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title: "Aires et volumes"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 53
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes
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# Chapitre 53 — Aires et volumes

L’année 6 a mesuré rectangles, [triangles rectangles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) et [pavés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ([Chapitre 43](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#ch-g6-measure)). Avec une paire de ciseaux — couper un morceau ici, coller là — les mêmes idées donnent maintenant les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) des [parallélogrammes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram), de *tous* les triangles et du disque, et les [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) des [prismes](#def-g7-areas-prism) et des [cylindres](#def-g7-areas-prism).

## 53.1 Aire d’un parallélogramme

**Théorème 53.1 (Parallélogramme).**

Un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) de côté de longueur $b$ (sa *base*) et de distance $h$ entre ce côté et le côté opposé (sa *hauteur*) a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = b \times h .
$$

**Preuve par les ciseaux.** Couper le [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) qui dépasse d’un côté et le coller de l’autre : le [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) devient un rectangle $b \times h$ de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area). ∎

![La preuve par les ciseaux : glisser le triangle rouge de l’extrémité gauche à l’extrémité droite transforme le parallélogramme en rectangle — même aire, b × h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-ff97504b430f.svg)

*La preuve par les ciseaux : glisser le triangle rouge de l’extrémité gauche à l’extrémité droite transforme le [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) en rectangle — même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area), $b \times h$.*

**Remarque 53.2.**

La hauteur est la distance *[perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)* entre les deux bases, et non la longueur du côté oblique ! Un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) très oblique peut avoir de longs côtés et une petite [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area).

## 53.2 Aire d’un triangle

**Théorème 53.3 (Triangle).**

Un triangle de base $b$ et de hauteur correspondante $h$ (la distance [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) opposé à la droite-support de la base) a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = \frac{b \times h}{2} .
$$

**Démonstration.** Deux copies du triangle, l’une tournée d’un demi-tour autour du milieu d’un côté, s’assemblent en un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) de base $b$ et de hauteur $h$ (c’est la [symétrie centrale](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-def) à l’œuvre, [Proposition 52.4](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#prop-g7-central-preserved)). Le triangle en est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) : $\frac{bh}{2}$. ∎

![Un triangle et sa copie tournée d’un demi-tour (en pointillés) forment un parallélogramme : l’aire du triangle est b× h/2. N’importe lequel des trois côtés peut servir de base — avec sa propre hauteur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-c7863134f268.svg)

*Un triangle et sa copie tournée d’un demi-tour (en pointillés) forment un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) : l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du triangle est $\frac{b\times h}{2}$. N’importe lequel des trois côtés peut servir de base — avec *sa propre* hauteur.*

**Exemple 53.4.**

Un triangle a une base de $9$ cm et la hauteur correspondante mesure $4$ cm :

$$
A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .
$$

Pour un triangle *rectangle*, les deux côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) sont une base et sa hauteur : on retrouve la formule de [Proposition 43.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#prop-g6-measure-formulas).

## 53.3 Aire d’un disque

**Théorème 53.5 (Disque).**

Un disque de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = \pi r^2 .
$$

**Idée de preuve.** Découper le disque en de nombreuses parts minces égales et les disposer tête-bêche : elles forment presque un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) de hauteur $r$ dont la base est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la circonférence, $\pi r$ ([Proposition 43.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#prop-g6-measure-circle)). Son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) est proche de $\pi r \times r = \pi r^2$, et l’approximation devient parfaite lorsque les parts s’amincissent. Une preuve complète demande le calcul intégral, présenté dans le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant de cette série. ∎

![Trancher le disque et dérouler les parts : presque un parallélogramme de base π r (la moitié du bord) et de hauteur r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-1cb0774f961c.svg)

*Trancher le disque et dérouler les parts : presque un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) de base $\pi r$ (la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du bord) et de hauteur $r$.*

**Exemple 53.6.**

Un plateau de table ronde a pour [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $60$ cm. Son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) est $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm$^2$, un peu plus de $1.1$ m$^2$. Attention à la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) : le *[périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter)* $2\pi r$ utilise $r$, l’*[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area)* $\pi r^2$ utilise $r^2$.

