--- title: "Expressions littérales" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 48 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/48-expressions-litterales --- # Chapitre 48 — Expressions littérales Une lettre dans un calcul désigne un nombre que l’on ne connaît pas encore, ou *tous* les nombres à la fois : écrire $P = 4c$ donne le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) de tout carré en une seule formule. Ce chapitre enseigne les conventions d’écriture, comment substituer des valeurs, et comment simplifier des expressions simples — le début de l’algèbre, poursuivi au [Chapitre 57](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#ch-g8-equations). ## 48.1 Écrire avec des lettres **Définition 48.1 (Expression littérale).** Une *expression littérale* est un calcul contenant une ou plusieurs lettres, chacune désignant un nombre. Conventions d’écriture : - le signe $\times$ s’omet devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ; - mais il reste entre deux nombres : $3 \times 5$ ne peut pas s’écrire $35$ ! - $a \times a$ s’écrit $a^2$ (« $a$ au carré »), $a \times a \times a = a^3$ ; - $1a$ s’écrit $a$ , et $0a$ vaut $0$ . **Exemple 48.2.** Simplifier l’écriture : $$ 5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(nombre d'abord)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 . $$ **Exemple 48.3 (Les formules sont des expressions littérales).** Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $w$ : [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) $P = 2(L + w)$, [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $A = Lw$. Une formule résume l’infinité des rectangles d’un coup — c’est tout l’intérêt des lettres. ![Deux formules, valables pour tout rectangle : substituer les valeurs de L et w pour obtenir des nombres.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-literal/fig-6b29894197b6.svg) *Deux formules, valables pour tout rectangle : substituer les valeurs de $L$ et $w$ pour obtenir des nombres.* ## 48.2 Substituer **Méthode 48.4 (Évaluer une expression).** Pour évaluer une expression pour des valeurs données de ses lettres : 1. réécrire l’expression en remettant les signes $\times$ cachés : $3a + a^2$ devient $3 \times a + a \times a$ ; 2. remplacer chaque lettre par sa valeur, en gardant des parenthèses autour si besoin ; 3. calculer, en respectant les priorités du [Chapitre 45](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires#ch-g7-priorities) . **Exemple 48.5.** Évaluer $E = 3x + x^2$ pour $x = 5$ : $$ E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 . $$ Évaluer $F = 2(a + 3b)$ pour $a = 4$ et $b = 0.5$ : $$ F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 . $$ ## 48.3 Réduire des expressions **Proposition 48.6 (Regrouper les termes semblables).** Les termes contenant la même partie littérale se regroupent en additionnant leurs parties numériques (c’est la distributivité, [Théorème 45.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires#thm-g7-priorities-distributivity), lue à l’envers) : $$ 5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a . $$ Les termes de parties littérales différentes (comme $3x$ et $5y$, ou $x$ et $x^2$) ne se regroupent pas. **Exemple 48.7.** Réduire $E = 4x + 7 + 3x + 2$, en triant les termes : $$ E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 . $$ Attention : $7x + 9$ n’est *pas* $16x$ ! Tester avec $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ et $7 \times 1 + 9 = 16$ coïncident, mais $16x$ vaudrait aussi $16$ — tester avec $x = 2$ : l’original donne $8 + 7 + 6 + 2 = 23$, et $7 \times 2 + 9 = 23$, tandis que $16 \times 2 = 32$. La réduction $7x + 9$ est juste, $16x$ est fausse. **Méthode 48.8 (Tester une égalité).** Pour vérifier si deux expressions pourraient être égales pour toute valeur : 1. substituer la même valeur dans les deux, au moins deux fois (par ex. $x = 2$ et $x = 10$ ; éviter $0$ et $1$ , qui masquent trop de [différences](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) ) ; 2. si les résultats diffèrent ne serait-ce qu’une fois, les expressions ne sont *pas* égales — un contre-exemple suffit à tuer une affirmation générale ; 3. si les résultats coïncident, l’égalité n’est que *plausible* : une preuve demande de l’algèbre (développer, réduire). **Exemple 48.9.** $2(x + 3)$ est-elle égale à $2x + 6$ pour tout $x$ ? Développer le prouve : $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$. $(x + 1)^2$ est-elle égale à $x^2 + 1$ ? Tester $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ mais $2^2 + 1 = 5$. Non — et un seul contre-exemple est une preuve complète du « non ». ## 48.4 Produire des expressions **Exemple 48.10 (De la situation à l’expression).