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title: "Multiplier des nombres relatifs"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 54
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs
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# Chapitre 54 — Multiplier des nombres relatifs

L’année 7 a additionné et soustrait des [nombres relatifs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) ([Chapitre 46](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#ch-g7-negatives)) ; il reste à les multiplier et les diviser. Une question domine le chapitre : pourquoi « moins fois moins » doit-il être plus ? On donne une raison, pas seulement une règle.

## 54.1 Les règles de signes

**Théorème 54.1 (Signe d’un produit).**

Le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de deux [nombres relatifs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) a pour distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) des distances, et son signe est donné par :

| $\times$ | $+$ | $-$ |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |

*Mêmes signes : [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) positif. Signes contraires : [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) négatif.* Le même tableau régit les [quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder).

**Pourquoi $(-1) \times (-1) = +1$.** D’abord, $3 \times (-4)$ signifie $(-4) + (-4) + (-4) = -12$ : un positif fois un négatif est négatif. Observer maintenant le motif :

$$
3 \times (-4) = -12, \quad
2 \times (-4) = -8, \quad
1 \times (-4) = -4, \quad
0 \times (-4) = 0 .
$$

À chaque étape, le premier facteur baisse de $1$ et le résultat *monte* de $4$. En poursuivant le motif d’un pas :

$$
(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .
$$

Tout autre choix casserait la régularité de l’arithmétique (distributivité). Donc moins fois moins doit être plus. ∎

![L’argument du motif en image : les points (k,\ k × (-4)) s’alignent, et prolonger la droite au-delà de k = 0 force (-1)×(-4) = +4 et (-2)×(-4) = +8.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-negprod/fig-364e71576001.svg)

*L’argument du motif en image : les points $(k,\ k \times (-4))$ s’alignent, et prolonger la droite au-delà de $k = 0$ force $(-1)\times(-4) = +4$ et $(-2)\times(-4) = +8$.*

**Exemple 54.2.**

$$
\begin{align*}
(-7) \times (+6) &= -42 && \text{(signes contraires)} \\
(-5) \times (-8) &= +40 && \text{(mêmes signes)} \\
(+2.5) \times (-4) &= -10 \\
(-36) \div (-9) &= +4 \\
(+15) \div (-2) &= -7.5 .
\end{align*}
$$

## 54.2 Produits de plusieurs facteurs

**Proposition 54.3 (Signe d’un long produit).**

Le signe d’un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de plusieurs facteurs non nuls ne dépend que du nombre de facteurs négatifs :

- un nombre *[pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* de facteurs négatifs donne un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) positif ;
- un nombre *[impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* donne un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) négatif.

**Démonstration.** Les facteurs négatifs se regroupent par paires, et chaque paire contribue un signe positif ([Théorème 54.1](#thm-g8-negprod-rules)) ; un décompte [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) laisse un facteur négatif non apparié, qui rend le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) entier négatif. ∎

**Exemple 54.4.**

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$ : trois facteurs négatifs ([impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)), donc le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) est négatif ; distances : $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$. Résultat : $-30$. Décider le signe *d’abord*, puis multiplier les distances — deux tâches faciles au lieu d’une sujette aux erreurs.

**Exemple 54.5 (Puissances de négatifs).**

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$, et $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$ : les exposants [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) donnent des valeurs positives, les exposants [impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) gardent le signe. Attention à la notation : $(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.

## 54.3 Calculer avec les quatre opérations

**Méthode 54.6 (Calcul sûr avec des nombres relatifs).**

1. Respecter les priorités du [Chapitre 45](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires#ch-g7-priorities) : parenthèses, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ;
2. à chaque multiplication ou division, trouver le *signe d’abord* , puis la distance ;
3. réécrire une étape par ligne.

**Exemple 54.7.**

$$
\begin{align*}
5 - 3 \times (-4)
&= 5 - (-12) && \text{(produit d'abord~: signes contraires)}\\
&= 5 + 12 = 17 .
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\frac{(-6) \times (-10)}{-4}
&= \frac{+60}{-4} && \text{(numérateur~: mêmes signes)}\\
&= -15 && \text{(quotient~: signes contraires).}
\end{align*}
$$

**Exemple 54.8 (Substituer des valeurs négatives).**

Évaluer $E = 3x^2 - 2x$ pour $x = -5$, parenthèses autour de la valeur :

$$
E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5)
= 3 \times 25 - (-10)
= 75 + 10 = 85 .
$$

Les parenthèses de $(-5)^2$ sont essentielles : sans elles le carré ne s’appliquerait qu’à $5$.

