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title: "Symétrie centrale et parallélogrammes"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 52
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes
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# Chapitre 52 — Symétrie centrale et parallélogrammes

Tourner une figure d’un demi-tour autour d’un point : c’est la *[symétrie centrale](#def-g7-central-def)*, la deuxième transformation du livre après les réflexions du [Chapitre 42](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#ch-g6-symmetry). Sa figure vedette est le [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) — le [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) [symétrique](#def-g7-central-def) par rapport au point de croisement de ses propres diagonales.

## 52.1 Symétrie centrale

**Définition 52.1 (Symétrique par rapport à un point).**

Le *symétrique* d’un point $M$ par rapport à un point $O$ est le point $M'$ tel que $O$ est le *milieu* de $[MM']$. La figure symétrique est ce que devient l’original après un demi-tour ($180^\circ$) autour de $O$.

![Symétrie par rapport à O : chaque point et son image sont alignés avec O, à distances égales de part et d’autre (traits de coche).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-3a5d10b2de5e.svg)

*Symétrie par rapport à $O$ : chaque point et son image sont alignés avec $O$, à distances égales de part et d’autre (traits de coche).*

**Méthode 52.2 (Construire le symétrique d’un point).**

Pour construire le [symétrique](#def-g7-central-def) $M'$ de $M$ par rapport à $O$ :

1. tracer la droite $(MO)$ et la prolonger au-delà de $O$ ;
2. mesurer $MO$ (règle ou compas) ;
3. placer $M'$ sur le prolongement avec $OM' = OM$ .

Sur papier quadrillé : compter les pas horizontaux et verticaux de $M$ à $O$, et répéter les *mêmes* pas depuis $O$ pour atteindre $M'$.

**Exemple 52.3 (Sur un quadrillage).**

Si $M$ est à $3$ carreaux à gauche et $1$ carreau en haut de $O$, son [symétrique](#def-g7-central-def) $M'$ est à $3$ carreaux à *droite* et $1$ carreau en *bas* de $O$ : la [symétrie centrale](#def-g7-central-def) inverse les deux directions à la fois (une réflexion n’en inverse qu’une).

**Proposition 52.4 (Ce qu’un demi-tour conserve).**

La [symétrie centrale](#def-g7-central-def) conserve les longueurs, les angles, les [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) et les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) ; l’image d’une droite est une droite *[parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)*, l’image d’un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) est un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) de même longueur, l’image d’un cercle est un cercle de même [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) (centré au [symétrique](#def-g7-central-def) du centre).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 52.5.**

Comparer avec les réflexions ([Proposition 42.4](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#prop-g6-symmetry-preserved)) : les deux conservent longueurs et angles ; mais la réflexion retourne les figures (un « b » devient un « d »), tandis que le demi-tour les garde lisibles — à l’envers (un « b » devient un « q »). Et à la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) d’une réflexion, un demi-tour envoie toute droite sur une droite qui lui est [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp).

**Définition 52.6 (Centre de symétrie).**

Un point $O$ est un *centre de symétrie* d’une figure lorsque le demi-tour autour de $O$ envoie la figure exactement sur elle-même. Par exemple, les lettres S, N, Z ont un centre de symétrie ; un cercle en a un (son centre) ; un triangle n’en a jamais.

## 52.2 Parallélogrammes

**Définition 52.7 (Parallélogramme).**

Un *parallélogramme* est un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) dont les diagonales se croisent en leur milieu commun. Ce point de croisement est alors un [centre de symétrie](#def-g7-central-center) de la figure : chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) est l’image par demi-tour du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) opposé.

**Théorème 52.8 (Propriétés d’un parallélogramme).**

Dans un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ de centre $O$ :

1. les côtés opposés sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) : $(AB) \parallel (CD)$ et $(BC) \parallel (AD)$ ;
2. les côtés opposés ont la même longueur : $AB = CD$ et $BC = AD$ ;
3. les angles opposés sont égaux : $\widehat A = \widehat C$ et $\widehat B = \widehat D$ .

