--- title: "Fractions : comparer et additionner" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 47 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/47-fractions-comparer-et-additionner --- # Chapitre 47 — Fractions : comparer et additionner L’année 6 a présenté les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) comme parts et comme [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) exacts ([Chapitre 39](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#ch-g6-fractions)). Ce chapitre apprend à *calculer* avec elles : reconnaître des [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) égales, comparer, additionner et soustraire — pour l’instant avec des [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) amiables ; le cas général arrive au [Chapitre 63](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#ch-g9-fractions). ## 47.1 Fractions égales **Théorème 47.1 (Fractions égales).** Une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) est inchangée lorsque son [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et son [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) sont multipliés, ou divisés, par le même nombre non nul : $$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} . $$ **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ **Exemple 47.2.** $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$, et dans l’autre sens $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (simplifiée par $6$). Pour tester si $\dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{10}{15}$ sont égales, simplifier les deux : $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — oui, égales. ## 47.2 Comparer des fractions **Méthode 47.3 (Comparer deux fractions).** 1. *Même [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def)* : comparer les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) : $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ . 2. *Un [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) est [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de l’autre* : réécrire la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) la plus grossière, puis comparer : $\frac{5}{6}$ contre $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ . 3. *Comparer à $1$ ou $\frac12$* lorsque c’est possible : $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ tranche $\frac98$ contre $\frac79$ d’un coup. ![Comparer 5/6 et 7/12 sur des barres jumelles : couper les sixièmes en deux montre 5/6 = 10/12, plus que 7/12.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-fractions/fig-342a23a205ce.svg) *Comparer $\frac56$ et $\frac{7}{12}$ sur des barres jumelles : couper les sixièmes en deux montre $\frac56 = \frac{10}{12}$, plus que $\frac{7}{12}$.* ## 47.3 Additionner et soustraire **Théorème 47.4 (Même dénominateur).** Des [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de même [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) s’additionnent (ou se soustraient) en additionnant (ou soustrayant) les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) : $$ \frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} . $$ **Pourquoi.** $a$ parts de taille $\frac1d$ plus $b$ parts de la même taille font $a + b$ parts de cette taille. ∎ **Méthode 47.5 (Dénominateurs différents).** Lorsqu’un [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) est [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de l’autre : 1. réécrire la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de plus petit [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) pour que les deux aient le plus grand ( [Théorème 47.1](#thm-g7-fractions-equal) ) ; 2. additionner ou soustraire les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) ; 3. simplifier le résultat si possible. **Exemple 47.6.** Calculer $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$, étape par étape : 1. $8$ est [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $4$ : réécrire $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ; 2. additionner : $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ; 3. rien à simplifier : le résultat est $\dfrac{11}{8}$ , c’est-à-dire $1 + \dfrac38$ . Autre : $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (écrire d’abord le nombre entier sur le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $5$). **Exemple 47.7 (Un piège classique).** $\dfrac12 + \dfrac13$ n’est *pas* $\dfrac{2}{5}$ ! Additionner séparément [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) est faux — la réponse $\frac25$ serait plus petite que $\frac12$, absurde quand on *ajoute* une quantité positive à $\frac12$. (La [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) correcte, $\frac56$, demande un [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $6$ ; la méthode générale est au [Chapitre 63](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#ch-g9-fractions).) ## 47.4 Multiplier une fraction par un nombre **Proposition 47.8 (Fraction fois un nombre).** Pour un nombre $k$ : $$ k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} . $$ Prendre $\frac ab$ *de* une quantité, c’est multiplier par $\frac ab$. **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ **Exemple 47.9.** $6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : six fois deux tiers font quatre entiers. Et « $\frac34$ de $60$ euros » c’est $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euros — la même réponse qu’en divisant par $4$ puis multipliant par $3$ ([Méthode 39.8](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#met-g6-fractions-ofquantity)). ## 47.5 Exercices **Exercice 47.1 ★.** Compléter : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$. **Solution de Exercice 47.1.** $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$. **Exercice 47.2 ★.** Simplifier autant que possible : $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$. **Solution de Exercice 47.2.** $\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$. **Exercice 47.3 ★.** $\dfrac{15}{35}$ et $\dfrac{21}{49}$ sont-elles égales ? Et $\dfrac{16}{28}$ et $\dfrac{20}{36}$ ? Justifier en simplifiant. **Solution de Exercice 47.3.