereur Auguste est né en $63$ av. J.-C. et mort en $14$ apr. J.-C. La même recette donne $14 - (-63) = 77$ ans — mais les historiens affirment qu’il est mort à $76$ ans. Leur objection : le compte $77$ traverse une année qui n’a jamais existé. Laquelle ?
5. Les astronomes réparent la frise en renumérotant : les années apr. J.-C. gardent leur numéro ( $+14$ [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $+14$ ), mais l’an $1$ av. J.-C. devient $0$ , l’an $2$ av. J.-C. devient $-1$ , et plus généralement l’an $n$ av. J.-C. devient $-(n - 1)$ . Convertir $63$ av. J.-C., et refaire le calcul de la question 4 avec les nombres des astronomes. La réponse satisfait-elle désormais les historiens ?

**Partie II — Calculer d’une ère à l’autre.** Dans toute la suite, utiliser la renumérotation des astronomes pour chaque calcul, et reconvertir en av./apr. J.-C. à la fin (une année numérotée $0$ ou négative $-m$ est l’an $m + 1$ av. J.-C. des historiens).

6. Convertir en nombres d’astronomes : $1$ av. J.-C. ; $10$ av. J.-C. ; $476$ apr. J.-C. ; et $753$ av. J.-C., la fondation légendaire de Rome.
7. Combien d’années se sont écoulées de la fondation de Rome ( $753$ av. J.-C.) à la chute de l’Empire romain d’Occident ( $476$ apr. J.-C.) ?
8. Une comète revient tous les $76$ ans et est apparue en $12$ av. J.-C. Donner, dans le comput des historiens, les années de ses trois apparitions suivantes, et celle de l’apparition juste avant $12$ av. J.-C.
9. Combien d’années se sont écoulées de $5$ av. J.-C. à $5$ apr. J.-C. ? (La réponse tentante est $10$ ; la frise dit autre chose.)
10. Un enfant né en $3$ av. J.-C. a eu dix ans en quelle année (av. ou apr. J.-C.) ?

**Partie III — Le principe de la variation totale.**

11. La *distance* entre deux nombres de la droite est le plus grand moins le plus petit — toujours positive. Calculer la distance entre $-7$ et $-2$ , puis entre $-3.5$ et $4.5$ .
12. Un ascenseur part de l’étage $0$ et effectue les déplacements $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Calculer l’étage d’arrivée en regroupant habilement ( [Méthode 46.4](#met-g7-negatives-add) , les opposés d’abord quand c’est possible). Effectuer les déplacements dans un autre ordre changerait-il la destination ? Pourquoi ?
13. Jour après jour, la température varie de $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ degrés au cours d’une semaine. Calculer la *variation totale* . Si la semaine a commencé à $-2$ degrés, à quelle température s’est-elle terminée ? Énoncer le principe : valeur finale $=$ valeur initiale $+$ ( [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de toutes les variations).
14. La marche d’une randonneuse la ramène exactement à son altitude de départ. Que doit valoir la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de toutes ses variations d’altitude, et pourquoi ? De ses six variations relevées, cinq valent $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (en centaines de mètres) : trouver la sixième.
15. Bouquet final, retour à Rome. Un historien calcule : « la République a duré de $509$ av. J.-C. à $27$ av. J.-C., puis l’Empire jusqu’en $476$ apr. J.-C. ; en tout, de $509$ av. J.-C. à $476$ apr. J.-C., cela fait $509 + 476 = 985$ années d’État romain. » Refaire le calcul avec les nombres des astronomes. Quel est le total correct — et quelle année, une fois de plus, a causé l’erreur ?

**Solution de Problème 46.1.**

**1.** $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m ([Théorème 46.6](#thm-g7-negatives-sub) : soustraire un négatif, c’est ajouter).

**2.** Solde :

$$
(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30
\text{ euros}.
$$

Pour ramener le $-45$ initial à $0$, il fallait déposer son opposé : $45$ euros.

**3.** $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : César a vécu $56$ ans. (Aucun piège ici : les deux années sont du même côté du changement d’ère.)

**4.** L’an $0$ : compter de $-63$ jusqu’à $+14$ passe par $0$, alors que le calendrier des historiens saute directement de l’an $1$ av. J.-C. à l’an $1$ apr. J.-C. — l’an $0$ n’a jamais existé, donc le compte naïf est trop long d’une année.

**5.** $63$ av. J.-C. devient $-(63 - 1) = -62$. Alors $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ ans : exactement le chiffre des historiens. Sur la droite renumérotée des astronomes, il n’y a plus de trou : la soustraction ordinaire donne donc les durées exactes.

**6.** $1$ av. J.-C. $\to 0$ ; $10$ av. J.-C. $\to -9$ ; $476$ apr. J.-C. $\to +476$ ; $753$ av. J.-C. $\to -752$.

**7.** $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ ans.

**8.** $12$ av. J.-C., c’est $-11$. Apparitions suivantes : $-11 + 76 = 65$, puis $141$, puis $217$ : les années $65$, $141$ et $217$ apr. J.-C. Avant : $-11 - 76 = -87$, soit l’an $87 + 1 = 88$ av. J.-C. des historiens.

**9.** $5$ av. J.-C., c’est $-4$, donc $5 - (-4) = 9$ ans — et non $10$. L’an [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) manquant frappe chaque fois qu’une durée franchit le changement d’ère.

**10.** $3$ av. J.-C., c’est $-2$ ; dix ans plus tard, $-2 + 10 = +8$ : l’enfant a eu dix ans en l’an $8$ apr. J.-C.

**11.** Entre $-7$ et $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$. Entre $-3.5$ et $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$.

**12.** En regroupant les opposés et les nombres amis :

$$
3 + (-5) + 2 + (-1) + 4
= \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4
= 0 + (-1) + 4 = +3 :
$$

l’ascenseur s’arrête à l’étage $3$. L’ordre n’a pas d’importance : une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de [nombres relatifs](#def-g7-negatives-def) se réorganise librement (chaque déplacement se parcourt sur la même droite, et le trajet total est le même).

**13.** Variation totale : $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ degré. En partant de $-2$ : température finale $-2 + (-1) = -3$ degrés. En général, la valeur finale est la valeur initiale augmentée de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de toutes les variations — inutile de suivre les hausses et les baisses une à une.

**14.** Revenir au point de départ signifie une variation totale nulle : les hausses et les baisses doivent se compenser exactement. Les cinq variations connues totalisent $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$, donc la sixième est l’opposée : $+3$ (trois cents mètres de montée).

**15.** Chez les astronomes : $509$ av. J.-C. $\to -508$, et $476 - (-508) = 984$ ans. Le $509 + 476 = 985$ de l’historien compte une année de trop — une fois encore l’an [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) fantôme, silencieusement inclus dans l’addition mais absent de l’histoire. (Vérification par les deux périodes : République de $-508$ à $-26$, soit $482$ ans ; Empire de $-26$ à $+476$, soit $502$ ans ; $482 + 502 = 984$.)