** Un taxi facture $4$ euros plus $2$ euros par kilomètre. Pour un trajet de $k$ kilomètres le prix est $$ p = 4 + 2k \quad\text{euros}. $$ Pour $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euros. L’expression *est* la réponse générale ; substituer [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) chaque cas particulier. **Exemple 48.11 (Tours de magie numériques).** « Pense à un nombre, double-le, ajoute $10$, divise par $2$, soustrais ton nombre. » Appeler le nombre $n$ et suivre les étapes : $$ n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 . $$ Tout le monde obtient $5$, quel que soit $n$ — les lettres expliquent la magie. ## 48.5 Exercices **Exercice 48.1 ★.** Simplifier l’écriture : $$ 7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4). $$ **Solution de Exercice 48.1.** $7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$. **Exercice 48.2 ★.** Remettre les signes $\times$ : $$ 5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 . $$ **Solution de Exercice 48.2.** $5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$. **Exercice 48.3 ★.** Évaluer pour $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$. **Solution de Exercice 48.3.** Pour $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$. **Exercice 48.4 ★.** Évaluer $3a + 2b$ et $a b + 5$ pour $a = 4$, $b = 1.5$. **Solution de Exercice 48.4.** $3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$. **Exercice 48.5 ★.** Réduire : $$ 8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 . $$ **Solution de Exercice 48.5.** $8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$. **Exercice 48.6 ★.** Donner une formule pour : le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) d’un carré de côté $c$ ; le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) d’un [triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de base $b$ et de côtés égaux $s$ ; le prix de $n$ pains à $1.20$ euro chacun. **Solution de Exercice 48.6.** Carré : $P = 4c$. [Triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : $P = b + 2s$. Pains : $p = 1.20\,n$ euros. **Exercice 48.7 ★.** Associer chaque expression à une description : $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$. Descriptions : « la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $n$ » ; « le double de $n$ » ; « le carré de $n$ » ; « deux de plus que $n$ ». **Solution de Exercice 48.7.** $2n$ : le double ; $n + 2$ : deux de plus que $n$ ; $n^2$ : le carré ; $\frac n2$ : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half). **Exercice 48.8 ★★.** En utilisant [Méthode 48.8](#met-g7-literal-test), décider (avec preuve ou contre-exemple) si ces égalités valent pour tout $x$ : $$ 3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 . $$ **Solution de Exercice 48.8.** $3(x+4) = 3x + 12$ : *vrai* pour tout $x$ (distributivité — c’est une preuve, pas besoin de test). $2x + 5 = 7x$ : tester $x = 2$ : gauche $9$, droite $14$ — *faux* en général (cela ne vaut que pour $x = 1$). $x + x = x^2$ : tester $x = 3$ : gauche $6$, droite $9$ — *faux* en général ($x + x = 2x$). **Exercice 48.9 ★★.** Un rectangle a pour largeur $w$ et sa longueur dépasse de $3$ cm sa largeur. 1. Exprimer la longueur, puis le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) , en fonction de $w$ , et réduire. 2. Calculer le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) pour $w = 5$ cm, directement et avec la formule réduite. Même réponse ? **Solution de Exercice 48.9.** *1.* Longueur : $w + 3$. [Périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) : $$ P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 . $$ *2.* Pour $w = 5$ : directement, les côtés mesurent $5$ et $8$, donc $P = 2 \times 13 = 26$ cm ; avec la formule, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Elles coïncident. **Exercice 48.10 ★★.** Suivre le tour de [Exemple 48.11](#ex-g7-literal-trick) avec des lettres : « pense à un nombre, ajoute $6$, multiplie par $3$, soustrais $18$, divise par ton nombre de départ » (supposer qu’il n’est pas nul). Que obtient-on toujours ? **Solution de Exercice 48.10.** En suivant les étapes avec la lettre $n$ : $$ n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 . $$ Tout le monde obtient $3$. **Exercice 48.11 ★★★.** La figure ci-dessous est un carré de côté $a$ dont on a enlevé un coin carré de côté $b$ ($b$ plus petit que $a$). Écrire deux expressions différentes de son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) (l’une comme [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference), l’autre en découpant le L en deux rectangles), et vérifier qu’elles coïncident pour $a = 5$, $b = 2$. **Solution de Exercice 48.11.