---
title: "Triangles et angles"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 51
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles
---

# Chapitre 51 — Triangles et angles

Peut-on tracer un triangle de côtés $10$, $3$ et $2$ ? D’angles $80^\circ$, $70^\circ$ et $50^\circ$ ? Ce chapitre répond aux deux questions avec deux des faits les plus utiles de la géométrie plane : l’inégalité triangulaire et la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles $180^\circ$ — plus le vocabulaire des angles qui accompagne les droites sécantes et [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp).

## 51.1 Angles autour de droites sécantes

**Définition 51.1 (Paires d’angles).**

- Deux angles sont *complémentaires* lorsque leurs mesures s’additionnent à $90^\circ$ , *supplémentaires* lorsqu’elles s’additionnent à $180^\circ$ .
- Lorsque deux droites se croisent, les angles se faisant [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de part et d’autre du point d’intersection sont *opposés par le sommet* .
- Lorsqu’une droite coupe deux autres droites, les angles situés dans la même position à chaque intersection sont des *angles correspondants* ; les angles situés entre les deux droites de part et d’autre de la sécante sont des *angles alternes-internes* .

**Théorème 51.2 (Égalités d’angles).**

1. Les [angles opposés par le sommet](#def-g7-triangles-pairs) sont égaux.
2. Si deux droites sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) , les angles correspondants sont égaux, et les [angles alternes-internes](#def-g7-triangles-pairs) sont égaux. Réciproquement, des angles correspondants (ou alternes-internes) égaux forcent les droites à être [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) .

**Preuve du 1.** Les deux angles $\widehat{1}$ et $\widehat{2}$ d’un même côté d’une droite forment un angle plat : $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$. L’angle $\widehat 3$ opposé par le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à $\widehat 1$ satisfait aussi $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (même raison). Donc $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$. Le point 2 est admis à ce niveau. ∎

![Gauche : angles opposés par le sommet 1 = 3 (chacun est supplémentaire de 2). Droite : droites parallèles coupées par une troisième — les angles correspondants a et b sont égaux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-3b89e20a134d.svg)

*Gauche : [angles opposés par le sommet](#def-g7-triangles-pairs) $\widehat 1 = \widehat 3$ (chacun est supplémentaire de $\widehat 2$). Droite : [droites parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) coupées par une troisième — les angles correspondants $\widehat a$ et $\widehat b$ sont égaux.*

## 51.2 La somme des angles d’un triangle

**Théorème 51.3 (Somme des angles).**

Dans tout triangle, les trois angles s’additionnent à $180^\circ$.

**Démonstration.** Soit $ABC$ un triangle. Tracer la droite passant par $A$ [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(BC)$. Au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $A$, trois angles s’alignent le long de cette [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) et forment un angle plat, $180^\circ$ : celui du milieu est $\widehat{A}$, et les deux extérieurs sont des [angles alternes-internes](#def-g7-triangles-pairs) avec $\widehat B$ et $\widehat C$ ([droites parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) !), donc ils égalent $\widehat B$ et $\widehat C$. D’où $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$. ∎

![La preuve en une figure : le long de la parallèle à (BC) par A, les angles B, A, C (angles alternes-internes en couleurs assorties) remplissent un angle plat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-f3ecc75ad45a.svg)

*La preuve en une figure : le long de la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(BC)$ par $A$, les angles $\widehat B$, $\widehat A$, $\widehat C$ ([angles alternes-internes](#def-g7-triangles-pairs) en couleurs assorties) remplissent un angle plat.*

**Exemple 51.4.**

Deux angles d’un triangle mesurent $67^\circ$ et $58^\circ$. Le troisième mesure

$$
180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .
$$

Cas particuliers à mémoriser : chaque angle d’un [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) vaut $180 \div 3 = 60^\circ$ ; dans un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) les deux angles aigus sont complémentaires (ils s’additionnent à $180 - 90 = 90^\circ$) ; les angles à la base d’un [triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) sont égaux, donc chacun vaut $\frac{180 - \text{angle au sommet}}{2}$.