## 53.4 Prismes et cylindres

**Définition 53.7 (Prisme, cylindre).**

Un *prisme* est un [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à deux [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) polygonales identiques et [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) (les *bases*) jointes par des rectangles ; un *cylindre* est la même chose avec des disques pour bases. La *hauteur* est la distance entre les deux bases.

**Théorème 53.8 (Volumes).**

Pour un [prisme](#def-g7-areas-prism) ou un [cylindre](#def-g7-areas-prism) d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $B$ et de hauteur $h$ :

$$
V = B \times h .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 53.9.**

Une tente est un [prisme](#def-g7-areas-prism) couché sur le côté : ses bases sont des triangles de base $2$ m et de hauteur $1.5$ m, et la tente mesure $3$ m de long.

1. [Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base : $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
2. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Une boîte de conserve de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm et de hauteur $11$ cm : $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm$^3$, à peu près un demi-litre.

## 53.5 Exercices

**Exercice 53.1 ★.**

Calculer l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) de base $8$ cm et de hauteur $5$ cm ; d’un autre de base $6.5$ m et de hauteur $4$ m.

**Solution de Exercice 53.1.**

$8 \times 5 = 40$ cm$^2$ ; $6.5 \times 4 = 26$ m$^2$.

**Exercice 53.2 ★.**

Un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) a des côtés de $10$ cm et $6$ cm, et la hauteur relative à la base de $10$ cm mesure $4$ cm. Calculer son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area). Pourquoi la réponse n’est-elle pas $60$ cm$^2$ ?

**Solution de Exercice 53.2.**

$A = 10 \times 4 = 40$ cm$^2$. La réponse n’est pas $10 \times 6 = 60$ car le côté de $6$ cm est oblique : la formule utilise la *hauteur* (distance [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)), qui vaut $4$ cm.

**Exercice 53.3 ★.**

Calculer l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’un triangle de base $12$ cm et de hauteur $7$ cm ; d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $9$ et $6$ ; d’un triangle de base $5.5$ m et de hauteur $2$ m.

**Solution de Exercice 53.3.**

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm$^2$ ; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m$^2$.

**Exercice 53.4 ★.**

Calculer l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’un disque de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm, puis d’un demi-disque de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm (valeurs exactes avec $\pi$, puis [arrondies](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-rounding) à l’unité).

**Solution de Exercice 53.4.**

Disque : $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm$^2$. Demi-disque de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $10$ : $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm$^2$.

**Exercice 53.5 ★.**

Calculer le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) *et* l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’un disque de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Laquelle des deux réponses est en cm et laquelle en cm$^2$ ?

**Solution de Exercice 53.5.**

[Périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) : $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (une longueur, en cm). [Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm$^2$ (une surface, en cm$^2$).

**Exercice 53.6 ★.**

Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) d’un [prisme](#def-g7-areas-prism) d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $24$ cm$^2$ et de hauteur $10$ cm ; d’un [cylindre](#def-g7-areas-prism) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm et de hauteur $8$ cm (exact, puis [arrondi](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-rounding)).

**Solution de Exercice 53.6.**

[Prisme](#def-g7-areas-prism) : $24 \times 10 = 240$ cm$^3$. [Cylindre](#def-g7-areas-prism) : $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm$^3$.

**Exercice 53.7 ★.**

Un triangle a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $28$ cm$^2$ et pour base $8$ cm. Trouver la hauteur correspondante, en écrivant d’abord l’équation.

**Solution de Exercice 53.7.**

$\frac{8 \times h}{2} = 28$, donc $4h = 28$ et $h = 7$ cm.

**Exercice 53.8 ★★.**

Tracer un triangle quelconque et mesurer soigneusement les trois paires base–hauteur. Calculer $\frac{b \times h}{2}$ pour chaque paire : les trois résultats devraient coïncider (à l’erreur de mesure près). Pourquoi ?

**Solution de Exercice 53.8.**

Les trois [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) coïncident car chacun calcule la *même* quantité — l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du triangle. Cela donne un contrôle pratique des constructions, et un moyen de calculer une hauteur à partir d’une autre paire base–hauteur (utilisé en [Exercice 53.12](#exo-g7-areas-12)).