** Comme [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) : $A = a^2 - b^2$. En découpant le L en deux rectangles : une bande de largeur $a$ et de hauteur $a - b$, puis un rectangle plus étroit au-dessus : $$ A = a(a - b) + b(a - b) $$ (rectangle du bas large de $a$ et haut de $a - b$, rectangle du haut large de $a - b$ et haut de $b$ donne la variante $a(a-b) + (a-b)b$ — la même). Pour $a = 5$, $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$, et $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$. Les deux expressions coïncident — elles le font toujours : c’est l’identité $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ du [Chapitre 66](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/66-algebre-et-equations#ch-g9-algebra) en cachette. ## 48.6 Problème : l’oracle des allumettes **Problème 48.1.** Devoir maison — les motifs qui grandissent et leur terme de rang $n$ : trois formules pour un même motif, et le motif célèbre qui trahit à la sixième étape Aligner des allumettes en une rangée de carrés : un carré, puis deux, puis trois … Combien d’allumettes faudra-t-il à la centième figure ? Les compter une à une prendrait tout le week-end ; une *formule en $n$* répond instantanément pour toutes les figures à la fois — c’est exactement à cela que servent les lettres ([Exemple 48.3](#ex-g7-literal-formulas)). Mais attention : ce problème se termine par un motif célèbre qui joue franc jeu pendant cinq étapes, puis trahit tous ceux qui lui avaient fait confiance. **Partie I — Une rangée de carrés.** La figure $1$ est un carré d’allumettes ($4$ allumettes) ; chaque figure suivante ajoute un carré de plus, partageant un côté avec le précédent. 1. Dessiner les figures $1$ à $4$ et compter leurs allumettes. 2. Expliquer pourquoi chaque nouveau carré coûte exactement $3$ allumettes supplémentaires, et s’en servir pour prévoir le compte de la figure $10$ sans aucune formule. 3. Justifier la formule : la figure $n$ demande $3n + 1$ allumettes. (D’où vient le « $+1$ » solitaire ?) La vérifier sur la question 1. 4. Amir raisonne autrement : « $4$ allumettes pour le premier carré, puis $3$ pour chacun des $n - 1$ autres », ce qui donne $4 + 3(n - 1)$ . Développer et réduire son expression ( [Proposition 48.6](#prop-g7-literal-reduce) ) : est-il d’accord avec la question 3 ? 5. Léna compte d’une troisième façon : « $2n$ allumettes horizontales, et $n + 1$ verticales ». Écrire sa formule, la réduire, et conclure. Répondre alors à la question du début : combien d’allumettes pour la figure $100$ ? **Partie II — Triangles, tables, et marche arrière.** 6. Une rangée de triangles d’allumettes (chaque nouveau triangle s’appuie sur le précédent) : compter les allumettes pour $1$ , $2$ , $3$ triangles, puis justifier la formule $2n + 1$ pour $n$ triangles. 7. Marche arrière : avec exactement $49$ allumettes, combien de triangles la rangée peut-elle compter ? (Défaire la formule étape par étape.) 8. Des tables de banquet carrées accueillent un convive par côté libre. Lorsque $n$ tables sont accolées en une seule longue rangée, expliquer pourquoi la formule du nombre de places est $2n + 2$ , et la vérifier pour $1$ , $2$ , $3$ tables. 9. Une réception attend $30$ convives. Combien de tables faut-il pour une seule rangée ? Le traiteur répartit plutôt les mêmes tables en *deux* rangées de sept : combien de convives tiennent alors ? Expliquer le gain à l’aide de la formule. 10. Motif de points : la figure $n$ est un L de points, haut de $n$ points et large de $n$ points (le coin compté une seule fois). Compter les points des figures $1$ , $2$ , $3$ , trouver la formule, et nommer les nombres qu’elle [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) . (Emboîtés les uns dans les autres, ces L pavent un carré — une histoire poursuivie dans [Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1) .) **Partie III — Croire, tester, démontrer.** 11. Un camarade affirme que la figure $n$ de la partie I demande $3(n + 2) - 5$ allumettes. Trancher en développant et en réduisant — aucun test n’est nécessaire. 12. « Élever au carré rend les nombres plus grands, donc $n^2 \geq n$ pour tout nombre $n$ . » Tester l’affirmation pour $n = 2$ , $3$ , $10$ ; puis trouver un nombre pour lequel elle échoue. Qu’ont prouvé les trois tests réussis, et que prouve l’unique échec ( [Méthode 48.8](#met-g7-literal-test) ) ? 13. Marquer des points sur un cercle et tracer *tous* les [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) qui les joignent, puis compter les régions délimitées à l’intérieur du cercle. Le faire pour $2$ , $3$ , $4$ et $5$ points (placer les points irrégulièrement, pour que jamais trois [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) ne se croisent en un même point intérieur). Noter les comptes. Quelle formule le motif souffle-t-il ? 