**Démonstration.** Le demi-tour autour de $O$ envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$ (définition : $O$ est le milieu des deux diagonales). Il envoie donc le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ sur le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[CD]$ ; par [Proposition 52.4](#prop-g7-central-preserved) l’image est [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $[AB]$ et de même longueur : points 1 et 2. Il envoie aussi l’angle en $A$ sur l’angle en $C$, et les angles sont conservés : point 3. ∎

![Un parallélogramme et son centre O : les diagonales (rouges) se coupent en leurs milieux, les côtés opposés sont parallèles et égaux (traits de coche).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-f7a6741d6cd6.svg)

*Un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) et son centre $O$ : les diagonales (rouges) se coupent en leurs milieux, les côtés opposés sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) et égaux (traits de coche).*

**Théorème 52.9 (Reconnaître un parallélogramme).**

Un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) (sans côtés croisés) est un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) dès que *l’une* des conditions suivantes est remplie :

1. ses diagonales ont le même milieu (la définition) ;
2. ses côtés opposés sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) deux à deux ;
3. deux côtés opposés sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) *et* de même longueur.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 52.10.**

$ABCD$ a $(AB) \parallel (CD)$ et $AB = CD = 5$ cm. Le critère 3 s’applique : $ABCD$ est un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) — donc sans autre mesure on sait aussi que $AD = BC$, $(AD) \parallel (BC)$, et que ses diagonales se coupent en leur milieu.

**Remarque 52.11 (Parallélogrammes particuliers).**

Le rectangle, le [losange](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-quadrilaterals) et le carré du [Chapitre 41](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#ch-g6-shapes) sont exactement les [parallélogrammes](#def-g7-central-parallelogram) avec une propriété supplémentaire : diagonales égales (rectangle), diagonales [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ([losange](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-quadrilaterals)), les deux (carré). L’argument d’angles promis en [Exemple 41.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#ex-g6-shapes-recognize) fonctionne maintenant : dans un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram), les angles consécutifs sont supplémentaires ([angles alternes-internes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#def-g7-triangles-pairs)/correspondants avec les [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), [Théorème 51.2](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#thm-g7-triangles-equalities)), donc un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) force les quatre.

## 52.3 Exercices

**Exercice 52.1 ★.**

Sur papier quadrillé, placer $O$, puis $M$ à quatre carreaux à droite de $O$ et un carreau en haut. Construire le [symétrique](#def-g7-central-def) $M'$ de $M$ par rapport à $O$, et le [symétrique](#def-g7-central-def) de $M$ par rapport à la *droite verticale du quadrillage* passant par $O$. Comparer les deux images.

**Solution de Exercice 52.1.**

Image par demi-tour : $M'$ est à quatre carreaux à *gauche* de $O$ et un carreau en *bas* (les deux directions inversées). Image par réflexion par rapport à la droite verticale : quatre carreaux à gauche mais toujours un carreau en *haut*. Les deux images diffèrent : elles sont des images miroir verticales l’une de l’autre.

**Exercice 52.2 ★.**

Tracer un triangle $ABC$ et un point $O$ à l’extérieur. Construire son image $A'B'C'$ par le demi-tour autour de $O$. Que peut-on dire des longueurs $A'B'$ et $AB$ ? Des droites $(A'B')$ et $(AB)$ ?

**Solution de Exercice 52.2.**

$A'B' = AB$ (les demi-tours conservent les longueurs) et $(A'B') \parallel (AB)$ (l’image d’une droite est une droite [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), [Proposition 52.4](#prop-g7-central-preserved)).

**Exercice 52.3 ★.**

Quels chiffres, écrits comme sur un afficheur de calculatrice ($0$ à $9$), ont un [centre de symétrie](#def-g7-central-center) ? Quelles lettres majuscules parmi H, A, N, S, T, Z, O ?

**Solution de Exercice 52.3.**

Chiffres de calculatrice avec un [centre de symétrie](#def-g7-central-center) : $0$, $2$, $5$, $8$ (et $1$ s’il est dessiné comme une simple barre). Lettres : H, N, S, Z, O en ont un ; A et T n’en ont pas (elles ont un axe à la place).