**Exemple 51.5 (Pas de triangle à deux angles droits).**

Un triangle avec deux angles de $90^\circ$ utiliserait déjà $180^\circ$, ne laissant $0^\circ$ pour le troisième — impossible. La [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles interdit d’un coup bien des triangles.

## 51.3 L’inégalité triangulaire

**Théorème 51.6 (Inégalité triangulaire).**

Dans tout triangle, chaque côté est plus court que la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des deux autres : pour un triangle de côtés $a$, $b$, $c$,

$$
a < b + c .
$$

Réciproquement, trois longueurs dont la *plus grande* est strictement inférieure à la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des deux autres peuvent toujours former un triangle. Si la plus grande *égale* la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des autres, le « triangle » est plat : les trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sont alignés.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 51.7.**

Des côtés $10$, $3$ et $2$ sont-ils possibles ? Tester le plus grand : a-t-on $10 < 3 + 2 = 5$ ? Non — aucun tel triangle n’existe. Le compas montre pourquoi : les arcs de [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ et $2$ tracés des deux extrémités d’un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de longueur $10$ ne se rencontrent jamais.

Côtés $7$, $5$ et $4$ ? Plus grand : $7 < 5 + 4 = 9$ : oui, le triangle existe (vérifier le plus grand côté suffit).

![Tentative de construire un triangle de côtés 10, 3, 2 : les deux arcs de compas restent désespérément éloignés, car 3 + 2 < 10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-1617c3af34a9.svg)

*Tentative de construire un triangle de côtés $10$, $3$, $2$ : les deux arcs de compas restent désespérément éloignés, car $3 + 2 < 10$.*

**Méthode 51.8 (Existence et construction d’un triangle).**

Étant donné trois longueurs :

1. comparer la plus grande à la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des deux autres ; si elle n’est pas strictement plus petite, s’arrêter : pas de triangle ;
2. sinon construire comme en [Méthode 41.2](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#met-g6-shapes-construct) ( [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de base, deux arcs de compas) ;
3. après toute construction à partir d’angles, vérifier mentalement que les angles donnés somment à moins de $180^\circ$ — le troisième angle complétant exactement $180^\circ$ .

## 51.4 Exercices

**Exercice 51.1 ★.**

Donner le complément (à $90^\circ$) et le supplément (à $180^\circ$) de : $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$.

**Solution de Exercice 51.1.**

Compléments : $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$. Suppléments : $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$.

**Exercice 51.2 ★.**

Deux droites se croisent ; l’un des quatre angles mesure $35^\circ$. Donner les mesures des trois autres, avec une raison pour chacune.

**Solution de Exercice 51.2.**

L’angle opposé par le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) mesure aussi $35^\circ$ ([Théorème 51.2](#thm-g7-triangles-equalities)) ; les deux angles restants lui sont supplémentaires : $180 - 35 = 145^\circ$ chacun.

**Exercice 51.3 ★.**

Calculer le troisième angle d’un triangle dont les deux premiers mesurent : (a) $40^\circ$ et $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ et $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ et $75^\circ$.

**Solution de Exercice 51.3.**

(a) $180 - 100 = 80^\circ$. (b) $180 - 118 = 62^\circ$. (c) $180 - 150 = 30^\circ$.

**Exercice 51.4 ★.**

Un [triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) a son angle au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) égal à $40^\circ$. Calculer ses deux angles à la base. Un autre [triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) a un angle à la base de $70^\circ$ : calculer son angle au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

**Solution de Exercice 51.4.**

Angle au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $40^\circ$ : les angles à la base se partagent $180 - 40 = 140^\circ$ également : $70^\circ$ chacun.

Angle à la base $70^\circ$ : les deux angles à la base sont égaux, donc l’angle au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) vaut $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$.

**Exercice 51.5 ★.**

Lesquels de ces triplets peuvent être les côtés d’un triangle ? Justifier par l’inégalité triangulaire (le plus grand côté !) :

$$
(6,\ 8,\ 12); \qquad
(5,\ 5,\ 11); \qquad
(4,\ 9,\ 13); \qquad
(7,\ 7,\ 7).
$$

**Solution de Exercice 51.5.**

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : le triangle existe.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : impossible.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : « triangle » plat — les points sont alignés, pas de vrai triangle.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles).