**Exercice 53.9 ★★.**

Un jardin en forme de trapèze peut se découper, par une diagonale, en deux triangles partageant la même hauteur $h = 20$ m, de bases $30$ m et $18$ m. Calculer son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) totale. Peut-on deviner une formule générale pour le trapèze ?

**Solution de Exercice 53.9.**

Les deux triangles ont pour [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m$^2$ et $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m$^2$ : total $480$ m$^2$. Formule générale suggérée : pour des côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) $a$ et $b$ à distance $h$,

$$
A = \frac{(a + b) \times h}{2}
$$

— la formule du trapèze (ici $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$).

**Exercice 53.10 ★★.**

Un vase cylindrique de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de $15$ cm. Toute l’eau est versée dans une boîte vide de base $18$ cm $\times$ $12$ cm. Quelle hauteur d’eau atteint-on dans la boîte ? (Même [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume), base différente.)

**Solution de Exercice 53.10.**

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) d’eau : $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm$^3$. Base de la boîte : $18 \times 12 = 216$ cm$^2$. Hauteur atteinte : $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

**Exercice 53.11 ★★.**

Une pizza de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $30$ cm coûte $9$ euros ; une de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $40$ cm coûte $14$ euros. Calculer les deux [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) et le prix pour $100$ cm$^2$. Quelle pizza est la meilleure affaire ?

**Solution de Exercice 53.11.**

[Rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $15$ et $20$ cm. [Aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : $225\pi \approx 707$ cm$^2$ et $400\pi \approx 1257$ cm$^2$. Prix pour $100$ cm$^2$ : $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euros et $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euros. La grande pizza est la meilleure affaire — les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) croissent avec le *carré* du [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle).

**Exercice 53.12 ★★★.**

Les deux côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) mesurent $6$ cm et $8$ cm, et son hypoténuse mesure $10$ cm. Calculer son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) avec les côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle), puis utiliser cette [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) pour trouver la hauteur relative à l’*hypoténuse*.

**Solution de Exercice 53.12.**

Avec les côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) : $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm$^2$. Avec l’hypoténuse comme base : $24 = \frac{10 \times h}{2} =
5h$, donc $h = 4.8$ cm.

## 53.6 Problème : le carré qui s’évanouit

**Problème 53.1.**

Devoir maison — une célèbre « preuve » que $64 = 65$, démasquée par les aires et les pentes, avec pizzas et anneaux pour le dessert

Un magicien découpe un carré $8 \times 8$ en quatre pièces, les fait glisser, et les rassemble en un rectangle $5 \times 13$. Le public compte : $8 \times 8 = 64$, mais $5 \times 13 = 65$ — une unité d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) est apparue de nulle part ! Les formules d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de ce chapitre sont exactement les outils qui démasquent le tour. Le problème met ensuite le raisonnement honnête sur les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) au travail : sur des trapèzes, sur des piles inclinées, sur l’économie de la pizza — et revient enfin au magicien pour un second numéro, plus étrange encore.

**Partie I — Le tour, exécuté puis démasqué.** Les quatre pièces du carré $8 \times 8$ sont : deux [triangles rectangles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $8$ et $3$, et deux trapèzes rectangles de côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) $5$ et $3$ et de hauteur $5$.

1. Calculer l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du carré de départ et l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du rectangle annoncé. Énoncer le scandale en une ligne.
2. Calculer l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de chacune des quatre pièces ( [Théorème 53.3](#thm-g7-areas-triangle) ; pour les trapèzes, découper ou utiliser [Exercice 53.9](#exo-g7-areas-9) ).
3. Additionner les quatre [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) . Laquelle des deux figures — le carré ou le rectangle — les pièces peuvent-elles réellement remplir ?
4. Dans la disposition en rectangle, l’hypoténuse d’un triangle (qui monte de $3$ sur $8$ ) est censée prolonger le côté oblique d’un trapèze (qui monte de $2$ sur $5$ ) en une seule « diagonale » droite. Tester l’alignement : monter de $3$ sur $8$ et monter de $2$ sur $5$ , est-ce la même pente ( [Théorème 49.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/49-proportionnalite#thm-g7-prop-cross) ) ?
5. Expliquer où se cache le soixante-cinquième carré : quelle est la forme du vide le long de la fausse diagonale, quelle est son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) exacte, et pourquoi l’œil ne le voit-il pas ? (Quelle largeur moyenne a une écharde de cette [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) étirée sur la diagonale du rectangle, longue d’environ $13$ unités ?)