**Exercice 52.4 ★.**

$KLMN$ est un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) de centre $O$ avec $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm et $\widehat K = 115^\circ$. Donner, avec raisons : $MN$, $NK$, $\widehat M$, et le milieu de $[LN]$.

**Solution de Exercice 52.4.**

Côtés opposés égaux : $MN = KL = 7$ cm et $NK = LM = 4$ cm. Angles opposés égaux : $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$. Les diagonales se coupent en leur milieu commun, et ce point est $O$ : le milieu de $[LN]$ est $O$.

**Exercice 52.5 ★.**

Construire un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ à partir de ses diagonales : $AC = 8$ cm et $BD = 5$ cm, se croisant en leurs milieux avec un angle de $60^\circ$ entre elles. (Tracer d’abord les diagonales !)

**Solution de Exercice 52.5.**

Tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AC]$ de $8$ cm, marquer son milieu $O$, tracer par $O$ une droite faisant $60^\circ$ avec $(AC)$, et placer $B$ et $D$ dessus à $2.5$ cm de $O$ de part et d’autre. Joindre $A$, $B$, $C$, $D$ : les diagonales se coupent en leurs milieux, donc $ABCD$ est un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) par définition.

**Exercice 52.6 ★.**

Dans un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram), un angle mesure $115^\circ$. En utilisant la remarque sur les angles consécutifs supplémentaires, donner les trois autres angles.

**Solution de Exercice 52.6.**

Les angles consécutifs sont supplémentaires : à côté de $115^\circ$ se trouve $180 - 115 = 65^\circ$. Les angles opposés sont égaux, donc les quatre angles sont $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$ ([somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $360^\circ$).

**Exercice 52.7 ★★.**

Placer $A(1, 1)$, $B(4, 2)$ et le point $O(2.5, 2.5)$. Calculer les coordonnées des images $A'$ et $B'$ par le demi-tour autour de $O$ (utiliser le comptage sur le quadrillage de [Exemple 52.3](#ex-g7-central-grid)).

**Solution de Exercice 52.7.**

De $A(1,1)$ à $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ à droite et $1.5$ en haut ; en continuant de même : $A'(4, 4)$. De $B(4,2)$ à $O$ : $1.5$ à gauche et $0.5$ en haut ; en continuant : $B'(1, 3)$.

**Exercice 52.8 ★★.**

$ABCD$ est un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) dans lequel $AB = CD$. Est-ce suffisant pour en faire un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) ? Sinon, esquisser un contre-exemple (un trapèze [isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) aide), et indiquer ce qu’il faut ajouter à l’hypothèse.

**Solution de Exercice 52.8.**

Non. Un trapèze [isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) a ses deux côtés obliques égaux sans être un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) (les deux côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ont des longueurs différentes). Ce qui suffit est le critère 3 de [Théorème 52.9](#thm-g7-central-recognize) : deux côtés opposés égaux *et [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)*.

**Exercice 52.9 ★★.**

Soit $ABC$ un triangle et $O$ le milieu de $[BC]$. Construire le [symétrique](#def-g7-central-def) $A'$ de $A$ par rapport à $O$. Montrer que $ABA'C$ est un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram). (Quel critère de [Théorème 52.9](#thm-g7-central-recognize) s’obtient gratuitement ici ?)

**Solution de Exercice 52.9.**

$O$ est le milieu de $[BC]$ par choix, et il est le milieu de $[AA']$ par construction du [symétrique](#def-g7-central-def). Le [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $ABA'C$ a des diagonales $[AA']$ et $[BC]$ partageant le milieu $O$ : le critère 1 (la définition) en fait un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) sans coût supplémentaire.

**Exercice 52.10 ★★.**

Vrai ou faux, avec une raison : « un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) dont les angles opposés sont égaux deux à deux est un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) » ; « un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) à diagonales [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) est un [losange](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-quadrilaterals) » ; « un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) avec un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) est un rectangle ».

**Solution de Exercice 52.10.**

« Angles opposés égaux $\Rightarrow$ [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) » : *vrai* (c’est un autre critère de reconnaissance ; avec la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles $360^\circ$, des paires opposées égales forcent des angles consécutifs supplémentaires, d’où des côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) par [Théorème 51.2](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#thm-g7-triangles-equalities)).