** $\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ et $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : égales. $\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ et $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : pour comparer, $\frac47 = \frac{36}{63}$ et $\frac59 = \frac{35}{63}$ — pas égales. **Exercice 47.4 ★.** Comparer (écrire le raisonnement, pas seulement la réponse) : $$ \frac{7}{11} \text{ et } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ et } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ et } \frac{19}{20}. $$ **Solution de Exercice 47.4.** $\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (même [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def)). $\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$. $\dfrac{13}{12} > 1$ tandis que $\dfrac{19}{20} < 1$, donc $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$. **Exercice 47.5 ★.** Calculer et simplifier si possible : $$ \frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} . $$ **Solution de Exercice 47.5.** $\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$. **Exercice 47.6 ★.** Calculer en utilisant [Méthode 47.5](#met-g7-fractions-add) : $$ \frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} . $$ **Solution de Exercice 47.6.** $\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$. $\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$. $\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$. **Exercice 47.7 ★.** Calculer : $$ 3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} . $$ **Solution de Exercice 47.7.** $3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$. **Exercice 47.8 ★.** Calculer : $$ 5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ de } 45 . $$ **Solution de Exercice 47.8.** $5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ de $45$ vaut $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$. **Exercice 47.9 ★★.** Marc a mangé $\frac14$ d’une pizza et Julie $\frac38$ de la même pizza. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de la pizza ont-ils mangée ensemble ? Quelle fraction reste-t-il ? **Solution de Exercice 47.9.** Ensemble : $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ de la pizza. [Reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) : $1 - \dfrac58 = \dfrac38$. **Exercice 47.10 ★★.** Une bouteille contient $\frac34$ L de jus. Léa en verse $\frac16$ L deux fois. Combien de jus reste-t-il ? ([Dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun : $12$.) **Solution de Exercice 47.10.** Versé : $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Restant : $$ \frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}. $$ **Exercice 47.11 ★★.** Expliquer, avec l’argument de [Exemple 47.7](#ex-g7-fractions-trap), pourquoi $\frac35 + \frac12$ ne peut pas être $\frac{4}{7}$, sans calculer la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) correcte. **Solution de Exercice 47.11.** Ajouter la quantité positive $\frac12$ à $\frac35$ doit donner un résultat *plus grand* que $\frac35$. Or $\frac47 < \frac35$ (en effet $\frac47 = \frac{20}{35}$ et $\frac35 = \frac{21}{35}$) : la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) annoncée est plus petite que l’un de ses termes — impossible. **Exercice 47.12 ★★★.** Calculer la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $$ \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} $$ étape par étape (de gauche à droite). Observer le motif des [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) partielles : quel nombre approchent-elles lorsque l’on ajoute de plus en plus de termes $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ ? **Solution de Exercice 47.12.** Étape par étape : $$ \frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}. $$ Les [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) partielles $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ se rapprochent à chaque fois de [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) vers $1$ : à chaque étape, la part manquante est coupée en deux. Les [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) s’approchent de $1$ sans jamais l’atteindre. ## 47.6 Problème : les fractions cachées dans une mesure de musique **Problème 47.1.** Devoir maison — les valeurs de notes sont des fractions qui doivent tomber juste, le comptage des rythmes cache une suite célèbre, et la parité gouverne les danses des Balkans La musique s’écrit en [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def). Une *ronde* dure $1$ mesure (dans la mesure courante à $4/4$) ; une *blanche* dure $\frac12$ ; viennent ensuite la *noire* $\frac14$, la *croche* $\frac18$ et la *double croche* $\frac{1}{16}$. Une loi inviolable : *les durées d’une mesure doivent totaliser exactement la valeur de la mesure* — $1$ dans une mesure à $4/4$. Chacune des questions ci-dessous est l’arithmétique de ce chapitre ([Théorème 47.4](#thm-g7-fractions-add), [Méthode 47.5](#met-g7-fractions-add)) mise en musique ; on y croisera une suite de comptage découverte par des savants indiens il y a mille ans. **Partie I — Des notes qui doivent tomber juste.** 1. Vérifier que chacune de ces mesures est correcte à $4/4$ : (a) blanche $+$ noire $+$ noire ; (b) noire $+$ croche $+$ croche $+$ blanche. 2. Un copiste a écrit : blanche $+$ noire $+$ croche. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de la mesure est écrite, et quelle note unique la complète ? 3. Combien de doubles croches remplissent une mesure entière ? Combien de doubles croches font une croche ? 4. Un *point* placé après une note ajoute la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de sa valeur : une blanche pointée vaut $\frac12 + \frac14$ , une noire pointée vaut $\frac14 + \frac18$ . Calculer ces deux valeurs. 5. Une valse s’écrit à $3/4$ : chaque mesure doit totaliser $\frac34$ . Vérifier qu’une seule blanche pointée remplit une mesure de valse, et écrire deux autres mesures de valse correctes n’utilisant que des noires et des croches. **Partie II — L’atelier du copiste.** 6. Une mesure à $4/4$ contient : noire pointée $+$ croche $+$ noire. Que manque-t-il ? 