14. Passer maintenant à $6$ points, en dessinant grand et irrégulièrement, et en comptant avec le plus grand soin (les petites régions sont nombreuses). Combien de régions trouve-t-on — et qu’est-il arrivé à la conjecture ? 15. La morale, en deux phrases : qu’aurait-il fallu pour *démontrer* la conjecture du doublement, et pourquoi les formules d’allumettes des parties I et II n’ont-elles jamais couru pareil danger ? Fêter cela par une prévision démontrée : combien d’allumettes pour la rangée de $2\,026$ carrés ? **Solution de Problème 48.1.** **1.** Les figures $1$ à $4$ demandent $4$, $7$, $10$, $13$ allumettes. **2.** Un nouveau carré partage un côté avec la figure précédente : seuls $3$ de ses $4$ côtés sont donc de nouvelles allumettes. À partir de la figure $4$ ($13$ allumettes), six carrés de plus coûtent $6 \times 3 = 18$ : la figure $10$ demande $13 + 18 = 31$ allumettes. **3.** En lisant la rangée depuis la gauche : elle commence par une allumette verticale, puis chacun des $n$ carrés apporte un haut, un bas et un côté droit — $3$ allumettes chacun. Total : $3n + 1$ ; le « $+1$ » est la toute première allumette verticale. Vérification : $n = 1, 2, 3, 4$ donnent $4, 7, 10, 13$. **4.** $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ : la formule d’Amir se développe en exactement la même expression réduite. Accord complet. **5.** Léna : $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — la même encore. Trois façons de voir, une seule forme réduite. Figure $100$ : $3 \times 100 + 1 = 301$ allumettes. **6.** Comptes : $3$, $5$, $7$ allumettes. Chaque nouveau triangle s’appuie sur un côté existant et n’ajoute que $2$ allumettes, à partir de $3$ : la figure $n$ demande $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ allumettes. **7.** Défaisons $2n + 1 = 49$ : en retirant la première allumette il en [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $48$, et chaque triangle en consomme alors $2$ : $48 \div 2 = 24$ triangles. **8.** Dans une rangée de $n$ tables, chaque table offre son côté haut et son côté bas ($2n$ places), et les deux tables des extrémités offrent chacune un côté de plus ($+2$) : $2n + 2$ places. Vérification : $4$, $6$, $8$ pour $n = 1, 2, 3$. **9.** Une seule rangée : $2n + 2 \geq 30$ exige $2n \geq 28$, donc $14$ tables. En répartissant ces mêmes $14$ tables en deux rangées de $7$ : chaque rangée offre $2 \times 7 + 2 = 16$ places, soit $32$ ensemble — deux de plus que la rangée unique, parce que chaque nouvelle rangée apporte deux nouvelles *extrémités*. (Chaque séparation gagne $2$ places : les traiteurs le savent.) **10.** Le L de taille $n$ a $n$ points en montant et $n$ en allant vers la droite, le point du coin étant commun : $n + n - 1 = 2n - 1$ points. Figures $1$, $2$, $3$ : $1$, $3$, $5$ points — les *[nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Emboîtés l’un autour de l’autre, les L remplissent un carré de $n \times n$ points : c’est l’histoire du [Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1). **11.** $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$ : l’affirmation se réduit à la formule démontrée, elle est donc exacte pour tout $n$ — établie par l’algèbre, et non par des exemples. **12.** Tests : $4 \geq 2$, $9 \geq 3$, $100 \geq 10$ : tous réussis. Mais $n = 0.5$ donne $n^2 = 0.25 < 0.5$ : l’affirmation échoue. Les trois tests n’ont rien prouvé sur *tous* les nombres (ils n’ont fait que ne pas trouver d’ennui) ; l’unique contre-exemple, lui, *prouve* que l’affirmation générale est fausse ([Méthode 48.8](#met-g7-literal-test)). Une lettre désigne n’importe quel nombre — les décimaux compris. **13.** Régions : $2$ points $\to 2$ ; $3$ points $\to 4$ ; $4$ points $\to 8$ ; $5$ points $\to 16$. Le motif souffle « chaque point double le compte » : on attend donc $32$ régions pour $6$ points. **14.** Un comptage soigneux donne $31$ régions — et non $32$. La conjecture du doublement est morte : elle a survécu à quatre vérifications et succombé à la cinquième. (Ce contre-exemple est assez célèbre pour avoir un nom, le « piège des régions du cercle » ; pas de raccourci avec des points régulièrement répartis — trois cordes concourantes fusionneraient des régions et fausseraient le compte.) **15.** Une démonstration aurait exigé une raison *structurelle* pour laquelle ajouter un point double les régions — et il n’y en a pas : le doublement n’était qu’une coïncidence des petits cas. Les formules d’allumettes, elles, étaient à l’abri parce que chacune se lisait sur la construction elle-même (chaque carré coûte visiblement $3$ allumettes, chaque table offre visiblement $2$ places) : de la structure, pas des tests. Prévision démontrée : $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ allumettes.