« Diagonales [perpendiculaires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) $\Rightarrow$ [losange](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-quadrilaterals) » : *vrai* pour un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) (les diagonales se coupent déjà en leurs milieux).

« Un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $\Rightarrow$ rectangle » : *vrai* — les angles consécutifs sont supplémentaires, donc les quatre deviennent droits.

**Exercice 52.11 ★★★.**

Soit $ABCD$ un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) quelconque et $I$, $J$, $K$, $L$ les milieux de ses côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Tracer plusieurs exemples. Que semble toujours être $IJKL$ ? (La preuve, avec le théorème des milieux, arrive au [Chapitre 59](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#ch-g8-midpoints) — et à nouveau avec les vecteurs, dans un [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ultérieur.)

**Solution de Exercice 52.11.**

Quel que soit le [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) — même très irrégulier — les milieux $I$, $J$, $K$, $L$ forment toujours un *[parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram)*. La preuve avec le théorème des milieux est au [Chapitre 59](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#ch-g8-midpoints) ([Exercice 59.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#exo-g8-midpoints-9)).

## 52.4 Problème : le gâteau, la médiane et l’impossible second centre

**Problème 52.1.**

Devoir maison — le demi-tour à l’œuvre : des partages de gâteau équitables, un encadrement des médianes, et pourquoi aucune figure ne peut avoir deux centres de symétrie

Le demi-tour a l’air de la plus simple des transformations — et pourtant il découpe les gâteaux en [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) démontrablement équitables, mesure les médianes d’un triangle, et cache une petite perle de mathématiques pures : une figure bornée peut avoir un [centre de symétrie](#def-g7-central-center), mais *jamais deux*. La démonstration repose sur une découverte que l’on fera dans la partie I : deux demi-tours, effectués l’un après l’autre, se ramènent à un glissement.

**Partie I — Gymnastique du demi-tour.**

1. Sur du papier quadrillé, prendre l’origine $O(0, 0)$ pour centre. En comptant les carreaux comme dans [Exemple 52.3](#ex-g7-central-grid) , donner les images de $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ et $P(0, -5)$ par le demi-tour de centre $O$ . Quelle est la règle générale pour $(x, y)$ ?
2. Le centre est maintenant $C(2, 1)$ . Calculer l’image de $M(5, 3)$ , et vérifier la recette générale : chaque coordonnée de l’image vaut *le double de celle du centre, moins celle du point* .
3. Les cartes à jouer sont dessinées pour se lire de la même façon à l’endroit et à l’envers — une [symétrie centrale](#def-g7-central-def) , de sorte qu’aucun joueur ne voie la carte « de travers ». Expliquer pourquoi, sur une carte comptant un nombre *[impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* de points, un point doit se trouver exactement au centre de la carte.
4. Deux demi-tours d’affilée : prendre les centres $O_1(2, 0)$ et $O_2(5, 0)$ . Envoyer le point $A(1, 1)$ par le demi-tour de centre $O_1$ , puis envoyer l’image par le demi-tour de centre $O_2$ . Comparer le départ et l’arrivée. Recommencer avec $B(0, 3)$ . À quelle transformation unique et simple les deux demi-tours se sont-ils ramenés ?
5. Comparer le glissement de la question 4 à la distance $O_1 O_2$ , et énoncer la découverte. (Comparer avec les deux miroirs [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) du [Problème 42.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#pb-g6-symmetry-1) : même phénomène, nouveaux acteurs.)