**Exercice 51.6 ★.**

Un triangle a pour angles $x$, $2x$ et $3x$. Trouver $x$ et les trois angles. De quel type de triangle s’agit-il ?

**Solution de Exercice 51.6.**

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$, donc $x = 30^\circ$ : les angles sont $30^\circ$, $60^\circ$ et $90^\circ$ — un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles).

**Exercice 51.7 ★.**

Construire un triangle $ABC$ avec $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ et $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (rapporteur en $B$ et en $C$). Avant de construire, prédire la mesure de $\widehat{BAC}$, puis vérifier sur la figure.

**Solution de Exercice 51.7.**

Prédiction : $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; le rapporteur sur la figure terminée le confirme.

**Exercice 51.8 ★★.**

Deux [droites parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) sont coupées par une troisième, formant un angle de $54^\circ$ à la première intersection (entre la sécante et une [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)). Dessiner la situation et donner les mesures des huit angles formés.

**Solution de Exercice 51.8.**

À la première intersection, les quatre angles sont $54^\circ$, $126^\circ$, $54^\circ$, $126^\circ$ (paires d’[opposés par le sommet](#def-g7-triangles-pairs) et suppléments). La [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) reproduit les mêmes quatre mesures à la seconde intersection (angles correspondants) : huit angles au total, quatre de $54^\circ$ et quatre de $126^\circ$.

**Exercice 51.9 ★★.**

Deux côtés d’un triangle mesurent $8$ cm et $3$ cm. Entre quelles deux valeurs le troisième côté doit-il se situer ? Donner une longueur entière qui convient et une qui ne convient pas.

**Solution de Exercice 51.9.**

Soit $c$ le troisième côté. L’inégalité triangulaire exige $c < 8 + 3 = 11$ et aussi $8 < c + 3$, c’est-à-dire $c > 5$. Donc $5 < c < 11$ : la longueur $7$ cm convient ; la longueur $12$ cm (ou $4$ cm) ne convient pas.

**Exercice 51.10 ★★.**

Dans un triangle $ABC$, $\widehat A = 2\widehat B$ et $\widehat C = 90^\circ$. Calculer $\widehat A$ et $\widehat B$.

**Solution de Exercice 51.10.**

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$, et $\widehat A = 2\widehat B$, donc $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ et $\widehat A = 60^\circ$.

**Exercice 51.11 ★★★.**

Les trois angles de tout [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ peuvent s’étudier en le découpant le long d’une diagonale en deux triangles. Utiliser cela pour prouver que les quatre angles de tout [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) s’additionnent à $360^\circ$, et en déduire la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles d’un [pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) (cinq côtés).

**Solution de Exercice 51.11.**

La diagonale $[AC]$ découpe $ABCD$ en triangles $ABC$ et $ACD$. Les quatre angles du [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) sont exactement les six angles des deux triangles, regroupés (les angles en $A$ et en $C$ sont chacun partagés en deux). Total : $180 + 180 = 360^\circ$. Un [pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) se découpe depuis un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) en trois triangles : $3 \times 180 =
540^\circ$.

## 51.5 Problème : le tour du pâté de maisons

**Problème 51.1.**

Devoir maison — les angles d’un polygone quelconque : $(n-2) \times 180^\circ$ à l’intérieur, toujours $360^\circ$ de virages à l’extérieur, et pourquoi trois figures régulières seulement pavent un sol

[Exercice 51.11](#exo-g7-triangles-11) a découpé un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) en deux triangles et trouvé $360^\circ$. Ce problème pousse l’idée jusqu’aux [polygones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) ayant un nombre quelconque de côtés, découvre ensuite une seconde démonstration, complètement différente — en *marchant* autour de la figure et en additionnant les virages — et s’achève sur le sol de la salle de bains : parmi tous les [polygones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) réguliers, trois exactement peuvent paver le plan sans trou ni chevauchement, et les abeilles ont choisi le leur.