## 54.4 Exercices

**Exercice 54.1 ★.**

Calculer :

$$
(-8) \times (+7), \qquad
(-9) \times (-6), \qquad
(+12) \times (-0.5), \qquad
(-1) \times (-1) \times (-1).
$$

**Solution de Exercice 54.1.**

$(-8) \times (+7) = -56$ ; $(-9) \times (-6) = +54$ ; $(+12) \times (-0.5) = -6$ ; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (trois facteurs négatifs : [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Exercice 54.2 ★.**

Calculer :

$$
(-63) \div (+9), \qquad
(-8) \div (-16), \qquad
\frac{45}{-5}, \qquad
\frac{-7.2}{-8} .
$$

**Solution de Exercice 54.2.**

$(-63) \div (+9) = -7$ ; $(-8) \div (-16) = +0.5$ ; $\dfrac{45}{-5} = -9$ ; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$.

**Exercice 54.3 ★.**

Donner seulement le *signe* de chaque [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def), sans le calculer :

$$
(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad
(-1)^{10}; \qquad
(-2)^{7}; \qquad
(-4) \times 0 \times (-6).
$$

**Solution de Exercice 54.3.**

Trois facteurs négatifs : *négatif*. $(-1)^{10}$ : dix facteurs négatifs, [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : *positif* (cela vaut $1$). $(-2)^7$ : sept facteurs, [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : *négatif*. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$ : ni positif ni négatif.

**Exercice 54.4 ★.**

Calculer :

$$
(-2)^4, \qquad
-2^4, \qquad
(-3)^3, \qquad
(-1)^{2026} .
$$

**Solution de Exercice 54.4.**

$(-2)^4 = +16$ ; $-2^4 = -16$ (le moins n’est pas élevé au carré) ; $(-3)^3 = -27$ ; $(-1)^{2026} = +1$ (exposant [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Exercice 54.5 ★.**

Calculer étape par étape, en respectant les priorités :

$$
7 + 2 \times (-6), \qquad
(-4) \times (5 - 9), \qquad
18 \div (-3) - (-2) .
$$

**Solution de Exercice 54.5.**

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$.

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$.

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$.

**Exercice 54.6 ★.**

Calculer :

$$
\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad
\frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .
$$

**Solution de Exercice 54.6.**

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$.

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$.

**Exercice 54.7 ★.**

Évaluer pour $x = -3$ :

$$
5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .
$$

**Solution de Exercice 54.7.**

Pour $x = -3$ : $5x = -15$ ; $x^2 = (-3)^2 = 9$ ; $-x^2 = -9$ ; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$ ; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$.

**Exercice 54.8 ★★.**

Compléter chaque égalité :

$$
(-6) \times \;?\; = 42, \qquad
\;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad
(-5) \times \;?\; = -1 .
$$

**Solution de Exercice 54.8.**

$(-6) \times (-7) = 42$ ; $10 \div (-4) = -2.5$ ; $(-5) \times \frac15 = -1$, donc le nombre manquant est $+\frac15 = 0.2$.

**Exercice 54.9 ★★.**

Vrai ou faux ? Justifier ou donner un contre-exemple.

1. Le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de deux [nombres relatifs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) est toujours au moins aussi grand que leur [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) .
2. Le carré d’un [nombre relatif](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) n’est jamais négatif.
3. Si un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de trois facteurs est positif, les trois facteurs sont positifs.

**Solution de Exercice 54.9.**

*1. Faux* : $0.5 \times 0.5 = 0.25$ est plus petit que $0.5 + 0.5 = 1$ (ou : $2 \times 3 = 6 > 5$, mais l’affirmation doit valoir toujours).

*2. Vrai* : un carré est un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de deux nombres de même signe, donc positif ou nul.

*3. Faux* : $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ est positif avec deux facteurs négatifs.

**Exercice 54.10 ★★.**

Chaque mauvaise réponse à un quiz compte $-3$ points, chaque bonne réponse $+5$. Zoé a répondu à $20$ questions et a marqué $36$ points. Combien de réponses étaient justes ? (Essayer des valeurs, ou mettre en place le calcul $5r - 3(20 - r) = 36$.)

**Solution de Exercice 54.10.**

Soit $r$ le nombre de bonnes réponses ; alors $20 - r$ sont fausses, et

$$
5r - 3(20 - r) = 36
\ \Longrightarrow\
5r - 60 + 3r = 36
\ \Longrightarrow\
8r = 96
\ \Longrightarrow\
r = 12 .
$$

Douze bonnes réponses (et huit fausses : vérification, $60 - 24 = 36$).

**Exercice 54.11 ★★★.**

En utilisant la distributivité (comme dans la preuve de [Théorème 54.1](#thm-g8-negprod-rules)), développer et justifier chaque étape de

$$
0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),
$$

et conclure que $(-1) \times (-1)$ doit valoir $+1$.