**Partie II — Gâteaux et médianes.**

6. Soit $O$ le centre d’un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) . Expliquer pourquoi toute droite passant par $O$ rencontre le bord en deux points [symétriques](#def-g7-central-def) par rapport à $O$ , et pourquoi cette droite découpe le [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) en deux morceaux qui sont des copies exactes l’un de l’autre par demi-tour — donc de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) .
7. Le théorème du pâtissier : un gâteau rectangulaire se partage parfaitement équitablement par *n’importe quelle* coupe droite passant par son centre. Mieux : un gâteau rectangulaire est percé d’un trou rectangulaire (n’importe quelle taille, n’importe quelle position, même incliné). Décrire l’unique coupe droite qui donne deux parts contenant autant de gâteau l’une que l’autre — et la justifier par la question 6.
8. Trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’un [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ sont $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ et $C(8, 5)$ . Calculer les coordonnées de $D$ et celles du centre $O$ .
9. [Exercice 52.9](#exo-g7-central-9) a construit, à partir d’un triangle $ABC$ et du milieu $O$ de $[BC]$, le [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$ où $A'$ est le [symétrique](#def-g7-central-def) de $A$ par rapport à $O$. S’en servir, avec l’inégalité triangulaire ([Théorème 51.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#thm-g7-triangles-inequality)) dans le triangle $ABA'$, pour démontrer l’*encadrement de la médiane* : la médiane $[AO]$ vérifie $$AO < \frac{AB + AC}{2} .$$ (Remarquer que $AA' = 2\,AO$ et $BA' = AC$.)
10. Dans un triangle où $AB = 5$ cm et $AC = 7$ cm, entre quelles deux valeurs la longueur de la médiane issue de $A$ doit-elle se situer ? (Utiliser les deux sens de l’inégalité triangulaire dans $ABA'$ .)

**Partie III — Combien de centres une figure peut-elle avoir ?**

11. Pour chaque figure, dire si elle possède un [centre de symétrie](#def-g7-central-center) , et où : un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) ; une droite entière ; un [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) ; un carré ; un cercle ; les lettres S et Z.
12. Démontrer la réponse pour le [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : un demi-tour envoyant le triangle sur lui-même apparierait les trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) — mais trois est [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , donc un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) serait envoyé sur lui-même. Qu’est-ce que cela obligerait ce [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à être, et pourquoi est-ce impossible ?
13. Généraliser la question 12 : expliquer pourquoi *aucun* [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) ayant un [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) n’a de [centre de symétrie](#def-g7-central-center) .
14. La perle : supposons qu’une figure possède *deux* [centres de symétrie](#def-g7-central-center) distincts $O_1$ et $O_2$ . Effectuer les deux demi-tours l’un après l’autre et utiliser la découverte de la question 5 : quel mouvement devrait envoyer la figure exactement sur elle-même ? Expliquer pourquoi une figure tenant sur une feuille de papier ne peut pas y survivre, et conclure.
15. La conclusion de la question 14 laisse une échappatoire : les figures *non bornées* . Vérifier sur une frise infinie — disons une bande sans fin d’empreintes de pas, gauche, droite, gauche, droite … — qu’elle possède (au moins) deux [centres de symétrie](#def-g7-central-center) différents, et identifier la translation annoncée par la question 14.

**Solution de Problème 52.1.**

**1.** $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$. Règle : le demi-tour de centre l’origine envoie $(x, y)$ sur $(-x, -y)$ — les deux coordonnées changent de signe.

**2.** À partir de $M(5, 3)$ : trois carreaux à droite de $C$ deviennent trois carreaux à gauche, deux vers le haut deviennent deux vers le bas : image $(-1, -1)$. Vérification de la recette : le double du centre moins le point, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$.

**3.** Le demi-tour de centre la carte échange les points deux par deux. Avec un [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de points, l’un d’eux n’a pas de partenaire : il est donc sa propre image, et le seul point qui soit sa propre image est le centre lui-même. D’où le point du milieu du 3, du 5, du 7 … pile au centre (regarder une vraie carte : il y est).

**4.** Par $O_1(2,0)$ : $A(1,1) \to (3,-1)$ ; puis par $O_2(5,0)$ : $(3,-1) \to (7,1)$. Départ $A(1,1)$, arrivée $(7,1)$ : glissé de $6$ vers la droite, sans retournement. De même pour $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ : glissé de $6$ vers la droite. Les deux demi-tours se ramènent à une *translation*.

**5.** Le glissement vaut $6$, et $O_1 O_2 = 3$ : la translation parcourt le *double* de la distance entre les centres (dans le sens de $O_1$ vers $O_2$) — exactement comme les deux miroirs [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) translataient du double de leur écart dans [Problème 42.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#pb-g6-symmetry-1).