7. Qu’est-ce qui dure le plus longtemps, une croche pointée ou une noire ? Comparer en doubles croches. 8. Une *liaison* colle des durées ensemble en un seul son prolongé : combien de temps dure une blanche liée à une croche ? Cela fait combien de doubles croches ? 9. Les notes d’une mesure totalisent $\frac{11}{16}$ ; le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est du silence. Quelle est la durée de ce silence ? 10. Un batteur remplit une noire ( $\frac{4}{16}$ de la mesure) en n’utilisant que des croches ( $\frac{2}{16}$ ) et des doubles croches ( $\frac{1}{16}$ ), l’ordre comptant : par exemple croche–double–double, ou double–croche–double. Vérifier que ces deux exemples sont corrects, puis dresser la liste de *tous* les rythmes possibles. Combien y en a-t-il ? **Partie III — Une suite millénaire, et une mesure impaire.** 11. Comptons les rythmes du batteur pour des notes plus longues. Tout rythme se termine soit par une double croche, soit par une croche ; expliquer pourquoi cela donne la règle : (rythmes remplissant $n$ doubles croches) $=$ (rythmes remplissant $n - 1$ ) $+$ (rythmes remplissant $n - 2$ ). En partant de $1$ rythme pour une double croche et de $2$ pour deux, construire le tableau jusqu’à $n = 8$ : combien de rythmes remplissent une blanche ? 12. Les nombres obtenus — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — ont été publiés par le savant indien Hemachandra vers l’an 1150, en comptant exactement de tels rythmes, deux générations avant que Fibonacci ne les consigne en Italie. Énoncer en une phrase la règle qui les définit, et la vérifier sur les trois dernières cases du tableau. 13. Le style « swing » remplace deux croches égales par un couple long–court : $\frac16$ puis $\frac{1}{12}$ . Vérifier que l’échange est correct (même durée totale), en utilisant le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $12$ . 14. Un *triolet* tasse trois notes égales dans une noire. Combien dure chaque note (vérifier la réponse en la multipliant par $3$ , [Proposition 47.8](#prop-g7-fractions-mult) ) ? Même question pour trois notes égales remplissant une blanche. 15. Les danses des Balkans emploient la mesure à $7/8$ : chaque mesure totalise $\frac78$ . Vérifier que noire pointée $+$ noire $+$ noire la remplit. Expliquer ensuite pourquoi *aucune* combinaison de blanches et de noires seules, si nombreuses soient-elles, ne pourra jamais remplir une mesure à $7/8$ . (Compter en croches et penser au [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) et à l’ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) .) **Solution de Problème 47.1.** **1.** (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14 + \frac14 = \frac44 = 1$ : correcte. (b) $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 = \frac88 = 1$ : correcte. **2.** $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 + \frac18 = \frac78$ : il manque une croche. **3.** Une mesure vaut $1 = \frac{16}{16}$ : seize doubles croches. Une croche vaut $\frac18 = \frac{2}{16}$ : deux doubles croches. **4.** Blanche pointée : $\frac12 + \frac14 = \frac34$. Noire pointée : $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$. **5.** La blanche pointée vaut $\frac34$ (question 4) : exactement une mesure de valse. Autres remplissages, par exemple : noire $+$ noire $+$ noire ($\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$), ou noire $+$ croche $+$ croche $+$ noire ($\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$). **6.** $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 + \frac28 = \frac68 = \frac34$ : il manque une noire ($\frac14$). **7.** Croche pointée : $\frac18 + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$. Noire : $\frac{4}{16}$. La noire est la plus longue. **8.** $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$, c’est-à-dire $\frac{10}{16}$ : dix doubles croches. **9.** $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$ de la mesure est du silence. **10.** Les deux exemples totalisent $\frac{2 + 1 + 1}{16} = \frac{4}{16}$ : correct. Tous les rythmes remplissant quatre doubles croches avec des morceaux de $2$ et de $1$ : $$ 2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad 1{+}1{+}1{+}1 : $$ cinq rythmes. **11.** Un rythme remplissant $n$ doubles croches se termine soit par une double croche — et ce qui précède remplit $n - 1$ — soit par une croche — et ce qui précède remplit $n - 2$. Chaque rythme est ainsi compté exactement une fois, donc $\text{rythmes}(n) = \text{rythmes}(n-1) + \text{rythmes}(n-2)$. Tableau : | $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | rythmes | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ | $8$ | $13$ | $21$ | $34$ | Une blanche ($8$ doubles croches) se bat de $34$ façons. ($n = 4$ redonne les cinq rythmes de la question 10.) **12.** Chaque nombre est la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des deux précédents : $3 + 5 = 8$, $5 + 8 = 13$, $8 + 13 = 21$, $13 + 21 = 34$ — la règle démontrée à la question 11, vieille de mille ans et connue aujourd’hui sous le nom de règle de Fibonacci. **13.** $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ : la même durée que deux croches ordinaires ($\frac18 + \frac18 = \frac14$). L’échange du swing est correct. **14.** Chaque note du triolet dure $\frac{1}{12}$ : vérification, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ ([Proposition 47.8](#prop-g7-fractions-mult)). Pour une blanche : chacune dure $\frac16$, puisque $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$. **15.** Noire pointée $+$ noire $+$ noire : en croches, $3 + 2 + 2 = 7$ croches $= \frac78$ : correct. Les blanches et les noires valent $4$ et $2$ croches — deux nombres *[pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Toute [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de [nombres pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) est paire, alors qu’une mesure à $7/8$ demande $7$ croches, un [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : c’est impossible. Pour remplir une mesure impaire, il faut faire apparaître quelque chose d’[impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — une croche ou une note pointée.