**Solution de Exercice 54.11.**

[Zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) multiplié par quoi que ce soit donne [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero), donc $(-1) \times 0 = 0$. En écrivant $0 = 1 + (-1)$ et en distribuant :

$$
0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
= -1 + (-1) \times (-1).
$$

Le nombre $(-1) \times (-1)$ ajouté à $-1$ donne $0$ : ce doit être l’opposé de $-1$, c’est-à-dire $+1$. La distributivité ne laisse pas d’autre choix.

## 54.5 Problème : pourquoi moins par moins donne plus

**Problème 54.1.**

Devoir maison — les règles des signes déduites de la distributivité, et la somme alternée $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

La preuve du [Théorème 54.1](#thm-g8-negprod-rules) a prolongé une régularité et affirmé que « tout autre choix casserait la distributivité ». Ce problème rend l’affirmation exacte : en partant de la seule distributivité ([Théorème 45.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires#thm-g7-priorities-distributivity)), on va *démontrer* les règles des signes — sans dessin, sans régularité, comme le fait l’algèbre — puis les mettre au travail sur les puissances de $-1$ et sur une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) célèbre aux signes alternés. Partout, $a$ et $b$ désignent des [nombres relatifs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) ; on admet les règles d’addition du [Chapitre 46](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#ch-g7-negatives), le fait que $1 \times a = a$, et qu’un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) se calcule dans n’importe quel ordre (la distributivité s’applique donc des deux côtés d’un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def)).

**Partie I — Les règles des signes sont des théorèmes.**

1. Démontrer que $0 \times a = 0$ pour tout [nombre relatif](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) $a$ . (Écrire $0 = 0 + 0$ , développer $(0 + 0) \times a$ , et se demander quel nombre, ajouté à $0 \times a$ , redonne $0 \times a$ .)
2. Développer $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ pour montrer que $(-1) \times a + a = 0$, et en déduire que $$(-1) \times a = -a :$$ multiplier par $-1$ donne l’opposé. Comparer avec [Exercice 54.11](#exo-g8-negprod-11), qui est le cas $a = -1$.
3. En déduire que $(-a) \times b = -(a \times b)$ : un signe moins sort d’un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) sans changer.
4. En déduire que $(-a) \times (-b) = a \times b$ : deux signes moins s’annulent.
5. Tout [nombre relatif](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) est sa distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) précédée d’un signe : $a = +d$ ou $a = -d$ . Expliquer comment les questions 3 et 4 démontrent les quatre cas du tableau des signes du [Théorème 54.1](#thm-g8-negprod-rules) , distances comprises.

**Partie II — Les puissances de $-1$.**

6. Calculer $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ , $(-1)^5$ , puis donner, en le justifiant par [Proposition 54.3](#prop-g8-negprod-many) , la valeur de $(-1)^n$ pour tout entier $n \geq 1$ .
7. Donner (sans calculer aucune distance) le signe de $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$ et écrire la distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) de ce [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) sous la forme d’un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) d’entiers, sans l’effectuer.
8. Montrer que $(-a)^2 = a^2$ et que $(-a)^3 = -a^3$ . Pour quels exposants le signe moins survit-il ?
9. Utiliser les règles des signes pour montrer que le carré d’un [nombre relatif](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) n’est jamais négatif, et en déduire qu’aucun [nombre relatif](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) $x$ ne vérifie $x^2 = -4$ .
10. Zoé affirme : « $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ , et plus généralement deux puissances consécutives de $-1$ s’annulent toujours. » A-t-elle raison ? Justifier.

**Partie III — La [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) alternée.** Les règles des signes une fois assurées, on peut calculer des [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) mêlant les deux signes. Pour un entier $n \geq 1$, notons

$$
A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots
$$

la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des entiers de $1$ à $n$ affectés de signes alternés : le dernier terme vaut $+n$ lorsque $n$ est [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), et $-n$ lorsque $n$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Ainsi $A_1 = 1$ et $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. Calculer $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ et $A_7$ . Que conjecture-t-on ?
12. Supposons $n$ [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Regrouper les termes deux par deux, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , compter les paires, et démontrer que $A_n = -\frac{n}{2}$ .
13. Supposons $n$ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Expliquer pourquoi $A_n = A_{n-1} + n$ , et déduire de la question précédente que $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
14. Calculer $A_{100}$ , $A_{101}$ et $A_{2026}$ .
15. Alma a calculé $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ et a été surprise de trouver exactement $101$ . Aurait-elle dû l’être ? Expliquer en une phrase, et donner la valeur de $A_{2027} - A_{2026}$ sans aucun calcul supplémentaire.

**Solution de Problème 54.1.**

**1.** Puisque $0 = 0 + 0$, la distributivité ([Théorème 45.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires#thm-g7-priorities-distributivity)) donne

$$
0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .
$$

Ajouter $0 \times a$ à lui-même ne change donc rien — et le seul nombre que l’on puisse ajouter sans rien changer est $0$. (Directement : retrancher $0 \times a$ des deux côtés.) D’où $0 \times a = 0$.