**Partie I — Les angles de l’intérieur.**

1. Depuis un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’un [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) (six côtés), tracer toutes les diagonales issues de ce [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) . En combien de triangles l’ [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) est-il découpé, et que vaut la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de *tous* ses angles intérieurs ( [Théorème 51.3](#thm-g7-triangles-sum) ) ?
2. Généraliser : depuis un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) à $n$ côtés, combien de triangles l’éventail de diagonales produit-il ? En déduire la formule de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles intérieurs, et la vérifier pour $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
3. Calculer la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles intérieurs d’un décagone ( $10$ côtés) et d’un dodécagone ( $12$ côtés).
4. Dans un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) *régulier* , tous les angles intérieurs sont égaux. Calculer l’angle intérieur du [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) , du carré, du [pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) , de l’ [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) et de l’ [octogone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) réguliers.
5. Expliquer, sans aucune formule, pourquoi la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles augmente exactement de $180^\circ$ chaque fois que le [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) gagne un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) .

**Partie II — Le tour du pâté de maisons.** Marcher le long du bord d’un pâté de maisons polygonal, toujours vers l’avant. À chaque coin on *tourne* d’un certain angle — l’*angle extérieur* de ce coin ; les virages se poursuivent jusqu’au retour au point de départ, face à la direction de départ.

6. À un coin dont l’angle intérieur vaut $\widehat A$ , de combien tourne-t-on ? (Angle intérieur et angle extérieur sont supplémentaires.) Calculer les trois virages d’un triangle d’angles $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
7. Additionner les trois virages de la question 6. Quel fait remarquable observe-t-on ?
8. Expliquer pourquoi les virages d’un tour complet autour de *n’importe quel* [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) — trois côtés ou trente — totalisent toujours exactement $360^\circ$ . (Qu’a fait notre nez, tous virages confondus, une fois de retour ?)
9. En déduire une seconde fois la formule des angles intérieurs : à chacun des $n$ coins, intérieur $+$ virage $= 180^\circ$ ; sommer sur tous les coins et utiliser la question 8.
10. Dans un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier, tous les virages sont égaux, donc chaque angle extérieur vaut $\frac{360^\circ}{n}$ . S’en servir pour répondre instantanément : quel [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier a des angles intérieurs de $150^\circ$ ? Et pourquoi *aucun* [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier n’a-t-il des angles intérieurs de $155^\circ$ ?

**Partie III — Paver le sol.** Autour de chaque point d’un sol [pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), les coins des carreaux qui s’y rejoignent doivent totaliser exactement $360^\circ$ — ni trou, ni chevauchement ([Problème 40.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#pb-g6-lines-1)).

11. Pour le [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) , le carré et l’ [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier : combien d’exemplaires se rejoignent en un coin du pavage ? Vérifier les $360^\circ$ à chaque fois.
12. Montrer que les [pentagones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) réguliers ne peuvent pas paver le sol : que totalisent trois coins, et que totaliseraient quatre coins ?
13. Montrer qu’aucun [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier à *plus* de six côtés ne peut paver : au moins trois carreaux doivent se rejoindre en chaque coin (chaque angle est inférieur à $180^\circ$ ), et qu’arrive-t-il à trois coins de $135^\circ$ ou plus ? Conclure par la liste complète des paveurs réguliers.
14. Les sols de salle de bains mêlent souvent des [octogones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) réguliers et de petits carrés. Vérifier que ce coin fonctionne : $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Un autre motif classique réunit à chaque coin un carré, un [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier et un dodécagone régulier : le vérifier aussi (l’angle intérieur du dodécagone s’obtient par la méthode de la question 10).
15. Le choix des abeilles : les alvéoles d’un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de miel sont des [hexagones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) réguliers. Vérifier leurs coins ( $3$ angles), et expliquer en une phrase — à l’aide de la découverte de Didon ( [Problème 43.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#pb-g6-measure-1) ) — pourquoi, des trois carreaux réguliers possibles, l’ [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) est le moins coûteux en cire pour le miel qu’il contient.

**Solution de Problème 51.1.**

**1.** Les diagonales issues d’un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’un [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) le découpent en $4$ triangles : les angles intérieurs totalisent donc $4 \times 180 = 720^\circ$.