**Partie II — Raisonner honnêtement sur les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area).**

6. Tracer deux [droites parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) distantes de $4$ cm, une base de $6$ cm sur l’une d’elles, et trois triangles différents sur cette base, dont les [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sont pris en divers points de l’autre droite. Calculer les trois [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) . Pourquoi sont-elles toutes égales, où que le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) glisse sur sa droite ?
7. Démontrer la formule du trapèze en général : un trapèze de côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) $B$ et $b$ et de hauteur $h$, coupé suivant une diagonale, donne deux triangles de même hauteur $h$. Conclure : $$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$$
8. L’appliquer à un trapèze où $B = 9$ cm, $b = 5$ cm, $h = 4$ cm.
9. Les charpentiers utilisent la même formule sous un autre habit : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $=$ (moyenne des deux côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ) $\times$ hauteur. Expliquer pourquoi c’est la même règle, et refaire la question 8 de cette façon.
10. Incliner une pile bien rangée de cartes à jouer pour en faire une pile penchée. Expliquer pourquoi le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) n’a pas changé, et ce que cela dit de la hauteur dans la formule du [prisme](#def-g7-areas-prism) $V = B \times h$ ( [Théorème 53.8](#thm-g7-areas-volume) ) : quelle hauteur faut-il prendre pour une pile penchée — la longueur oblique ou la hauteur verticale ? (Comparer avec [Exercice 53.2](#exo-g7-areas-2) , une dimension plus bas.)

**Partie III — Anneaux, pizzas et le retour du magicien.**

11. Un bassin circulaire de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ m occupe le centre d’une pelouse circulaire de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ m. Calculer l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de l’anneau de gazon (exacte avec $\pi$ , puis arrondie au m $^2$ ).
12. Trouver le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) du disque unique dont l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) vaut exactement celle de cet anneau. (Les trois [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) dont on dispose désormais forment un triplet célèbre, dont l’histoire est racontée au [Chapitre 58](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ch-g8-pythagoras) .)
13. Qu’est-ce qui fait le plus de pizza : une pizza de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $40$ cm, ou deux pizzas de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $28$ cm ? Calculer et comparer.
14. Pour *doubler* l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’une pizza, par quel facteur son [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) doit-il grandir, à peu près ? Tester le candidat $1.4$ (se rappeler que les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) suivent le *carré* du facteur d’agrandissement, [Problème 44.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/44-proportionnalite-et-donnees#pb-g6-propdata-1) ), et dire où le facteur exact — le nombre dont le carré vaut $2$ — fait son entrée officielle ( [Exemple 58.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ex-g8-pythagoras-diagonal) ).
15. Le magicien revient : il découpe un carré $13 \times 13$ où les nombres $5$ , $8$ , $13$ jouent les rôles tenus tout à l’heure par $3$ , $5$ , $8$ , et rassemble un rectangle $8 \times 21$ . Calculer les deux [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : qu’est-ce qui s’évanouit cette fois ? Les nombres $3, 5, 8, 13, 21$ sont des termes consécutifs de la suite du [Problème 47.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/47-fractions-comparer-et-additionner#pb-g7-fractions-1) — énoncer la régularité des gains et des pertes du magicien, et la morale : pourquoi les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) ne mentent-elles jamais ?

**Solution de Problème 53.1.**

**1.** Carré : $8 \times 8 = 64$. Rectangle : $5 \times 13 = 65$. Les mêmes quatre pièces semblent couvrir $64$ unités d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) dans une figure et $65$ dans l’autre : une unité d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) aurait été créée à partir de rien.

**2.** Chaque triangle : $\frac{8 \times 3}{2} = 12$. Chaque trapèze : $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$.