**2.** En développant, puis en utilisant $1 + (-1) = 0$ et la question 1 :

$$
a + (-1) \times a
= 1 \times a + (-1) \times a
= \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a
= 0 \times a = 0 .
$$

Ainsi $(-1) \times a$ est le nombre qui, ajouté à $a$, donne $0$ : c’est exactement l’opposé de $a$, et $(-1) \times a = -a$. [Exercice 54.11](#exo-g8-negprod-11) est le cas particulier $a = -1$ : on y trouve $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$.

**3.** Écrivons $-a = (-1) \times a$ (question 2) et regroupons les facteurs :

$$
(-a) \times b
= \bigl((-1) \times a\bigr) \times b
= (-1) \times (a \times b)
= -(a \times b) .
$$

**4.** Appliquons deux fois la question 3 (une fois sur chaque facteur) :

$$
(-a) \times (-b)
= -\bigl(a \times (-b)\bigr)
= -\bigl(-(a \times b)\bigr)
= a \times b ,
$$

puisque l’opposé de l’opposé d’un nombre est ce nombre lui-même.

**5.** Écrivons $a = +d$ ou $a = -d$ et $b = +e$ ou $b = -e$, où $d$ et $e$ sont les distances à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero). Les quatre cas :

$$
(+d) \times (+e) = de, \quad
(+d) \times (-e) = -de, \quad
(-d) \times (+e) = -de, \quad
(-d) \times (-e) = +de,
$$

les deux du milieu par la question 3, le dernier par la question 4. Dans tous les cas, la distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) du résultat vaut $d \times e$, le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) des distances, et le signe est celui qu’annonce le tableau du [Théorème 54.1](#thm-g8-negprod-rules) : mêmes signes, résultat positif ; signes contraires, résultat négatif.

**6.** $(-1)^2 = +1$, $(-1)^3 = -1$, $(-1)^4 = +1$, $(-1)^5 = -1$. En général, $(-1)^n$ est un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de $n$ facteurs négatifs, chacun de distance $1$ : d’après [Proposition 54.3](#prop-g8-negprod-many), il vaut $+1$ lorsque $n$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) et $-1$ lorsque $n$ est [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**7.** Il y a dix facteurs négatifs — un [nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — donc le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) est *positif* ([Proposition 54.3](#prop-g8-negprod-many)). Sa distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) vaut $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$.

**8.** Par la question 4, $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a = a^2$. Puis, par la question 3,

$$
(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a)
= -a^3 .
$$

Le signe moins disparaît pour les exposants [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) et survit pour les exposants [impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), conformément à l’[Exemple 54.5](#ex-g8-negprod-powers).

**9.** Si $a = 0$, alors $a^2 = 0$. Sinon, $a$ et $a$ ont le *même* signe, donc $a^2 = a \times a$ est positif ([Théorème 54.1](#thm-g8-negprod-rules)). Un carré n’est donc jamais négatif ; comme $-4$ est négatif, aucun [nombre relatif](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/46-nombres-relatifs#def-g7-negatives-def) $x$ ne vérifie $x^2 = -4$.

**10.** Zoé a raison. Les exposants $2026$ et $2027$ sont de parités contraires, donc $(-1)^{2026} = +1$ et $(-1)^{2027} = -1$, dont la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) vaut $0$. En général, de deux exposants consécutifs l’un est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) et l’autre [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : les deux puissances valent donc $+1$ et $-1$ dans un ordre ou dans l’autre — deux nombres opposés, dont la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) est toujours $0$.

**11.** $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$, puis $A_4 = A_3 - 4 = -2$, $A_5 = A_4 + 5 = 3$, $A_6 = A_5 - 6 = -3$, $A_7 = A_6 + 7 = 4$. Conjecture : $A_n = -\frac{n}{2}$ pour $n$ [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), et $A_n = \frac{n+1}{2}$ pour $n$ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**12.** Pour $n$ [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), les termes s’apparient complètement :

$$
A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),
$$

et chaque paire vaut $-1$. Il y a $\frac{n}{2}$ paires (deux termes par paire, $n$ termes en tout), donc $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$.

**13.** Pour $n$ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $A_n$ est la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $A_{n-1}$ des $n - 1$ premiers termes, augmentée du dernier terme, qui vaut $+n$ puisque $n$ est [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Comme $n - 1$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), la question 12 donne

$$
A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n
= \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .
$$

**14.** $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$, $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$, $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$.

**15.** Aucune surprise : passer de $A_{100}$ à $A_{101}$ ajoute exactement un terme, à savoir $+101$ ; la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) devait donc valoir $101$. Pour la même raison, $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — sans calculer $A_{2027}$ du tout.