**6.** Le demi-tour de centre $O$ envoie le [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) sur lui-même (c’est ce que signifie pour lui « [centre de symétrie](#def-g7-central-center) », [Théorème 52.8](#thm-g7-central-properties)). Une droite passant par $O$ est elle aussi envoyée sur elle-même : les deux points où elle coupe le bord s’échangent donc, et ils sont [symétriques](#def-g7-central-def) par rapport à $O$. Les deux morceaux du [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) de part et d’autre de la droite s’échangent également : ce sont donc des copies exactes ([Proposition 52.4](#prop-g7-central-preserved)) — de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area).

**7.** Couper suivant la droite qui joint les *deux centres* : celui du rectangle du gâteau et celui du trou. Par la question 6 appliquée au rectangle du gâteau, la coupe partage le gâteau en deux ; appliquée au rectangle du trou (la droite passe aussi par son centre), elle partage le trou en deux. Chaque part reçoit la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du gâteau moins la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du trou : parfaitement équitable.

**8.** $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (les diagonales ont le même milieu, donc $D$ est l’image de $B$ par le demi-tour de centre le centre du [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram)). Centre : milieu de $[AC]$, $O(4,\ 2.5)$.

**9.** Dans le [parallélogramme](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$, les côtés opposés sont égaux : $BA' = AC$. L’inégalité triangulaire dans $ABA'$ donne $AA' < AB + BA' = AB + AC$. Comme $O$ est le milieu de $[AA']$, on a $AA' = 2\,AO$, donc $2\,AO < AB + AC$, c’est-à-dire $AO < \frac{AB + AC}{2}$.

**10.** Majoration : $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Minoration : dans $ABA'$, $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$, donc $AO > 1$ cm. La médiane issue de $A$ est strictement comprise entre $1$ et $6$ cm.

**11.** [Segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) : oui, son milieu. Droite : oui — chacun de ses points est un centre. [Triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : aucun. Carré : oui, le point d’intersection des diagonales. Cercle : oui, son centre. S et Z : oui, leur point milieu (retourner la page : elles se lisent de la même façon).

**12.** Le demi-tour apparierait les trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) entre eux ; trois étant [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $A$ serait sa propre image, ce qui obligerait $A$ à être le centre du demi-tour. Les deux autres [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $B$ et $C$ seraient alors [symétriques](#def-g7-central-def) par rapport à $A$ — donc $A$ serait le milieu de $[BC]$, ce qui alignerait les trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def). Or un triangle n’a pas trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) alignés : contradiction. Aucun centre n’existe.

**13.** Le même argument de parité : un demi-tour conservant le [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) apparie ses [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ; un [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) impose un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) fixe, qui doit être le centre et le milieu du [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) joignant deux autres [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) — trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) alignés, impossible dans un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) … donc aucun [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) ayant un [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) n’a de [centre de symétrie](#def-g7-central-center).

**14.** Effectuer le demi-tour de centre $O_1$, puis celui de centre $O_2$, envoie la figure sur elle-même à chaque fois — donc leur composée aussi. D’après la question 5, cette composée est la translation du double de la distance $O_1 O_2$, qui n’est pas nulle puisque les centres diffèrent. Or une figure tenant sur une feuille ne peut pas être égale à elle-même glissée d’une quantité fixe non nulle (la glisser assez de fois la fait sortir entièrement de la feuille). Une figure bornée a donc au plus un [centre de symétrie](#def-g7-central-center).

**15.** Sur la bande sans fin, le demi-tour de centre le point situé à mi-chemin entre une empreinte gauche et l’empreinte droite suivante envoie le motif sur lui-même ; le point situé un pas complet plus loin aussi : voilà deux centres distincts. La composée des deux demi-tours est la translation du double du demi-pas — exactement le glissement d’un pas qui, visiblement, envoie la frise infinie sur elle-même, comme l’annonce la question 14. Les motifs non bornés vivent selon d’autres règles : c’est la mathématique des papiers peints.