**2.** Depuis un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), les diagonales vont vers tous les [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sauf lui-même et ses deux voisins : $n - 3$ diagonales, qui découpent le [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) en $n - 2$ triangles. Chaque angle intérieur du [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) se répartit entre les triangles : la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) vaut donc

$$
(n - 2) \times 180^\circ .
$$

Vérification : $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ ([Exercice 51.11](#exo-g7-triangles-11)) ; $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$.

**3.** Décagone : $8 \times 180 = 1\,440^\circ$. Dodécagone : $10 \times 180 = 1\,800^\circ$.

**4.** En divisant par $n$ : triangle $60^\circ$ ; carré $90^\circ$ ; [pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; [octogone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $\frac{1080}{8} = 135^\circ$.

**5.** Ajouter un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ajoute un triangle de plus à l’éventail : le nouveau [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) demande $n - 1$ triangles là où l’ancien en demandait $n - 2$. Un triangle de plus, un $180^\circ$ de plus.

**6.** Le marcheur tourne du supplémentaire : $180^\circ - \widehat A$. Pour le triangle $40$–$60$–$80$, les virages valent $140^\circ$, $120^\circ$ et $100^\circ$.

**7.** $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : un tour complet.

**8.** Sur l’ensemble du parcours, notre nez part et revient dans la même direction, après avoir balayé exactement un tour : tous les virages pris aux coins totalisent une révolution complète, $360^\circ$ — quels que soient le nombre de coins et la forme du pâté de maisons. (Le fait est magnifiquement indépendant de $n$.)

**9.** À chaque coin, intérieur $+$ virage $= 180^\circ$. En sommant sur les $n$ coins :

$$
\text{(somme des intérieurs)} + 360^\circ = 180^\circ \times n,
\qquad\text{donc}\qquad
\text{somme des intérieurs} = (n - 2) \times 180^\circ
$$

— la formule de la question 2, redémontrée en marchant.

**10.** Un angle intérieur de $150^\circ$ signifie un virage de $30^\circ$, et $n = \frac{360}{30} = 12$ : le dodécagone régulier. Un angle intérieur de $155^\circ$ signifierait des virages de $25^\circ$, et $\frac{360}{25} = 14.4$ n’est pas un nombre entier de coins : un tel [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier n’existe pas.

**11.** Triangle ($60^\circ$) : $6$ se rejoignent, $6 \times 60 = 360$. Carré ($90^\circ$) : $4$ se rejoignent. [Hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) ($120^\circ$) : $3$ se rejoignent, $3 \times 120 = 360$. Les trois se referment parfaitement.

**12.** Trois coins de [pentagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) : $3 \times 108 = 324^\circ$ — il reste un trou de $36^\circ$. Quatre coins : $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — chevauchement. Ni l’un ni l’autre ne convient : les [pentagones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) réguliers ne peuvent pas paver le plan.

**13.** À un coin de pavage, au moins $3$ carreaux se rejoignent. Un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier à plus de six côtés a des angles intérieurs *supérieurs* à $120^\circ$ (question 4 et croissance de l’angle avec $n$) : trois coins dépassent donc $3 \times 120 = 360^\circ$ : chevauchement, impossible. Avec six côtés exactement, $3 \times 120 = 360$ convient ; en dessous de six, les questions 11 et 12 règlent les cas. Liste complète des paveurs réguliers : triangle, carré, [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon).

**14.** [Octogones](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) et carrés : $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : le coin se referme — le motif classique des trottoirs. Carré, [hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon), dodécagone : le virage du dodécagone vaut $\frac{360}{12} = 30^\circ$, son angle intérieur vaut donc $150^\circ$, et $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : cela fonctionne aussi.

**15.** Coins du [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de miel : $3 \times 120 = 360^\circ$, parfait. Parmi les carreaux triangulaires, carrés et hexagonaux de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area), l’[hexagone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) a le bord le plus court — c’est celui des trois qui se rapproche le plus du cercle de Didon ([Problème 43.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#pb-g6-measure-1)) — donc des alvéoles hexagonales enferment le même miel avec le moins de cire : les abeilles pavent en géomètres.