**3.** $12 + 12 + 20 + 20 = 64$ : les pièces totalisent $64$, elles peuvent donc remplir exactement le carré — et ne peuvent *pas* remplir le rectangle de $65$ unités. L’image du rectangle contient forcément un trou.

**4.** Une même pente exigerait que monter de $3$ sur $8$ soit proportionnel à monter de $2$ sur $5$ ; [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) en croix : $3 \times 5 = 15$ et $2 \times 8 = 16$. Ils diffèrent : l’hypoténuse et le côté oblique ne s’alignent *pas*. La « diagonale » du rectangle est un mensonge — deux pentes légèrement différentes qui se rejoignent sous un angle très ouvert.

**5.** Le long de la fausse diagonale, les quatre pièces laissent un vide long et extrêmement fin — une écharde en forme de [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) très aplati — dont l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) vaut exactement l’unité manquante, $65 - 64 = 1$. Étirée sur une diagonale d’environ $13$ unités, sa largeur moyenne vaut environ $1 \div 13 \approx 0.08$ unité : sur un vrai dessin, moins que le trait de crayon qui la dissimule.

**6.** Chaque triangle a une base de $6$ cm et une hauteur de $4$ cm — la distance entre les [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), où que soit le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) — donc chaque [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) vaut $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm$^2$ ([Théorème 53.3](#thm-g7-areas-triangle)). Faire glisser le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) le long de la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) change la forme, jamais la base ni la hauteur : des [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) égales à jamais.

**7.** La diagonale découpe le trapèze en un triangle de base $B$ et un triangle de base $b$, tous deux de hauteur $h$ (la distance entre les côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)) :

$$
A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2}
= \frac{(B + b) \times h}{2} .
$$

**8.** $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} =
28$ cm$^2$.

**9.** La moyenne des côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) vaut $\frac{B + b}{2}$, donc (moyenne) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$ : la même formule, factorisée autrement. Vérification : moyenne $= \frac{9+5}{2} = 7$, et $7 \times 4 = 28$ cm$^2$.

**10.** La pile penchée contient exactement les mêmes cartes — les mêmes couches, chacune de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) — donc le même [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume). Dans $V = B \times h$, la hauteur doit se mesurer *perpendiculairement* à la base (la hauteur verticale de la pile), et non le long de l’inclinaison : exactement comme l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) réclame la hauteur [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) et non le côté oblique ([Exercice 53.2](#exo-g7-areas-2)), une dimension plus haut.

**11.** Anneau $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi -
9\pi = 16\pi \approx 50$ m$^2$ ([Théorème 53.5](#thm-g7-areas-disk)).

**12.** Un disque d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $16\pi$ a pour [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$, puisque $\pi \times 4^2 = 16\pi$. Les [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$, $4$, $5$ : le triplet le plus célèbre des mathématiques, qui tient la vedette au [Chapitre 58](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ch-g8-pythagoras).

**13.** Une pizza de $40$ cm : [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $20$, [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm$^2$. Deux pizzas de $28$ cm : [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $14$, à elles deux $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm$^2$. La grande pizza seule fait *plus* de pizza que les deux moyennes.

**14.** Multiplier le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) par $1.4$ multiplie l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) par $1.4^2 = 1.96$ — presque le double. Le facteur exact est le nombre dont le carré vaut $2$, soit environ $1.414$ : le nombre de la diagonale de l’[Exemple 58.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ex-g8-pythagoras-diagonal). (Règle de pouce : une [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) plus large, c’est presque deux fois plus de pizza.)

**15.** $13 \times 13 = 169$, mais $8 \times 21 = 168$ : cette fois, une unité d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) *disparaît* — les pièces se chevauchent le long d’une écharde au lieu de laisser un vide. Avec les termes consécutifs $3, 5, 8, 13, 21$ de la suite de Hemachandra–Fibonacci, les [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) basculent alternativement une unité au-dessus et une unité au-dessous du carré ($5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$, puis $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$) : le magicien « gagne » et « perd » une unité tour à tour. Les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) ne mentent jamais : des pièces totalisant $64$ couvrent $64$, où qu’on les fasse glisser — chaque unité manquante ou excédentaire se cache dans une écharde, en attendant qu’un contrôle de pente la démasque.